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jsai——竞赛试题

发布时间:2013-10-18 08:06:59  

2013年9月校内数学竞赛试题

一、选择题(本题共12道小题,每题5分,共60分)

1.sin150?=

1 1 33A. B.- C. D.- 2222

2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是

A.圆锥 B.棱柱

C.棱锥 D.圆柱

1 3.函数f(x)=log2x- 正视图 侧视图 x俯视图 1 1 A.(0,) B.(1) 22 C.(1,2) D.(2,3)

5?4.若等差数列{an}的前5项和S5=,则tana3= 3

A.3 B3 C.3 3 D.-33

5.现有下列四个命题:

①若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2垂直,则k1k2=-1;

②若向量a,b满足a?b=0,则a=0或b=0;

2③若实数a,b,c满足b=ac,则a,b,c成等比数列

其中真命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

x6.当0<a<1时,函数y=x+a与y=a的图象只能是

A.若直线m//平面?,直线n??,则m//n

B.若直线m⊥平面?,直线n??,则m⊥n

C.若平面?//

平面β

,直线m

??,直线n?β,则m//n

D.若平面?⊥平面β,直线m??,则m⊥?

28.已知函数f(x)=3sin2x+2cosx,则函数f(x)最大值为( )

A.2 B.3 C.3 D.23+2

229.在下列直线中,与圆x+y+4x-2y+4=0相切的直线是( )

A.x=0 B.y=0 C.x+y=0 D.x-y=0

10.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1, x2∈(-∞,0]1 f(x2)-f(x1) (x1≠x2),有0,则 x2-x1

A.f(-3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(-3) A1C.f(-2)<f(1)<f(-3) D.f(-3)<f(1)<f(-2)

11.如右图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC⊥AB且AA1=AC=AB,则直线AC1与直线A1B所成的角等于

A.30? B.45? C.60? D.90? B1 B

12.函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+

1 2 1=0(m>0,n>0)上,则的最小值等于 mn

A.16 B.12 C.9 D.8

二、填空题(本题共4道小题,每题5分,共20分)

13.已知f(x)???cos?x,x?04,则f()的值为_______. 3?f(x?1)?1,x?0

14.若x,y满足约束条件

2则z=3x-y的最小值为_________。 15.已知等比数列{an}为递增数列,且a5?a10,2(an?an?2)?5an?1,则数列{an}的

通项公式an =______________。

16.已知正三棱锥P?ABC,点P,A,B,C

PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为________。

二、解答题(共70分)

17.(本小题满分10分)已知圆心为(1,1)的圆C经过点M(1,2)。

(Ⅰ)求圆C的方程;

(Ⅱ)若直线x+y+m=0与圆C交于A、B两点,且△ABC是直角三角形,求实数m的值.

18、(本小题满分12分)如图:在三棱锥S?ABC中,已知点D、E、F分 别为棱AC、SA、SC的中点.

①求证:EF∥平面ABC.

②若SA?SC,BA?BC,求证:平面SBD⊥平面ABC .

19.(本小题满分12分)

设锐角三角形ABC的内角A的对边分别为a,b,a?2bsinA. ,B,C,c

(Ⅰ)求B的大小;

(Ⅱ)求cosA?sinC的取值范围.

20.(本小题满分12分)数列{an}满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.

(1)求证:数列{an?1?an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式;

21.(本小题满分12分)如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥

平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.

(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;

(2)求三棱锥A-EBC的体积. B

22.(12分)已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N满足关系式

2Sn=3an-3.

(1)求数列{an}的通项公式;

1(2)设数列{bn}的通项公式是bn=n项和为Tn,求证:对于任意的正log3an·log3an+1

数n,总有Tn<1.

*

2013年9月校内数学竞赛试题答案

一、选择题:

1、A 2、D 3、C 4、A 5、B 6、D 7、B 8、C 9、B 10、B 11、C 12、D

二、填空题:

13、3n ;14、-1;15、an =2;16、2 23

三、解答题:

2217.解:(Ⅰ)由已知,圆的半径r=|CM|=(1-1)+(2-1)=1,

22所以圆C的方程为(x-1)+(y-1)=1. ……3分

(Ⅱ)由题意可知,|CA|=|CB|=1,且∠ACB=90?,

2 |1+1+m |2 ∴ 圆心C到直线x+y+m=0=, 22221+1

解得m=-1或m=-3.

∴EF∥AC,

又∵EF?平面ABC,AC?平面ABC,

∴EF∥平面ABC. 。。。。。。。。。。。。6分 ②证明:∵SA?SC,AD?DC

∴SD?AC,

∵BA?BC,AD?DC

∴BD?AC,

又∵SD?平面SBD,BD?平面SBD,SD?DB?D,

∴AC?平面SBD,

又∵AC?平面ABC,

∴平面SBD⊥平面ABC. 。。。。。。。。。。。。。。12分

19.解:(Ⅰ)由a?2bsinA,根据正弦定理得sinA?2sinBsinA,所以sinB?

由△ABC为锐角三角形得B? ……718、解:①证明:∵EF是?SAC的中位线, 1, 2π. 。。。。。。。。。。。。。4分 6

????

??A??cosA?sin??A? ??6??(Ⅱ)cosA?sinC?cosA?sin????

?

1

????cosA?cosA?A??A??.。。。。。6分 3?22?由△ABC为锐角三角形知,???????A??B,?B???. 222263

1??2????.。。。。。。。。。。10分 ?A??,所以sin?A???23233

6??

?????A???, 3??

3?所以,cosA?

sinC的取值范围为。。。。。。。12分 ??. 。2??

20.解(1)由题意知:an?2?an?1?2(an?1?an).

?an?2?an?1?2,故数列{an?1?an}是等比数列 。。。。。。。。。4分 an?1?an

(2)由(1)知数列{an?1?an}以是a2-a1=3为首项,

以2为公比的等比数列,所以an?1?an?3?2n?1,

n?2故a2-a1=3·20,所以a3-a2=3·21,a4-a3=3·22,…,an?an?1?3?2, 3(1?2n?1)所以an?a1?。。。。。。8分 ?3(2n?1?1).即an?3?2n?1?1. 。1?2

(3)nan?3n?2

0n?1?n,先求n?2n?1的前n项和. n?1设Tn?2?2?2???n2

121① n?12Tn?2?2?2???(n?1)2

012?n2n② n?1①—②得:?Tn?2?2?2???2?n2n?2n?1?n?2n

?Tn?n?2n?2n?1?(n?1)?2n?1

Sn?3(n?1)?2n?3?n(n?1) 。。。。。。。。。。。。。12分 n

21. 解:取BC的中点F,连结EF、AF,则EF∥PB,

所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角.

∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,

∴AF=3,AE=2,EF=2;

2+2-31cos∠AEF= 2224

1所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为. 。。。。。。。。。。。。。6分 4

(2)因为E是PC中点,所以E到平面ABC的距离为PA=1, 2

1133VA-EBC=VE-ABC=×(×2×2××1= 。。。。。。。。。。。。。。12分 3223

??2Sn=3an-3,22. (1)解 由已知得??2Sn-1=3an-1-3? (n≥2).

故2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,即an=3an-1 (n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比q=3. 又当n=1时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3. 。。。。。。。。。。。。。。。6分 n

(2)证明 ∵b111n=n(n+1)=nn+1.

∴Tn=b1+b2+…+bn

=??1

?1-2??1?+??1

?21

3???+…+??1

?nn+1???

=1-1n+1。。。。。。。。。。。。。。。12分

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