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2013年全国初中数学联赛初赛试卷(湖南省娄底市)

发布时间:2013-11-02 08:06:42  

2013年全国初中数学联赛初赛试卷

(娄底市) 时间:2013年3月7日

一、选择题(7×4=28分)

1、下列计算准确的是

A、2a?a?2a236

B、(3a2)3?9a C 、6a6?a?a23

D、(a?2)3?a ?6

2、曾两度获得若贝尔(物理、化学)的居里夫人发现了镭这种放射性元素。已知1kg镭完全衰变后,放出的热量相当于375000kg煤燃烧放出的热量。估计地壳内含有100亿kg镭,这些镭完全衰变后放出的热量相当于 kg煤燃烧所放出的热量。

A、3.75?1013 B、3.75?

21014 C、3.75?1015 D、3.75?1016 3、直线y=2x-5与y?(m?4)x?m?3(m为任意实数)的交点不可能在

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

4、实数b满足b<3 ,并且有实数a使a<b恒成立,则a的取值范围是

A、小于或等于3的实数 B、小于3的实数

C、小于或等于-3的实数 D、小于-3的实数

5、一块手表每小时比准确时间慢3分钟,若在清晨4::30时与准确时间对准,则当天上午该手表时间是10:50时,准确时间应该是

A、 11:10 B 、11:09 C、 11:08 D、 11:07

6、若直角三角形的斜边长为c,内切圆半径r,则内切圆的面积与三角形的面积之比是

A、?rc?2r?r B、c?r C、?r

2c?r?r D、c2?r2

7、我们将 1×2×3×?n记作n!(读作n的阶乘),如:2!=1×2, 3!=1×2×3, 4!=1×2×3×4,若设S=1×1!+2×2!+3×3!+??+2013×2013!,则S除以2014的余数是

A、0 B、1 C、1007 D、2013

二、填空题(7×4=28分)

8

、函数y?x?2 的自变量x的取值范围是

29、设x1,x2是方程x?x?k?0 的两个实数根,若恰好x1?x1x2?x2?2k 成立,则k的值等

10、已知二函数y?22x2?bx?c 的图象上有三个点(-1,y),(1,y2)(3,y3)。若y1?y3,则1

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y

1、y2、c的大小关系用“<”号连接起来是 。

11、经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转,也可能向右转。如果这三种可能性大小相同,则三辆汽车经过这个十字路口时其中两辆汽车向右转,一辆汽车向左转的概率是 。

12、如图,以BC为直径的⊙O与△ABC的两边分别相交于点D、E,若∠A=70°,

BC=2。则图中阴影部分的面积为

13、如果有2013名学生排成一列,按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、

5、4、3、2、1?的规律报数,那么第2013名学生所报的数应该是 。

14、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=3,BC=5,AB=1,把线段CD

绕点D逆时针旋转90°到DE位置,连接AE,则AE= 。

15、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,匀速相向而行,他们相遇时,要到达

各自的终点B、A,甲、乙两人分别还需要16小时与9小时,则甲自A到B共需

小时。

三、解答题(12×5=60分)

16、先化简,再求值:

122(x?2?)?(?1) 其中

x?2x?2

4

17、如图。已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别为AB、BC上的点,且BE=2,BF=1,P为EF上的一个动点,作矩形PNDM,NP的延长线交AB于点G。

(1) 求证:EG=2PG

(2) 求矩形PNDM的最大面积。

18、为配合市级的“三创”工作,一所中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动。若每处安排10

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人,则还剩15人;托每处安排14人,则有一处的人数不足14人,但不小于10人,求这所中学选派的学生人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数?

19、如图,已知矩形ABCD的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xoy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y?

(1)写出矩形的四个顶点A、B、C、D的坐标。

(2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线y?ax?bx?c的顶点为点P;

① 若点P位于⊙M的外侧且在矩形ABCD的内部,求a的取值范围;

② 过点C作⊙M的切线交AD于点F,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是否在直线y?上?若不在,如何平移该直线使其经过点Q?

20、给定两组数,A组数为:1、2、3、??100;B组数为:1、2、3、??100;对于A组中的数x,若有B组中的数y,使x+y也是B组中的数。,则称x为“吉祥数”,问A组中共有多少个“吉祥数”?

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22223x?1经过这两个顶点中的一个。 223x?1 2

2013年全国初中数学联赛初赛试卷

参考答案

一、选择题

1、选D 选项 A 2a?a?2a 选项 B 235(3a)

?223?27a36

选项 C a?a?a624 选项 D (a)?a?6

2、 选 C 因为 375000×100亿=3.75×1015

3、 选 B 因为直线 y=2x-5不经过第二象限,两直线的交点不可能在第二象限

4、 选 C 因为b<3 得-3<b<3,又a<b恒成立,因此 a<-3

5、 选A 手表走380分钟用了准确时间400分钟,因此当手表指示10:50时,准确时间是11:10

6、选 B 设直角三角形的两直角边为a、b,则r?a?b?c 2

1 又直角三角形的面积为(a?b?c)r?(c?r)r, 2

因此内切圆面积与三角形面积之比为:

7、选 D 因为n×n!=(n+1)n! -n!

所以S=2!-1!+3!-2!+4!-3!+??+2014!-2013!

=2014!-1=2014×(2013!-1)+2013

因此S除以2014的余数是2013

二、填空题

8、x≥-3且X≠-2

由 x+3≥0 且x+2≠0 可得 x≥-3且x≠-2

9、-1

且 2?2(c?r)r??rc?r x?x1

22??1,x1?x2?k 22 1?4?1?k?1?4k?0 得 k≤142 得:x1?x1?x2?x2?(x1?x2)?x1x2=(?1)?k=1-k=2

11解得:k=-1 或k=,但k=不合题意,应舍去 22

第4页(共7页) k2

10、y2?c?

由y1 ?1?3=1 2y1?y可知抛物线对称轴为x=3

即点(1,y2)为抛物线的最低点

由抛物线的性质当a>0时,抛物线在对称轴左侧是下降的得y2?c?

111、 9y1

12、7? 18

由∠A=70° 得∠ABC+∠ACB=110°

因此∠BOD+∠COE=360°-2(∠ABC+∠ACB)=140°

所以 图中阴影部分的面积为:

13、 5

由 2013÷8=251??5可得第2013名学生所报的数应该是5 14

、 过点E作EM⊥AD于M,过点D作DN⊥BC于N,可证△DEM≌△DCN(AAS) 得DM=DN=AB=1,EM=CN=BC-AD=2

因此

15、 28

设甲乙两人从出发到相遇用了x小时 140???3602?7? 18?? 则 V甲=乙?x16 V乙=甲?x9 , 可得V甲

乙=34 x=12

因此甲自A到B共需28小时

三、解答题

16、解:原式=2?4?12x?2?2?(x?2)(x?4)(x?4)x?2???(x?4) x?2x?2?(x?4)当

x=4 时 原式=

-(4+4)=

EGEB1?? 17、(1) 由△EPG∽△EFB 可得PGFB2

因此 EG=2PG

(2) 设PG=2x,则EG=2x, AG=2+2x

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32x?)(S=(4-x)(2+2x)= ?2矩形2?252

因0≤x≤1,所以 当x=1时,S矩形取得最大值12

18、解:设有x个公共场所,则有(10x+15)人 根据题意得:10≤(10x+15)-14(x-1) <14

33 解得 3<x≤4 44

因x是整数,所以x=4,这时 10x+15=55 答:略

19、(1)A(2, 0) B(5, 0) C(5, 2) D(2, 2)

(2) ①∵⊙M以AB为直径 ∴M(3.5, 0)

由于抛物线y?ax2?bx?c经过点A(2,0)和B(2,2)两点 ∴y=a(x-2)(x-5) ax-即:y?(7?9a4,∴抛物线的顶点P(7,?9a) 422

82∵顶点P同时在⊙M外和矩形ABCD内 ∴ 229??<?a<2, ∴9<a<3 4

②设切线CF与⊙M相切于点E,交AD于点F 设 AF=n(n>0)

∵AD、CF、BC均为⊙M的切线

∴ CF=n+2 DF=2-n

在RT△DCF中,

即2DF22?DC?CF 222(2?n)?3?(n?2)

9

,∴F(2,8) 9解得:n=8

9

当PF∥AB时,P点的纵坐标是 8

9∴?a=4 981 ,a=? 2

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∴抛物线为y=?7?9??12?7x?51(x?)82x2 22

3x?1上 22∴抛物线与y轴的交点Q为(0,-5) 显然它不在直线y?

将直线y?3x?1向下平移4个单位,即可经过点Q 2

20、设y=

则 x=b2,x+y=2a2,1≤b<a≤100 a2?b=(a+b) (a-b)≤100

因 (a?b)与(a?b)同为奇 偶,且a?b≥(a?b)+2,以下分情况讨论:

(1)若a?b=1,则3≤a?b≤99为奇数,a?b可取3,5,7,??99共49个

(2)若a?b=2,则4≤a?b≤50 为偶数,a?b可取4,6,8??50共24个 其它情况下所得的x值,则可归为以上情形。

所以:x共有:49+24=73个

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