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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(87)

发布时间:2013-10-24 08:01:11  

加试模拟训练题(87)

1求证:四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上;

2.已知整数列{a0,a1,a2,…}满足:

(1)an+1=3an-3an-1+an-2,n=2,3,…;

(2)2a1=a0+a2-2;

(3)对任意自然数m,在数列{a0,a1,a2,…}中必有相继的m项ak,ak+1,…,ak+m-1都是完全平方数.

求证:{a0,a1,a2,…)的所有项都是完全平方数.

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3.有24个面积为S的全等小矩形,把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形,问小矩形的边长各是多少?

4. 设a

1?0,2an?1?3an?n?1,2,??,证明对于an不可能有某一正整数N,使a2N能被

1989整除.(P.185,32)

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加试模拟训练题(87)

1求证:四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上;

证明:如图,设四条直线AB、BC、CD、AD中,AB交CD于点E,BC交AD于点F,圆BCE与圆CDF的另一个交点为G

??BGF??BGC??CGF??BEC??CDA??BGF??A?180?,即圆ABF过点G同理圆AED也过点G

?圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G

若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P, 由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上,M、N、P在一条直线上,故L、M、N、P在同一条直线上

2.已知整数列{a0,a1,a2,…}满足:

(1)an+1=3an-3an-1+an-2,n=2,3,…; (2)2a1=a0+a2-2;

(3)对任意自然数m,在数列{a0,a1,a2,…}中必有相继的m项ak,ak+1,…,ak+m-1都是完全平方数.

求证:{a0,a1,a2,…)的所有项都是完全平方数. 【题说】1992年中国数学奥林匹克题6. 【证】令dn=an-an-1,则由(1)

dn+1-dn=dn-dn-1=…=d2-d1

所以{dn}是等差数列,从而

由(2),d2-d1=a2-2a1+a0=2,所以

an=n2+bn +c,b、c∈Z

若b为奇数2t+1,则在n充分大时,

大于(n+t)2,小于(n+t+1)2(=(n+t)2+2n+2t+1),因而an不是平方数.而由(3),{an}有任意大的平方数,矛盾!所以b为偶数2t,从而

an=(n+ t)2+c-t2

在c-t2>0时,对于充分大的n,an介于(n+ t)2与(n+t+1)2之间,与(3)矛盾.同 样c-t2<0也导出矛盾(考虑连续平方数(n+t-1)2与(n+t)2).所以c-t2=0,an=(n+ t)2.

【注】(3)可减弱为{an}中有任意大的平方数,即{an}中有无穷多个平方数.

3.有24个面积为S

的全等小矩形,把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形,问小矩形的边长

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各是多少?

【题说】 1980年北京市赛题6.

【解】 设小矩形边长为a、b(不妨令a>b).因大矩形与小矩

形长边包含x1个小矩形的长边与x2个小矩形短边(x1、x2均为非负整数),而大矩形短边包含y1个小矩形的长边与y2个小矩形的短边(y1、y2均为非负整数). 由题意得方程:

用b除上述方程,并解出a/b,得:

方程的左边是整数;仅当x1+y2=0时,右边才是整数.因x1与y2均非负,故x1=y2=0.代入方程(1)、(2)、(3),得:

因此a>b,所以x2>y1.因此y1只能取数值1,2,3,4(x2相应地取数值24,12,8,6).

4. 设a

1?0,2an?1?3an?n?1,2,??,证明对于an不可能有某一正整数N,使a2N能被

1989整除.(P.185,32)

证明 由已知有

2an?1?2an?an??an?2an?0,

得 an?1?an.

又由已知有

2an?1?3an?

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平方得 an?1?3anan?1?an?1?0, 同理 an?3an?1an?an?1?1?0, 这表明an?1,an?1是二次方程

x??3an?x?an?1?0 222222??的两个不等根,得

an?1?an?1??3an, 即 an?1??3an?an?1.

若存在某一正整数N,使a2N能被1989整除,则a2N能被3整除,由

a2N??3a2N?1?a2N?2

知a2N?2能被3整除,如此类推,可得a2能被3整除,但

a2?13a1??1, 2?这一矛盾说明,不存在某一正整数N,使a2N能被1989整除.

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