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首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案--非数学类

发布时间:2013-10-27 14:01:28  

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案

(非数学类,2009)

一、 填空题

y??(x+y)ln?1+?x=_____________,其中区域D由直线x+y=1(1)计算 ∫∫D?x?y

与两坐标轴所围三角形区域.

(2)设 2f(x)是连续函数,满足 f(x)=3x2?∫f(x)dx?2,则0

f(x)=___________________.

x2

(3) 曲面z=+y2?2 平行平面 2x+2y?z=0 的切平面方程是2

________________________.

(4)设函数 y=y(x)由方程 xef(y)=eyln29确定,其中 f具有二阶导数,

d2y且 f′≠1,则=____________________. dx2

1610[1?f′(y)]2?f′′(y)2答案: ,3x?, 2x+2y?z?5=0,?. 23′153x[1?f(y)]

ex+e2x+??+enxe

x ,其中 n是给定的正整数. 二、求极限 lim(x→0n

eex+e2x+??+enx

解:原式=limln( x→0xn

e(ln(ex+e2x+??+enx)?lnn) =exp{lim x→0x

其中大括号内的极限是 0 型未定式,由 L′Hospital法则,有 0

e(ln(ex+e2x+??+enx)?lnn)e(ex+2ex+??+nenx) =limlim2xxnx0→x→0xxe+e+??+e

=e(1+2+??+n)n+1=()e n2

(n+1)e2于是 原式=e .

三、设函数 f(x)连续,g(x)=∫f(xt)dt,且 lim01x→0f(x)求 g′(x)并=A ,A为常数,x

讨论g′(x)在x=0处的连续性.

解:由题设,知 (0)f=0,g(0)=0.

∫令u=xt,得g(x)=

从而 g′(x)=

由导数定义有 x0f(u)duxx02(x≠0), xf(x)?∫f(u)dux(x≠0)

∫g′(0)=limx→0x0f(u)dux2

x=limx→0f(x)A= 2x2f(u)duf(x)AA0limlimA=?=?==g′(0), 2 0→x→0xxx22x由于 limg′(x)=limx→0x→0xf(x)?f(u)dux0

2

从而知 g′(x) 在 x=0处连续.

四、已知平面区域 D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π} ,L为D的正向边界,试证:

(1)??∫xe

Lsiny?sinysinxdy?ye?sinxdx=??xedy?yedx ; ∫L

siny?sinxxedy?yedx≥(2)??∫L52π. 2

证法一:由于区域D为一正方形,可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.

(1) 左边=

右边=

所以 ∫∫π0ππeπesinydy?∫πeπ0?sinxdx=π∫(esinx+e?sinx)dx , 0π0π?siny0dy?∫πeπ

L0sinxdx=π∫(esinx+e?sinx)dx , ??∫xeLsiny?sinysinxdy?ye?sinxdx=??∫xedy?yedx

(2) 由于 esinx+e?sinx≥2+sin2x ,

?sinx??∫xe

Lsinydy?ye5dx=π∫(esinx+e?sinx)dx≥π2 . 02π

证法二:(1)根据 Green公式,将曲线积分化为区域D上的二重积分

siny?sinxsiny?sinxxedy?yedx=(e+e)dδ ??∫∫∫LD

??∫xe

L?sinydy?yesinxdx=∫∫(e?siny+esinx)dδ D

因为 关于 y=x 对称,所以 ∫∫(e

Dsiny+e?sinx)dδ=∫∫(e?siny+esinx)dδ ,故 D

siny?sinx?sinysinxxedy?yedx=xedy?yedx . ??∫??∫LL

t2n

≥2+t2 (2) 由 e+e=2∑n=0(2n)!t?t∞

52siny?sinxsiny?sinxsinx?sinx()()xedy?yedx=e+edδ=e+edδ≥π. ??∫∫∫∫∫2LDD

x2x?xx?xx2xy=xe+e?ey=xe+ey=xe+e五、已知 1 ,2 ,3是某二阶常系

数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.

解:根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识,由题设可知:e2x?xx与 e是相应齐次方程两个线性无关的解,且 xe是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法

解法一: 故此方程式 y′′?y′?2y=f(x)

将y=xe 代入上式,得

f(x)=(xex)′′?(xex)′?2xex=2ex+xex?ex?xex?2xex=ex?2xex ,

xx因此所求方程为y′′?y′?2y=e?2xe . x

x2x?x解法二:故 y=xe+c1e+c2e ,是所求方程的通解,

xx2x?xxx2x?x由y′=e+xe+2c1e?c2e ,y′′=2e+xe+4c1e+c2e ,消去 c1,c2 得所

xx求方程为 y′′?y′?2y=e?2xe.

2六、设抛物线 y=ax+bx+2lnc过原点,当 0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物

线与x轴及直线 x=1所围图形的面积为

旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

解: 因抛物线过原点,故 c=1 1. 试确定a,b,c, 使此图形绕 x轴3

ab12+=b(1?a) , =.即 ∫03233

11211222V(axbx)dx[aabb] =π+=π++而 ∫0523

12114[aa(1a)=π+?+?(1?a)2]. 5339

dv2128=π[a+?a?(1?a)]=0, 令 da53327

53得 a=? ,代入 b的表达式 得 b=. 所以y≥0, 42由题设有 1(ax2+bx)dx=

d2v228453=π?+=π>|[0a,b,c=1 =?=又因 及实际情况,当52a=?da5327135424

时,体积最小.

七、已知 un(x) 满足

un′(x)=un(x)+xn?1ex(n为正整数), eu=(1)且n,求函数项级数 n∑u(x)之和. n

n=1

n=1∞解:先解一阶常系数微分方程,求出un(x)的表达式,然后再求∑un(x) 的

和.

n?1x由已知条件可知 un′(x)?un(x)=xe 是关于 un(x)的一个一阶常系数线

性微分方程,故其通解为

dx?dxxun(x)=e∫(∫xn?1exe∫dx+c)=ex(+c) , nn

exnex

由条件 un(1)=,得c=0,故un(x)=, nn

∞xnexxn

x=e∑. 从而 ∑un(x)=∑nn=1n=1n=1n∞∞

xn

s(x)=∑,其收敛域为 [?1,1),当 x∈(?1,1)时,有

n=1n∞

s′(x)=∑xn?1=

n=1∞1 , 1?x

故 s(x)=∫0x1=?ln(1?x) 1?t当x=?1时, ∑u(x)=?en

n=1∞?1ln2.

x于是,当 ?1≤x<1时,有

∞2∑u(x)=?enn=1∞ln(1?x). 八、求x→1? 时,与∑xn等价的无穷大量. n=0

解:∫+∞

0xdt≤∑x≤1+∫n=0t2∞n2+∞0xdt,

1

xt2∫

=+∞0xdt=∫t2+∞0e?t2lndt

~.

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