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2009年全国初中数学竞赛(海南)试题及答案

发布时间:2013-11-01 09:32:11  

2009年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初 赛 试 卷

(本试卷共4页,满分120分,考试时间:3月22日8:30——10:30)

一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)

在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内

1. 方程 1?1

2009x?0的根是

A. ?11

2009 B. 2009 C. -2009 D. 2009

2. 如果a?b?0,且b?0,那么a2与b2的关系是

A.a2≥b2 B.a2>b2 C.a2≤b2 D.a2<

b2

3. 如图所示,图1是图2中正方体的平面展开图

(两图中的箭头位置和方向是一致的),那么,图1中的线段AB在图2中的对应线段是

A.k B.h C.e D.d

4. 如图,A、B、C是☉O上的三点,OC是☉O的半径,∠ABC=15°,那么∠OCA的度数是

A.75° B.72° C.70° D.65°

图2

(第3题图) (第4题图)

5. 已知2a=3,2b=6,2c=12,则下列关系正确的是

1

A.2a?b?c B.2b?a?c C.2c?a?b D. c?2a?b

6. 若实数n满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1,则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是

A.1 B.1

2 C.0 D. -1

7. 已知△ABC是锐角三角形,且∠A>∠B>∠C,则下列结论中错误的是

A.∠A>60° B.∠C<60° C.∠B>45° D.∠B+∠C<90°

8. 有2009个数排成一行,其中任意相邻的三个数中,中间的数总等于前后两数的和,若第一个数是1,第二个数是-1,则这2009个数的和是

A.-2 B.-1 C.0 D.2

9. ⊙0的半径为15,在⊙0内有一点 P到圆心0的距离为9,则通过P点且长度是整数值的弦的条数是

A.5 B.7 C.10 D.12

10. 已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象 如图所示,记p?2a?b,q?b?a,则下列

结论正确的是

A.p>q>0 B.q>p>0

C.p>0>q D.q>0>p

(第10题图)

二、填空题(本大题满分40分,每小题5分)

11. 已知 |x|=3,y2=2,且x?y<0,则xy12. 如果实数a,b互为倒数,那么11

1?a2?1?b2? .

13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个,这些球除颜色外,其余都相同,其中红球4个,

绿球6个,又知从中随机摸出一个绿球的概率为2

5,那么,随机从中摸出一个黄球的概

率为 .

14. 如图,在直线y??x?3上取一点P,作PA⊥x轴,PB⊥y轴,垂足分别为A、B,

若矩形OAPB的面积为4,则这样的点P的坐标是 .

15. 如图,AD是△ABC的角平分线,∠B=60°, E, F分别在AC、AB上,且AE=AF,∠CDE=

∠BAC,那么,图中长度一定与DE相等的线段共有 条.

2

A

E

B

D

C

C

(第14题图) (第15题图) (第16题图) 16. 如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,∠DBC=45°,折叠梯形ABCD,使点B

重合于点D,

折痕为EF,若AD=2,BC=8,则tan∠CDE= .

17. 实数x

,y满足2x?6x?y?0,设w?x?y?8x,则w的最大值是18. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0), 点B的坐标为(8,0),点C,D在以OA为直径的 半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C 的坐标为 .

2

2

2

2

(第18题图)

三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)

19. 某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书用了100元,按该书定价2.8元出售,

很快售完;由于该书畅销,第二次购书时,每本的批发价已比第一次高出0.5元,共用了150元,所购得书的数量比第一次多10本;这批书按原定价售出80%后,出现滞销,便以5折售完剩余的该图书. 试问:这个书店老板第二次售书是赔钱,还是赚钱?请通过计算说明(只与进价比较,不考虑其它成本).

20. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与A、C 都不重合),点F在斜边AB上(点F与A,B都不重合)

(1)若EF平分Rt△ABC的周长,设AE=x,△AEF的面积为y,写出y与x之间的函数

关系式,并指出x的取值范围;

(2)试问:是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分,

若存在,求出AE的长,若不存在,说明理由.

C

3

F

A

2009年全国初中数学竞赛(海南赛区)

初赛试题参考答案

一、选择题:DBCAB,CDADB

提示:

11x?0,得x?1,?x?2009 20092009

22222.B;由a?b<0,b>0知a<0且|a|>|b|,所以|a|>|b|,即a>b; 1.D;由1?

3.C;将图1中的平面图折成正方体

4.A;延长CO交于⊙O于D,连结AD,则∠D=∠B=15°,因为CD为⊙O的直径,所以∠CAD=90°,所

以在Rt△ACD中 , ∠OCA=90°-15°=75°.

aaa?cccb5.B;由2=3,2=12,得2·2=3×12. 即2=36=62,而2=6

?aa?c?(2b)2?22b2b?a?c

6.C;设a?n?2009,b?2008?n,则a?b??1,

又?(a?b)2?a2?2ab?b2且a2?b2?1?(?1)2?1?2ab,?2ab?0即ab?0

7.D;若∠B+∠C<90°,则 ∠A>90°,这与△ABC是锐角三角形矛盾,故D错.

8.A;先据题意写出前面一些数:1,-1,-2,-1,1,2,1,-1,……,经观察发现从左向右数

每排列六个数后,从第七个数开始重复出现,即这2009个数是由1,-1,-2,-1,1,2这6个数组成的数组重复排列而成,而1+(-1)+(-2)+(-1)+1+2=0,又2009=334×6+5,这说明,这2009个数的和等于最后五个数:1,-1,-2,-1,1的和.

9.D;过P点的最长的弦是直径,其长为30,最短的弦长=22?92?24,所以⊙O中,通过P点的弦长

L的取值范围是24≤L≤30,又L为整数,所以L的值可取24,25,26,27,28,29,30,又根据圆的

对称性知:长度为25,26,27,28,29的弦各有2条,故共有12条.

10. B;由图象知a<0,c=0,?b>1,从而2a+b>0,又(2a?b)?(b?a)?3a<0,即2a?b2a

<b?a.

二、填空题:11. 9或1 12. 1 13. 1 14.(4,-1),(-1,4) 15. 3条 16. 3 17. O 18.

953

(1,3)

提示:

11.9或1;由条件知x??3,y??2

9

12.1;由已知条件知ab=1,所以原式

?abababab baa?b???????1 22a?ba?ba?bab?aab?ba(b?a)b(a?b)

6251?,x?5,所以P(摸出1个黄球)= ?13. 1;设口袋中有黄球x个,依题意,得4?6?x51533?|a|?|b|?414. (4,-1),(-1,4);设点P的坐标为(a,b),由题意得分程组 解此方程组即可. ??b??a?3

15. 3条;易知△AFD≌△AED,所以∠AFD=∠AED,DE=DF,又∠CDE=∠BAC,∠C为公共角,所以 ∠DEC=∠B=60°,所以∠AFD=∠AED=120°,所以∠BFD=60°,又∠B=60°,所以△BDF为等边三角形,所以DB=BF=DF=DE.

16.3;因为折叠后点B与D重合,所以∠EDB=∠DBC=45°,∴∠BED=90°,即DE⊥BC,在等腰梯形

11ABCD中,(BC?AD)?(8?2)?,3DE=BE=8-3=5 22 EC3∴ tan∠?DE517. O;由2x2?6x?y2?0,得2x2?y2?6x知5x≥0,又y2??2x2?6x,

w?x2?2x2?6x?8x??x2?2x??(x?1)2?1,由此可见,当x≥-1时,w随着x的增大而减小,又因为x≥0>-1, ,故当x=0时,w的最大值是0.

4

18. (1, 3);∵ 四边形OCDB是平行四边形,B(8,0),

∴ CD//OA,CD=OB=8 过点M作MF⊥CD于点F,则1

过点C作CE⊥OA于点E, 2

∵ A(10,0),∴OE=OM-ME=OM-CF=5-4=1. 连结MC,则1

∴ 在Rt△CMF中,2

MF?MC2?CF2?52?42?3 ∴ 点C的坐标为(1,3)

三、解答题

19. 解:设第二次购书x本,依题意得100?1

x?102?150

x

整理得 x2?110x?3000?0,解得 x1?50,x2?60

当x=50时,150÷50=3>2.8,这与实际不符,舍去.

当x=60时,150÷60=2.5>2.8,符合题意,由

2.8×60×80%+2.8×0.5×60×20% =151.2;151.2-150=1.2(元)

20. 解:(1)在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,所以AB=5,∴△ABC的周长为 12,又因EF平分△ABC的周长,∴AE+AF=6,而AE=x,∴AF=6-x,

过点F作FD⊥AC于D,则DF?sinA?BC

AB?4

AF5

∴DF

?x?4

5,?DF?4

5(6?x),所以

6

y?1AE?DF?1x?4(6?x)??2x212

255?5x (0<x<3)

2

(2)这样的EF存在,此时AE=6? .

2

S△ABC=1BC?AC?1

2?4?3?6,由EF平分△ABC的面积,所以

2

?2

5x2?12

5x?3,解得 x6?1?2,x6?2?2

∵0<x<3,∴x6?2?不合舍去,当2x6?6

1?时

2

6?x?6?65,符合题意,所以这样的EF存在,此时6?6 22

5 F C E D A

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