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2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷及答案

发布时间:2013-11-01 09:32:08  

2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初 赛 试 卷

一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)

在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母

1. 若x为实数,则代数式|x|-x的值一定是 A. 正数

B. 非正数

C. 非负数

D. 负数

2.已知(a+b)2=8,(a-b)2=12,则ab的值为 A.1

B.-1

C.4

D.-4

3.若bk<0,则直线y=kx+b一定通过 A.第一、二象限 C.第三、四象限

B.第二、三象限 D.第一、四象限

4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,和棋的概率为50%,那么乙不输的概率为 A.20%

B.50%

C.70%

D.80%

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5.已知20102011-20102009=2010x×2009×2011,那么x的值是

A.2008 B.2009 C.2010 D.2011

6. 一项工程,甲建筑队单独承包需要a天完成,乙建筑队单独承包需要b天完成. 现两队联合承包,那么完成这项工程需要

A.

7.在平面上,如果点A和点B到点C的距离分别为3和4,那么A、B两点的距离d应该是

A. d=1 B. d=5 C. d=7 D. 1≤d≤7 1天 a?b B.(11?)天 abC. ab天 a?b D. 1天 ab

8.如图1,在直角梯形ABCD中, AB∥CD,∠ABC=90°,动点P从点B出发,沿B→C→D的线路匀速运动至点D停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△BCD的面积是

A.3 B.4 C.5 D.6

上一点, 9.如图3,C是⊙O外一点,CA、CB分别与⊙O相切于点A、B,P是

若∠C=x°,则∠APB的度数是

A.x°

A

图3

第2页(共4页) B.(90-x)° 2 C.(90-x)° D.(180-x)° P O A E

B 图4

图1

10.如图4,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,D为BC的中点,将△ABC折叠,使 点A与点D重合,EF为折痕,则sin∠BED的值是

A. 图2 3

5 B.3 4 C.2 3 D.5 7

二、填空题(本大题满分40分,每小题5分)

11.已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO=150°,且P到Q的距离

为2,则Q的坐标为 .

12.点A,B是在数轴上不同的两个点,它们所对应的数分别是-4,

点的距离相等,则x的值为 .

13.50名学生中,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既不会讲英语也不会讲日语的有

8人,则既会讲英语又会讲日语的人数为 人. 2x?2,且点A、B到原3x?5

11,且x<0,则的值是 . x??3xx2

a?bb?ca?c15.设c<b<0<a,a+b+c=1,M?,N?,P?,则M,N,P 之间 cab14.已知x2?

的关系是 .

16.如图5,已知矩形ABCD,AB=2,BC=3,MB=MC,则点D到AM的距离为 .

17.如图6,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠B:∠A=1:2,M、N分别是AD、BC

的中点,P是直线MN上的一点,则PC+PD的最小值为 .

B M

图5 C 图6 图7 B Q C

18.如图7,在平行四边形ABCD中,P为BC上任一点,连结DP并延长交AB延长线于Q,

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则BCAB= . ?BPBQ

三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)

19.如图8,△ABC是边长为1的等边三角形,P是AB边上的一个动点(P与B不重合),以线

段CP为边作等边△CPD(D、A在BC的同侧),连结AD.

(1)判断四边形ABCD的形状,并给予证明;

(2)设BP=x,△PAD的面积为y,求出y关于x的函数关系式,并求出△PAD面积的最大值

及取得最大值时x的值.

20.某单位欲购买A、B两种电器.根据预算,共需资金15750元.购买一件A 种电器和两件B 图8 C PD

B种电器共需资金2300元;购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元.

(1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元?

(2)若该单位购买A种电器不超过5件,则可购买B种电器至少有多少件?

(3)为节省开支,该单位只购买A、B两种电器共6件,并知道获政府补贴资金不少于700元;

自己出资金不超过4000元;其中政府对A、B两种电器补贴资金分别为每件100

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2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初赛试卷参考答案

一、选择题

提示:

1. 若x≥0,则|x|-x=x-x=0;若x<0,则|x|-x=-x-x=-2x>0,故选C.

2.由题意有a2+2ab+b2=8,a2-2ab+b2=12,两式相减得4ab=-4,得ab=-1,故选B. 3.由bk<0,知b>0,k<0或b<0,k>0,前者直线经过第一、二、四象限,后者直线经过第一、三、四象限,因而必经过第一、四象限,选D.

4.由已知条件知乙胜的概率为20%,又和棋概率为50%,故乙不输的概率为70%,选C. 5.由20102011-20102009=2010x×2009×2011, 20102009(2010-1)(2010+1)= 2010x×2009×2011,

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则有20102009×2009×2011= 2010x×2009×2011,则有x=2009,选B.

6. 两队联合承包每天完成工程的

选C.

7.根据题意可知符合条件的点A和点B分别在以点C为圆心的两个同心圆上. 故选D.

8.由图象可知,直角梯形的高BC=2,上底CD=3,所以S?BCD?

9.分别连结OA、OB,则OA⊥CA,OB⊥CB,即可求得,选B.

10.由已知条件知∠EDF=45°,由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°,∴∠BED=

∠CDF,设CD=1,CF=x,则CA=CB=2,所以DF=FA=2-x,在Rt△CDF中,有x2+1=(2-x)2,解得x=

二、填空题

11.(1,1+)或(-1,1+3);在直角坐标系中,以P(0,1)为顶点,作出∠QPO=150°可求得.

12.由ab1111 天. ?,完成这项工程需要的时间为1÷(?)=a?babab1?2?3?3,选A. 2CF33,所以sin∠BED=sin∠CDF=?,选A. 4DF5112x?2?4解得x?. 53x?5

13.英语、日语至少会一门的人数为50-8=42人,设既会英语又会日语的为x人,则只会英语的

为(36-x)人;只会日语的为(20-x)人,于是得(36-x)+x +(20-x)=42,解得x=14.

111212,得,所以,又x<0,所以?3x?2??5(x?)?5x???. 2xxxx

b?c1b?c1a?c115.由a+b+c=1可得1??,则M=??1,同理N???1, aaaabb

a?b1111111P=??1,由c<b<0<a,得??,?1??1??1,∴M>P>N. ccacbacb

1AB?BM16.过D作DG⊥AM,则有2×3=AM?DG??2,DG=2.4; 2214.由x2?

17.;当P在对角线AC与MN的交点处时PC+PD最小.

18.1;∵ BCADAQBCABAQABAQ?ABBQ,∴ ????????1. BPBPBQBPBQBQBQBQBQ

M

第7页(共4页) A P

B

三、解答题

19.(1)四边形ABCD是梯形或菱形,证明如下:

① 当点P不与点A重合时,

∵ △ABC与△CPD都是等边三角形,

∴ ∠ACB=∠DCP=60°,∴ ∠1=∠2,

又AC=BC,DC=PC,∴△ADC≌△BPC,∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°,∴ AD∥BC.

又∠1=∠2<60°,∴ ∠DCB<120°,即 ∠B +∠DCB<180°,∴ DC与AB不平行, ∴ 四边形ABCD是梯形.

② 当点P与点A重合时,PC与AC重合,此时AB=BC=CA=AD=DC,四边形ABCD是菱形,综上所述,四边形ABCD是梯形或菱形.

(2)由(1)知∠BAD=120°,AD=BP=x,过P作DA延长线的垂线PM,M为垂足,

则∠PAM=60°,∠APM=30°,

(1?x) 2

113321∴y?AD?PM?x? (0<x<1). (1?x)??(x?x)??(x?)2?22244216

1133当x?时,y取最大值为,即当x?时△PAD面积取得最大面积为. 161622又BP=x,AB =1,∴ AP=1-x,∴ AM=(1?x),PM=

20.(1)设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为a元和b元.

依题意得: ?12?a?600?a?2b?2300 解之得? (答略)

?b?850?2a?b?2050

(2)设该单位购买A、B两种电器分别为m件和n件.则

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600m+850n=15750 , m??

∵ A种电器不超过5件,

∴ ?17315. n?121517315≤5. ∴ n≥15,即可购买B种电器至少有15件. n?1215

(3)设购买A种电器x件,则购买B种电器为(6-x)件,依题意得:

?500x?700(6?x)?4000, 解之得1≤x≤4 . ?100x?150(6?x)?700?

∵ x取整数,∴ x=1,2,3,4. 即共有4种购买方案.

元和150元.请你通过计算求出有几种购买方案?

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