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第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

发布时间:2013-11-04 08:06:29  

大学生数学竞赛(高等数学)

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

(非数学类)

一、 解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)

1.

求极限lim1?sinn??

?. n解

因为sin??sin2n??n?

?(2分);

??????原式?lim?1??explimnln1??n???? n????????

…………………………………………………………………………………………(2分)

??exp?limn?n??

?????exp?n?1??e4………(2分) 2.证明广义积分

?n?1???0sinxdx不是绝对收敛的 x

dx,只要证明?an发散即可。…………………………(2分) n?0?解 记an?n??sinxx

1因为an?n?1?

??n?1??n??12sinxdx?sinxdx?。……………(2分) ?n?1?n?1?0??2而?发散,故由比较判别法?an发散。……………………………………(2分) n?1?n?0n?0

3.设函数y?y?x?由x3?3x2y?2y3?2确定,求y?x?的极值。 解 方程两边对x求导,得3x2?6xy?3x2y??6y2y??0 …………………(1分) 故y??x?x?2y?

2y?x22,令y??0,得x?x?2y??0?x?0或x??2y………(2分) 将x??2y代入所给方程得x??2,y?1,

将x?0代入所给方程得x?0,y??1,………………………………………(2分)

1

大学生数学竞赛(高等数学)

又y????2x?2xy??2y??2y2?x2??x?x?2y??4yy??2x?

?2y

?2?x22? y??x?0,y?1,y??0?0?0?2??2?0??0??1?0,y??x??2,y?1,y??0?1?0, 2?2?0?

故y?0???1为极大值,y??2??1为极小值。………………………………(3分)

4.

过曲线y?

面积为x?0?上的点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的3,求点A的坐标。 4

解 设切点A

的坐标为t,曲线过A

点的切线方程为y???x?t?

………………………………………………………………………………………(2分); 令y?0,由切线方程得切线与x轴交点的横坐标为x0??2t。

从而作图可知,所求平面图形的面积

t33S?t??2t????t?1, ??

??440

故A点的坐标为?1,1?。…………………………………………………………(4分)

?

二、(满分12)计算定积分I?

0???xsinx?arctanexdx 21?cosx

解 I?

????xsinx?arctanexxsinx?arctanexdx??dx 21?cos2x1?cosx0??xsinx?arctane?xxsinx?arctanex

??dx??dx…………………………………(4分) 221?cosx1?cosx00

xsinx?xsinx?xx???arctane?arctanedx?dx ……………………(2分) ??22?1?cosx201?cosx0

????2????2???sinxdx…………………………………………………………………(4分) 2?1?cosx0

23?????????arctancosx0?………………………………………………………… (2分) 28??

2

大学生数学竞赛(高等数学)

三、(满分12分)设f?x?在x?0处存在二阶导数f???0?,且limx?0

1?证明 :级数?f???收敛。 nn?1?f?x?x?0。??

解 由于f?x?在x?0处可导必连续,由limx?0f?x?x?0得

?f?x?? f?0??limf?x??lim?x? ??0………………………………………………(2分)x?0x?0x??

f??0??limx?0f?x??f?0?x?0

f??x??limx?0f?x?x ?0………………………………………… (2分)由洛必塔法则及定义 limx?0f?x?x2f??x??f??0?11 3分) ?lim?lim?f???0? ………………………(x?02xx?02x?02

?1?f???n?1???f?0? ………………………………… (2分)所以 lim 2n??2?1????n?

?1?1?由于级数?2收敛,从而由比较判别法的极限形式?f??收敛。……(3分) nn??n?1n?1?

四、(满分12分)设f?x???,f??x????0?a?x?b?,证明?sinf?x?dx?

ab2 m

解 因为f??x????0?a?x?b?,所以f?x?在?a,b?上严格单调增,从而有反函数………………………………………………………………………………………(2分)。 设A?f?a?,B?f?b?,?是f的反函数,则0????y??

b11?……… (3分) f?xm

又f?x???,则???A?B??,所以?sinf?x?dx?

ax???y?B ????y?sinydy…(3分)A

112?????y?sinydy??sinydy??cosy? …………………… (2分) mmm000???

五、(满分14分)设?是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型

3

大学生数学竞赛(高等数学)

的曲面积分I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy。试确定曲面?,

?

使积分I的值最小,并求该最小值。

解 记?围成的立体为V,由高斯公式

I?????3x2?6y2?9z2?3?dv?3????x2?2y2?3z2?1?dxdydz ………………(3分)

VV

为了使得I的值最小,就要求V是使得的最大空间区域x2?2y2?3z2?1?0,即 取V???x,y,z?x2?2y2?3z2?1 ,曲面?:x2?2y2?3z2?1 ……… (3分)

?

??x?u1???x,y,z???0为求最小值,作变换?y??

u,v,w??z?0??00?

从而I?222u?v?w?1?dudvdw …………………………………………(4分)

????V

?2?122d?d?r?1rsin?dr 使用球坐标计算,得I??????

000

???2?11?2?????

?cos??0?4??? …………………………( 4分) 15?53?

六、(满分14分)设Ia?r????

Cydx?xdy?x2?y2a?,其中a为常数,曲线C为椭圆

x2?xy?y2?r2,取正向。求极限limIa?r? r???

??x??解

作变换??y???

u?v?(观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法),曲线C?u?v?2

变为uov平面上的椭圆?:3212,也是取正向 …(2分) u?v?r2(实现了简化积分曲线)22

而且x2?y2?u2?v2,ydx?xdy?vdu?udv(被积表达式没变,同样简单!), Ia?r????

?vdu?udv?u2?v2a? ……………………………………………………………… (2分)

4

大学生数学竞赛(高等数学)

曲线参数化u?

2cos?,v?sin?,?:0?

2?,则有vdu?udv?d?, Ia?

r??

2?

?

02?

2?1?a?d?

… (3分) ?a??22??0?222222

rcos??2rsin????cos??2sin???3??3?

d?

a

2?

令Ja?

??2

?22

cos??2sin????3?

,则由于

22

?cos2??2sin2??2,从而 33

0?Ja???。因此当a?1时limIa?r??0或a?1时limIa?r????………(2分)

r???

r???

2?

而a?1,J1?

?2

d?cos2??2sin2?

??

?/2

?4?

d?2

cos2??2sin2?3

3

?/2

?2?

dtan?1

?tan2?3

?2?

?212?t3

dt

??

??0??…(3分)

2?

?0,a?1

?

I1?

r????2?。故所求极限为Ia?r?????,a?1 ………………… (2分)

??2?,a?1

?

11???的敛散性,若收敛,求其和。七(满分14分)判断级数? n?1n?2n?1

?

1?

解 (1)记an?1?

an11

???,un?,n?1,2,3,?

2nn?1n?2n

1因为 ?

0,n充分大时0?an?1??dx?1?lnn? ………………(3分)

nx1

11

?????

11收敛…(2分)所以

0?un? ?3,而?3收敛,故?

n2n?1n?1n?1n?2n2

1?

(2)记ak?1?

11

???,?k?1,2,3,?? ,则 2k

5

大学生数学竞赛(高等数学) 111????nnnaka??aSn???????k?k? k?2?k?1k?1k?2k?1k?1k?2k?1?k?1=?

=a??aa??a?a1a1??a2a2? 2分) ??????????n?1?n?1???n?n? ……………………(2334nn?1n?1n?2????????aa1111 ??a2?a1???a3?a2?????an?an?1??n ……………………(2分)234n?1n?2

aa11111111=?????????n?1??n …………………………(2分) 23243n?1nn?2nn?2

因为0?an?1?故lim1an1?lnn1?lnndx?1?lnn,所以,从而0??lim?0, ?n??n?2xn?2n?21nan?0。 n??n?2

n??因此S?limSn?1?0?0?1。(也可由此用定义推知级数的收敛性)……………(3分)

6

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