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第五届全国大学生数学竞赛预赛暨第二十四届北京市大学生数学竞赛试题及参考答案_非数学类2013

发布时间:2013-10-30 08:10:01  

第五届全国大学生数学竞赛预赛

暨第二十四届北京市大学生数学竞赛

试题及参考答案

(非数学类,2013)

一、解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)

1.

求极限lim1?sinn???.n

解:

因为sin?sin?

??2n??n?2分);

????原式?lim?1?sin?explimnln1???n??n??????

1?????exp?lim?e4(2分)

;?exp?limn?n???n?????

??

2.证明广义积分

?n?1???0sinxdx不是绝对收敛的x

解:记an?

n???sinx(2分)dx,只要证明?an发散即可。xn?0

1因为an?n?1?

??n?1??n??12。(2分)sinxdx?sinxdx??n?1?n?1?0??2而?发散,故由比较判别法?an发散。(2分)n?1?n?0n?0

3.设函数y?y?x?由x3?3x2y?2y3?2确定,求y?x?的极值。解:方程两边对x求导,得3x2?6xy?3x2y??6y2y??0(1分)故y??x?x?2y?,令y??0,得x?x?2y??0?x?0或x??2y(2分)222y?x

将x??2y代入所给方程得x??2,y?1,

第1页共6页

将x?0代入所给方程得x?0,y??1,(2分)又y????2x?2xy??2y??2y2?x2??x?x?2y??4yy??2x?

?2y2?x2?

?y??x?0,y?1,y??0?0?0?2??2?0??0??1?0,y??x??2,y?1,y??0?1?0,2?2?0?

故y?0???1为极大值,y??2??1为极小值。(3分)

4.

过曲线y?

面积为使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的x?0?上的点A作切线,3,求点A的坐标。4

解设切点A

的坐标为t,曲线过A

点的切线方程为y??x?t?(2

分);令y?0,由切线方程得切线与x轴交点的横坐标为x0??2t。

从而作图可知,所求平面图形的面积

t33S??t??2t????t?1,??

???440

故A点的坐标为?1,1?。(4分)

?

二、(满分12)计算定积分I?

0????xsinx?arctanexdx21?cosx

?I????xsinx?arctanexxsinx?arctanexdx??dx21?cos2x1?cosx0?xsinx?arctane?xxsinx?arctanex

??dx??dx(4分)221?cosx1?cosx00

xsinx?xsinx?xx???arctane?arctanedx?dx(2分)??22?1?cosx21?cosx00

???????2?2???sinxdx(4分)2?1?cosx0

23?????????arctancosx0?8?2?(2分)

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三、(满分12分)设f?x?在x?0处存在二阶导数f???0?,且lim

x?0

f?x?

证明:?0。

x

?1?

级数?f??收敛。

?n?n?1

?

解由于f?x?在x?0处可导必连续,由lim

x?0

f?x?

?0得x

?f?x??

f?0??limf?x??lim?x???0x?0x?0x??f??0??lim

x?0

(2分)

f?x??f?0?f?x?

?lim?0x?0x?0x

(2分)

由洛必塔法则及定义

f?x?f??x?1f??x??f??0?1

lim2?lim?lim?f???0?x?0x?0x?0x2x2x?02?1?

f??

?n?1??

?f?0?所以lim2n??2?1????n?

?

(3分)

(2分)

?

1?1?

由于级数?2收敛,从而由比较判别法的极限形式?f??收敛。(3分)

nn??n?1n?1

b

四、(满分12分)设f?x???,f??x??m?0?a?x?b?,证明?sinf?x?dx?

a

2

m

考虑定积分?f?(x)?sinf(x)dx,

a

ba

b

一方面?f?(x)?sinf(x)dx?[?cosf(x)]ba?cosf(a)?cosf(b),因此

??

b

a

f?(x)?sinf(x)dx?cosf(a)?cosf(b)?cosf(a)?cosf(b)?2(1)

另一方面,由积分中值定理可知比存在使??(a,b)得

b

ab

f?(x)?sinf(x)dx?f?(?)??sinf(x)dx,所以有

a

b

?

a

f?(x)?sinf(x)dx?f?(?)??sinf(x)dx?m??sinf(x)dx

a

a

b

b

bb

(2)

由(1)(2)可得m??sinf(x)dx?2,即?sinf?x?dx?

a

a

2

m

第3页共6页

五、(满分14分)设?是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy。试确定曲面?,使积分I的值

?

最小,并求该最小值。

解记?围成的立体为V,由高斯公式

I?????3x2?6y2?9z2?3?dv?3????x2?2y2?3z2?1?dxdydz(3分)

VV

为了使得I的值最小,就要求V是使得的最大空间区域x2?2y2?3z2?1?0,即取V???x,y,z?x2?2y2?3z2?1,曲面?:x2?2y2?3z2?1

0??(3分)

??x?u1???x,y,z???0为求最小值,作变换?y?,则?u,v,w

??z?0??

从而I?

222u?v?w?1?dudvdw(4分)

????V

?2?122d?d?r?1rsin?dr使用球坐标计算,得I?????

?000

???2?11?2?????

?cos??0??4?????61515?53?(4分)

222六、(满分14分)设Ia?r??

取正向。求极限limIa?r?r???C?ydx?xdy?x2?y2a?,其中a为常数,曲线C为椭圆x?xy?y?r,

??x??解

作变换??y????

u?v?2(观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法),曲线C?u?v?2

3212,也是取正向(2分)u?v?r2(实现了简化积分曲线)22变为uov平面上的椭圆?:

而且x2?y2?u2?v2,ydx?xdy?vdu?udv(被积表达式没变,同样简单!),Ia?r????vdu?udv?u2?v2a?(2分)

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曲线参数化u?

2cos?,v?sin?,?:0?

2?,则有vdu?udv?d?,2?

Ia?

r??

2?

?

02?

2?1?a?d??a??22??0?222222

?rcos??2rsin???cos??2sin???3??3?

d?

a

(3分)

令Ja?

??2

?22

cos??2sin????3?

,则由于

22

?cos2??2sin2??2,从而33

0?Ja???。因此当a?1时limIa?r??0或a?1时limIa?r????(2分)

r???

r???

2?

而a?1,J1?

?

d?cos2??2sin2?

??

?/2

?4?

d?cos2??2sin2?3

3

?/2

?2?

dtan??tan2?3

?2?

?22?t3

dt

??

??0??(3分)

2?

?0,a?1

?

I1?

r????2?。故所求极限为Ia?r?????,a?1(2分)

??2?,a?1

?111????的敛散性,若收敛,求其和。七(满分14分)判断级数?

n?1n?1n?2?

(1)记an?1?

an11

???,un?,n?1,2,3,?

2nn?1n?2n

1

?

0,n充分大时0?an?1??dx?1?lnn?因为nx1

(3分)

11

1??????

11收敛.(2分)所以0?un??3,而?3收敛,故?n?1n?2n2n?12n?1n?1n?2n

(2)记ak?1?

?

k

11

???,?k?1,2,3,??,则2k

??11n?n

??(1????)x?ax.??n?2nn?1?n?1

?

1xk1??k???xk

x??ln,?,??x?????1?xk?1k1?x?k?0??k?0?k?1k

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所以?axn

n?1?n??1ln(1?x).1?x

x?1ann?1?x12nx?axdx?ln(1?x)dx?ln(1?x).??n??001?xn?12n?1n?1?

?xax1ann?2n?12nx?xdx?ln(1?x)dx????0n?102(n?1)(n?2)n?1n?1?

?(x?1)ln(1?x)[ln(1?x)?2]?x.2

anxn?2?n?1(n?1)(n?2)?记f(x)?

111?????1令t?1?x2?limf(x)????则?lim{?tlnt?2tlnt?2(1?t)}?1.??x?1t?02n?1n?1n?2第6页共6页

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