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希望杯第二届(1991年)初中二年级第二试试题

发布时间:2013-10-20 11:42:00  

希望杯第二届(1991年)初中二年级第二试试题

一、选择题:(每题1分,共10分)

1.如图29,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N为线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN∶PQ等于

A.1 ; B.2; C.3; D.4

2.两个正数m,n的比是t(t>1).若m+n=s,则m,n中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.( ) tss; D.. 1?s1?t

3.y>0时

( )

4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a,b,c的关系可以写成( )

A.a<b<c. B.(a-b)2+(b-c)2=0. C.c<a<b. D.a=b≠c

5.如图30,AC=CD=DA=BC=DE.则∠BAE是∠BAC的 ( )

A.4倍. B.3倍. C.2倍. D.1倍

6.D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点,则AD,BD,CD满足关系式( )

A.AD2=BD2+CD2. B.AD2>BD2+CD2. C.2AD2=BD2+CD2. D.2AD2>BD2+CD2

7.方程x?1?219(x?)的实根个数为( ) 1010

A.4 B.3. C.2 D.1

x3y3

22?8.能使分式的值为

x、y的值是( ) yx

A.x,yy;

C. x,y; D. xy.

9.在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中,设质数的个数为x,偶数的个数为y,完全平方数的个数为z,合数的个数为u.则x+y+z+u的值为 ( )

A.17 B.15. C.13 D.11 2

2

2

2

2

2

2

2

10.两个质数a,b,恰好是x的整系数方程x-21x+t=0的两个根,则

A.2213; B.2ba?等于( ) ab365240258; C.; D.. 384921二、填空题(每题1分,共10分)

1.1989×19911991-1991×19891988=______.

2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______.

3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______.

4.边数为a,b,c的三个正多边形,若在每个正多边形中取一个内角,其和为180,那么0111??=_________. abc

?x?ay?55.方程组?有正整数解,则正整数a=_______. y?x?1?

6.从一升酒精中倒出

倒 出1升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再311升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出升混合液, 并加入等量的水,这时,33

所得混合液中还有______升酒精.

7.如图31,在四边形ABCD中.AB=6厘米,BC=8厘米,CD=24厘米,DA=26厘米.且

∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积是______.

8.如图32,∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______.

9.x??2x?的最小值的整数部分是______.

10.已知两数积ab≠1.且

2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则a=______. b

三、解答题:(每题5分,共10分,要求:写出完整的推理、计算过程,语言力求简明,字迹与绘图力求清晰、工整)

1. 已知两个正数的立方和是最小的质数.求证:这两个数之和不大于2.

2.一块四边形的地(如图33)(EO∥FK,OH∥KG)内有一段曲折的水渠,现在要把这段水渠EOHGKF改成直的.(即两边都是直线)但进水口EF的宽度不能改变,新渠占地面

积与原水渠面积相等,且要尽可能利用原水渠,以节省工时.那么新渠的两条边应当怎么作?写出作法,并加以证明.

答案与提示

一、选择题

提示:

3.由y>0,可知x<0.故选(C).

4.容易看到a=b=c时,原式成为3(x+a)2,是完全平方式.故选(B).

5.△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A).

6.以等边三角形为例,当D为BC边上的中点时,有AD2>BD2+CD2,当D为BC边的端点时,有AD2=BD2+CD2,故有2AD2>BD2+CD2.故选(D).

故选(C).

∴选(C).

9.∵x=4,y=5,z=4,u=4.∴选(A).

10.由a+b=21,a,b质数可知a,b必为2与19两数.

二、填空题

提示:

1.1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988) =1989×1991-1991×1988=1991.

2.原式

=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc =(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)

=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c).

3.原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]

∴平方根为±(a+c).

4.正多边形中,最小内角为60°,只有a,b,c均为3时,所取的内角和才可能为180°.

5.两式相加有

(1+a)y=6,因为a,y均为正整数,故a的可能值为5,这时y=1,这与y-x=1矛盾,舍去;可能值还有a=2,a=1,这时y=2,y=3与y-x=1无矛盾.

∴a=1或2.

7.在直角三角形ABC中,由勾股定理可知AC=10cm,在△ADC中,三边长分别是10,24,26,由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形.从而有面积为

8.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6,正好是以∠2,∠3,∠5为3个内角的四边形的4个内角之和.

∴和为360°.

10.由已知条件可知

a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根,b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根,后者还可以看成:

三、解答题

1.设这两个正数为a,b.则原题成为已知a3+b3=2,求证a+b≤2.

证明(反证法):

若a+b>2由于a3+b3=2,必有一数小于或等于1,设为b≤1,→a>2b,这个不等式两边均为正数,→a3>(2-b)3.

→a3>8-12b+6b2-b3.

→a3+b3>8-12b+6b2.

→6b2-12b+6<0.

→b2-2b+1<0.

→(b-1)2<0. 矛盾.

∴a+b≤2.即本题的结论是正确的.

2.本题以图33为准.

由图34知OK∥AB,延长EO和FK,即得所求新渠.这时,HG=GM(都等于OK),且OK∥AB,故△OHG的面积和△KGM的面积相同.即新渠占地面积与原渠面积相等.而且只挖了△KGM这么大的一块地.

我们再看另一种方法,如图35.

作法:①连结EH,FG.

②过O作EH平行线交AB于N,过K作FG平行线交于AB于M.

③连结EN和FM,则EN,FM就是新渠的两条边界线.

又:EH∥ON

∴△EOH面积=△FNH面积.

从而可知左半部分挖去和填出的地一样多,同理,右半部分挖去和填出的地也一样多.即新渠面积与原渠的面积相等.

由图35可知,第二种作法用工较多(∵要挖的面积较大).

故应选第一种方法。

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