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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(63)

发布时间:2013-10-24 08:01:10  

加试模拟训练题(63)

1.△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.

求证:OI丄DE,OI=DE.

AIBDC2. 若x为正实数,n为正整数.证明:

其中[t]表示不超过t的最大整数.

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3. 在黑板上写下n个数,每次允许擦掉任意两个数,例如a和b,换成(a+b)/4.这样的运算重复n-1次,结果在黑板上只剩下一个数.证明:若开始时在黑板上写的是n个1,则最后留在黑板上的数不小于1/n.

4.已知p为大于3的素数.且1111a??????,a,b?N,.(a, b)=1,证明pa。 122232(p?1)2b

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加试模拟训练题(63)

1.△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.

求证:OI丄DE,OI=DE.

(1988,中国数学奥林匹克集训题)

分析:辅助线如图所示,作∠DAO平分线交BC于K.

易证△AID≌△AIB≌△EIB,

∠AID=∠AIB=∠EIB.

利用内心张角公式,有

D1 ∠AIB=90°+∠C=105°, AC2 ∴∠DIE=360°-105°×3=45°. I1 ∵∠AKB=30°+∠DAO 2

1B =30°+(∠BAC-∠BAO) 2

1 =30°+(∠BAC-60°) 2

1 =∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2

∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK,

∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高.

同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE.

由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.

2. 若x为正实数,n为正整数.证明:

其中[t]表示不超过t的最大整数.

【题说】第十届(1981年)美国数学奥林匹克题5.

【证】用数学归纳法.当n=1,2时,(1)显然成立.假设(1)对n≤k-1均成立.

kxk=kxk-1+[kx]=(k-1)xk-1+xk-1+[kx] (2)

(k-1)xk-1=(k-2)xk-2+xk-2+[(k-1)x] (3)

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2x2=x1+x1+[2x] (k)

将(2)至(k)式相加,得

kxk=xk-1+xk-2+…+x1+x1+[kx]+[(k-1)x]+…+[2x]

因此,由归纳假定,

kxk≤[kx]+2([(k-1)x]+[(k-2)x]+…+[x])

但是[(k-m)x]+[mx]≤[(k-m)x+mx](m<k),所以

kxk≤[kx]+([(k-1)x)]+[x])+…+([x]+[(k-1)x])≤k[kx]

即xk≤[kx].此即所欲证之(1)式.

3. 在黑板上写下n个数,每次允许擦掉任意两个数,例如a和b,换成(a+b)/4.这样的运算重复n-1次,结果在黑板上只剩下一个数.证明:若开始时在黑板上写的是n个1,则最后留在黑板上的数不小于1/n.

【题说】第二十五届(1991年)全苏数学奥林匹克九年级题2.

【解】易知

所以经过一次运算后,黑板上各数的倒数和不大于运算前的倒数和.最

1111a??????,a,b?N,.(a, b)=1,证明pa。 4.已知p为大于3的素数.且2222123(p?1)b

.证明 对于不超过p-1的自然数k,由于(k, p)=1,所以存在唯一的不超过p-1的自然数x,满足kx?1(modp)。而且,当k=1或p-1有x= k=1或p-1。当2?k?p?2时,有

2?x?p?2,x?k,故当k取遍1,2,……,p-1时,x也取遍1,2,……,p-1。

因为(p,(p?1)!)?1,由kx?1(modp)可得到

(p?1)!kx?(p?1)!(modp)或(p?1)!x?(p?1)!(modp),所以 k

((p?1)!)2ap?1((p?1)!)2p?1

????((p?1)!)2x2

2bkk?1x?1 p(p?1)(2p?1)?((p?1)!)2(modp)6

因为p是大于3的素数,所以p-1不小于4,所以(p-1)!含有因数6,从而

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((p?1)!)2ap(p?1)(2p?1)?0(modp),因为 ((p?1)!)?0(modp),即b62

(p,(p?1)!)?1,所以(p,((p?1)!)2)?1,从而a?0(modp)?a?0(modp) b

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