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中考数学竞赛试题

发布时间:2013-10-31 08:04:27  

数 学 试 题

(考试时间:120分钟 试卷总分:150分)

第Ⅰ卷(选择、填空题)

一、选择题:下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置(每小题5分,共计30分).

1.下列说法中,正确的是( ) A . ?111πa2的系数是? B.在(-1)0,cot30°,,|-π-1|几个数中,实数有2个 337

a2ca2?ccC. 若2?,则2? D . 单项式-xn+1y与单项式2x2n+3y不可能是同类项 bdb?dd

2.一次函数y1?kx?b与y2?x?a的图象如图,则下列结论 ①k?0;

②a?0;③当x?3时,y1?y2中,正确的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3 a 3.如图,在Rt△ABC中∠ACB=90o,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上

的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O

位置关系( )

A. 点P

在⊙O内

C.点P在⊙O外 B.点P在⊙O上 ?b D.无法确定 第3题图

4.将三粒均匀的分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子同时掷出,出现的数字分别为a,b,c,则a,b,c正好是直角三角形三边长的概率是( )

1111 B. C. D. 216127236

5.给出三个命题:①点P(b,a)在抛物线y=x2+1上;②点A(1,3)能在抛物线y=ax2+bx+1上;③点B(-2,1)能在抛物线y=ax2-bx+1上.若①为真命题,则( )

A.②③都是真命题 B.②③都是假命题

C.②是真命题,③是假命题 D.②是假命题,③是真命题

6.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个

二、填空题:请将你的答案填到答题卷的相应位处(每小题5分,共计40分).

7.已知不等式2x-m?0只有三个正整数解,则化简A.

|m?9|8.如图,在平而直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两

第8题图

点,点A在x轴负半轴,点B在x轴正半轴,与y轴交于点C,且tan∠ACO=1,CO=BO,2

南充高中2009年面向省内外自主招生考试数学试卷 第 1 页 共 8 页

AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 .

?a1x?b1y?c1?3a1x?2b1y?5c1?x?3 9.三个同学对问题“若方程组?的解是?,求方程组??y?4?a2x?b2y?c2?3a2x?2b2y?5c2

的解。”提出各自的想法。甲说:“这个题目好象条件不够,不能求解”;乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试”;丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除

以5,通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论,你认为这个题目的解应该

是 .

10.已知a、b为实数,且ab?1,a?1,设M?ab11,N?,则M?N??a?1b?1a?1b?1

的值等于 .

11、如图,点P在⊙O的直径BA的延长线上,AB=2PA,PC切⊙O于点C,连结BC.若⊙O的半径r=2cm,

则BC与?P的正弦值的积为 . 第11题图

12.现有一张矩形纸片ABCD(如图),其中AB=4cm,

BC=6cm,点E是BC的中点.实施操作:将纸片沿直

线AE折叠,使点B落在梯形AECD内,记为点B′.

则B′、C两点之间的距离为 .

BECBDA12题图

1

13.如图,P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得2

到图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形

P3,P4,?,Pn,?,记纸板Pn的面积为Sn,试计算求出S2?S3?;并

猜想得到Sn?Sn?1??n?2?.

(第13题图)

14.正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米,甲、乙两只机器鼠分别从A,C两点同时

出发,均按A→B→C→D→E→F→A→?方向沿轨道奔跑,甲的速度为

9.2厘米/秒,

乙的速度为

8厘米/秒,那么出发后经过___________秒钟时,甲、乙两只机器鼠第

一次出现在同一条边上.

南充高中2009年面向省内外自主招生考试数学试卷 第 2 页 共 8 页

2009年面向省内外自主招生考试

数 学 试 题

第Ⅱ卷(答题卷)

8.__________________ 10.__________________ 12.__________________

_________ _________ 14.__________________

(共80分) 8分):

?1cos60??cos45??(??)0?|?4|? sin45??sin30?

8分)

3和4,求矩形的14后,它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14,且一边;也可以是“若矩形的周长为14,求矩形面积的最大值”,等等. x2-43xx-B=A与B的积;

xx-2x+21)的一个“逆向”问题,并解答这个问题.

年面向省内外自主招生考试数学试卷 第 3 页 共 8 页

17.(本题满分8分)

如图,△ABC内接于⊙O,点D在半径OB的延长线上,?BCD??A?30°.

(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若⊙O的半径长为1,求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积(结果保

留π和根号).

A

D C (第17题图)

18.(本题满分8分)

水稻种植是南充的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻的长势,农技人员从两块试验田中,分别随机抽取5棵植株,将测得的苗高数据绘制成下图:

请你根据统计图所提供的数据,计算平均数和方差,并比较两种水稻的长势.

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12分) x的一元二次方程x?bx?c?x有两个实数根x1,x2,且满足x1?0,2(1)试证明c?0; (2)证明b?2(b?2c); 1。2y?x?bx?c,若自变量取值为x0,其对应的函数值为y0,20?x1时,试比较y0与x1的大小. 年面向省内外自主招生考试数学试卷 第 5 页 共 8 页

20.(本题满分10分)

善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图1所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.

(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式;

(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式;

(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总 量最大?

(第20题图1)

南充高中2009年面向省内外自主招生考试数学试卷 (第20题图2) 第 6 页 共 8 页

21. (本题满分12分)

在?ABC中,?C?Rt?,AC?4cm,BC?5cm点,D在BC上,且以CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ。设动点运动时间为x秒.

(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;

(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设?EDQ的面积为y(cm),求y与x2

的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当x为何值时,?EDQ为直角三角形.

南充高中2009年面向省内外自主招生考试数学试卷 D 第 7 页 共 8 页

22.(本题满分14分)

如图1,在平面直角坐标系中,已知

点A(0,点B在x正半轴上,且∠ABO?30?.动点P在线段AB上从点A向点B

动时间为t秒.在x轴上取两点M,N作等边△PMN.

(1)求直线AB的解析式;

(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值;

(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.

(图1) (图2)

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