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小学奥数六年级举一反三16-20

发布时间:2013-10-19 14:37:19  

第十六周 用“组合法”解工程问题

专题简析:

在解答工程问题时,如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看,则难以找到明确的解题途径,若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合,使之成为一个新的基本单位,便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化,从而顺利找到解题途径。

例题1。一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3天,

7只能完成工程的 30

1【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是15只要求出甲队货乙队的工

作效率,则问题可解,然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲

队独做5天,乙队独做3天,组合成甲、乙两队合作了3天后,甲

711队独做2天来考虑,就可以求出甲队2天的工作量30153=30从而求出甲队的工作效率。所以

171 1÷【15-(30-15×3)÷(5-3)】=20(天)

答:乙队单独完成全部工程需要20天。

练习1

1、 师、徒二人合做一批零件,12天可以完成。师傅先做了3天,因事外出,

3由徒弟接着做1天,共完成任务的20。如果这批零件由师傅单独做,多少

天可以完成?

52、 某项工程,甲、乙合做1天完成全部工程的24如果这项工程由甲队独做2

13天,再由乙队独做3天,能完成全部工程的24。甲、乙两队单独完成这项

工程各需多少天?

3、 甲、乙两队合做,20天可完成一项工程。先由甲队独做8天,再由乙队独

8做12天,还剩这项工程的15

例题2。

一项工程,甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天,再由乙队做2天,

1则能完成这项工程的2后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天?

111【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是:(2123)÷2=8;再由条

件“做完后发现两段所用时间相等”的题意,可组合成由两个乙队

和一个甲队合做需若干天完成,即可求出相等的时间。

(1) 乙队每天完成这项工程的

111 (2-12×3)÷2=8

(2) 两段时间一共是

11 1÷(8×2+122=6(天)

答:两段时间一共是6天。

练习2

1、 一项工程,甲队独做15天完成。若甲队先做5天,乙队再做4天能完成这

8项工程的15。现由甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现,

两段时间相等。这两段时间一共是几天?

2、 一项工程,甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天,再由乙独做,完成

任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成?

3、 某工作,甲单独做要12天,乙单独做要18天,丙单独做要24天。这件工

作先由甲做了若干天,再由乙接着做;乙做的天数是甲3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天?

例题3。

移栽西红柿苗若干棵,如果哥、弟二人合栽8小时完成,先由哥哥栽了3小

11时后,又由弟弟栽了1小时,还剩总棵数的16没有栽,已知哥哥每小时比弟弟每

小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵?

【思路导航】把“哥哥先栽了3小时,弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽

了1小时后,哥哥又独做了2小时”,就可以求出哥哥每小时栽总

数的几分之几。

哥哥每小时栽总数的几分之几

1113 (1-16-8×1)÷(3-1)=32

一共要移栽的西红柿苗多少棵

313 7÷【32-(8-32)】=112(棵)

答:共要移栽西红柿苗112棵。

练习3

1、 加工一批机器零件,师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时,

3接着再由徒弟加工6小时,共加工了这批零件的5。已知师傅每小时比徒弟

多做10个零件。这批零件共有多少个?

2、 修一条公路,甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天,再由乙队

3修3天,还剩这条公路的10没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条

公路全长多少米?

3、 修一段公路,甲队独修要40天,乙队独修要用24天。两队同时从两端开

工,结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米?

例题4。

一项工作,甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后,乙、

2丙合做2小时,可以完成这项工作的如果甲、乙合做3小时后,丙做6小时,3

2也可以完成这项工作的 3

【思路导航】将条件“甲工作6小时后,乙、丙合做2小时,可以完成这项工作

2的3”组合成“甲工作4小时,甲、乙、丙合做2小时可以完成这

2项工作的”,则求出甲的工作效率。同理,运用“组合法”再求出3

丙的工作效率。

甲每小时完成这项工程的几分之几

211 (3-6×2)÷(6-2)=12

丙每小时完成这项工程的几分之几

211 (3-6×3)÷(6-3)=18

甲、 丙合做需完成的时间为:

111 1÷(121875

1 答:甲、丙合做完成需要75小时。

练习4

1、 一项工作,甲、乙、丙三人合做,4小时可以完成。如果甲做4小时后,乙、

13丙合做2小时,可以完成这项工作的18;如果甲、乙合做2小时后,丙再

11做4小时,可以完成这项工作的18。这项工作如果由甲、丙合做需几小时

完成?

2、 一项工程,甲、乙合做6天可以完成,乙、丙合做10天可以完成。现在先

由甲、乙、丙合做3天后,余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成?

3、 一项工程,甲、乙两队合做10天完成,乙、丙两队合做8天完成。现在甲、

1乙、丙三队合做4天后,余下的工程由乙队独做52天完成。乙队单独做这

项工程需多少天可以完成?

4、 一件工作,甲、乙合做4小时完成,乙、丙合做5小时完成。现在由甲、

丙合做2小时后,余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成?

例题5。

一条公路,甲队独修24天可以完成,乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路,几天可以完成?

【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全

部完成”组合成“甲、乙两队各修(4+7)=11天后,再由丙队单

独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。

丙队每天修这条公路的

111 【1-(24+30)】×(4+7)=40

三队合修完成时间为

111 1÷(++)=10(天) 243040

答:10天可以完成。

练习5

1、 一件工作,甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小

时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成?

2、 一条水渠,甲队独挖120天完成,乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天,

剩下的由丙队加入一起挖,又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖,多少天可以完成?

3、 一件工作,甲、乙合做6天可以完成,乙、丙合做10天可以完成。如果甲、

丙合做3天后,由乙单独做,还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做,需几天可以完成?

4、 一项工程,甲、乙两队合做30天完成,甲队单独做24天后,乙队加入,

两队又合做了12天。这时甲队调走,乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天?

第十七周 浓度问题

专题简析:

在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题,即浓度问题。我们知道,将糖溶于水就得到了糖水,其中糖叫溶质,水叫溶剂,糖水叫溶液。如果水的量不变,那么糖加得越多,糖水就越甜,也就是说糖水甜的程度是由糖(溶质)与糖水(溶液=糖+水)二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地,酒精溶于水中,纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值,通常用百分数表示,即,

溶质质量溶质质量浓度=×100%=100% 溶液质量溶质质量+溶剂质量

解答浓度问题,首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时,根据题意列方程解答比较容易,在列方程时,要注意寻找题目中数量问题的相等关系。

浓度问题变化多,有些题目难度较大,计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析,也可以分步解答。

例题1。

有含糖量为7%的糖水600克,要使其含糖量加大到10%,需要再加入多少克糖?

【思路导航】根据题意,在7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度,糖的质量增加了,

糖水的质量也增加了,但水的质量并没有改变。因此,可以先根据原来糖水中

的浓度求出水的质量,再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量,用现在

糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。

原来糖水中水的质量:600×(1-7%)=558(克)

现在糖水的质量 :558÷(1-10%)=620(克)

加入糖的质量 :620-600=20(克)

答:需要加入20克糖。

练习1

1、 现在有浓度为20%的糖水300克,要把它变成浓度为40%的糖水,需要加糖多少克?

2、 有含盐15%的盐水20千克,要使盐水的浓度为20%,需加盐多少千克?

3、 有甲、乙两个瓶子,甲瓶里装了200毫升清水,乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次

把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶,第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶,此时甲瓶里含纯酒精多,还是乙瓶里含水多?

例题2。

一种35%的新农药,如稀释到1.75%时,治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水,才能配成1.75%的农药800千克?

【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过

程中,溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。

800千克1.75%的农药含纯农药的质量为

800×1.75%=14(千克)

含14千克纯农药的35%的农药质量为

14÷35%=40(千克)

由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为

800-40=760(千克)

答:用40千克的浓度为35%的农药中添加760千克水,才能配成浓度为1.75%的农药800千克。

练习2

1、 用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥。现有含氨16%的氨水30千克,配置时需加水多少

千克?

2、 仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。一星期后再测,发现含水量降低到80%。

现在这批水果的质量是多少千克?

3、 一容器内装有10升纯酒精,倒出2.5升后,用水加满;再倒出5升,再用水加满。这

时容器内溶液的浓度是多少?

例题3。

现有浓度为10%的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?

【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了,但总体上溶质及溶液

的总质量没有改变。所以,混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶

质的量。

20千克10%的盐水中含盐的质量

20×10%=2(千克)

混合成22%时,20千克溶液中含盐的质量

20×22%=404(千克)

需加30%盐水溶液的质量

(4.4-2)÷(30%-22%)=30(千克)

答:需加入30千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水。 练习3

1、 在100千克浓度为50%的硫酸溶液中,再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液就可以

配制成25%的硫酸溶液?

2、 浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克混合后所得到的酒精

溶液的浓度是多少?

3、 在20%的盐水中加入10千克水,浓度为15%。再加入多少千克盐,浓度为25%?

例题4。

将20%的盐水与5%的盐水混合,配成15%的盐水600克,需要20%的盐水和5%的盐水各多少克?

【思路导航】根据题意,将20%的盐水与5%的盐水混合配成15%的盐水,说明混合前两

种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的

相等关系列方程解答。

解:设20%的盐水需x克,则5%的盐水为600-x克,那么

20%x+(600-x)×5%=600×15%

X =400

600-400=200(克)

答:需要20%的盐水400克,5%的盐水200克。

练习4

1、 两种钢分别含镍5%和40%,要得到140吨含镍30%的钢,需要含镍5%的钢和含镍

40%的钢各多少吨?

2、 甲、乙两种酒各含酒精75%和55%,要配制含酒精65%的酒3000克,应当从这两种

酒中各取多少克?

3、 甲、乙两只装糖水的桶,甲桶有糖水60千克,含糖率为40%;乙桶有糖水40千克,

含糖率为20%。要使两桶糖水的含糖率相等,需把两桶的糖水相互交换多少千克?

例题5。

甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中,混合后取10克倒入乙管中,再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为0.5%。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少?

【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。根据题

意,可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有30克的水,它的盐

是从10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。

而乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的,由此可求出甲管里20克盐

水中盐的质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐,这样就可得到最初倒

入甲管中盐水的质量分数。

丙管中盐的质量:(30+10)×0.5%=02(克)

倒入乙管后,乙管中盐的质量:0.2×【(20+10)÷10】=0.6(克)

倒入甲管,甲管中盐的质量:0.6×【(10+10)÷10】=1.2(克)

1.2÷10=12%

答:最早倒入甲管中的盐水质量分数是12%。

练习5

1、 从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后,再用清水将杯加满,搅拌后再倒出40

克盐水,然后再用清水将杯加满。如此反复三次后,杯中盐水的浓度是多少?

2、 甲容器中又8%的盐水300克,乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、乙两个容器

分别倒入等量的水,使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水?

3、 甲种酒含纯酒精40%,乙种酒含纯酒精36%,丙种酒含纯酒精35%。将三种酒混在

一起得到含酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克,那么甲种酒有多少千克?

第十八周 面积计算(一)

专题简析:

计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。

例题1。

2已知图18-1中,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE=ED,BD= BC,求阴影部3

分的面积。

C D

18-1

【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,

连接DF,可知S△AEF=S△EDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分

转化为求三角形BDF的面积。

2 因为BD= BC,所以S△BDF=2S△DCF。又因为AE=ED,所以S△ABF=S△BDF=2S△DCF。 3

因此,S△ABC=5 S△DCF。由于S△ABC=8平方厘米,所以S△DCF=8÷5=1.6(平方厘米),则阴影部分的面积为1.6×2=3.2(平方厘米)。

练习1

1、 如图18-2所示,AE=ED,BC=3BD,S△ABC=30平方厘米。求阴影部分的面积。

12、 如图18-3所示,AE=ED,DCBD,S△ABC=21平方厘米。求阴影部分的面积。 3

13、 如图18-4所示,DE= AE,BD=2DC,S△EBD=5平方厘米。求三角形ABC的面2

积。

C B C D D D 18-

3 18-4 18-

2

例题2。

两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图18-5所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?

C B

18-5

【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知:BO=2DO;从S△ABD与S△ACD

相等(等底等高)可知:S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD

的2倍。所以△AOD的面积为6÷2=3。

因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO=6

因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍

所以△AOD=6÷2=3。

答:△AOD的面积是3。

练习2

1、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图18-6所示),已知两个三角形的

面积,求另两个三角形的面积是多少?

12、 已知AO=OC,求梯形ABCD的面积(如图18-7所示)。 3

3、 已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD

的面积。(如图18-8所示)。

18

C C

18-7 18-

8

例题3。

四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图18-9所示)。

B C 【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,18-9 它们的面积相等。同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知,

三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形

CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。

15×3=45(平方厘米)

答:四边形ABCD的面积为45平方厘米。

练习3

1、 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平

方厘米。求四边形ABCD的面积(如图18-10)。

2、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。

求四边形ABCD的面积(如图18-11所示)。

3、 如图18-12所示,求阴影部分的面积(ABCD为正方形)。

E

C C B

18-12 18-11 18-10

例题4。

如图18-13所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?

B

18-13

【思路导航】因为BO=2DO,取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性

质,可知S△DBC=S△CDA;S△COB=S△DOA=4,类推可得每个三角形的面积。所

以,

S△CDO=4÷2=2(平方厘米) S△DAB=4×3=12平方厘米

S梯形ABCD=12+4+2=18(平方厘米)

答:梯形ABCD的面积是18平方厘米。

练习4

1、 如图18-14所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC=2AO。求梯形面积。

2、 已知OC=2AO,S△BOC=14平方厘米。求梯形的面积(如图18-15所示)。

3、 已知S△AOB=6平方厘米。OC=3AO,求梯形的面积(如图18-16所示)。

B B B 18-15 18-14所示,长方形 如图18-17ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF

的面积是4,求三角形ABC的面积。

F F A

C C

D B 18-17

【思路导航】连接

AE。仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。

由图上看出:三角形ADE

的面积等于长方形面积的一半(16÷2)=

8。用8减去3得到

三角形ABE的面积为5。同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。

因此可知三角形AEC与三角形ACF

等底等高,C为EF的中点,而三角形ABE

与三角形BEC等底,高是三角形BEC的2

倍,三角形BEC的面积为

5÷2=

2.5,所以,三角形ABC的面积为16-3-4-2.5=6.5。

练习5

1、 如图18-18所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平

方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积。

2、 如图18-19所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE=4平方厘米,S△AFD

=6平方厘米,求三角形AEF的面积。

3、 如图18-20所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积

均为4平方厘米,求三角形AEF的面积。

A D D

F F

C B E 18-19 18-20 18-18

第十九周 面积计算(二)

专题简析:

在进行组合图形的面积计算时,要仔细观察,认真思考,看清组合图形是由几个基本单位组成的,还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。

例题1。

求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。

6 6

19-

1

1【思路导航】如图19-1所示的特点,阴影部分的面积可以拼成 圆的面积。 4

1 62×3.14×=28.26(平方厘米) 4

答:阴影部分的面积是28.26平方厘米。

练习1

求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。

19-2

19-

3

19-4

例题2。

求图19-5中阴影部分的面积(单位:厘米)。

4

19-6 19-5

【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后,构成了一个新的图形(如图19-6所示),从

图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。

1 3.14×42× -4×4÷2÷2=8.56(平方厘米) 4

答:阴影部分的面积是8.56平方厘米。

练习2

计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。

19-8 19-7 19-

9

例题3。

如图19-10所示,两圆半径都是1厘米,且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。

19-10

【思路导航】因为两圆的半径相等,所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影

部分的面积相等,所以扇形的面积等于长方形面积的一半(如图19-10右图

所示)。所以

1 3.14×12× ×2=1.57(平方厘米) 4

答:长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。

练习3

1、 如图19-11所示,圆的周长为12.56厘米,AC两点把圆分成相等的两段弧,阴影部

分(1)的面积与阴影部分(2)的面积相等,求平行四边形

C

B C 19-12 19-11 19-13

2

、 如图19-12所示,直径BC=8厘米,AB=AC

,D为AC的重点,求阴影部分的面积。

3、

如图19-13所示,AB

=BC=8厘米,求阴影部分的面积。

例题4。

如图19-14所示,求阴影部分的面积(单位:厘米)。

6

B

419-14

【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分,把它还原成长方形后(如右

图所示),因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等,并且空白部分

的两组三角形面积分别相等,所以

I和II的面积相等。

6×4=24(平方厘米)

答:阴影部分的面积是24平方厘米。

练习4

1、 如图19-15所示,求四边形ABCD的面积。

2、 如图19-16所示,BE长5厘米,长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。

3、 图19-17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起,按照图中的已知条件求阴影部

分的面积(单位:厘米)。 19-15 19-16 A 19-17

例题5。

如图19-18所示,图中圆的直径AB是4厘米,平行四边形ABCD的面积是7平方厘米,∠ABC=30度,求阴影部分的面积(得数保留两位小数)。

B B

19-18

【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积,再减去三角形

BOC的面积。

半径:4÷2=2(厘米)

扇形的圆心角:180-(180-30×2)=60(度)

60 扇形的面积:2×2×3.14× ≈2.09(平方厘米) 360

三角形BOC的面积:7÷2÷2=1.75(平方厘米)

7-(2.09+1.75)=3.16(平方厘米)

答:阴影部分的面积是3.16平方厘米。

练习5

1、 如图19-19所示,∠1=15度,圆的周长位62.8厘米,平行四边形的面积为100

平方厘米。求阴影部分的面积(得数保留两位小数)。

2、 如图19-20所示,三角形ABC的面积是31.2平方厘米,圆的直径AC=6厘米,

BD:DC=3:1。求阴影部分的面积。

3、 如图19-21所示,求阴影部分的面积(单位:厘米。得数保留两位小数)。

19-21 19-20 19-19

12 60

60

第二十周 面积计算(三)

专题简析:

对于一些比较复杂的组合图形,有时直接分解有一定的困难,这时,可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转,化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时,可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。

例题1。

如图20-1所示,求图中阴影部分的面积。

20-2 20-1

【思路导航】

解法一:阴影部分的一半,可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形(如图20-2),等

腰直角三角形的斜边等于圆的半径,斜边上的高等于斜边的一半,圆的半径为20÷2=10厘米

1 【3.14×102×-10×(10÷2)】×2=107(平方厘米) 4

答:阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二:以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后,阴影部分的

面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中,减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

11 (20÷2)2×-(20÷2)2107(平方厘米) 22

答:阴影部分的面积是107平方厘米。

练习1

1、 如图20-4所示,求阴影部分的面积(单位:厘米)

2、 如图20-5所示,用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片,一张斜边为49厘

米的蓝色直角三角形纸片,一张黄色的正方形纸片,拼成一个直角三角形。求红蓝

两张三角形纸片面积之和是多少?

49 6

B 29 A 49 29 20-

5 20-4

例题2。

如图20-6所示,求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。

4 减去

6

20-7 20-6

【思路导航】

解法一:先用长方形的面积减去小扇形的面积,得空白部分(a)的面积,再用大扇形的面

积减去空白部分(a)的面积。如图20-7所示。

11 3.14×62×6×4-3.14×42×)=16.82(平方厘米) 44

解法二:把阴影部分看作(1)和(2)两部分如图20-8所示。把大、小两个扇形面积相加,

刚好多计算了空白部分和阴影(1)的面积,即长方形的面积。

减 加

20-8

11 3.14×42××62×4×6=16.28(平方厘米) 44

答:阴影部分的面积是16.82平方厘米。

练习2

B B

1、 如图20-9所示,△ABC是等腰直角三角形,求阴影部分的面积(单位:厘米)。

2、 如图20-10所示,三角形ABC是直角三角形,AC长4厘米,BC长2厘米。以AC、

BC为直径画半圆,两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。

3、 如图20-11所示,图中平行四边形的一个角为600,两条边的长分别为6厘米和8厘

米,高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。

例题3。

在图20-12中,正方形的边长是10厘米,求图中阴影部分的面积。

20-

12 20-13 20-

14

【思路导航】

解法一:先用正方形的面积减去一个整圆的面积,得空部分的一半(如图20-13所示),再

用正方形的面积减去全部空白部分。

空白部分的一半:10×10-(10÷2)2×3.14=21.5(平方厘米) 阴影部分的面积:10×10-21.5×2=57(平方厘米)

解法二:把图中8个扇形的面积加在一起,正好多算了一个正方形(如图20-14所示),而

8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。

(10÷2)2×3.14×2-10×10=57(平方厘米)

答:阴影部分的面积是57平方厘米。

练习3

求下面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。

10

-16 20-17

20-15

例题4。

在正方形ABCD中,AC=6厘米。求阴影部分的面积。

C

20-

18

【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知,这样扇形的半径也就不知道。但我们可

以看出,AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性

可知,斜边上的高等于斜边的一半(如图20-18所示)

,我们可以求出等腰直

角三角形ACD的面积,进而求出正方形ABCD的面积,即扇形半径的平方。

这样虽然半径未求出,但可以求出半径的平方,也可以把半径的平方直接代入

圆面积公式计算。

既是正方形的面积,又是半径的平方为:6×(6÷2)×2=18(平方厘米)

阴影部分的面积为:18-18×3.14÷4=3.87(平方厘米)

答:阴影部分的面积是3.87平方厘米。

练习4

1、 如图20-19、20-20所示,图形中正方形的面积都是50平方厘米,分别求出每个图

形中阴影部分的面积。

2、 如图20-21所示,正方形中对角线长10厘米,过正方形两个相对的顶点以其边长为

半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积(试一试,你能想出几种办法)。

20-21 20-20 20-

19

例题5。

在图20-22的扇形中,正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。

20-22

【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知,又

无法求出,所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以

扇形的半径为边长做一个新的正方形(如图20-23所示),从图中可以看出,

新正方形的面积是30×2=60平方厘米,即扇形半径的平方等于60。这样虽

然半径未求出,但能求出半径的平方,再把半径的平等直接代入公式计算。

1 3.14×(30×2)×-30=17.1(平方厘米) 4

答:阴影部分的面积是17.1平方厘米。

练习5

1、 如图20-24所示,平行四边形的面积是100平方厘米,求阴影部分的面积。

2、 如图20-25所示,O是小圆的圆心,CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘

米,求阴影部分的面积。

3、 如图20-26

20-26 20-24 20-25

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