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2014年最全初中数学导学案——学案

发布时间:2013-10-19 14:39:26  

第二十七章 相似

测试1 图形的相似

学习要求

1.理解相似图形、相似多边形和相似比的概念.

2.掌握相似多边形的两个基本性质.

3.理解四条线段是“成比例线段”的概念,掌握比例的基本性质.

课堂学习检测

一、填空题

1.________________________是相似图形.

2.对于四条线段a,b,c,d,如果____________与____________(如ac?),那么称bd

这四条线段是成比例线段,简称__________________.

3.如果两个多边形满足____________,____________那么这两个多边形叫做相似多边

形.

4.相似多边形____________称为相似比.当相似比为1时,相似的两个图形

____________.若甲多边形与乙多边形的相似比为k,则乙多边形与甲多边形的相似比为____________.

5.相似多边形的两个基本性质是____________,____________.

6.比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例,那么___________. 反之亦真.即ac??______(a,b,c,d不为零). bd

7.已知2a-3b=0,b≠0,则a∶b=______.

8.若

9.若1?x7?,则x=______. x5xyz2x?y?z??,则?______. x235

10.在一张比例尺为1∶20000的地图上,量得A与B两地的距离是5cm,则A,B两

地实际距离为______m.

二、选择题

11.在下面的图形中,形状相似的一组是(

)

12.下列图形一定是相似图形的是( )

A.任意两个菱形 B.任意两个正三角形

C.两个等腰三角形 D.两个矩形

13.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为

50cm,60cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20cm,那么,符合条件的三角形框架乙共有( )

A.1种 B.2种 C.3种 D.4种

三、解答题

14.已知:如图,梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似,AD∥BC,A′D′∥B′C′, 1

∠A=∠A′.AD=4,A′D′=6,AB=6,B′C′=12.求:

(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k;

(2)A′B′和BC的长;

(3)D′C′∶DC.

综合、运用、诊断

15.已知:如图,△ABC中,AB=20,BC=14,AC=12.△ADE与△ACB相似,

∠AED=∠B,DE=5.求AD,AE的长.

16.已知:如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,A′,B′,C′,D′分别是

OA,OB,OC,OD的中点,试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似,并说明理由.

拓展、探究、思考

17.如下图甲所示,在矩形ABCD中,AB=2AD.如图乙所示,线段EF=10,在EF

上取一点M,分别以EM,MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD,设MN=x,当x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?

2

测试2 相似三角形

学习要求

1.理解相似三角形的有关概念,能正确找到对应角、对应边.

2.掌握相似三角形判定的基本定理.

课堂学习检测

一、填空题

1.△DEF∽△ABC表示△DEF与△ABC______,其中D点与______对应,E点与

______对应,F点与______对应;∠E=______;DE∶AB=______∶BC,AC∶DF=AB∶______.

2.△DEF∽△ABC,若相似比k=1,则△DEF______△ABC;若相似比k=2,则

DFBC?______,?______. ACEF

3.若△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k1;△A1B1C1∽△A2B2C2,且相似比为k2,则

△ABC______△A2B2C2,且相似比为______.

4.相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交,所_____

____________与原三角形______.

5.已知:如图,△ADE中,BC∥DE,则

①△ADE∽______; ②ADAEAD()?,?; AB()ABBC

ADAEBD()?,?? DB()BACA③

二、解答题

6.已知:如图所示,试分别依下列条件写出对应边的比例式.

3

(1)若△ADC∽△CDB;

(2)若△ACD∽△ABC;

(3)若△BCD∽△BAC.

综合、运用、诊断

7.已知:如图,△ABC中,AB=20cm,BC=15cm,AD=12.5cm,DE∥BC.求DE

的长.

8.已知:如图,AD∥BE∥CF.

(1)求证:ABDE?; ACDF

(2)若AB=4,BC=6,DE=5,求EF.

4

9.如图所示,在△APM的边AP上任取两点B,C,过B作AM的平行线交PM于N,

过N作MC的平行线交AP于D.求证:PA∶PB=PC∶PD.

拓展、探究、思考

10.已知:如图,E是□ABCD的边AD上的一点,且

=15cm,求DF的长.

AE3?,CE交BD于点F,BFDE2

11.已知:如图,AD是△ABC的中线.

(1)若E为AD的中点,射线CE交AB于F,求

(2)若E为AD上的一点,且

AF; BFAE1AF?,射线CE交AB于F,求? BFEDk

测试3 相似三角形的判定

学习要求

1.掌握相似三角形的判定定理.

2.能通过证三角形相似,证明成比例线段或进行计算.

课堂学习检测

一、填空题

1.______三角形一边的______和其他两边______,所构成的三角形与原三角形相似. 5

2.如果两个三角形的______对应边的______,那么这两个三角形相似.

3.如果两个三角形的______对应边的比相等,并且______相等,那么这两个三角形相

似.

4.如果一个三角形的______角与另一个三角形的______,那么这两个三角形相似.

5.在△ABC和△A′B′C′中,如果∠A=56°,∠B=28°,∠A′=56°,∠C′=

28°,那么这两个三角形能否相似的结论是______.理由是________________.

6.在△ABC和△A'B′C′中,如果∠A=48°,∠C=102°,∠A′=48°,∠B′=

30°,那么这两个三角形能否相似的结论是______.理由是________________.

7.在△ABC和△A'B′C′中,如果∠A=34°,AC=5cm,AB=4cm,∠A′=34°,

A'C′=2cm,A′B′=1.6cm,那么这两个三角形能否相似的结论是______,理由是____________________.

8.在△ABC和△DEF中,如果AB=4,BC=3,AC=6;DE=2.4,EF=1.2,FD=1.6,

那么这两个三角形能否相似的结论是____________,理由是__________________.

9.如图所示,△ABC的高AD,BE交于点F,则图中的相似三角形共有______对.

9题图

10.如图所示,□ABCD中,G是BC延长线上的一点,AG与BD交于点E,与DC交

于点F,此图中的相似三角形共有______对.

10题图

二、选择题

11.如图所示,不能判定△ABC∽△DAC的条件是(

)

A.∠B=∠DAC

B.∠BAC=∠ADC

C.AC2=DC·BC

D.AD2=BD·BC

12.如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一

点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是( )

6

A.5 B.8.2

C.6.4 D.1.8

13.如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似

的是(

)

三、解答题

14.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,想一想,

(1)图中有哪两个三角形相似?

(2)求证:AC2=AD·AB;BC2=BD·BA;

(3)若AD=2,DB=8,求AC,BC,CD;

(4)若AC=6,DB=9,求AD,CD,BC;

(5)求证:AC·BC=AB·CD.

15.如图所示,如果D,E,F分别在OA,OB,OC上,且DF∥AC,EF∥BC.

求证:(1)OD∶OA=OE∶OB;

(2)△ODE∽△OAB;

7

(3)△ABC∽△DEF.

综合、运用、诊断

16.如图所示,已知AB∥CD,AD,BC交于点E,F为BC上一点,且∠EAF=∠C.

求证:(1)∠EAF=∠B;

(2)AF2=FE·FB.

17.已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,以AD为直径的半圆与BC

相切于E点.

求证:AB·CD=BE·EC.

18.如图所示,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为点B,点D是⊙O上的一

点,且AD∥OC.

求证:AD·BC=OB·BD.

19.如图所示,在⊙O中,CD过圆心O,且CD⊥AB于D,弦CF交AB于E.

求证:CB2=CF·CE.

8

拓展、探究、思考

20.已知D是BC边延长线上的一点,BC=3CD,DF交AC边于E点,且AE=2EC.试

求AF与FB的比.

21.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AH⊥BC于H,以AB和AC为边在

Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE,试判断△BDH与△AEH是否相似,并说明理由.

22.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,P是AB上一点,且点P不与点A重合,

过点P作PE⊥AB交AC于E,点E不与点C重合,若AB=10,AC=8,设AP=x,四边形PECB的周长为y,求y与x的函数关系式.

9

测试4 相似三角形应用举例

学习要求

能运用相似三角形的知识,解决简单的实际问题.

课堂学习检测

一、选择题

1.已知一棵树的影长是30m,同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m,则这棵树的

高度是( )

A.15m B.60m C.20m D.10m

2.一斜坡长70m,它的高为5m,将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下,停下地

点的高度为( )

A.11m 7B.10m 7C.9m 7D.3m 2

3.如图所示阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户

下檐距地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB为(

)

第3题图

A.1.5m B.1.6m C.1.86m D.2.16m

4.如图所示,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距离墙角1.6m,梯上点D距离墙1.4m,BD长0.55m,则梯子长为(

)

A.3.85m B.4.00m D.4.50m

二、填空题

5.如图所示,为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2m的标杆,现

测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20m,FD=4m,EF=1.8m,则树AB的高度为______m.

第4题图 C.4.40m

第5题图

6.如图所示,有点光源S在平面镜上面,若在P点看到点光源的反射光线,并测得AB 10

=10m,BC=20cm,PC⊥AC,且PC=24cm,则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm.

第6题图

三、解答题

7.已知:如图所示,要在高AD=80mm,底边BC=120mm的三角形余料中截出一个

正方形板材PQMN.求它的边长.

8.如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽),一学生座位到黑板的距离是5m,教师在黑板上写多大的字,才能使该学生望去时,同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?

综合、运用、诊断

9.一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m,但当

他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图所示,他先测得留在墙上的影高为1.2m,又测得地面部分的影长为5m,请算一下这棵树的高是多少

?

10.(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图,AB∥A′B′),可以知道物像A′B′的长与

物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?

11

11.在一次数学活动课上,李老师带领学生去测教学楼的高度,在阳光下,测得身高为

1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m,与此同时,测得教学楼DE的影长DF为12.1m,如图所示,请你根据已测得的数据,测出教学楼DE的高度.(精确到

0.1m)

12.(1)已知:如图所示,矩形ABCD中,AC,BD相交于O点,OE⊥BC于E点,连

结ED交OC于F点,作FG⊥BC于G点,求证点G是线段BC的一个三等分点.

(2)请你仿照上面的画法,在原图上画出BC的一个四等分点.(要求:写出作法,保留画图痕迹,不要求证明

)

测试5 相似三角形的性质

学习要求

掌握相似三角形的性质,解决有关的计算或证明问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.相似三角形的对应角______,对应边的比等于______.

2.相似三角形对应边上的中线之比等于______,对应边上的高之比等于______,对应

角的角平分线之比等于______.

3.相似三角形的周长比等于______.

12

4.相似三角形的面积比等于______.

5.相似多边形的周长比等于______,相似多边形的面积比等于______.

6.若两个相似多边形的面积比是16∶25,则它们的周长比等于______.

7.若两个相似多边形的对应边之比为5∶2,则它们的周长比是______,面积比是

______.

8.同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______,面积比是______.

9.同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______,面积比是______.

10.同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______,面积比是______.

11.正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______,面积比是______.

12.在比例尺1∶1000的地图上,1cm2所表示的实际面积是______.

二、选择题

13.已知相似三角形面积的比为9∶4,那么这两个三角形的周长之比为( )

A.9∶4 B.4∶9 C.3∶2 D.81∶16

14.如图所示,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,AE交BD于点Q,若

△DQE的面积为9,则△AQB的面积为(

)

A.18 B.27 C.36 D.45

15.如图所示,把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分的面积是

△ABC面积的一半,若AB?2,则此三角形移动的距离AA'是(

)

A.2?1 B.2 C.1 D.1 2

三、解答题

16.已知:如图,E、M是AB边的三等分点,EF∥MN∥BC.求:△AEF的面积∶四

边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积.

13

综合、运用、诊断

17.已知:如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是角平分线.

(1)求证:AD=CD·AC;

(2)若AC=a,求AD.

18.已知:如图,□ABCD中,E是BC边上一点,且BE?

点.

21EC,BD,AE相交于F2

(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比;

(2)若△BEF的面积S△BEF=6cm2,求△AFD的面积S△AFD.

19.已知:如图,Rt△ABC中,AC=4,BC=3,DE∥AB.

(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时,求CD的长;

(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时,求CD的长.

拓展、探究、思考

20.已知:如图所示,以线段AB上的两点C,D为顶点,作等边△PCD. 14

(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB.

(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB.

21.如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于O点,若S△AOD∶S△DOC

=2∶3,求S△AOB∶S△COD.

22.已知:如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,AB=3,BC=11,DC=6.请

问:在BC上若存在点P,使得△ABP与△PCD相似,求BP的长及它们的面积比.

测试6 位 似

学习要求

1.理解位似图形的有关概念,能利用位似变换将一个图形放大或缩小.

2.能用坐标表示位似变形下图形的位置.

课堂学习检测

1.已知:四边形ABCD及点O,试以O点为位似中心,将四边形放大为原来的两倍.

(1) (2)

15

(3)

(4)

2.如图,以某点为位似中心,将△AOB进行位似变换得到△CDE,记△AOB与△CDE对

应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为(

)

A.(0,0),2

B.(2,2),1 2

C.(2,2),2

D.(2,2),3

综合、运用、诊断

3.已知:如图,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,2),B(-2,-4),C(6,-2),D(2,

4).试以O点为位似中心作四边形A'B'C'D′,使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1∶2,并写出各对应顶点的坐标.

16

4.已知:如下图,是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形,其B,C,D

点的坐标分别为(1,2),(1,1),(3,1).

(1)求E点和A点的坐标;

(2)试以点P(0,2)为位似中心,作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1,并写出各对应点的坐标;

(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后,再作关于x轴的对称图形,得到图形A2B2C2D2E2,这时它的各顶点坐标分别是多少?

拓展、探究、思考

5.在已知三角形内求作内接正方形.

6.在已知半圆内求作内接正方形.

17

答案与提示

第二十七章 相 似

测试1

1.形状相同的图形.

2.其中两条线段的比,另两条线段的比相等,比例线段.

3.对应角相等,对应边的比相等.

4.对应边的比,全等,1? k

5.对应角相等,对应边的比相等.

6.两个内项之积等于两个外项之积,ad=bc.

57.3∶2. 8.? 9.1. 10.1 000. 2

11.C. 12.B. 13.C.

14.(1)k=2∶3;(2)A'B'=9,BC=8;(3)3∶2.

15.AD?3050,AE?? 77

16.相似.

17.x?255时,S的最大值为? 22

测试2

1.相似,A点,B点,C点,∠B,EF,DE.

12.≌,2,? 2

3.∽;k1k2.

4.一边的直线,构成的三角形,相似.

5.①△ABC;②AC,DE;③EC,CE.

6.(1)ADCDCAACADCDBCBDCD??; (2)??; (3)??? CDBDBCABACBCBABCAC

7.9.375cm.

8.(1)提示:过A点作直线AF'∥DF,交直线BE于E',交直线CF于F'.

(2)7.5.

9.提示:PA∶PB=PM∶PN,PC∶PO=PM∶PN.

10.OF=6cm.提示:△DEF∽△BCF.

11.(1)AF1?; (2)1∶2k. BF2

测试3

1.平行于,直线,相交.

2.三组,比相等.

3.两组,相应的夹角.

4.两个,两个角对应相等.

5.△ABC∽△A'C'B',因为这两个三角形中有两对角对应相等.

6.△ABC∽△A'B'C'.因为这两个三角形中有两对角对应相等.

7.△ABC∽△A'B'C',因为这两个三角形中,有两组对应边的比相等,且相应的夹角相 18

等.

8.△ABC∽△DFE.因为这两个三角形中,三组对应边的比相等.

9.6对. 10.6对.

11.D. 12.D. 13.A.

14.(1)△ADC∽△CDB,△ADC∽△ACB,△ACB∽△CDB;

(2)略; (3)AC?25,BC?45,CD?4; (4)AD?3,CD?33,BC?6;

(5)提示:AC·BC=2S△ABC=AB·CD.

15.提示:(1)OD∶OA=OF∶OC,OE∶OB=OF∶OC;

(2)OD∶OA=OE∶OB,∠DOE=∠AOB,得△ODE∽△OAB;

(3)证DF∶AC=EF∶BC=DE∶AB.

16.略.

17.提示:连结AE、ED,证△ABE∽△ECD.

18.提示:关键是证明△OBC∽△ADB.

∵AB是⊙O的直径,∴∠D=90°.

∵BC是⊙O的切线,∴OB⊥BC.

∴∠OBC=90°.∴∠D=∠OBC.

∵AD∥OC,∴∠A=∠BOC.∴△ADB∽△OBC.

?ADBD??∴AD·BC=OB·BD. OBCB

19.提示:连接BF、AC,证∠CFB=∠CBE

AF1??提示:过C作CM∥BA,交ED于M. FB2

BHBA21.相似.提示:由△BHA∽△AHC得?,再有BA=BD,AC=AE. AHAC

BHBD则:?,再有∠HBD=∠HAE,得△BDH∽△AEH. AHAE

3PEAP22.y??x?24.提示:可证△APE∽△ACB,则?? 2BCAC20.

则PE?3535x,AE?x,y?x?(8?x)?6?(10?x). 4444

测试4

1.A. 2.B. 3.A. 4.C.

5.3. 6.12.

7.48mm.

8.教师在黑板上写的字的大小约为7cm×6cm(高×宽).

9.树高7.45m.

10.A?B??1AB. 3

11.∵EF∥AC,∴∠CAB=∠EFD.

19

又∠CBA=∠EDF=90°,∴△ABC∽△FDE.

?BCBABC?DF1.65?12.1???DE???18.2(m) DEDFBA1.1

故教学楼的高度约为18.2m.

12.(1)提示:先证EF∶ED=1∶3.(2)略.

测试5

1.相等,相似比. 2.相似比、相似比、相似比.

3.相似比. 4.相似比的平方.

5.相似比.相似比的平方. 6.4∶5.

7.5∶2,25∶4. 8.1∶2,1∶4.

9.1:2,1:2. 10.:2,3:4.

11.3:2,3:4. 12.100m2.

13.C. 14.C. 15.A. 16.1∶3∶5.

17.(1)提示:证△ABC∽△BCD;(2)?1a. 2

24? 7

20.(1)CD2=AC·DB;(2)∠APB=120°. 21.4∶9 18.(1); (2)54cm2. 19.(1)22; (2)13

22.BP=2,或11,或9. 3

当BP=2时,S△ABP∶S△PCD=1∶9; 当BP?11时,S△ABP∶S△DCP=1∶4; 3

当BP=9时,S△ABP:S△PCD=9∶4.

测试6

1.略. 2.C.

3.图略.A'(-2,1),B'(-1,-2),C'(3,-1),D'(1,2).

4.(1)E(3,2),A(2,2?3); (2)A1(6,2?33).B1(3,2),C1(3,-1),D1(9,-1),E1(9,2); (3)A2(10,?2?3),B2(7,-2),C2(7,1),D2(13,1),E2(13,-2).

5.方法1:利用位似形的性质作图法(图

16)

图16

作法:(1)在AB上任取一点G',作G'D'⊥BC;

(2)以G'D'为边,在△ABC内作一正方形D'E'F'G'; 20

(3)连结BF',延长交AC于F;

(4)作FG∥CB,交AB于G,从F,G各作BC的垂线FE,GD,那么DEFG就是所求作的内接正方形.

方法2:利用代数解析法作图(图

17)

图17

(1)作AH(h)⊥BC(a);

(2)求h+a,a,h的比例第四项x;

(3)在AH上取KH=x;

(4)过K作GF∥BC,交两边于G,F,从G,F各作BC的垂线GD,FE,那么DEFG就是所求的内接正方形.

6.提示:

正方形EFGH即为所求.

第二十七章 相似全章测试

一、选择题

1.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若AD=1,DB=2,则DE的值为(

) BC

第1题图

A.2 3B.1 41C. 3D.1 2

2.如图所示,△ABC中DE∥BC,若AD∶DB=1∶2,则下列结论中正确的是( ) 21

第2题图

A.DE1? BC2 B.?ADE的周长1? ?ABC的周长2

?ADE的周长1? ?ABC的周长3C.?ADE的面积1? ?ABC的面积3D.

3.如图所示,在△ABC中∠BAC=90°,D是BC中点,AE⊥AD交CB延长线于E点,

则下列结论正确的是(

)

A.△AED∽△ACB

C.△BAE∽△ACE 第3题图 B.△AEB∽△ACD D.△AEC∽△DAC

4.如图所示,在△ABC中D为AC边上一点,若∠DBC=∠A,BC?,AC=3,

则CD长为(

)

第4题图

A.1 B.3 25 2C.2 D.

5.若P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点,过点P作直线截△ABC,截得的

三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线共有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

6.如图所示,△ABC中若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是( )

22

第6题图

ADDE ?DBBC

AEBFC. ?ECFCA. B.D.BFEF ?BCADEFDE ?ABBC

7.如图所示,⊙O中,弦AB,CD相交于P点,则下列结论正确的是(

)

第7题图

A.PA·AB=PC·PB B.PA·PB=PC·PD

C.PA·AB=PC·CD D.PA∶PB=PC∶PD

8.如图所示,△ABC中,AD⊥BC于D,对于下列中的每一个条件

第8题图

①∠B+∠DAC=90° ②∠B=∠DAC

③CD:AD=AC:AB ④AB2=BD·BC

其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有( )

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

二、填空题

9.如图9所示,身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处,测得她在灯光下的影长

CD为2.5m,则路灯的高度AB为______.

图9

23

10.如图所示,△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD边上一点,且

射线CF交AB于E点,则AF等于______.

FDAE1?,EB6

第10题图

11.如图所示,△ABC中,DE∥BC,AE∶EB=2∶3,若△AED的面积是4m2,则四

边形DEBC的面积为______.

第11题图

12.若两个相似多边形的对应边的比是5∶4,则这两个多边形的周长比是______.

三、解答题

13.已知,如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.

(1)求证:△ABD∽△CBA;

(2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.

14.已知:如图,AB是半圆O的直径,CD⊥AB于D点,AD=4cm,DB=9cm,求

CB的长.

24

15.如图所示,在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC,试

在这个网格上画一个与△ABC相似,且面积最大的△A1B1C1(A1,B1,C1三点都在格点上),并求出这个三角形的面积.

16.如图所示,在5×5的方格纸上建立直角坐标系,A(1,0),B(0,2),试以5×5的

格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1),并写出C点的坐标.

17.如图所示,⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交

BC的延长线于D点,OC交AB于E点.

(1)求∠D的度数;

(2)求证:AC2=AD·CE.

18.已知:如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点

(不与B,C点重合),∠ADE=45°.

25

(1)求证:△ABD∽△DCE;

(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式;

(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

19.已知:如图,△ABC中,AB=4,D是AB边上的一个动点,DE∥BC,连结DC,

设△ABC的面积为S,△DCE的面积为S′.

(1)当D为AB边的中点时,求S′∶S的值;

S?(2)若设AD?x,?y,试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围. S

20.已知:如图,抛物线y=x2-x-1与y轴交于C点,以原点O为圆心,OC长为半

径作⊙O,交x轴于A,B两点,交y轴于另一点D.设点P为抛物线y=x2-x-1上的一点,作PM⊥x轴于M点,求使△PMB∽△ADB时的点P的坐标.

21.在平面直角坐标系xOy中,已知关于x的二次函数y=x2+(k-1)x+2k-1的图象

与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3).

求这个二次函数的解析式及A,B两点的坐标.

26

22.如图所示,在平面直角坐标系xOy内已知点A和点B的坐标分别为(0,6),(8,0),

动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t秒.

(1)求直线AB的解析式;

(2)当t为何值时,△APQ与△ABO相似?

(3)当t为何值时,△APQ的面积为24个平方单位? 5

23.已知:如图,□ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(不

与B点重合),作EF⊥AB于F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.

(1)求证:△BEF∽△CEG;

(2)求用x表示S的函数表达式,并写出x的取值范围;

(3)当E点运动到何处时,S有最大值,最大值为多少?

27

答案与提示

第二十七章 相似全章测试

1.C. 2.D. 3.C. 4.C. 5.C. 6.C. 7.B. 8.A.

19.4.8m. 10.? 11.21m2. 12.5∶4. 3

13.(1)ABBD?,?ABD??CBA,得△HBD∽△CBA; CBBA

(2)△ABC∽△CDE,DE=1.5.

14.3cm.提示:连结AC.

15.提示:A1C1?52,A1B1?,B1C1?25.△A1B1C1的面积为5.

16.C(4,4)或C(5,2).

17.提示:(1)连结OB.∠D=45°.

(2)由∠BAC=∠D,∠ACE=∠DAC得△ACE∽△DAC.

18.(1)提示:除∠B=∠C外,证∠ADB=∠DEC.

(2)提示:由已知及△ABD∽△DCE可得CE?

2x?1.(其中0?x?2x?x2.从而y=AC-CE=x2- 2).

(3)当∠ADE为顶角时:AE?2?2.提示:当△ADE是等腰三角形时,

△ABD≌△DCE.可得x?2?1.

当∠ADE为底角时:AE?

19.(1)S'∶S=1∶4; 1? 2

x21?x(0?x?4). (2)y??4

20.提示:设P点的横坐标xP=a,则P点的纵坐标yP=a2-a-1.

则PM=|a2-a-1|,BM=|a-1|.因为△ADB为等腰直角三角形,所以欲使△PMB∽△ADB,只要使PM=BM.即|a2-a-1|=|a-1|.不难得a1=0. a2?2.a3?2.a4??2.

∴P点坐标分别为P1(0,-1).P2(2,1).P3(2,1?2).P4(?2,1?2).

21.(1)y=x2-2x-3,A(-1,0),B(3,0); (2)D(,?)或D(1,-2).

22.(1)y??34943x?6; 4

28

3050或; 1113

(3)t=2或3.

23.(1)略; (2)t?

(2)S??32113x?x(0?x?3); (3)当x=3时,S最大值?3.

29

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