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2008年全国中学生数学能力竞赛

发布时间:2013-10-18 08:06:59  

2008年全国中学生数学能力竞赛(初赛)试题

高二年级组

基础能力部分(共60分,每题5分)

一、运算求解能力(会根据法则、公式进行正确运算、变形;能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径)

x3???x20081、设函数f(x)?lgx,若f(xx12)?200922,则f(x12)?f(x2)?f(x)3?????f(x22008)的

值为___________.

2、《张丘建算经》中有这样一个问题:“今年有女善织,日益功疾、初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何.”(一匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸,一月为30天)

题中大意是:有个女子善于织布,每天织的布要超过昨天的,第一天织布五尺,一个月共织布九匹三丈. 可求得每天多织布________尺.

3、在lg3()?lg9()?lg27中的( )处分别填上一个正数,并使得它们的积最大,则这两个正数依次是__________.

二、数据处理能力(会收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确的判断;能根据要求对数据进行估计和近似计算)

4、已知集合

与集合的对应关系如下表:

若A?{?2008,2008,2009},B?{?2008,2009},根据表中规律,可得A?B?_______.

5、研究下面所给图形中的数字规律,并把空白图形补充完整.

三、空间想象能力(会画简单的几何图形;能准确地分析图形中有关量的相互关系;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质)

6、在下面各图形中,每个小四边形都是全等正方形,沿其相邻边折叠,能够围成正方体的图形的编号是__________________.

7、图1是一个正方体的平面展开图,它可以是由下列哪个正方体展开得到的,写出正方体的编号

_______________.

四、抽象概括能力(能从具体、生动的实例中发现研究对象的本质;能从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断)

8、若函数h(x),g(x)均为奇函数,f(x)?h(x)?g(x)?2008在(0,??)上有最大值2009,则f(x)在(??,0)上的最小值为_________.

五、推理论证能力(会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的真实性)

9、根据下列5个图形及其相应点的个数的变化规律,探求第n个图中有________个点

.

六、实践能力(能够对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;能应用相关的数学方法解决问题,并能用数学语言正确地表述、说明)

10、贝贝手中有一台天平两臂长略有差异,其他均精确,现将一物体A放在左右托盘内各称一次,称得的结果分别为a克和b克,关于物体A的重量,下面是朋友们给他的说法:晶晶:物体Aa?ba?b克;欢欢:物体A的重量介于a克和b克之间;迎迎:物体A的重量大于22

2ab克;妮妮:物体A的重量大于克;其中谁的说法正确:______________. a?b的重量是

11、白日依山尽,黄河入海流. 欲穷千里目,更上一层楼.

这是唐代诗人王之涣所写的《登鹳雀楼》,我们要研究的是欲穷千里目,

应上几层楼?

如图,圆O表示地球的大圆,AD表示鹳雀楼的高,A为诗人所处的位

置,AB表示诗人视线所能达到的最远距离.(其中地球半径6375 km,

每层楼高3 m

?12789)若要诗人的视线达到一千里的距

离,则应上____层楼.

七、创新意识(能够独立思考,灵活和综合地运用所学数学的知识、思想和方法,提出问题、分析问题和解决问题)

12、定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,则这个数列叫做等积数列,这个常数叫做数列的公积. 已知数列{an}中,a1?2,公积为3,T

n为数列

{an}的前n项积,则T2009?____________.

综合能力部分(共90分)

13、(本题满分10分)已知x?R,y?R,集合A?{x?x?1,?x,?x?2},B?{y?2,y,y?1}. 若A?B,求x

14、(本题满分10分)爷爷带了4个孙子到森林里找蘑菇,一到森林大家就分头去找蘑菇. 半小时之后,爷爷在树下清点大家所找到的蘑菇,数一数总共有45个. 可是这45个都是爷爷找到的,四个孙子都两手空空回来,一个蘑菇也没有找到.

“爷爷!”其中一个孙子要求道:“我不想拿着空荡荡的篮子回家,你的蘑菇分我一点好不好?反正你很会找蘑菇,分一些给我没关系.”

“爷爷,我也要!”

“我也要一些!”

于是爷爷把蘑菇通通分给孙子,自己一个都没有剩下. 接着大家又分头去找蘑菇,最后第一个孙子找到2个蘑菇,第二个孙子弄丢了2个,第三个孙子找到的蘑菇数量和爷爷所给的相同,第四个孙子则把爷爷给他的蘑菇弄丢了一半,回家时大家数一数篮子内的蘑菇,发现四个人都一样多. 请问这四个孙子从爷爷那儿分别得到多少蘑菇?

15、(本题满分15分)(任选一题作答,如果两道题都答则按照选做题一给分)

选做题一:

世界首次“类人型机器人”足球队之间的比赛在我国武汉举行,比赛中各机器人可以表演带球,过人,断球,射门,扑球等动作. 根据指令(r,?)(r?0,?180????180?),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度?(?为正时,按逆时针方向旋转?,?为负时,按顺时针方向旋转?),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.

⑴ 现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴的正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4);

⑵ 机器人完成该指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球,并给出机器人截住小球所需的指令.

(计算中取cos81.87??

2009?2?y2009的值. )

选做题二:

猎人在距离100米处射击一野兔,击中概率为1,如果第一次没有击中,则猎人进行第二次射2

击,但距离已是150米,如果又没有击中,则猎人进行第三次射击,但距离已是200米,已知猎人击中兔子的概率与距离的平方成反比,则三次内击中兔子的概率是多少?

16、(本题满分15分)在某试卷的印刷过程中,由于油污导致了一个条件不清,具体如下:在?

ABC中,a?B?45?,●,求角A. 在更正的过程中推断油污覆盖处的条件是三角形一边的长度,且答案为A?60?,试将条件补充完整,并说明理由.

17、(本题满分20分)如果关于x的不等式ax?bx?c?0的解集是{x|x?m或x?n},2

(m?n?

0),且a,c成等比数列. 2 ⑴ 求m,n的关系; ⑵ 若y?ax?bx?c在x轴上截得的线段长为2,求函数y?cx?bx?a在x轴上截得的线

段长.

18、(本题满分20分)观察下列三角形数表:

假设第n行的第二个数为an(n?2,n?N),

⑴ 依次写出第六行的所有6个数字;

⑵ 归纳出an?1与an的关系式并求出数列{an}的通项公式;

⑶ 设(an?1)bn?1,求b2?b3?????bn. *21 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 ? ? ? ? ? ?

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