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历年初中数学竞赛试题精选

发布时间:2013-11-04 08:06:31  

初中数学竞赛专项训练

1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。

A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解:依题意设六位数为abcabc,则abcabc=a×105+b×104+c×103+a×102+b×10+c=a×102(103+1)+b×10(103+1)+c(103+1)=(a×103+b×10+c)(103+1)=1001(a×103+b×10+c),而a×103+b×10+c是整数,所以能被1001整除。故选C

方法二:代入法

2、若S?1

111????198019812001,则S的整数部分是____________________

解:因1981、1982??2001均大于1980,所以S?1

22?1

1980?1980?90,又1980、22

1981??2000均小于2001,所以S?1

22?1

2001?200121?90,从而知S的整数2222

部分为90。

3、设有编号为1、2、3??100的100盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n个(n≤100)学生进来,凡号码是n的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。

解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

数学竞赛专项训练(9)-1

4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是 ( )

A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元

C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元

解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1+a%)元,因调整后的零售价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1+a%)b%元。

应选C

5、如果a、b、c是非零实数,且a+b+c=0,那么a?b?c?abc的所有可能的|a||b||c||abc|

值为

A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2

解:由已知,a,b,c为两正一负或两负一正。

①当a,b,c为两正一负时: D. 0或-2 ( )

abcabcabcabc???1??1所以????0; |a||b||c||abc||a||b||c||abc|

②当a,b,c为两负一正时:

abcabcabcabc????1?1所以????0 |a||b||c||abc||a||b||c||abc|

由①②知

应选A

6、在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若∠B=60°,则

值为

A. 1 2abcabc所有可能的值为0。 ???|a||b||c||abc| B.

D. 2 2 ca的?a?bc?b( ) C. 1 2

解:过A点作AD⊥CB于D,在Rt△BDA中,则于∠B=60°,所以DB=

CC。,AD=22

数学竞赛专项训练(9)-2

在Rt△ADC中,DC2=AC2-AD2,所以有(a-C2232)=b-C,整理得a2+c2=b2

24

cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc+ac,从而有????1 a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b2

应选C

7、设a<b<0,a2+b2=4ab,则

A. a?b的值为 a?bC. 2 D. 3 ( ) 3 B. 6

解:因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<0,得a?b??6ab,a?b??2ab,故

a?b?。 a?b

应选A

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

1解:?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2],2

   又a?b??1,b?c??1,c?a?2

1   ?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?32

a2b2c29、已知abc≠0,且a+b+c=0,则代数式的值是 ??bccaab

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 ( )

解:原式??(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c??bcacab

aabbcc        ??(?)?(?)?(?)bcacab

abc       ????3abc

10、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即

数学竞赛专项训练(9)-3

降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为_____

解:设该商品的成本为a,则有a(1+p%)(1-d%)=a,解得d?

11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______________

解:由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1)·y=z2+9,所以x+1,y是t2-6t+z2+9=0的两个实根,方程有实数解,则△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0,从而知z=0,解方程得x+1=3,y=3。所以x+2y+3z=8

12.气象爱好者孔宗明同学在x(x为正整数)天中观察到:①有7个是雨天;②有5个下午是晴天;③有6个上午是晴天;④当下午下雨时上午是晴天。则x等于( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

选C。设全天下雨a天,上午晴下午雨b天,上午雨下午晴c天,全天晴d天。由题可得关系式a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得2d-a=4,即d=2,故b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇,其速度依次为每小时v1、v2、v3、v4千米,且满足v1>v2>v3>v4>0,其中,v水为河流的水流速度(千米/小时),它们在河流中进行追逐赛规则如下:(1)四条艇在同一起跑线上,同时出发,①、②、③是逆流而上,④号艇顺流而下。(2)经过1小时,①、②、③同时掉头,追赶④号艇,谁先追上④号艇谁为冠军,问冠军为几号?

1小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 100p 100?p

)?(v水 ?v4)]?1?vi?v4 Si?[(vi?v水 

各艇追上④号艇的时间为

ti?vi?v4v?v42v4?i?1? (vi?v水 )?(v水 ?v4)vi?v4vi?v4

对v1>v2>v3>v4有t1?t2?t3,即①号艇追上④号艇用的时间最小,①号是冠

军。

数学竞赛专项训练(9)-4

14.有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用12台水泵需5小时,用10台水泵需7小时,若要在2小时内抽干,至少需水泵几台?

解:设开始抽水时满池水的量为x,泉水每小时涌出的水量为y,水泵每小时抽水量为z,

2小时抽干满池水需n台水泵,则

?x?5y?5?12z  ①? ?x?7y?7?10z  ②

?x?2y?2nz   ③?

由①②得?

∴n?22?x=35z,代入③得:35z?10z?2nz ?y?5z1,故n的最小整数值为23。 2

答:要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台

15.某宾馆一层客房比二层客房少5间,某旅游团48人,若全安排在第一层,每间4人,房间不够,每间5人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每3人,房间不够,每间住4人,则有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间?

解:设第一层有客房x间,则第二层有(x?5)间,由题可得

?4x?48?5x      ① ? 3(x?5)?48?4(x?5)  ②?

由①得:??4x?483,即9?x?12 5?48?5x

?3(x?5)?48 由②得:?,即7?x?11 48?4(x?5)?

∴原不等式组的解集为93?x?11 5

∴整数x的值为x?10。

答:一层有客房10间。

16、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做10个零件,这样8个人一天做的零件超过200个,后来改进技术,每人一天又多做27个零件,这样他们4个人一天所做零件就

数学竞赛专项训练(9)-5

超过劳动竞赛中8个人做的零件,问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍? 解:设劳动竞赛前每人一天做x个零件

?8(x?10)?200

由题意?

4(x?10?27)?8(x?10)?

解得15?x?17

∵x是整数 ∴x=16 (16+37)÷16≈3.3

故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。

初中数学竞赛专项训练(5)

(方程应用)

一、选择题:

1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B,若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A之后35分钟到达B,甲乙的速度之比为 ( ) A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4

2、某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件,如果获利润最大的产品是第R档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么R等于 ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 3、某商店出售某种商品每件可获利m元,利润为20%(利润=售价?进价),若这种商品

进价

的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元,则提价后的利润率为 ( ) A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5%

4、某项工程,甲单独需a天完成,在甲做了c(c<a)天后,剩下工作由乙单独完成还需b天,若开始就由甲乙两人共同合作,则完成任务需( )天 A.

c a?b

B.

ab a?b?c

C. a?b?c

2

D.

bc a?b?c

5

数学竞赛专项训练(9)-6

则:A、B两队比赛时,A队与B队进球数之比为 ( )

A. 2∶0 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 0∶2

6、甲乙两辆汽车进行千米比赛,当甲车到达终点时,乙车距终点还有a千米(0<a<50)现将甲车起跑处从原点后移a千米,重新开始比赛,那么比赛的结果是 ( )

A. 甲先到达终点 B. 乙先到达终点

C. 甲乙同时到达终点 D. 确定谁先到与a值无关

7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时,逆流航行这段路程需b小时,那么一木块顺水漂流这段路需( )小时

2ab2abab B. C. ab D. a?bb?ab?aa?b

8、A的年龄比B与C的年龄和大16,A的年龄的平方比B与C的年龄和的平方大1632,那么A、B、C的年龄之和是 ( )

A. 210 B. 201 C. 102 D. 120

二、填空题 A.

1、甲乙两厂生产同一种产品,都计划把全年的产品销往济南,这样两厂的产品就能占有

311,然而实际情况并不理想,甲厂仅有的产品,乙厂仅有的423

1产品销到了济南,两厂的产品仅占了济南市场同类产品的,则甲厂该产品的年产量3济南市场同类产品的

与乙厂该产品的年产量的比为_______

2、假期学校组织360名师生外出旅游,某客车出租公司有两种大客车可供选择,甲种客车每辆有40个座位,租金400元;乙种客车每辆有50个座位,租金480元,则租用该公司客车最少需用租金_____元。

3、时钟在四点与五点之间,在_______时刻(时针与分针)在同一条直线上?

4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生,钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生,考虑到三年来物价的总涨幅为40%,则钱先生实际上按_____%的利率获得了利润(精确到一位小数)

5、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳,甲游100米要72秒,

数学竞赛专项训练(9)-7

乙游100米要60秒,略去转身时间不计,在12分钟内二人相遇____次。

6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数,甲的年龄是乙的两倍,乙比丙小7岁,三人的年龄之和是小于70的质数,且质数的各位数字之和为13,则甲、乙、丙三人的年龄分别是_________

三、解答题

1、某项工程,如果由甲乙两队承包,22天完成,需付180000元;由乙、丙两队承包,5

363天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包,2天完成,需付160000元,现47

在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队承包费用最少?

2、甲、乙两汽车零售商(以下分别简称甲、乙)向某品牌汽车生产厂订购一批汽车,甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍,后来由于某种原因,甲从其所订的汽车中转让给乙6辆,在提车时,生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆,最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍,试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量?最少是多少辆?

3、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站,每辆车乘4人(不包括司机),其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障,此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这辆车的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案,通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

4、某乡镇小学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师生立即出发到县城,由于汽车在赴校途中发生了故障,不得不停车修理,学校师生等到7时10分仍未见汽车来接,就步行走向县城,在行进途中遇到了已修理好的汽车,立即上车赶赴县城,结果比原来到达县城的时间晚了半小时,如果汽车的速度是步行速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间?

数学竞赛专项训练(5)方程应用参考答案

数学竞赛专项训练(9)-8

一、选择题

1、D。 解:设甲的速度为v1千米/时,乙的速度为v2千米/时,根据题意知,从出发地

点到A的路程为v1千米,到B的路程为v2千米,从而有方程:

v2v135v2vv3v4??,化简得12(1)?7(1)?12?0,解得1?(1??不合题v1v260v2v2v24v23

意舍去)。应选D。

2、C。 解:第k档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为 y?[60?3(k?1)][8?2(k?1)]  ??6(k?9)?8642

所以,生产第9档次产品获利润最大,每天获利864元。

3、C。 解:若这商品原来进价为每件a元,提价后的利润率为x%,

?m?a?20% 则?解这个方程组,得x?16,即提价后的利润率为16%。 m?(1?25%)a?x%?

4、B。解:设甲乙合作用x天完成。

由题意:(1?ab1?c)x?1,解得x?ab。故选B。 a?b?c

5、A。解:A与B比赛时,A胜2场,B胜0场,A与B的比为2∶0。就选A。

6、A。解:设从起点到终点S千米,甲走(s+a)千米时,乙走x千米

(s?a)(s?a)a2

s:(s?a)?(s?a):x  ?x??s?ss

s2a2

2??0  ?s??s  即甲(s走?a)千米时 ?a?0  s?0   ,as

a2

乙走(s?)千米。甲先到。A。故选s

7、B。解:设小船自身在静水中的速度为v千米/时,水流速度为x千米/时,甲乙之间的

距离为S千米,于是有v?x?SS(b?a)SS2ab所以?。 ,v?x?求得x?ab2abxb?a

8、C。解:设A、B、C各人的年龄为A、B、C,则A=B+C+16 ①

A2=(B+C)2+1632 ② 由②可得(A+B+C)(A-B-C)=1632 ③,由①得A

-B-C=16 ④,①代入③可求得A+B+C=102

二、填空题

数学竞赛专项训练(9)-9

1、2∶1。解甲厂该产品的年产量为x,乙厂该产品的年产量为y。

3

x?y 则:?x:y?2:1 ?,解得x?2y  111x?y233

2、3520。解:因为9辆甲种客车可以乘坐360人,故最多需要9辆客车;又因为7辆乙

种客车只能乘坐350人,故最多需要8辆客车。

①当用9辆客车时,显然用9辆甲种客车需用租金最少,为400×9=3600元;

②当用8辆客车时,因为7辆甲种客车,1辆乙种客车只能乘坐40×7+50=330人,而

6辆甲种客车,2辆乙种客车只能乘坐40×6+50×2=340人,5辆甲种客车,3辆乙种客车只能乘坐40×5+50×3=350人,4辆甲种客车,4辆乙种客车只能乘坐40×4+50×4=360人,所以用8辆客车时最少要用4辆乙种客车,显然用4辆甲种客车,4辆乙种客车时需用租金最少为400×4+480×4=3520元。

3、4点21

69分或4点54分时,两针在同一直线上。 1111解:设四点过x分后,两针在同一直线上, 19 若两针重合,则6x?120?x,求得x?21分, 21116 若两针成180度角,则6x?120?x?180,求得x?54分。 21169所以在4点21分或4点54分时,两针在同一直线上。 1111

1?60%1.6?1??1?0.203?20.3% 95%(1?40%)0.95?1.44、20.3。解:钱先生购房开支为标价的95%,考虑到物价上涨因素,钱先生转让房子的利率为

5、共11次。

6、30岁、15岁、22岁。

解:设甲、乙、丙的年龄分别为x岁、y岁、z岁,则

数学竞赛专项训练(9)-10

?x?2y             ①? ?y?z?7            ②

?x?y?z?70且x?y?z为质数  ③?

显然x?y?z是两位数,而13=4+9=5+8=6+7

∴x?y?z只能等于67 ④。由①②④三式构成的方程组,得x?30,y?15,

z?22。

三、解答题

1、设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成,

?115?x?y?12??x?4??114 则???解得?y?6

?z?10?yz15??117????zx20

再设甲、乙、丙单独工作一天,各需u、v、w元,

?12?5(u?v)?180000

?u?45500???15 则?(v?w)?150000,解得?v?29500

?w?10500?4??20?7(w?u)?160000?

于是,甲队单独承包费用是45500×4=182000(元),由乙队单独承包费用是29500×

6=177000(元),而丙不能在一周内完成,所以,乙队承包费最少。

2、解:设甲、乙最后所购得的汽车总数为x辆,在生产厂最后少供的6辆车中,甲少要

了y辆(0?y?6),乙少要了(6?y)辆,则有 31(x?6)?6?y?2[(x?6)?6?(6?y)],整理后得x?18?12y。 44

当y?6时,x最大,为90;当y?0时,x最小为18。

所以甲、乙购得的汽车总数至多为90辆,至少为18辆。

3、解:[方案一]:当小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内

数学竞赛专项训练(9)-11

的4个人送到火车站,立即返回接步行的4个人到火车站。

设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为xkm,根据题意,有 x15?15?x ?560

30 解得x?,因此这8个人全部到火车站所需时间为 13

3030355 ?5?(15?)?60??小时?=40?42(分钟)13135213

故此方案可行。

[方案二]:当小汽车出现故障时,乘这辆车的4个人下车步行,另一辆车将车内的4

个人送到某地方后,让他们下车步行,再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人,使得两批人员最后同时到达车站。

分析此方案可知,两批人员步行的距离相同,如图所示,D为无故障汽车人员下车地

点,C为有故障汽车人员上车地点。因此,设AC=BD=y,有 y15?y?15?2y解得y?2。因此这8个人同时到火车站所需时间为 ?560

215?237 ,故此方案可行。 ???37(分钟)<42(分钟)56060

A C D B

火车站 故障点

4、解:假定排除故障花时x分钟,如图设点A为县城所在地,点C为学校所在地,点B为师生途中与汽车相遇之处。在师生们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从C到B步行代替乘车而耽误的,汽车所晚的30分钟,一方面是由于排除故障耽误了x分钟,但另一方面由于少跑了B到C之间的一个来回而省下了一些时间,已知汽车速度是步行速度的6倍,而步行比汽车从C到B这段距离要多花20分钟,由此汽车由C到B应花20,一个来回省下8分钟,?4(分钟)6?1

所以有x-8=30 x=38 即汽车在途中排除故障花了38分钟。

A B C

初中数学竞赛专项训练(7)

(逻辑推理)

数学竞赛专项训练(9)-12

一、选择题:

1、世界杯足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分,小组赛完以后,总积分最高的两个队出线进入下轮比赛,如果总积分相同,还要按净胜球排序,一个队要保证出线,这个队至少要积 ( )

A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分

2、甲、乙、丙三人比赛象棋,每局比赛后,若是和棋,则这两个人继续比赛,直到分出胜负,负者退下,由另一个与胜者比赛,比赛若干局后,甲胜4局,负2局;乙胜3局,负3局,如果丙负3局,那么丙胜 ( )

A. 0局 B. 1局 C. 2局 D. 3局

3、已知四边形ABCD从下列条件中①AB∥CD ②BC∥AD ③AB=CD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D,任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有 ( )

A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种

4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人,一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处,那么满足上述要求的排法的方案有 ( )

A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 0种

5、正整数n小于100,并且满足等式?n???n???n??n,其中?x?表示不超过x的最???????2??3??6?

大整数,这样的正整数n有( )个

A. 2 B. 3 C. 12 D. 16

6、周末晚会上,师生共有20人参加跳舞,其中方老师和7个学生跳舞,张老师和8个学生跳舞??依次下去,一直到何老师,他和参加跳舞的所有学生跳过舞,这个晚会上参加跳舞的学生人数是 ( )

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12

7、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成,每两个相邻展室(指

有公共边的小三角形)都有门相通,若某参观者不愿返回已参观过的

展室(通过每个房间至少一次),那么他至多能参观( )个展室。

A. 23 B. 22 C. 21 D. 20

8、一副扑克牌有4种花色,每种花色有13张,从中任意抽牌,最小要抽( )张才能保证有4张牌是同一花色的。

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

二、填空题:

1、观察下列图形:

数学竞赛专项训练(9)-13

① ② ③ ④ 根据①②③的规律,图④中三角形个数______

2、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花花色的牌又按A,1,2,3,??J,Q,K的顺序排列,某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,??如此下去,直到最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是______

3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字一共可组成_____个能被5整除的三位数

4、将7个小球分别放入3个盒子里,允许有的盒子空着不放,试问有____种不同放法。

5、有1997个负号“-”排成一行,甲乙轮流改“-”为正号“+”,每次只准画一个或相邻的两个“-”为“+”,先画完“-”使对方无法再画为胜,现规定甲先画,则其必胜的策略是__________________

6、有100个人,其中至少有1人说假话,又知这100人里任意2人总有个说真话,则说真话的有_____人。

数学竞赛专项训练(9)-14

三、解答题

1、今有长度分别为1、2、3、??、9的线段各一条,可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形?

2、某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,证明至少有5人植树的株数相同。

3、袋中装有2002个弹子,张伟和王华轮流每次可取1,2或3个,规定谁能最后取完弹子谁就获胜,现由王华先取,问哪个获胜?他该怎样玩这场游戏?

4、有17个科学家,他们中的每一个都和其他的科学家通信,在他们的通信中仅仅讨论三个问题,每一对科学家互相通信时,仅仅讨论同一个问题。证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信

数学竞赛专项训练(7)逻辑推理参考答案

一、选择题

1、答B。解:4个队单循环比赛共比赛6场,每场比赛后两队得分之和或为2分(即打平),或为3分(有胜负),所以6场后各队的得分之和不超过18分,若一个队得7分,剩下的3个队得分之和不超过11分,不可能有两个队得分之和大于或等于7分,所以这个队必定出线,如果一个队得6分,则有可能还有两个队均得6分,而净胜球比该队多,该队仍不能出线。应选B。

2、答B。解有人胜一局,便有人负一局,已知总负局数为2+3+3=8,而甲、乙胜局数为4+3=7,故丙胜局数为8-7=1,应选B。

3、答B。解:共有15种搭配。①和② ③和④ ⑤和⑥ ①和③ ②和④ ①和⑤ ①和⑥ ②和⑤ ②和⑥ 能得出四边形ABCD是平行四边形。

①和④ ②和③ ③和⑤ ③和⑥ ④和⑤ ④和⑥ 不能得出四边形ABCD是平行四边形。应选B。

4、答B。解:设最后一排k个人,共n排,各排人数为k,k+1,k+2??k+(n-1)。由题意nk?n(n?1)即n[2k?(n?1)]?2且n≥3,00,因k、n都是正整数,?100,2所以n?2k?(n?1),且n与2k?(n?1)的奇偶性相同,将200分解质因数可知n

数学竞赛专项训练(9)-15

=5或n=8,当n=5时,k=18,当n=8时,k=9,共有两种方案。应选B。

5、答D。解:由nnn???n,以及若x不是整数,则[x]<x知,2|n,3|n,6|n,236

?100???16个。应选D。 6??即n是6的倍数,因此小于100的这样的正整数有?

6、答C。解设参加跳舞的老师有x人,则第一个是方老师和(6+1)个学生跳过舞;第二是张老师和(6+2)个学生跳过舞;第三个是王老师和(6+3)个学生跳过舞??第x个是何老师和(6+x)个学生跳过舞,所以有x+(6+x)=20,∴x=7,20-7=13。故选C。

7、答C。解:如图对展室作黑白相间染色,得10个白室,15个黑室,按要求不返回参观过的展室,因此,参观时必定是从黑室到白室或从白室到黑室(不会出现从黑到黑,或从白到白),由于白室只有10个,为使参观的展室最多,只能从黑室开始,顺次经过所有的白室,最终到达黑室,所以,至多能参观到21个展室。选C。

8、选B。解:4种花色相当于4个抽屉,设最少要抽x张扑克,问题相当于把x张扑克放进4个抽屉,至少有4张牌在同一个抽屉,有x=3×4+1=13。故选B。

二、填空题

1、解:根据图中①、②、③的规律,可知图④中的三角形的个数为1+4+3×4+32×4+33×4=1+4+12+36+108=161(个)

2、解:根据题意,如果扑克牌的张数为2、22、23、??2n,那么依照上述操作方法,剩下的一张牌就是这些牌的最后一张,例如:手中只有64张牌,依照上述操作方法,最后只剩下第64张牌,现在手中有108张牌,多出108-64=44(张),如果依照上述操作方法,先丢掉44张牌,那么此时手中恰有64张牌,而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层,这样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的就是原顺序的第88张牌,按照两副扑克牌的花色排列顺序88-54-2-26=6,所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6。

3、解:百位上的数共有9个,十位上的数共有10个,个位上的数共有2个,因此所有的三位数共9×10×2=180。

4、解:设放在三个盒子里的球数分别为x、y、z,球无区别,盒子无区别,故可令6、7共五个值。 ?x?y?z?71,于是3x?7,x?2,故x只有取3、4、5、x?y?0,依题意有?3?x?y?z?0

数学竞赛专项训练(9)-16

①x?3时,y?z?4,则y只取3、2,相应z取1、2,故有2种放法; ②x=4时,y?z?3,则y只取3、2,相应z取0、1,故有2种放法;

③x=5时,y?z?2,则y只取2、1,相应z取1、0,故有2种放法;

④x=6时,y?z?1,则y只取1,相应z取0,故有1种放法;

⑤x=7时,y?z?0,则y只取0,相应z取0,故有1种放法;

综上所求,故有8种不同放法。

5、解:先把第999个(中间)“-”改为“+”,然后,对乙的每次改动,甲做与之中心对称的改动,视数字为点,对应在数轴上,这1997个点正好关于点(999)对称。

6、解:由题意说假话的至少有1人,但不多于1人,所以说假话的1人,说真话的99人。

三、1、解:1+2+3+??9=45,故正方形的边长最多为11,而组成的正方形的边长至少有两条线段的和,故边长最小为7。

7=1+6=2+5=3+4

8=1+7=2+6=3+5

9+1=8+2=7+3=6+4

9+2=8+3=7+4=6+5

9=1+8=2+7=3+6=4+5

故边长为7、8、10、11的正方形各一个,共4个。而边长为9的边可有5种可能能组成5种不同的正方形。所以有9种不同的方法组成正方形。

2、证明:利用抽屉原理,按植树的多少,从50至100株可以构造51年抽屉,则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。(用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里,那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里,而参加植树的人数为204人,每个抽屉最多有4人,故植树的总株数最多有:

4(50+51+52+??+100)=4×(50?100)?51=15300<15301,得出矛盾。因此,2

至少有5人植树的株数相同。

3、解:王华获胜。

王华先取2个弹子,将2000(是4的倍数)个弹子留给张伟取,不记张伟取多少个弹子,设为x个,王华总跟着取(4-x)个,这样总保证将4的倍数个弹子留给张伟取,如此下去,最后一次是将4个弹子留给张伟取,张伟取后,王华一次取完余下的弹子。

4、解析在研究与某些元素间关系相关的存在问题时,常常利用染色造抽屉解题。17位科学家看作17个点,每两位科学家互相通信看作是两点的连线段,关于三个问题通信可看作是用三种颜色染成的线段,如用红色表示关于问题甲的通信,蓝色表示问题乙通

数学竞赛专项训练(9)-17

信,黄色表示问题丙通信。这样等价于:有17个点,任三点不共线,每两点连成一条

线段,把每条线段染成红色、蓝色和黄色,且每条线段只染一种颜色,证明一定存在

一个三角形三边同色的三角形。

证明:从17个点中的一点,比如点A处作引16条线段,共三种颜色,由抽屉原理至

少有6条线段同色,设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色。

若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线,设这两点为B、C,则△ABC

是一个三边同为红色的三角形。

若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色,则考虑5条线段BC、BD、

BE、BF、BG的颜色只能是两种,必有3条线段同色,设为BC、BD、BE均为黄色,

再研究△CDE的三边的颜色,要么同为蓝色,则△CDE是一个三边同色的三角形,要

么至少有一边为黄色,设这边为CD,则△CDE是一个三边同为黄色的三角形。

初中数学竞赛专项训练(8)

(命题及三角形边角不等关系)

一、选择题:

1、如图8-1,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为

边作两个等边三角形APC和BPD,则线段CD的长度的最小值是 ( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 5(5?1)

2、如图8-2,四边形ABCD中∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7, 则BC+CD等于 ( )

A. 6 B. 53 C. 4 D. 3

3、如图8-3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF∥

BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为 ( )

A.

D

B P 图8-2

图8-1

4、已知△ABC的三个内角为A、B、C

γ中,锐角的个数最多为 45 7B. 33 5C. 39 5C B D. 15 2图8-3 且α=A+B,β=C+A,γ=C+B,则α、β、 ( )

数学竞赛专项训练(9)-18

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

5、如图8-4,矩形ABCD的长AD=9cm,宽

AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕

EF的长分别为 ( )

A. 4cm cm B. 5cm cm

C. 4cm 2cm D. 5cm 23cm

图8-4

6、一个三角形的三边长分别为a,a,b,另一个三角形的三边长分别为a,b,b,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等,则 A.

3?1 2

a

的值等于 b

3?2 2

D. D. 5

?2

2

( )

B.

5?1 2

C.

7、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是 A. 0 B. 1 C. 3 8、若函数y?kx(k?0)与函数y?△ABC的面积为 A. 1 B. 2 二、填空题

( )

1

的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则x

C. k

D. k2

( )

1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a,b,则d与的大小关系是_______

2、如图8-5,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为___ 3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同

A′

a?b2

′ 图8-5

的三个数组成三数组,比如(3、5、7)、(5、9、11)??问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长_____

4、如图8-6,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=_______

5、如图8-7,甲楼楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北

数学竞赛专项训练(9)-

图8-7 图8-8

面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时求①如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?______②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是______米。

6、如图8-8,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=__

数学竞赛专项训练(9)-20

三、解答题

1、如图8-9,AD是△ABC中BC边上的中线,

求证:AD<

B

D

图8-9

2、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大

C 边长度在哪个范围内变化?

3、如图8-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是

角平分线,DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC

于点F。

A B 求证:①四边形CEDF是正方形。 ②CD2=2AE·BF 图8-10

4、从

1、2、3、4??、2004中任选k个数,使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的k的最小值是多少?

1

(AB+AC) 2

数学竞赛专项训练(8)参考答案

一、选择题

1、如图过C作CE⊥AD于E,过D作DF⊥PB于F,过D作DG⊥CE于G。 显然DG=EF=

P 1E AB=5,CD≥DG,当P为AB中点时,有

2

CD=DG=5,所以CD长度的最小值是5。 2、如图延长AB、DC相交于E,在Rt△ADE中,可求得AE=16,DE=8,于是BE=AE-AB=9,在Rt△BEC中,可求得BC=3,CE=6,于是CD=DE-CE=2 BC+CD=53。

3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF

E

H

1

∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=(AD?AB?BC?CD)?11

2

数学竞赛专项训练(9)-21

AEDF ?EBFC

AEDFk6kk4k 设 ??k,AE?AB?,DF?CD?EBFCk?1k?1k?1k?1

6k4k13k?313k?3 AD+AE+FD=3+ ∴???11 解得k=4 k?1k?1k?1k?1 ∵EF∥BC,∴EF∥AD,

作AH∥CD,AH交BC于H,交EF于G,

则GF=HC=AD=3,BH=BC-CH=9-3=6 ∵EGAE44242439 ∴EF?EG?GF? ??,∴EG?BH??3?BHAB55555

4、假设α、β、γ三个角都是锐角,即α<90°,β<90°,γ<90°,也就是A+B

<90°,B+C<90°,C+A<90°。∵2(A+B+C)<270°,A+B+C<135°与A+B+C=180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角,假设α、β、γ中有两个锐角,不妨设α、β是锐角,那么有A+B<90°,C+A<90°,∴A+(A+B+C)<180°,即A+180°<180°,A<0°这也不可能,所以α、β、γ中至多只有一个锐角,如A=20°,B=30°,C=130°,α=50°,选A。

5、折叠后,DE=BE,设DE=x,则AE=9-x,在Rt△ABC中,AB2+AE2=BE2,即

32?(9?x)2?x2,解得x=5,连结BD交EF于O,则EO=FO,BO=DO ∵BD?92?32?3 ∴DO=

223 252?(3)2? ∴EF=。选22 在Rt△DOE中,EO=DE?DO?

B。

6、设△ABC中,AB=AC=a,BC=b,如图D是AB上一点,有AD=b,因a>b,故

∠A是△ABC的最小角,设∠A=Q,则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q,从而它与△ABC全等,所以DC=b,∠ACD=Q,因有公共底角∠B,所以有等腰△ADC∽等腰△CBD,从而得BCBDba?ba,即?,令x?,即得方程?ABBCabb

a5?1?。选B。 b2B C x2?x?1?0,解得x?

7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°,故外角中钝角的个数不能超过3

个,又因为内角与外角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。

数学竞赛专项训练(9)-22

8、A。设点A的坐标为(x,y),则xy?1,故△ABO的面积为11xy?,又因为△22

ABO与△CBO同底等高,因此△ABC的面积=2×△ABO的面积=1。

二、填空题

1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为

M、N,MN=d,另一组对边是AD和BC,其长度分别为a、b,连结BD,设P是BD的中点,连结MP、PN,

M

aba?b则MP=,NP=,显然恒有d?,当AD∥BC,222B 由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线,此时有N C

d?a?ba?ba?ba?b,所以d与的大小关系是d?(或?d)。 2222

1(180??x) 22、12°。设∠BAC的度数为x,∵AB=BB′ ∴∠B′BD=2x,∠CBD=4x ∵AB=AA′ ∴∠AA′B=∠AB A′=∠CBD=4x ∵∠A′AB=

∴1(180??x)?4x?4x?180?,于是可解出x=12°。 2

3、以3,5,7,9,11构成的三数组不难列举出共有10组,它们是(3,5,7)、(3,5,

9)、(3,5,11)、(3,7,9)、(3,7,11)、(3,9,11)、(5,7,9)、(5,7,11)、(5,9,11)、(7,9,11)。由3+5<9,3+5<11,3+7<11可以判定(3,5,9)、(3,5,11)、(3,7,11)这三组不能构成三角形的边长,因此共有7个数组构成三角形三边长。

4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BCE 的平行线分别交AB、CD于G、H。 H 设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d, 222222AP?a?c,CP?b?d,F

则 BP2?b2?c2, DP2=d2?a2

2222于是AP?CP?BP?DP,故DP?AP?CP?BP?3?5?4?18,

DP=32

5、①设冬天太阳最低时,甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,设CE⊥AB于点E,那么在△AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20米。

所以AE=EC?tan?ACE?20?tan30??20?2222222?11.63数学竞赛专项训练(9)-23

(米)。

CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(米)

②设点A的影子落到地面上某一点C,则在△ABC中,∠ACB=30°,AB=16米,所以BC?AB?cot?ACB?16??27.7(米)。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。

6、提示:由题意∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,设∠PBC=α,∠ABC=60° 则∠ABP=60°-α,∴∠BAP=∠PBC=α,

∴△ABP∽△BPC,APBP,BP2=AP·PC ?BPPCBP?AP?PC?48?4

三、解答题

1、证明:如图延长AD至E,使AD=DE,连结BE。

∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB

∴△ACD≌△EBD ∴AC=BE 1在△ABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC ∴AD<(AB+AC) 2

在△ABC中,不妨设a≤b≤c ∵a+b>c?a+b+c>2c 即p>2c?c<

另一方面c≥a且c≥b?2c≥a+b ∴3c?a?b?c?p?c?

因此2、答案提示: p, 2p。 3pp?c? 32

3、证明:①∵∠ACB=90°,DE∥BC,DF∥AC,∴DE⊥AC,DE⊥BC,

从而∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°。

∵CD是角平分线 ∴DE=DF,即知四边形CEDF是正方形。

②在Rt△AED和Rt△DFB中, ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B

∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴AEDE,即DE·DF=AE·BF ∵CD=2DE=2DF, ?DFBF

2∴CD?2DE?2DF?2DE?DF?2AE?BF

4、解:这一问题等价于在1,2,3,??,2004中选k-1个数,使其中任意三个数都

不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的k的最大值是多少?符合上述条件的数组,当k=4时,最小的三个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组,只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以,为使k

数学竞赛专项训练(9)-24

达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得:

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ①

共16个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2??an显然总有ai大于等于①中的第i个数,所以n≤16≤k-1,从而知k的最小值为17。

初中数学竞赛专项训练(9)

(面积及等积变换)

一、选择题:

1、如图9-1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC与BD交于O,点P在AB的延长线上,且BP=CD,则图形中面积相等的三角形有 ( ) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 F

2、如图9-2,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC

的中点,连AF、CE,设AF、CE交于点G,则图9-2 图9-1

S四边形AGCDS矩形ABCD

A.

等于 ( )

5

6

B.

4 5

C.

3 4

D.

2 3

3、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且四边形DECB的面积为 A.

AD1

=,若在边AC上取一点E,使AB3

D.

( )

1 2

3CE,则的值为 4EA11B. C.

34

1

5

4、如图9-3,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、AB为边,在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB,作CK⊥AB,分别交AB和GH于D和K,则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是 ( ) A. S1=S2 B. S1>S2 C. S1<S2

D. 不能确定,与

图9-3 C B

AC

的大小有关 AB

5、如图9-4,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°, A

AD=8,AB=7,则BC+CD等于

( ) 图9-4

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

数学竞赛专项训练(9)-25

图9-5

6、如图9-5,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=1,则正方形的面积为 ( )

A. 7?353?5 B. C. 22?12 D. (1?2) 2

7、如图9-6,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足,则DE=( ) D

A. 2ab

4a?b22 B. ab4a?b

ab

a?4b2222 图

9-6 C C. 2aba?4b22 D.

8、O为△ABC内一点,AO、BO、CO及其延长线把△ABC分成六个

小三角形,它们的面积如图9-7所示,则S△ABC=( ) A. 292 B. 315 C. 322 D. 357 图9-7 二、填空题

1、如图9-8,梯形ABCD的中位线EF的长为a,高为h,则图中阴影

部分的面积为___

2、如图9-9,若等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的

中线等于15cm,则这个等腰三角形的面积等于____

9-10

9-11

C 图9-8 图

9-9 3、如图9-10,在△ABC中,CE∶EB=1∶2,DE∥AC,若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为_____ 4、如图9-11,已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结AD和BE,它们相交于点P,过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q、R,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为_____ 5、如图9-12,梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=2∶5,AF∶FD

数学竞赛专项训练(9)-26

9-12 图9-13

=1∶1,BE∶EC=2∶3,EF、CD延长线交于G,用最简单的整数比来表示,S△GFD∶S△FED∶S△DEC=_____

6、如图9-13,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=____

三、解答题

1、如图9-14,在矩形ABCD中,E是BC上的点,F是CD上的点,S△ABE=S△ADF=

求:

1S矩形ABCD。 3S?AEF的值。 S?CEFF 图

9-14 C

2、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F。

BD

CEAF 求证:???1 DCEAFB图9-15 数学竞赛专项训练(9)-27

3、如图9-16,在

中,P1、P2、P

3??Pn-1是BD的n等分点,连结AP2,并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交CD于点F。

①求证:EF∥BD ②设的面积是S,若S△AEF=

B E 图9-16 3S,求n8D 4、如图9-17,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到△ABC

各边的距离等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。

①证明:△AKL,△BMN,△CPQ ②求证:△ABC与△A1B1C1公共部分的面积。A1

图9-17 数学竞赛专项训练(9)-28

数学竞赛专项训练(9)参考答案

一、选择题:

1、C。S?ABC?S?ABD,S?AOD?S?BOC,S?ACD?S?BCD,S?BCP?S?BCD,S?BCP?S?ACD

2、D。连结AC,有S?AGC:S?ABC?1:3,则 1112?S矩形ABCD?S矩形ABCD=S矩形ABCD。 3223

313、B。如图联结BE,S?ADE=1??, 44

CE 设?x,则S?ABE?1?x AC

1?x11 S?AD? ?,x?E344

CE1 ∴? B C EA3 S四边形AGCD?S?AGC?S?ACD?

4、A。解:S1?AC,S2?AD?AG,因为Rt?ADC∽Rt?ACB, 所以2ADAC2,即AC?AD?AB,又因为AB=AG, ?ACAB

2所以S1?AC?AD?AG?S2,所以应选A。

5、B。解:如图延长AD,BC相交于E,在Rt△ABE中,

可求得AE=14,于是DE=AE,AD=6,又BE=3,

在Rt△CDE中,可求得CD=2,CE=43,于是

BC=BE-CE=3,BC+CD=5。 A

2C B 6、A。解:由右图与左图的面积相等,得b(b?a?b)?(a?b),已知a?1,所以有

b(2b?1)?(b?1),即b面积为(b?1)?(222?b?1?0,解得b?1?52,从而正方形的3?527?3)?。

22

数学竞赛专项训练(7)-29

7、A。解:由△ADE∽△ABM,得DE=AD?AB?AMab1a2?(b)2

2?2ab4a?b22

8、B。

∵S?ABOAOS?ACO84?y35?x??,即 ?S?BDODOS?CDO4030

S?ABO84?y70BOS?BCO??,即 ?S?BDEOES?CEOx35 又∵

∴??4x?3y?112?x?70,解之得? ?2x?y?84?y?56

∴S△ABC=84+40+30+35+70+56=315。

二、填空题

1、S阴影=ah。解:延长AF交DC的延长线于M,则△ABF≌△MCF,

∴AF=FM,S△ABF=S△CMF。∴S阴影=S△DFM,∵AF=FM ∴S△ADF=S△MDF ∴S阴影=S梯形ABCD ∵S梯形ABCD=ah,∴S阴影=ah。

2、144。解:作MN⊥BC于N,∵AM=MC,MN∥AD,∴DN=NC。∴MN?1212121AD?9,2

在Rt△BMN中,BM=15,MN=9。∴BN=12,而BD=DC=2DN,∴3DN=12,DN=4,∴BC=16,S△ABC=

3、S△ADE=11AD·BC=×18×16=144。 222S。解:∵CE∶EB=1∶2,设CE=k,则EB=2k,∵DE∥AC, 9

S?BDE42?()2,S△BDE=S s39而BE∶BC=2k∶3k=2∶3,∴

∵DE∥AC ∴SAD12ADCE11?,则S△ADE= S△BDE=S ??,∴?ADE?S?BDEBD2BDBE229

4、CFCE2400。解:过点E作EF∥AD,且交BC于点F,则??,所以 FDEA51089

数学竞赛专项训练(7)-30

FD?PQBPBD55????CD?。因为PQ∥CA,所以EABEBF5?2744?5

7?28 33

于是PQ?140。因为PQ∥CA,PR∥CB,所以∠QPR=∠ACB, 33

S?PQR

S?CAB?(PQ220400)?()2?。 CA331089因为△PQR∽△CAB故

5、1∶2∶6。解:设AD=2,则BC=5,FD=1,EC=3

∵GF∶GE=FD∶EC=1∶3,GF∶FE=1∶2,S△GFD∶S△FED=GF∶FE=1∶2 显然有S△EFD∶S△CED=FD∶EC=1∶3,∴S△GFD∶S△FED∶S△CED=1∶2∶6。 6、32。解:过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H。设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,则AP?a?c,CP=b?d,BP?b?c,DP?d?a,

于是AP?CP?BP?DP,故DP2?AP2?CP2?BP2?32?52?42?18,DP=32。

三、解答题 2222222222222222

1112S矩形ABCD,得b?BE=ab。∴BE=a, 则3233

111111EC=a。同理FC=b,∴S?CEF=?a?b?ab。 3323318

12 ∵S梯形AECD?(EC?AD)?CD?ab, 23

2115 ∴S?AEF?S梯形AECD-S?CEF-S?ADF=ab?a?ab?ab 318318

5abS?AEF5 ∴??。 1S?CEF1ab181、设BC=a,CD=b,由S?ABE?

2、答案提示:连结BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比;再约分。

3、解:①因AD∥BC,AB∥DC,所以?Pn?2FD∽Pn?2AB, ?P2BE∽P2DA

数学竞赛专项训练(7)-31

从而有APn?2BPn?2n?2AP2DP2n?2???? Pn?2FPn?2D2P2EP2B2

即APn?2AP2? 所以EF∥BD Pn?2FP2F

DF211,所以S?AFD??S,同理可证S?ABE?S ABn?2n?2n?2DF2FCDC?DFDFn?4 显然,所以, ???1??DCn?2DCDCDCn?2

1n?423 从而知S?ECF?()S,已知S?AEF?S,所以有 2n?28 ②由①可知

2(n?4)23311n?42?? S?S?2?S?()S,即1?2n?282(n?2)8n?22n?2

解方程得n=6。

4、证明:①连结OC、OC1,分别交PQ、NP于点D、E,根据题意得∠COC1=45°。 ∵点O到AC和BC的距离都等于1,∴OC是∠ACB的平分线。 ∵∠ACB=90° ∴∠OCE=∠OCQ=45°

同理∠OC1D=∠OC1N=45° ∴∠OEC=∠ODC1=90° ∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°

∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形。

∴∠BNM=∠C1NP=45° ∠A1QK=∠CQP=45° ∵∠B=45° ∠A1=45°

∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形。

∴∠B1ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A1KQ=90°

∴∠B1=45° ∠A=45°

∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形。

②在Rt△ODC1和Rt△OEC中,

∵OD=OE=1,∠COC1=45°

∴OC=OC1=2 ∴CD=C1E=2-1

∴PQ=NP=2(2-1)=22-2,CQ=CP=C1P=C1N=2(2-1)=2-2 ∴S?CPQ?1?(2?2)2?3?22 2

延长CO交AB于H

数学竞赛专项训练(7)-32

∵CO平分∠ACB,且AC=BC

∴CH⊥AB, ∴CH=CO+OH=2+1

∴AC=BC=A1C1=B1C1=2(2+1)=2+2 ∴S?ABC?1?(2?2)2?3?22 2

∵A1Q=BN=(2+)-(22-2)-(2-2)=2

∴KQ=MN=22=2 ∴S?BMN?1?(2)2?1 2

∵AK=(2+2)-(2-2)-2=2 1?(2)2?1 2

?S多边形KLMNPQ=S?ABC-S?CPQ-S?BMN-S?AKL∴S?AKL?

      =(3?22)-(3?22)?1?1

       ?42?2

初中数学竞赛专项训练(10)

(三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖)

一、填空题:

1、G是△ABC的重心,连结AG并延长交边BC于D,若△ABC的面积为6cm2, 则

△BGD的面积为( ) A. 2cm2 B. 3 cm2 3C. 1 cm2 D. cm2

2

数学竞赛专项训练(7)-33 图10-1

2、如图10-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠C的平分线与∠B的外角的

平分线交于E点,则∠AEB是( )

A. 50° B. 45° C. 40° D. 35°

3、在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,如图10-2,将△

ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’的位置,其B中A’、B’分别是A、B的对应点,B在A’B’上,CA’交AB

于D,则∠BDC的度数为( ) 图10-2 A. 40° B. 45°

C. 50° D. 60°

4、设G是△ABC的垂心,且AG=6,BG=8,CG=10,则三角形的面积为( )

A. 58 B. 66 C. 72 D. 84

5、如图10-3,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在

AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,△CEF的面积为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

A

F C C E E

图10-3

6、在△ABC中,∠A=45°,BC=a,高BE、CF交于点H,则AH=( )

12B. C. a D. 2a a a 22

7、已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1、B1、C1分别是点I关于BC、CA、AB的对

称点,若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

8、已知AD、BE、CF是锐角△ABC三条高线,垂心为H,则其图中直角三角形的个数

是( )

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

二、填空题 A.

1、如图10-4,I是△ABC的内心,∠A=40°,则∠CIB=__

2、在凸四边形ABCD中,已知AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠ABC=90°,则∠DAB的度数是_____

3、如图10-5,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,将矩形ABCD

A

B

数学竞赛专项训练(7)-34 图10-4 D C ’ 图10-5

沿对角线对折,然后放在桌面上,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是_______

4、在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心)若现在时间恰好是12点整,则经过____秒钟后,△OAB的面积第一次达到最大。

5、已知等腰三角形顶角为36°,则底与腰的比值等于______

6、已知AM是△ABC中BC边上的中线,P是△ABC的重心,过P作EF(EFBC),分别交AB、AC于E、F,则BECF=________ ?AEAF

三、解答题

1、如图10-6,在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E,过D作AE的垂线与OA交于F。求证:OE=OF

数学竞赛专项训练(7)-35

2、在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N。 求证:①△DEM≌△DFN

②∠PAE=∠PBF

F

图10-7

3、如图10-8,在△ABC中,AB=AC,底角B的三等分线交高线AD于M、N,边CN并延长交AB于E。 求证:EM∥BN

图10-8 数学竞赛专项训练(7)-36

4、如图10-9,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经过点A,且分别交两于C、D两点,连结BC、CD,设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的中点。

BPNQ 求证:① ?PMQB ②△KPM∽△NQK

数学竞赛专项训练(7)-37 图10-9

数学竞赛专项训练(10)参考答案

一、选择题

1、解:S?BGD?111S?ABD??S?ABC?1(cm2)。选C。 332

2、解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则∠ABC=60°,因为EB是∠B的外角的平分线,所以∠ABE=60°,因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点,所以E点到CB的距离等于E到AB的距离,也等于E点到CA的距离,从而AE是∠A的外角的平分线。

所以?BAE?150??75?,∠AEB=180°-60°-75°=45°。应选B。 2

3、解:依题意在等腰三角形B′CB中,有∠B′CB=α,∠B′=90°-20°=70°。 所以α=180°-2×70°=40°,即∠DCA=α=40°, 从而∠BDC=∠DCA+∠A=40°+20°=60°。应选D。

4、解:设AD为中线,则DG=

S?GBC?S?CGG??1AG=3,延长GD到G′,DG=DG′=3, 21?8?6?24   S?ABC?3S?GBC?72。应选C。 2

5、解:由折叠过程知,DE=AD=6,∠DAE=∠CEF=45°,所以△CEF是等腰直角三角形,且EC=8-6=2,所以S△CEF=2。故选A。

6、解:取△ABC的外心及BC中点M,连OB、OC、OM,由于∠A=45°,故∠BOC=90°,OM=1a,由于AH=2OM,AH=a。应选C。 2

7、解:因为IA1=IB1=IC1=2r(r为△ABC的内切圆半径),所以I点同时是△A1B1C1的外接圆的圆心,设IA1与BC的交点为D,则IB=IA1=2ID,所以∠IBD=30°。同理,∠IBA=30°,于是∠ABC=60°。故选C。

8、图中有6个直角,每一个直角对应两个直角三角形,共有12个直角三角形:△ADB、

△ADC、△BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、 △BEC、△HFB。故选D。

二、填空题

?BIC??BID??DIC?(

1、解:

   ?90??40??110?2ABACA?)?(?)?90??22222

2、解:连AC,即AD=a,则在等腰Rt△ABC中

数学竞赛专项训练参考答案(10)-38

AC?AB?BC?8a?(3a)?a?CD?AD

有∠CAD=90° ∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°。

3、解:设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S,则: 22222222

S?S?ABC?S?AD1C?S?AEC?S矩形ABCD?S?AEC

S?AEC15?AB?EC?EC22

2222 由Rt△ABE≌Rt△CD1E 知EC=AE 设EC=x,则AB?BE?x,即5?(12?x)?x 22

16951698458452035   S?AEC???  S?5?12??24224484848

154、解:答:15。 59

11 设OA边上的高为h,则h≤OB,所以S?OAB?OA?h?OA?OB 22 解得:x?

当OA⊥OB时,等号成立,此时△OAB的面积最大。

设经过t秒时,OA与OB第一次垂直,又因为秒针1秒钟旋转6度,分针1秒钟旋

转0.1度,于是(6-0.1)t=90,解得t=1515。 59

5、解:设等腰三角形底边为a,腰为b,作底角∠B的平分线交AC于D,则 ?B?1(180??36?)?70? ∴△BCD、△DAB均为等腰三角形。 2

BCCDab?a ?  即?ABBCba

a?1?(取正) b2

BD=AD=BC=a,而CD=b-a 由△BCD∽△ABC ∴ 则有()?()?1?0  解得ab2ab6、解:如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EFBEBGCECK ??AEAPAFAPBECFBG?CK1 两式相加 又梯形BCKG中,PM=??AEAFAP2于G、K,则有

(BG+CK),而由P为重心得AP=2PM

数学竞赛专项训练参考答案(10)-39 M BECF2PM???1

AEAF2PM

三、解答题

1、证明:∵正方形ABCD

∴OA⊥DE

∵DF⊥AE ∴F是△DAE的垂心

∴EF⊥AD ∴EF∥AB

∵OA=OB ∴OE=OF

2、证明:①如图,据题设可知DM平行且等于BN,DN平行且等于AM,

∴∠AMD=∠BND

∵M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点

∴EM=AM=DN FN=BN=DM

又已知DE=DF ∴△DEM≌△DFN

②由上述全等三角形可知∠EMD=∠FND ∴∠AME=∠BNF

而△AME、△BNF均为等腰三角形

∴∠PAE=∠PBF。 3、证明:连结MC ∵AB=BC,AD⊥BC ∴∠1=∠2=∠3

∵∠4=∠5=∠6 又∵∠7=∠8 ∴M是△AEC

∴EM是∠AEN的平分线 ∴AEAM ?ENMNB 又∵∠EBN=2∠NBD=2∠1 ∠ENB=∠NBD+∠4=2∠1 AEAM ∴EB=EN ∴ ∴EN∥BN ?EBMN

⌒4、证明:①如图: 因为M是BC的中点,P是BC的中点,所以MP⊥BC,∠BPM

=90°,连结AB,则有∠PBM=

=90°-∠NBD=∠QNB。

所以Rt△BPM∽Rt△NQB。于是有111∠CAB=(180°-∠DAB)=90°-∠DAB222BPNQ ?MPBQ

②因为KP∥BD,且KP=1BD=BQ,所以,四边形PBQK是平行四边形。于是,2

KQNQ有BP=KQ BQ=KP 由式①得。又∠KPM=∠KPB+90°=∠KQB?MPKP

+90°=∠NQK,所以△KPM∽△NQK。

数学竞赛专项训练参考答案(10)-40

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