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初中数学竞赛常用解题方法(代数)[1]

发布时间:2013-10-31 13:32:30  

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

一、 配方法

例1、

.提示:把大根号下的东东整成完全平方形式。

练习:若(x?z)?4(x?y)(y?z)?0,试求x+z与y的关系。

提示:展开重新因式分解,往x+z的这种形式整。答案x+y=2y 2

二、 非负数法

例2

1?(x?y?z). 2

提示:因为右边的数肯定是有理数,所以左边的根号肯定也能开出来,可以用几个较小的数试试。

答案(x=1,y=2,z=3)

三、 构造法

(1)特殊数法

例3、三个整数a、b、c的和是6 的倍数.,那么它们的立方和被6除,得到的余数是( )

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的

提示:令a=2 ,b=2,c=2 选A

(2)

例4、

已知(x?

22y?2002. 则x?3xy?4y?6x?6y?58?。提示:令x=0 y=0 答案58

(3)构造

例5、 已知?、?是方程x?x?1?0 的两根,则??3?的值是___。 提示:a+b=1 a^2-a-1=0 所以a^2=a+1 a^4=a^2+2a+1 所以??

(5)例7、已知a、b是正数,且a + b = 2.

求u?

提示;当这两个根号下的数相等时,最小

练习:(构造矩形)若a,b

是一个三角形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于_____ab______。

1 24___。

例9、71427和19的积被7除,余数是几? 提示:令71427=71421+6

答案:2

练习:设a?b?c?0,用特殊值验证 abc2a2b2c?ab?cbc?aca?b.

四、 换元法(用新的变量代换原来的变量)

例11、解方程(8x?7)2(4x?3)(x?1)?

提示:令4x+3=t 9 2

五、 韦达法(韦达定理:x1?x2??,x1?x2?

例14

:求根y?y?5

2bac) a

代数常用的四种解题方法

一、 待定系数法

用一个或多个字母来表示与解答有关的未知数,这些字母就叫待定系数法。待定系数法是一种最基本的数学方法,这个方法多用于多项式运算、方程和函数方面较多。例如: 例1 试用关于(x-1)的各次幂表示多项式2x?4x?3x?5。

解:设2x?4x?3x?5?2(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c。因为上式是恒等式,所以不论x取什么数,两边都应相等,据此可设

x?1,代入上式得 c??4,

x?0,代入上式得 ?5??2?a?b?2

x?2,代入上式得 16?16?6?5?2?a?b?c.

联立上面三个式子解得 a?2,b?1,c?? 4

∴2x?4x?3x?5?2(x?1)?2(x?1)?(x?1)?4。

这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。要尽量减少待定系数的个数,比如可以断定(x?1)的系数是2,就没有必要再将(x?1)项的系数设为待定系数了。 333232323232

例2 根据二次函数的图象上(-1,0)、(3,0)、(1,-5)三点的坐标,写出函数的解析式。 解:由题设知,当x??1和x?3时,函数y的值都等于0.故设二次函数的解析式为

y?a(x?1)(x?3),

2

把(1,-5)代入上式,得a?

故所求的解析式为 5, 4

55515y?(x?1)(x?3)?x2?x?. 4424

这道例题告诉我们用待定系数法确定函数式时要讲究一些解题技巧.此题若设所求二次函数的解析式为y?ax?bx?c,用待定系数法,把已知的三点代入,得到一个三元一次方程组,进而求出三个待定系数a,b,c,这种解法运算量较大.

二、 配方法

配方,一般是指在一个代数式中通过加减相同的项,把其中若干项变形为n次幂形式的项.这是恒等变形的重要方法之一.因为它有广泛的迁移意义。举例如下:

例3 分解因式

(1)x?64

(2)b?2ab?3a?4a?1

解:(1)x?64

=(x?16x?64)?16x?(x?8)?(4x)?(x?4x?8)(x?4x?8)

(2)b?2ab?3a?4a?1 224222222224224

?(b2?2ab?a2)?(4a2?4a?1)

?(b?a)2?(2a?1)2

?(b?a?2a?1)(b?a?2a?1)

?(b?a?1)(b?3a?1)

例4 已知n为正整数,且4?4?4

(第九界“希望杯”赛试题)

解:设4?4?47n1998 7n1998是一个完全平方数,则n的一个值是_____。?214?22n?23996

214?22n?23996?(27?2x)2 ①

将(2?2)展开后得 7x2

(27?2x)2?214?2?27?2x?22x ②

由①、②得2?2142n?23996?214?28?x?22x

比较两边的指数,得

3

8+x=3996或者 { {8+x=2n,2x?3996.2x?2n.

解之得n?1003 或者n?3988。

此题有两解,所以任意填其中的一个都行。

三、 换元法

把一个简单的含变元的式子替换一个较为复杂的含变元的式子,从而使问题得以简化。这样的方法就叫做换元法。换元法是数学中重要的解题方法,根据问题的特点,进行巧妙的换元,往往可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的功效,现举例说明。

19963?1997?1995?1997?19962

例5 化简 19963?1995?1997?1995?19962。(第七界“希望杯”赛培训试题)解:设1996为a,则1997=(a?1),1995=(a?1),

所以,原式

a3?(a?1)(a?1)?(a?1)a2

?a3?(a?1)(a?1)?(a?1)a2

a3?a2?1?a3?a2

?a3?a2?1?a3?a2

??1

1

??1

例6 解方程组{3x2

x??xyxy??3y2

y??36,0.

解:令{xxy??yv?.u, ⑴

代入方程组中,得{u2

3u??3vv??0.36,

解得{uv??12,36.和{uv????9.3,

代入⑴式中,得

{xxy??y36.?12,{xxy???y??9.3,

分别解之,得

{xy??6,6.{xy

显然,这些例题运用了换元法就变的简捷了。

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