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2009六年级组初试试卷解答

发布时间:2013-10-21 08:03:33  

2009“数学解题能力展示”读者评选活动

六年级组初试试卷解答

一、

1. 计算25??

答案:12 解答:由111??1???????____________。 1?33?55?723?25??11?11??????,得: n?(n?2)2?nn?2?

111??125????????23?25??1?33?55?7

1?1111111??25???1??????????2?335572325?

1?1??25???1??2?25?

?12

2. 有10个同心圆,任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径。如果射击时

命中,那么最里面的小圆得10环,命中最外面的圆得1环。得1环圆环的面积是10环圆面积的________倍。

答案:19

解答: 10个同心圆的半径比是1:2:3:4:5:6:7:8:9:10,得1环圆环的面积

102???92???19倍。

是10环圆面积的12??

3. 有一批图书总数在1000本以内,若按24本书包成一捆,则最后一捆差2本;若按28

本书包成一捆,最后一捆还差2本书;若按32本包一捆,则最后一捆是30本。你们这批图书共有________本。

答案:670

解答:如果多两本书,那么不论是24、28还是32本每捆打包,总能刚好打成捆,这样

图书总数同时是24、28、32的整数倍。由于[24,28,32]=672,且图书总数在1000以内,故增加两本后图书总数就是672,原图书总数是670.

4. 如果甲商品价格的25%比乙商品价格的25%多25%;那么,乙的价格比甲的价格少_____% 答案:20

解答:甲商品的价格的25%比乙商品价格的25%多25%,也就是甲商品价格比乙商品价

格多25%,把乙的价格当成1份,则甲的价格是1.25份,从而乙的价格比甲的价格少

1.25?1?100%?20%。 1.25

5. 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状,右图中所示的只是3个五边形。那么要完

成这一圈共需____________个正五边形。

答案:10

解答:正五边形的每个内角的度数为(5-2)×180°÷5=108°,因此内部多边形的每个内角都是360°-108°×2=144°,由于多边形外角和为360°,因此此多边形边数为360°÷(180°-144°)=10,即需要10个正五边形。(另解:可由多边形内角和公式,144°×n=180°×(n-2),解得n=10)

二、

8?9?109?10?1110?11?1211?12?13???6. 计算:?_______________。 ???78910

答案:6

解答:解法一:由8?9?101?2?36?3??3?,类似可得777

9?10?11610?11?12611?12?136 ?3?;?3?;?3?88991010;

6??6??6??6??原式分子??3????3????3????3??7??8??9??10??

6666???? 78910

?6?分母

所以原式=6

解法二:

?9101112?原式分子?3???????78910?

2??222?3??1?1?1?1??78910?

?2222??3???????78910?

?1111??3?2???????78910?

?6?分母

所以原式=6

7. 将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中,每个格子最多放一枚,如果要求每行

每列都有棋子,那么共有_________种不同放法。

1234

5678

91

01112

答案:432

解答:解法一:

5枚棋子放四行,每行都有,一定是有一行2枚,另三行每行各1枚;同理,有一列2枚,另三列每列各1枚;

(1) 如图1,1行2枚和1列2枚有1枚有重复的。

按①,②,③,④⑤的顺序选格,有:

16×3×3×2=288(种)

(2) 如图2,1行2枚和1列2枚有1枚无重复的。

按⑤,“标志格”的顺序选格,有:16×9=144(种)

综上所述,共288+144=432(种)。

①②③

⑤标①②③④⑤

图1 图2

解法二:

2显然必有一行放了两枚棋子,选出该行有4种选法,然后确定那行的两棋子位置有C4?6种

放法(不妨设它们是图1中的①,②)。还余下三枚:

(1) 如果三枚中有1枚③与①,②之一同列,它有6种放法,余下两枚有2种放法;

(2) 如果三枚都不在①,②所在的两列,则它有6种放法;

所以一共有6×4×(6×2+6)=432种不同的放法。

8. 在算式,??(A?B)△(C○D)△,○代表的是三个互不相同的四则运算符号(即加、减、乘、除),A,B,C,D是4个互不相同的非零阿拉伯数字。如果无论??△,○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号,的计算结果都是整数。那么,(A?B)△(C○D)

四位数ABCD是______________.

答案:9321

解答:容易看出A一定是B的倍数,二C一定是D得倍数。

如果D至少是2,那么C至少是4,考虑算式(A-B)÷(C×D),可知只能是D=2,C=4,A=9,B=1,但此时(9×1)÷(4-2)不是整数,不满足要求。

因此D只能是1,考虑算式(A-B)÷(C×1)和(A-B)÷(C+1)可知A-B是C和C+1的倍数,由于(C,C+1)=1,所以A-B是C×(C+1)的倍数,从而C=2,A-B=6,再由A是B的倍数可知A=9,B=3,于是ABCD=9321

9. 如果一个五位数,它的各位数字成积恰好是他的各位数字和的25倍。那么,这个五位数的最大值是____________。

答案:75531

解答:解法一:该五位数数字和不可能为0,所以数字中无0;数字乘积要是数字和的25倍,所以至少两个5.设另三个数字为a≥b≥c,则有:

a?b?c?5?5?(a?b?c?5?5)?25,即a?b?c?a?b?c?10

(1) 若a=9,则a?b?c?10至少21,至多37,从而b×c=3或4,均无解;

(2) 若a=8,则a?b?c?10至少20,至多37,从而b×c=3或4,均无解;

(3) 若a=7,则a?b?c?10至少19,至多37,从而b×c=3或4或5:

b×c=3,得b=3,c=1,恰好满足,此时的最大值75531;

b×c=4,b+c为28-10-7=11,无解;

b×c=5,b+c为35-10-7=18,无解。

综上所述,这个五位数的最大值是75531.

解法二:(这里我们将求出五位数的所有可能值!)

同解法一,类似可得

a?b?c?a?b?c?10(*)

(1) 当c≥2时:

若b=2,则c=2,代入(*)式中,可求得a=14,不是整数; 3

若b≥3,则等式左边≥3×2×a=6a,又等式右边≤3a+10,因此可得

6a≤3a+10,又a≥b≥3,所以a=3,于是b=3,代回(*)式中求得c=2;

(2) 当c=1时,代入(*)式,得ab=a+b+11,即(a-1)(b-1)=12,解得

?a?7?a?5或?; ??b?3?b?4

所以(a,b,c)的所有可能值是(3,3,2)、(7,3,1)、(5,4,1),原五位数最大是75531.

10. 将1个1,2个2,3个3,??,8个8,9个9填入右图的表格中,使得相同的数所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边);现在已经给出了其中8个方格中的数,并且知道A,B,C,D,E,F,G各不相同;那么,七位数ABCDEFG是__________________.

7

ABCDEFG

2

31

5

8

9

7

AB3

3

32EFG21

5

8

9

答案:6732489

解答:A,B,C,D,E,F,G中不可能有1,也不可能有5,只能是2、3、4、6、7、8、9各一个。容易确定2个2和3个3的位置,如图。注意到9只能填在A或者G,而且一定要沿着表格的边界填。如果A填9,那么8不能填在F或G,否则9右边的两格不能填,因此8只能填在B,容易验证此时不可能。因此G=9,剩下容易得到F=8,E=4,则五位数44

CDEFG是32489.

三、

11. 如图,有一个棱长为10厘米的正方体铁块,现已在每个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行于正方体的棱),且穿透。另有一个长方体容器,从内部量,长,宽,高分别为15厘米,12厘米,9厘米,内部有水,水深3厘米。若将正方体铁块放入长方体容器,铁块在水下部分的体积为_____________立方厘米。

答案:315

解答:把铁块放入“高度”分为下面3厘米和上面7厘米两部分:

先把下面3厘米(等于原来水的高度!)放入水中,排开的水的体积等于该部分铁块体积: (102?42)?3?252(立方厘米);

再把余下部分也放入水中,叠在高为3厘米的那部分铁块上面,考虑水在3厘米以上的部分,该部分底面积为15?12?4?32?144立方厘米,体积即为252立方厘米,所以水 面一共上升的高度为252÷144=1.75厘米;

所以铁块在水下的体积等于所有被铁块排开的水的体积为15×12×1.75=315(立方厘米)。

12. 对于有1~5组成的无重复数字的五位数,如果它的首位数字不是1,那么可以进行如下的一次置换操作:记首位数字为k,则将数字k与第k位上的数字对换。例如,24513可以进行两次置换:24513?42513?12543。可以进行4次置换的五位数有_________个。

答案:24

解答:

注意到每次置换后,首位数字换到了第k位后在之后的置换过程中不会再改变,因此4次置换过程中出现的5个五位数的首位数字互不相同,其中第五个数的首位是1.

设这五个五位数的首位数字依次是a,b,c,d,1,则可倒推得第一个五位数从左向右1在第d位,d在第c位,c在第b位,b在第a位,a在剩下的位置。因此任意一组a,b,c,d的取值都对应一个满足要求的五位数,于是可以进行4次置换的五位数共有4!=24个。

13. A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上,甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发,甲、乙向东,丙向西;乙、丙在距离B地18千米处相遇,甲、丙在B地相遇,而当甲在C地追上乙时,丙已走过B地32千米。那么,AC间的路程是___________千米。

答案:120

解答:设乙、丙相遇时,丙距C地x千米;乙行这x千米时,丙又行了18+32=50千米,从而18:x=x:50,解得x=30.于是甲、丙速度比为(18+30):32=3:2,所以AC间的路程是(30+18+32)=120千米。

B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边14. 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,

形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是_____________平方厘米。

答案:1148

解答:设六边形面积为1份,则S△A2B6B5?所以B6P:A2P=S△A2B6B5:S△A1A2B5?所以S△A1A2P

1111

÷2?2=,S△A1A2B5??1.5? 62464

11

:=1:6 244

6161

?S△A1A2B6????

712714

??

1?

?6??1148平方厘米。

14?

从而,图中阴影六边形的面积是2009??1-

15. 小明和8个好朋友去李老师家玩。李老师给每人发了一顶帽子,并在每个人的帽子上写了一个两位数,这9个两位数互不相同,且每个小朋友只能看见别人帽子上的数。老师在纸上有写了一个数A,问这9位同学:“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除?知道的请举手。”结果有4人举手。老师又问:“选择你知不知道自己帽子上的数能否被24整除?知道的请举手。”结果有6人举手。已知小明两次都举手了,并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎,那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是______________。 答案:438 解答:第一轮举手的4位同学都知道自己帽子上的数不能被A整除(因为他们不可能知道自己帽子上的数能被A整除),说明这4个同学看到了两位数中所有的A的倍数,因此两位数中A的倍数恰好5个,而且写在没有举手的5位同学的帽子上,由此可知A=17,18或19,且第一轮后,没有举手的五位同学已经知道了自己帽子上的数(举手的4人之所以举手是因为他们都看到了另4个A的倍数)。

第二轮举手的6人中,第一轮没举手的5位同学肯定都举手。小明也举手了,说明小明看到

了所有24的倍数,但是另外3人没有看到,因此另外3人帽子上的数都是24的倍数。而两位数中24的倍数有4个,这说明在5个A的倍数中有一个是24的倍数,因此A不能等于17或19,只能等于18,于是小明看到的数位18,36,54,72,90,24,48,96,总和是438.

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