haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

第5届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)参考答案

发布时间:2013-11-01 09:32:10  

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 评分细则

一、(共4小题,每小题6分,共24分) 解答下列各题 .

1. 求极限

lim1?sin?n??

?

.

n

sin??sin?2n??sin

?

?

?

(2分)

n

原式?lim??n??

?1

?sin?

?exp??lim??n??

nln??1? ?

??

?? ?

?exp

??limn?

?n?? ?exp???1n?e4 ?

??

2 证明广义积分

?

sinx

x

dx不是绝对收敛的. (n?1)?

证. 记an?

x, 只要证明?an发散. n?

|sinx|

?

?

n?0

1

(n?1)?

?

因为 an?

(n?1)?

|sinx|dx?(n?1)??sinxdx?2

. n?

1?

0(n?1)?

??

??

而2

发散, 故an发散. n?0(n?1)? n?0

3. 设函数y?y(x)由x3?3x2y?2y3?2所确定. 求y(x)的极值.

解 方程两边对x求导,得

3x2?6xy?3x2y'?6y2y'?0 故 y'?

x(x?2y)

2y2?x2

,令y'?0,得x(x?2y)?0?x?0或x??2y.

将x?0和x??2y代入所给方程,得

(2分) (2分) (2分) (3分) (1分)

(1分)

?x?0 ??y??1和?x??2. (2分) ?y?1?

(2y2?x2)(2x?2xy'?2y)?(x2?2xy)(4yy'?2x)y???(2y2?x2)2

??2?1?0. y??xy?1y'?0x?0y??1y'?0??1?0,

故y(0)??1为极大值,y(?2)?1为极小值. (3分)

4.

过曲线y?x?0)上的点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为3, 求点A的坐标. 4

设切点A的坐标为(t曲线过A点的切线方程为

yx?t) (2分)

令y?0,由上式可得切线与x轴交点的横坐标x0??2t ?平面图形的面积S??Ax0t的面积?曲边梯形otA的面积

S333t??x??t?1,?A的坐标为(1,1). (4分) 44

二、 (12分) 计算定积分I??

解 I??0

?????xsinx?arctanexdx. 1?cos2xx?xsinx?arctanexsinx?arctanexdx??dx 01?cos2x1?cos2x

x?xsinx?arctanexsinx?arctane?x

??dx??dx (4分) 001?cos2x1?cos2x

?xsinx??(arctanex?arctane?x)dx 01?cos2x?

??

2?0?xsinxdx (2分) 21?cosx

???????2?2?

2?0sinxdx (4分) 1?cos2x3????????arctan(cosx)??08?2? (2分)

三、(12分)设f(x)在x?0处存在二阶导数f??(0),且limx?0f(x)?0.

证明:级数x

?n?1??1?f??收敛. ?n?

x?0 证 由于f(x)在x?0处连续,且lim

则 f(0)?limf(x)?limf(x)?0, xf(x)?x?0, (2分) x?0x?0x

f(x)?f(0) f?(0)?lim?0. (2分) x?0x?0

应用罗比达法则,

limx?0f?(x)?f?(0)1f(x)f?(x)lim?f??(0). (3分) ?lim?2x?0x?0x2x2(x?0)2

所以

?1?f???n?1???f(0). (2分) limn?02

2n

?1?1?由于级数?2收敛,从而?f??收敛. (3分) ?n?n?1n?1n?

2. ?am

证 因为f?(x)?m?0(a?x?b),所以 f(x)在[a,b]上严格单增,从而有反函数. (2分) 设 A?f(a),B?f(b),?是f的反函数,则 四、(10分) 设|f(x)|??,f?(x)?m?0(a?x?b),证明 bsinf(x)dx?

0???(y)?

又|f(x)|??,则???A?B??,所以 11?, (3分) f?(x)m

?b

asinf(x)dx???x??(y)?

0BA??(y)sinydy (3分) ???12sinydy? (2分) mm

五、(14分)设?是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分 I????x

?3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy.

试确定曲面?, 使得积分I的值最小, 并求该最小值.

解. 记?围成的立体为V, 由高斯公式,

I?????3x

V2?6y2?9z2?3?dv?3????x2?2y2?3z2?1?dxdydz. (3分) V

为了使得I达到最小, 就要求V是使得x2?2y2?3z2?1?0的最大空间区域, 即

V?(x,y,z)|x2?2y2?3z2?1. (3分) 所以V是一个椭球, ?是椭球V的表面时, 积分I最小. ??

?x?u??(x,y,z) 为求该最小值, 作变换

?y?v/.

则, 有 ??(u,v,w)??z?w/

I?222u?v?w?1?dudvdw. (4分) ????2?v2?w2?1

2?使用球坐标变换, 我们有

I? 22d?d?r?1rsin?dr???

????000?1?. (4分) 15

六、(14分) 设Ia(r)?ydx?xdy222a, 其中为常数, 曲线为椭圆, 取正x?xy?y?rC22a?(x?y)C

向. 求极限limIa(r). r???

??x?(u?v)/解.

作变换???y?(u?v)/曲线C变为uov平面上的 ?:

22223212u?v?r2, 也是取正向 (2分) 22且有 x?y?u?v, ydx?xdy?vdu?udv,

Ia(r)?vdu?udv. (2分)

22a?(u?v)?

?u?cos??2作变换?,

则有vdu?udv?d? ?v?sin??

2(?1a

Ia(r)?r2?2?)?0d??(2cos2?/3?2sin2?)a?2a(1)Ja, 其中Ja??0d?, 0?Ja???. (3分) 22a(2cos?/3?2sin?)

因此当a?1和a?1, 所求极限分别为0和??. (2分)

而当a?1,

2?

J1?

?

d?

2co2s?/?3

?/2

?4?2

2s?in0

dtan?

?4?2

?2/3?2tan0

??

dt

?. (3分) 2

?t22

故所求极限为

?0,a?1?

limIa(r)????,a?1. (2分)

r???

??

?2?,a?11?

1?

七、(14分) 判断级数 ?

???1n?2)

的敛散性, 若收敛,求其和. n?1(n?1)(解: (1) 记 a11

n?1?2

??

n,uann?(n?1)(n?2)

,n?1,2,3,. 因为n充分大时

0?a1

1

n?1?

2

??

n

?1??n11x?1?lnn?

所以 u??

1?n?

?1

n

3/2 而 收敛,所以u收敛. n?1n

3/2?n

n?1(2)a1

k?1?

2

??1

k

(k?1,2,....) 1n1???1nS??an

kk?1(k?1)(k?2)??k?1(k?1)(k?2)??k?1?ak?k?1

?ak?n?k?2?? ???a1?a1?????a2?a2?

????a

n?1?an?1?n?23??34?

??n

n?1?????aa??n?1?nn?2?? ?12a11

1?3(a2?a1)?4

(a3?a2)??

1n?1(a?a1nn?1)?n?2

an ???111?1?2?2?3?3?4

??

1?n?(n?1)?

??1n?2an?1?1n?1n?2

an. 因为0?an?1?lnn 所以0?

ann?2?1?lnn1?lnn

n?2

且 lim

n??n?2?0. 所以limann??n?2?0. 于是 S?nlim??

Sn?1?0?0?1. 证毕。

(3分)

(2分)

(2分)

(2分) (2分) (3分)

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com