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2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案

发布时间:2013-11-01 13:30:24  

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

(本卷满分120分,考试时间120 分钟)

一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)

在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均为零分.

1. 从长度是2cm,2cm,4cm,4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成

等腰三角形的概率是( ) 111A. B. C. D.1 423

2.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,AN⊥BN 于N,且AB=10,BC=15,MN=3,则△ABC的周长为( ) C A.38 B.39 C.40 D. 41 (第2题图)

x3.已知xy?1,且有5x2?2011x?9?0,9y2?2011y?5?0,则的值等于( ) y

5920112011 B. C.? D.? 9554.已知直角三角形的一直角边长是4A.

为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴

影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图

中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( )

A.6 B. 7 C.8 D.9

b5.设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数y?(a?x2?cx?a?在x?1时取最小22

8值?b,则△ABC是( ) 5

A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

6.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取

出按照“先进后出”的原则,如图,堆栈(1)中的2个连续存储单元

已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个

连续存储单元已依次存入数据e,d,c,取出数据的顺序是c,d,

,则不 e,现在要从这两个堆栈中取出5个数据(每次取出1个数据)

同顺序的取法的种数有( )

A.5种 B.6种 C.10种 D.12种

九年级数学 第 1 页 共 6 页

(1) (2) (第5题图)

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)

7.若x2?2x??4?0,则满足该方程的所有根之和为

8.(人教版考生做)如图A

中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD

相切,若AB=4,BE=5,则DE的长为 .

8.(北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC中,D

,E分别为AB,BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则

2FG? AF2a4?3xa2?229.已知a?a?1?0,且3,则x? . ??3a?2xa2?a

10.元旦期间,甲、乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,且每件

商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 件.

11.如图,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC

上,如果CD与地面成45o,∠A=60o,CD=4m,BC=(46?22)m,则电线杆AB的长为 m.

12.实数x与y,使得x?y,x?y,xy,x四个数中的三个有相同的数值,则所有具y

有这样性质的数对(x,y)为 .

(第8题图A) FC(第11题图) GAD (第8题图B) B

三、解答题(本大题共3个小题,每小题20分,共60分)

13.(本题满分20分)

已知:(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)是完全平方式.

求证: a?b?c.

九年级数学 第 2 页 共 6 页

14.(本题满分20分)如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,

动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.

(1)点B的坐标为t的式子表示点P的坐标为

(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有

最大值?

(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成

1三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T

3

九年级数学 第 3 页 共 6 页 (第14题图)

15.(本题满分20分)

对于给定的抛物线y?x2?ax?b,使实数p,q适合于ap?2(b?q).

(1)证明:抛物线y?x2?px?q通过定点;

(2)证明:下列两个二次方程,x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.

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2013年九年级试卷参考答案

一、选择题(每小题5分,共30分)1—6 C D B A D C

二、填空题(每小题5分,共30分):

7. 2?6; 8. A:116;B: ; 9. 4; 10. 12; 11. 62; 12. 52

11(,?1)(?,?1). 22

三、解答题:(每题20分,共60分)

13. 证明:把已知代数式整理成关于x的二次三项式,得

原式=3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc ∵它是完全平方式, ∴△=0.

即4(a+b+c)2-12(ab+ac+bc)=0. ∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,

?a?b?0?(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.要使等式成立,必须且只需:?b?c?0

?c?a?0?

解这个方程组,得a?b?c.

14. 解:(1)(6,4);(t,2··· ????????????3分 t).(其中写对B点得1分) ·3

12(2)∵S△OMP =×OM×t, 23

212112∴S =×(6 -t)×t=?t+2t =?(t?3)?3(0 < t <6). 3332

∴当t?3时,S有最大值.????????????????8分

(3)存在.

由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4), 则直线ON的函数关系式为:y?4x. 3

设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:y??bx?b, 3

3b?4?x?y?x解方程组?得??4?b ?3???y?4b?y??bx?b??4?b?3?∴直线ON与MT的交点R的坐标为(

∵S△OCN =3b4b,). 4?b4?b11×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2. ························ ???????10分 23

一、当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,

二、如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,

九年级数学 第 5 页 共 6 页

则S△OR1T1=1?RD1?OT =1

?3b?b=2.

2b

2

∴3b?4

b?16?0, b

.∴b1

b2 舍去)

此时点T1的坐标为(0). ··········· ?????????????????15分

② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E, ∵点E的纵坐标为4,∴由①得点E的横坐标为作R2D2⊥CN交CN于点D2,则 S△R2NE=

3b?12

, b

113b?124b96=2. ?EN?D2 =?(3?)?(4?)?22b4

?

bb(4?b)

2

∴b?4b?48?0,b

??

2.

∴b1

=2,b2=?2(不合题意,舍去).

∴此时点T2的坐标为(0,2)

. 综上所述,在y轴上存在点T1(015. 证明:(1)∵ap?2(b?q)

(备用图)

),T2(0,2)符合条件.?20分 apa

?b代入抛物线y?x2?px?q中,得?y?x2?b?p(x?)?0

22

a?x????y?x2?b?0?2??

得?解得:? , a2

?x??0?y?a?4b

2??4?

aa2?4b2

故抛物线y?x?px?q通过定点(?,)????????10分

24

∴q?

(2)∵2q?ap?2b,∴p2?4q?p2?2?2q?p2?2(ap?2b)

=p2?2ap?4b=p2?2ap?a2?a2?4b =(p?a)2?(a2?4b)

∴(p2?4q)?(a2?4b)?(p?a)2?0 ∴p2?4q与a2?4b中至少有一个非负.

∴x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.????20分

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