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奥数练习四

发布时间:2013-10-20 09:46:45  

奥数练习

?111???xy?z2??111?8.方程组??

?yz?x3

?111????zx?y4①②的解是________. ③??x?y?(x?2)(y?3)?349.方程组?的解为________. 22??(x?y)?(y?3)?741?(x?2)(y?3)?x?y?z?9?210.方程组?x?y2?z2?41?333x?y?z?189?

参考答案 ①②的解的个数为________. ③

?xy?xz?2(x?y?z)?8.原方程组化为?yz?yx?3(x?y?z) ?zx?zy?4(x?y?z).?

令x+y+z=k,代入得

?xy?zx?2k??yz?xy?3k

?zx?yz?4k?

由①+②+③得

xy?yz?zx?①② ③9k ④ 2

由④分别减去①、②、③得

1?xy?k?2?5??yz?k2?3?zx?k.?2?⑤⑥ ⑦

由⑤×⑥×⑦得

xyz?k30k. ⑧ 4

由⑧分别除以⑤、⑥、⑦得

??x?

????y?

???z???30k1030k6k.2⑨⑩ 11

将⑨、⑩、11代入x+y+z=k得k?529.从而原方程组的解为 30

23?x??10?23? ?y?6?23?z?.?2?

9.设x+2=u,y+3=v,则原方程组变为 ??u?v??39 ?22??u?v?uv?741

又设u+v=s,uv=t,则原方程组又变形为

??s?t?39?2??st=741.

由②÷①得

s??19. ③

?s?29由①、③得? ?t?100.①②

?u1?25?u2?4?u?v?29∴ ?解之得?或? v?4v?25.uv?100??1?2

?x?2?25?x?2?4∴ ?或? ?y?3?4?y?3?25.

?x1?23∴ 原方程组之解为? y?1,?1?x2?2 ?y?22.?2

10.由①、②联立得

xy+yz+xz=20 ④

x3?y3?z3?3xyz?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx)

∴ 189-3xyz=9(41-20).

∴ xyz=0.

?y?4?y?5∴ x=0或y=0或z=0.把x=0分别代入式①、④得? ? ?z?5,?z?4.

又由于原方程组是关于x、y、z的对称方程组,故原方程组有6组解.

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