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小学奥数竞赛专题之同余问题

发布时间:2013-11-01 13:31:07  

小学奥数竞赛专题之同余问题

[专题介绍]:同余问题

生活中我会经常遇到与余数有关的问题,比如:某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现:如果每8人站成一列则多余1人;如果改为每9人站成一列则仍多余1人;结果发现现成每10人结成一列,结果还是多余1人;聪名的你知道该年级共有学生多少名吗?

假设有一名学生不参加演出,则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数,而8、9、10的最小公倍数是360,因此可知该年级共有361人。 研究与余数有关的问题,能帮助我们解决很多较为复杂的问题。

[分析]

1、两个整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余,即a≡b(modm)

2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a(modm)(a为任意自然)

〈2〉若a≡b(modm),则b≡a(modm)

〈3〉若a≡b(modm),b≡c(modm)则a≡c(modm)

〈4〉若a≡b(modm),则ac≡bc(modm)

〈5〉若a≡b(modm),c≡d(modm),则ac=bd(modm)

〈6〉若a≡b(modm)则an≡bm(modm)

其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性,"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"

注意:一般地同余没有"可除性",但是:

如果:ac=bc(modm)且(c,m)=1则a≡b(modm)

3、整数分类:

〈1〉用2来将整数分类,分为两类:

1,3,5,7,9,……(奇数)

0,2,4,6,8,……(偶数)

〈2〉用3来将整数分类,分为三类:

0,3,6,9,12,……(被3除余数是0)

1,4,7,10,13,……(被3除余数是1)

2,5,8,11,14,……(被3除余数是2)

〈3〉在模6的情况下,可将整数分成六类,分别是:

0(mod6):0,6,12,18,24,……

1(mod6):1,7,13,19,25,……

2(mod6):2,8,14,20,26,……

3(mod6):3,9,15,21,27,……

4(mod6):4,10,16,22,29,……

5(mod6):5,11,17,23,29,……

[经典例题]

例1:求437×309×1993被7除的余数。

思路分析:如果将437×309×1993算出以后,再除以7,从而引得到,即437×309×1993=269120769,此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢?

473≡3(mod7)

309≡1(mod7)

由"同余的可乘性"知:

437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)

1

又因为1993≡5(mod7)

所以:437×309×1993≡3×5(mod7)

≡15(mod7)≡1(mod7)

即:437×309×1993被7除余1。

例2:70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和,这一行最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,……,问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?

思路分析:如果将这70个数一一列出,得到第70个数后,再用它去除以6得余数,总是可以的,但计算量太大。

即然这70个数中:中间的一个数的3倍是它两边的数的和,那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?

0,1,3,8,21,55,144,……被6除的余数依次是

0,1,3,2,3,1,0,……

结果余数有类似的规律,继续观察,可以得到:

0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,1,3,2,3,……

可以看出余数前12个数一段,将重复出现。

70÷2=5……10,第六段的第十个数为4,这便是原来数中第70个数被6除的余数。

思路分析:我们被直接用除法算式,结果如何。

例4、分别求满足下列条件的最小自然数:

(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1。

(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1。

(3)用3除余1,用5除余2,用7除余2。

(4)用3除余2,用7除余4,用11除余1。

思路分析:

(1)该数减去1以后,是3,5和7的最小公倍数105,所以该数的是105+1=106

(2)该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1,被7除余1的数,即

1,36,71,106,141,176,211,246,……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。 36≡0(mod3),71≡2(mod3),符合条件的最小的数是71。

(3)我们首先列举出被5除余2,被7除余2的数,2,37,72,107,142,177,212,247,…… 从以上数中寻找最小的被3除余1的数。

2(mod3),37≡(mod3)、因此符合条件的最小的数是37。

(4)我们从被11除余1的数中寻找答案。

1,12,23,34,45,56,67,78,89,100,133,144,155,166,177,188,199,210,232,243,……

1(mod3);1(mod7),不符合

12≡0(mod3),12≡5(mod7)不符合

23≡2(mod3),23≡2(mod7)不符合

34≡1(mod3),34≡6(mod7)不符合

45≡0(mod3),45≡3(mod7)不符合

56≡2(mod3),56≡0(mod7)不符合

67≡1(mod3),67≡4(mod7)不符合

78≡0(mod3),78≡1(mod7)不符合

89≡2(mod3),89≡5(mod7)不符合

100≡1(mod3),100≡2(mod7)不符合

2

122≡2(mod3),122≡3(mod7)不符合

133≡1(mod3),133≡0(mod7)不符合

144≡1(mod3),144≡4(mod7)不符合

155≡2(mod3),155≡1(mod7)不符合

166≡1(mod3),166≡5(mod7)不符合

177≡0(mod3),177≡2(mod7)不符合

188≡2(mod3),188≡6(mod7)不符合

199≡1(mod3),199≡3(mod7)不符合

210≡0(mod3),210≡0(mod7)不符合

221≡2(mod3),221≡4(mod7)符合

因此符合条件的数是221。

例5判断以下计算是否正确

(1)42784×3968267=1697598942346

(2)42784×3968267=1697598981248

思路分析:若直接将右边算出,就可判断

41784×3968267=169778335328,可知以上两结果均是错的;但是计算量太大。

如果右式和左式相等,则它们除以某一个数余数一定相同。因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数,便是原数除以9的余数。我考虑上式除以9的余数,如果余数不相同,则上式一定不成立。

(1)从个位数字可知,右式的个位数字只能是8,而右式个位为6,因此上式不成立。

(2)右式和左式的个位数字相同,因而无法断定上式是否成立,但是

4+2+7+8+4=25,25≡7(mod9)

3+9+6+8+2+6+7=41,41≡5(mod9)

42784≡7(mod9);3968267≡5(mod9)

42784×3968267≡35(mod9)

≡8(mod9)

(1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8)≡3(mod9)

因此(2)式不成立

以上是用"除9取余数"来验证结果是否正确,常被称为"弃九法"。

不过应该注意,用弃九法可发现错误,但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。 习题

1、求16×941×1611被7除的余数。

3、判断结果是否正确:(1)5483×9117=49888511

(2)1226452÷2683=334

4、乘法算式

3145×92653=291093995的横线处漏写了一个数字,你能以最快的办法补出吗?

5、13511,13903,14589被自然数m除所得余数相同,问m最大值是多少?

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