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小学数学竞赛学习材料(四年级上期)

发布时间:2013-10-28 11:41:57  

小学数学竞赛学习材料

四年级上期

第一讲 等差数列初步

我们把按照一定顺序排列的一些数,叫做数列。数列的第一个数叫做首项,第二个数叫做第二项??最后一个数叫做末项。

常见的数列有:

自然数列:1,2,3,4,5,??;

奇数列:1,3,5,7,9,??;

偶数列:2,4,6,8,10,??等。

稍做计算就会发现:自然数列任意两项的差都是1;奇数列和偶数列任意两项数的差都是2。像这种“差”相等的数列,就叫做“等差数列”,那个公有的差,叫做“公差”。公差也可以是比较大的数。比如:

3,9,15,21,27,33,39,45。

就是等差数列,它的公差是6,共有8项。

求等差数列的和,是一个经常遇到的问题。就以上面这个等差数列为例,怎样才能使计算比较简便呢?根据“等差”这个特点,可以再取一个同样的数列,把排列顺序颠倒过来:

45,39,33,27,21,15,9,3。

这个数列的和没有改变,并且因为“等差”的缘故,两个数列相对应的两个数的和也是相等的,都是48。比如,原数列第二项比第一项大一个公差,而新数列第二项比第一项小一个公差;原数列第三项比第一项大两个公差,而新数列第三项比第一项小两个公差;??于是,合在一起,就等于8个48。48可以用3+45做代表,这样就可以把求两个数列的和的过程,简单地写作:和×2=(3+45)×8,所以,和=(3+45)×8÷2。也就是

和=(首项+末项)×项数÷2

如果把公式改写成,和=(首项+末项)÷2×项数,其中的(首项+末项)÷2,得数就是各项的平均数,所以当项数是奇数时,数列的中项正好是各项的平均数,公式就可以简化为

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和=中项×项数

有了这两个公式,求等差数列的和,就方便多了。

例1 计算:280+290+300+310+320+330+340+350+360+370=?

解:首项是280,末项是370,项数是10,所以

280+290+300+310+320+330+340+350+360+370

=(280+370)×10÷2

=650×10÷2

=3250。

例2 计算:2000+2002+2004+2006+2008+2010+2012=? 解:项数是7,中项是2006,所以

2000+2002+2004+2006+2008+2010+2012

=2006×7

=14042。

例3 计算:1+4+7+10+?+100=?

解:因为公差是4-1=3,末项比首项多100-1=99,其中包含了99÷3=33(个)公差,也就是说,末项是首项加了33个公差的结果,所以总共有33+1=34项。于是:

1+4+7+10+?+100

=(1+100)×34÷2

=1717。

例4 用3根火柴可以摆一个三角形。用火柴摆一个下面的图形,如果每边要用20根火柴,一共要用多少根火柴?

解:这个图形的三角形共有20行。第一行摆1个三角形;第二行摆2个三角形;第三行摆3个三角形;??第20行摆20-个三角形。一共要摆

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