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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(36)

发布时间:2013-10-24 08:01:11  

加试模拟训练题(36)

1、 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆.

2、 对一切非负整数x、y,函数f(x,y)满足

(1)f(0,y)=y+1;(2)f(x+1,0)=f(x,1); (3)(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)) 试确定f(4,1981).

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3、 在第一行中写有19个不超过88的自然数,第二行写有88个不超过19的自然数,我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段.证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使得这两段数的和相等.

4、证明:不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。

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加试模拟训练题(36)

1、 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于

AB、BC、CD、DA的对称点共圆.

【题说】 第22届(1993年)美国数学奥林匹克题2.

【证】 以E为相似中心作相似变换,相似比为1/2,此变换把E关于AB、BC、

CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S(如图),只

须证明PQRS是圆内接四边形.

由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及ERDS都是圆内接四边形(每个四边形都有一

组对角为直角),由E、P、B、Q共圆,∠EPQ=∠EBQ,由EQCR共圆,有∠ERQ=∠ECQ,于是 ∠EPQ+∠ERQ=∠EBQ+∠ECQ=90o

同理可得 ∠EPS+∠ERS=90o

从而,有∠SPQ+∠QRS=180o,故PQRS是圆内接四边形.

2、 对一切非负整数x、y,函数f(x,y)满足

(1)f(0,y)=y+1; (1)

(2)f(x+1,0)=f(x,1); (2)

(3)(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)). (3)

试确定f(4,1981).

【题说】第二十二届(1981年)国际数学奥林匹克题6.

【解】 令x=0,由(2)与(1)得f(1,0)=f(0,1)=2.

在(3)中令x=0,y=n-1,并利用(1)及前式,有f(1,n)=f(0,f(1,n-1))=f(1,n-1)+1 =n+f(1,0)=n+2 (4)

由(3)、(4)得 f(2,n)=f(1,f(2,n-1))=f(2,n-1)+2=2n+f(2,0)

又 f(2,0)=f(1,1)=1+2=3

所以 f(2,n)=2n+3 (5)

由(3)、(5)得f(3,n)+3=f(2,f(3,n-1))+3=2f(3,n-1)+6

=2[f(3,n-1)+3]=…=2n+3

所以 f(3,n)=2n+3-3 (6)

由(3)、(6)得f(4,n)+3=f(3,f(4,n-1))+

3

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=2f(4,n-1)+3=…=

(共有n个2)

由于 f(4,0)+3=f(3,1)+3=24

所以 f(4,n)=3+

(n+3个2)

故 f(4,1981)=-3+

(1984个2)

3、 在第一行中写有19个不超过88的自然数,第二行写有88个不超过19的自然数,我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段.证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使得这两段数的和相等.

【题说】 第二十二届(1988年)全苏数学奥林匹克八年级题4.

【证】 设a1,a2,…,a19为第一行数;b1,b2,…,b88是第二行数.

记A(i)=a1+…+ai,B(i)=b1+…+bi

假定 A(19)≥B(88)

(对于A(19)<B(88)的情形可类似处理)对于每个i,记ni=min{n;A(n)≥B(i),1≤n≤19}

根据假设,这样的ni是存在的.我们来考察88个差数A(ni)-B(i).显然它们的值为整数,且都在0至87之间,这是因为

如果这88个差数互不相同,则它们之中必有一个为0,于是我们的命题获证.

否则,这88个差数中至少有某两个相等,不妨设i1=l,i2=k,l<k

使得A(nl)-B(l)=A(nk)-B(k),于是就有A(nl)-A(nk)=B(l)-

B(k)

显然,题意中的19、88可以换成任意自然数.

4、证明:不定方程x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0没有有理数解。

解:将方程两边乘以4配方知:原方程等价于(2x?3)?(2y?3)?(2z?3)?7。

上述方程有有理数解等价于不定方程:a?b?c?7m有整数解(a,b,c,m),其中m>0.

若方程有整数解(a,b,c,m),m>0,设m是所有这样的解中最小的正整数。

如果m是偶数,则a?b?c?0(mod4),注意到,完全平方数?0或1(mod4),所以,a,b,c都为偶数,设a?2a1,b?2b1,c?2c1,m?2n,则a1?b1?c1?7n,这表明(a1,b1,c1,n)也是方程的整数解,与m的最小性矛盾。

如果m是奇数,则由于奇数的平方?1(mod8),故a?b?c?7(mod8),这时,当然有2222222222222 2222

a2?b2?c2?3(mod4),由于前面的讨论,可知a,b,c都为奇数,这导致a2?b2?c2?3(mod8),与a?b?c?7(mod8)矛盾。所以方程没有整数解(使m>0的),故原命题成立。 222

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