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首届(2009年)全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)答案

发布时间:2013-10-25 09:36:21  

首届全国大学生数学竞赛决赛(非数学类,2010)

考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分.

一、 计算(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤).

(1) 求极限limn??n?1?(1?n)sinnk?1kk?2.

其中?

为下半球面z?a?0. (2)

计算???2(3) 现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a元,而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少?

?11?1,?f(x)???sin3x?cos3x,求f(x). (4) 已知f(x)在?42?内满足

二、(10分)求下列极限 11?1

nn??1??a?b?cn?(1) limn??1???e?; (2) lim?n???n???3???n???n??, 其中a?0,b?0,c?0. ???n

三、(10分)设f(x)在x?1点附近有定义,且在x?1点可导, f(1)?0,f?(1)?2. 求f(sin2x?cosx)lim. 2x?0x?xtanx

四、(10分)设f(x)在[0,??)上连续,无穷积分??

01yf(x)dx收敛. 求 lim?xf(x)dx.y???y0

?1?f(0)?f(1)?0,f???1?2?. 证五、(12分)设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且

明:(1) 存在???,1?2?1???使得f(?)??;(2) 存在??(0,?)使得f?(?)?f(?)???1.

六、(14分)设n?1为整数,

?tt2tn?F(x)??e?1???...??dt0n!??1!2!. x?t

n?n,n?F(x)???2??内至少有一个根. 2证明: 方程在

243511f(f(x))?1?x?x?x?xf(x)R七、(12分)是否存在中的可微函数使得 ?若存

在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明.

八、(12分)设f(x)在[0,?)上一致连续,且对于固定的x?[0,?),当自然数n??时f(x?n)?0. 证明: 函数序列{f(x?n):n?1,2,...}在[0,1]上一致收敛于0.

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