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小学奥数《等差数列》及其练习[1]

发布时间:2013-09-18 15:07:59  

小学奥数《等差数列》及其练习

知识点

1、数列定义:若干个数排成一列,像这样一串数,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一个数称为首项(我们将用 a1 来表示), 第二个数叫做第二项??以此类推,最后一个数叫做这个数列的末项(我们将用 an 来表示),数列中数的个数称为项数,我们将用 n 来表示。 如:2,4,6,8,?,100

2、等差数列:从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差(我们用 d 来表示), 即: d?a2?a1?a3?a2???an?2?an?1?an?an?1

例如:等差数列:3、6、9……96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。(省略号表示什么?) 练习1:试举出一个等差数列,并指出首项、末项、项数和公差。

3、 计算等差数列的相关公式:

(1)通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差

即:an?a1?(n?1)?d

(2)项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1

即:n?(an?a1)?d?1

(3)求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2

即:a1?a2?a3??an??a1?an??n?2

1

在等差数列中,如果已知首项、末项、公差。求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例1:求等差数列3,5,7,?的第 10 项,第 100 项,并求出前 100 项的和。

【解析】我们观察这个等差数列,可以知道首项 a1=3,公差d=2,直接代入通项公式,即可求得a10?a1?(10?1)?d?3?9?2?21, a100?a1?(100?1)?d?3?99?2?201. 同样的,我们知道了首项3,末项201以及项数100,利用等差数列求和公式即可求和: 3+5+7+?201=(3+201)?100?2=10200.

解:由已知首项 a1=3,公差d=2,

所以由通项公式an?a1?(n?1)?d,得到a10?a1?(10?1)?d?3?9?2?21

a100?a1?(100?1)?d?3?99?2?201。

同理,由已知,a1=3,a100=201,项数n=100

代入求和公式得3+5+7+?201=(3+201)?100?2=10200.

练习2:1、求出你已经写出的等差数列的各项和。

2、有一个数列,4、10、16、22……52,这个数列有多少项?

3、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少?

4、求等差数列1、4、7、10……,这个等差数列的第30项是多少?

例2:在111

2、22两数之间插入一个数,使其成为一个等差数列。

2

解:根据第几项=首项+(项数-1)×公差,

那么第三项 a3=a1+2d,即:211=1+2d,所以d=0.5 22

故等差数列是,1、2、21

21。 2

拓展:1、在12 与 60 之间插入3个数,使这5个数成为一个等差数列。

2、在6和38 之间插入7个数,使他们成为等差数列,求这9 个数的和是多少?

例3:有10个朋友聚会,见面时如果每人都要和其余的人握一次手,那么共握了多少次手?

练习:1、某班有51个同学,毕业时每人都要和其他同学握一次手,那么这个班共握了多少次手?

2、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?

例4:4个连续整数的和是94,求这4个数。

解:由于4个数是连续的整数,那么这4个数就是公差d=1的等差数列,不妨设第一个数为a1,那么第二个数就是a1+1,

同理:第3个数,第4个数分别是a1+2,a1+3那么由已知,这四个整数的和是94,所以a1+(a1+1)+(a1+2)+(a1+3)=94,因此a1=22, 所以这4个连续分别是22、23、24、25.

练习:1、3连续整数的和是20,求这3个数。

2、5个连续整数的和是180,求这5个数。

3、6个连续偶数中,第一个数和最后一个数的和是78,求这6个连续偶数各是多少?

例5:丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词? 解:因为丽丽从第二天开始,每天都比前一天多学会1个单词,因此丽丽每天学会的单词个数是一个等差数列,并且这个等差数列的首项a1=6, 公差d =1, 3

末项an=16,若想求和,必须先算出项数n,根据公式 项数=(末项-首项)÷公差+1 ,即n=(16-6)÷1+1=11

那么丽丽在这些天中共学会的单词个数为:6+7+8+……+16 = (6+16)?11÷2=121

练习:有一家电影院,共有30排座位,后一排都比前一排多两个位置,已知第一排有28个座位,那么这家电影院共可以容纳多少名观众?

2、一个家具厂生产书桌,从第二个月起,每个月增加10件,一年共生产了1920件,那么这一年的12月份共生产了多少书桌? 巩固练习:

1、6+7+8+9+……+74+75=( )

2、2+6+10+14+……+122+126=( )

3、已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项?

4、有一个数列:6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少?

5、在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项?第50项是多少?

6、1+2+3+4+……+2007+2008=( )

7、(2+4+6+……+2000)-(1+3+5+……+1999)=

8、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60=

9、有从小到大排列的一列数,共有100项,末项为2003,公差为3,求这个数列的和。

10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。

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