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希望杯第四届(1993年)初中一年级第2试试题

发布时间:2013-11-02 08:06:39  

希望杯第四届(1993年)初中一年级第2试试题 一、

1.选择题:(每题1分,共10分) 1111???的值是 ( ) 0.10.010.0010.0001

A.-11110. B.-11101.C.-11090. D.-11909.

2.一滴墨水洒在一个数轴上,根据图24中标出的

数值,可以判定墨迹盖住的整数个数是( )

A.285. B.286.C.287.

22D.288. 2223.a,b都是有理数,代数式a+b,a-b,(a-b),

(a+b)2,a2b2+1,a3b+1,a2+b2+0.1,2a2+3b4+1中,其值为正的共有( )

A.3个. B.4个.C.5个. D.6个.

4.a,b,c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( ) A.?a??

?1??11?(a?c); B.????(c?a); C.(1-a)(c-b); D.ac(1-bc). b??bc?

5.19+93的末位数字是 ( )

A.2. B.4. C.6. D.8.

6.今天是4月18日,是星期日,从今天算起第1993天之后的那一天是

A.星期五. B.星期六.C.星期日. D.星期一.

7.n为正整数,302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值.则r的最大值与最小值的和是 ( ) A.148. B.247.C.93. D.122.

8.绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于

A.0. B.-32.C.33. D.-33.

9.x是正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3.即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是( )

A.12. B.11.C.10. D.9.

10.如图26是一个长为a,宽为b的矩形.两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形.则矩形中未涂阴影部分的面积为( )

A.ab-(a+b)c.B.ab-(a-b)c. C.(a-c)(b-c).D.(a-c)(b+c).

二、填空题(每题1分,共10分)

1.在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数.在1993.4与它的相反数之间共有b个整数

,( ) 39319( )

在-1与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________. 1993.4

2.设a=1÷2÷3÷4,b=1÷(2÷3÷4),c=1÷(2÷3)÷4,d=1÷2÷(3÷4),则(b÷a)÷(c÷d)=______.

3.两个同样的大小的正方体形状的积木.每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v 等于-1,现将两个正方体并列放置.看得见的五个面上的数字如图27所示,则看不见的七个面上的数的和等于______.

?7??7??7??7??7??7??7??7??7??1???1???1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6???7??8??9?4.计算: ?9??9??9??9??9??9??9??1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6??7?

=__________. 5.abcde是一个五位自然数,其中a,b,c,d,e为阿拉伯数码,且a<b<c<d,则|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______.

6.连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数.则这1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是______.

7.某次竞赛满分为100分,有六个学生的得分彼此不等,依次按高分到低分排列名次.他们六个人的平均分为91分,第六名的得分是65分.则第三名的得分至少是______分.

199319922

8.计算:=________. 2219931991?19931993?2

9.若a,b,c,d为非负整数.且(a+b)(c+d)=1993.则a+b+c+d=______.

10.有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇.平均每个采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的

菇,则丁采蘑菇______ 个.

三、解答题(在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果.每题5分,共10分)

1. 如图28,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x,y,z).试求满足上述条件的矩形的面积最小值.

2.你能找到三个整数a,b,c,使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立222243,乙采的数量是丙的倍,丁比甲多采了3个蘑52

吗?如果能找到,请举一例,如果找不到,请说明理由.

答案与提示

一、选择题

1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C

提示:

=10-100-1000-10000=-11090.选C.

2.在-109.2与-11.9之间最小整数是-109,最大整数是-12.共计包含(-12)-(-109)+1=98个整数.在10.5与199.5之间包含最小整数是11,最大整数是199.共计包含199-11+1=189个整数.因此墨水共盖住98+189=287个整数.选C.

3.当a=b=0时,a2+b2,a2-b2,(a-b)2,(a+b)2取值为0,而当a=-1,b=1时a3b+1=0.因此对任意有理数a,b其值为正的只有a2b2+1,a2+b2+0.1,2a2+3b4+1,共3个选A.

ac(1-bc)<0,所以选A.

5.19=19934×23+1,93=93194×4+3

所以1993与191的末位数相同是9、9319与933末位数字相同是7.因此1993+9310末位数字是9+7=16的末位数字6,选C.

6.1993=(284×7+5)=(284×7)+3×(287×7)×5+3(287×7)×5+125.

所以19933被7除的余数与125被7除的余数相同,125=7×7+6.所以19933被7除余数为6.从4月18日星期日数起,每到第十天就是星期六,如4月24日是星期六,因此1993-6恰是星期六,再往后数6天,1993天是星期五.而1993天之后的那一天应是星期六,选B.

7.n(n+1)为偶数.设302被n(n+1)除商q余r,则302=n(n+1)q+r知,r为偶数.显然B、C均应排除.由除数n(n+1)只能取6,12,20,30,42,56,72,90,110,132,156,182,210,240,272这些值,计算得相应的余数中最小的正值为2,最大正值为146.所以r的正的最小值与最大值的和是148.选A.

8.即求-100与100之间被3除余1的整数之和,在0到100之间被3除余1的整数是1,4,7,…91,94,97共计33个.在-100到0之间被3除余1的整数是-98,-95,-92,-89,…-8,-5,-2.共33个其总和为-33.选D.

9.<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过93的质数,共24个,易知<1>=0.所以<<19>+<93>+<4>×<1>×

<8>>=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11,选B.

10.解①大矩形面积为ab,两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc.重叠部分面积为c2,所以未涂阴影部分面积为ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c),选C. 33333322

解②将阴影部分等积变形如图29,两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c)均未改变.易见,未涂阴影部分面积为空白矩形的面积,是(a-c)(b-c),选C.

二、填空题

2

提示:

1994个整数,a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有2×1993+1=3987个整数,

3987=1=5982.

3.由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1.所以每个正方体六个面上写的数之和等于-3.两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6.而五个看得见的面上的数之和是1+2+3+4+5=15.因此,看不见的七个面上所写数的和等于

(-6)-15=-21.

5.若a<b<c<d≤e时

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a.当e=9,a=1时取最大值为8. 若a<b<c<d,且d>e时.

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e.当d=9,a=1,e=0时,取最大值17.所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17.

6.设这连续的1993个自然数为

x-996,x-995,…,x-1,x,x+1,x+2,…,x+995,x+996.显然.x-996≥1,即x≥997.这1993个连续自然数之和设为σ.

则σ=1993x,要求σ为完全平方数,而1993又是质数,x的最小值为1993.此时,1993个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989,即当σ为完全平方数时,1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是2989.

7.设六个人的成绩依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6.则65=x6<x5<x4<x3<x2<x1≤100.

∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481.

要使x3最小,必须x1,x2尽可能大,x4,x5尽可能接近x3,所以当x1=100,x2=99,x4=x3-1,x5=x3-2时,x3取最小值,即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481.

3x3=481-100-99+3=285.x3=95.

答:第三名的得分至少是95分.

9.因为1993是质数,a2+b2与c2+d2都是正整数,所以a2+b2与c2+d2分别取值1与1993(参见第一试填空第7题解答).为确定起见;,不妨设a+b=1,c+d=1993.

(1)a2+b2=1.推知a=0,b=1或a=1,b=0,因此a+b=1.

(2)c2+d2=1993.

若c≤31,d≤31,则c+d≤2×31=2×961=1922<1993.所以c,d中至少有一个大于31.又由于44=1936<1993,故设c为c,d中较大的一个,则32≤c≤44.

我们依次取c=44,43,42,41,…,33,32试算如下:

22222222

其中1933-c2的结果中,只有144=122为完全平方数,即432+122=1993,所以c=43,d=12或c=12,d=43.因此,c+d=55.

所以a+b+c+d=1+55=66.

一个近似为首位的是3的两位整数.因此,由近似数的表示有

23.5…≤x≤31.5…

因x是整数,x只能从24,25,26,27,28,29,30,31中选取.

因此只能有x=30,即丙采30个蘑菇.

此时,乙采45个蘑菇,甲采36个蘑菇,因此丁采39个蘑菇.

舍五入,约为38是个十位数是3的两位

数.

三、解答题

1.如图30已有三个小正方形的边长为x,y,z,我们通过x,y,z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中,它们是x+y,x+2y,x+3y,4y,x+7y,2x+y,2x+y+z,4x+4y-z,4x+4y-2x,及5x-2y+z.因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z

化简上述的两个方程得到z=13y-4x,4z=2x+3y.消去z得18x=49y.

因为18与49互质,所以x、y的最小自然数解是x=49,y=18,此时z=38.

以x=49,y=18,z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z,得长、宽分别为593和422.此时得最小面积值是593×422=250246.

2.答:找不到满足条件的三个整数理由如下:

如果存在整数a,b,c,使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立.

因为3388是偶数,则左边四个因子中至少有一个是偶数.

不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数.

同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数.b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数.

因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除,而3388不能被16整除,得出矛盾. 故不存在三个整数a,b,c满足关系式

(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388.

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