haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(62)

发布时间:2013-10-24 08:01:13  

加试模拟训练题(62)

1.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.

式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,p表示半周.

2. 设a1≤a2≤?≤a7≤a8是8个给定的实数,且

x=(a1+a2+?+a7+a8)/8;

c

O3

KO2

rb

C

B

1

a

第 1 页 共 5 页

3.给定5×5格的正方形.一个方格中填“-”号,而其余的方格中填“+”号.每次可以取出一个以方格线为边界的多于一个方格的正方形,将其中各格改变符号.问开始时应将“-”号置于哪个方格,才能使得经过若干次变号程序后,正方形中所有方格均成为“+”号?

且满足 4. 设S?{1,2,?,400},T?{a1,a2,?,a200}是S的一子集,

(1)T的任两个数之和不等于401;(2)

?a

i?1

200

i

?38452。

第 2 页 共 5 页

加试模拟训练题(62)

1.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p. 式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,p表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析:设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:

p(p-c)=(p-a)(p-b).

∵p(p-c)=1

2(a+b+c)·1

2(a+b-c) c

OK =13

[(a+b)2-c2O2

4] rb

=1

2ab; E

BraC

(p-a)(p-b)=11

2(-a+b+c)·1

2(a-b+c

)

=1

4[c2-(a-b)2]=1

2ab.

∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形,可得

ra=AF-AC=p-b,

rb=BG-BC=p-a,

rc=CK=p.

而r=1

2(a+b-c)

=p-c.

∴r+ra+rb+rc

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

=4p-(a+b+c)=2p.

由①及图形易证.

2. 设a1≤a2≤?≤a7≤a8是8个给定的实数,且

x=(a1+a2+?+a7+a8)/8;

【题说】1991年中国国家教委数学试验班招生数学题3.

【证】

第 3 页 共 5 页

≥0

并且由柯西不等式,y≥x2,所以

3.给定5×5格的正方形.一个方格中填“-”号,而其余的方格中填“+”号.每次可以取出一个以方格线为边界的多于一个方格的正方形,将其中各格改变符号.问开始时应将“-”号置于哪个方格,才能使得经过若干次变号程序后,正方形中所有方格均成为“+”号?

【题说】第二十五届(1991年)全苏数学奥林匹克九年级题8.

【解】如图所示,不难验证,任何一个取出的正方形都必包含偶数个带斜线的方格.如果“-”号标在带斜线的方格上,那么经过每次的变号程序后,在带斜线的格中仍有奇数个标有“-”号的格(这是因为在所取的正方形中,若2m个带斜线的方格里有k个“-”.变号后,则有2m-k个“-”号,2m-k与k的奇偶性相同),因此不能使所有变格都变为“+”号.将正方形绕中心旋转90°,即知只要起初“-”号不是标在中心那个方格,不论变号程序如何,总不能使所有方格均变为“+”号.

如果“-”号标在中心格,那么经过五次变号程序,即可使5×5格正方形均标“+”号.这五次所取的正方形依次为:(1)左下角3×3的正方形;(2)右上角3×3的正方形;(3)左上角2×2的正方形;(4)右下角2×2的正方形;(5)整个5×5的正方形.

第 4 页 共 5 页

且满足 例题3 设S?{1,2,?,400},T?{a1,a2,?,a200}是S的一子集,

(1)T的任两个数之和不等于401;(2)?a

i?1200i?38452。

证明T中奇数的个数是4的倍数,且T中所有数字的平方和为一定数。 证明 由ai?401?aj对任何1?i,j?200成立知

S?{a1,a2,?,a200}?{401?a1,401?a2,?,401?a200},所以 ?n

n?14002??ai??(401?ai)?2?ai?802?ai?4012?200,即 222i?1i?1i?1i?1

200

i?12200200200200200?401?267?2?ai?802?38452?4012?200

若记T中奇数的个数为x,则将上式关于8取模得

0?2x?0?0(mod8)?x?0(mod4),因此,T中奇数的个数是4的倍数,且求得 ?a

i?1200i?10045852。

第 5 页 共 5 页

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com