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初一竞赛有理数

发布时间:2013-11-04 09:34:37  

有理数的计算技巧

第三讲 有理数的计算技巧

一.等差数列——倒序相加法

例1.计算 5+8+11+14+17+20+23+26+29+32

例2. 计算12003?234005

2003?2003???

2003

观察上例不难发现,它的每两个相邻加数的差都相等,一般的给出一列数

a1

,a

2

a

3

a

4

?

a

n

(其中的

a1

称为首项,a

n

称为末项),如果从第二项起后项与前项的差相等,那么

就称这列数为等差数列。这个相同的差称为公差,记为d。 等差数列中

an

=_________

前n项和为

S

n

=_________

例3. (第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题)求和

(12?13?14???159?160)?(23?24?25???259?260)?(333335859

4?5?6???59?60)???(59?60) 分析:由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加,可改变原式繁难的计算。

- 1 -

二.等比数列——错位相减法 例4. 求S=1+3+32+33+…+32004值.

观察上例不难发现,它的每一项与前一项的比都相等,一般的给出一列数

a1

,a

2

a

3

a

4

?

a

n

(其中的

a1

称为首项,a

n

称为末项),如果从第二项起后项与前项的比相等,那么

就称这列数为等比数列。这个相同的比称为公比,记为q。 等比数列中

an

=_________

前n项和为

S

n

=_________

例5.计算

12+11111

113+22+32+23+33+?+2n+3

n

有理数的计算技巧

例6计算12+2

3n22+23+?+2

n

三.巧用拆项法

例7、计算:11?2?12?3?13?4?......?

1

2004?2005

例8. 13?7?17?11?111?15?......?

1

2003?2007

例9. (第六届“祖冲之杯”数学竞赛题) 计算1?11111?2?1?2?3?1?2?3?4???1?2?3???100

?________ 例10.

11?2?3?12?3?4?13?4?5?......?

1

2004?2005?2006

四. 巧用整体换元法

例11. (广西2005年初一数学竞赛决赛题)

计算(12?13???12005)(1?12?13???1111111

2004)?(1?2?3???2005)(2?3???2004

)

分析:本题目从结构上看相当繁琐,因此要选择恰当的方法进行计算。不妨巧用整体换元

法,那么本题就不难解决了,计算就简便了。

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有理数的计算技巧

作业 1.计算:??1?

1?100?????1?1???99????1?1?98???...???1??1?

?1?3????1?2??

2. 计算2005?(11111

1?2?2?3?3?4???2003?2004?2004?2005

) 3.计算1?2

2

?32?42???992?1002

4.比较S=

12+22+3

n223+?+2

n与2的大小。

5.计算1-3-32

-33-…-32004 +3

2005

6.若︱a-1︳+︱ab-2︳=0,求

1ab?111

(a?1)(b?1)?(a?2)(b?2)???

(a?1991)(b?1991)

的值。

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