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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A题

发布时间:2013-11-05 10:37:42  

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): A 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): 所属学校(请填写完整的全名): 参赛队员 (打印并签名) :1.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): (论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。如填写错误,论文可能被取消评奖资格。)

日期: 2013 年 9 月 15 日

赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):

全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):

全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

高速公路交通事故在给人们带来生命财产损失的同时,也会引发大范围的交通拥堵,增加车辆油耗和废气排放,带来能源消耗和环境污染问题。高速公路上一旦发生交通事故,部分道路就会被占用或者封闭,事故发生地点通行能力降低,无法满足交通需求,进而导致交通拥堵,增加二次事故发生的可能性。因此,重视高速公路交通安全,正确合理地分析高速公路交通事故点的交通流动态特性,估算高速公路事故带来的交通影响,是高速公路交通事故管理的重要内容,也是交通事故及时有效处置的基础。

估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,我们需要通过一些量化的理化的指标来评价,并根据其评价结果为交通管理部门提供理论依据。

针对第一个问题,从视频中根据信号灯的周期和配时方案,采集各个时间段内上游路段和下游路段的不同车数量,并换算为标准车当量。接着采集某一时刻,一定距离长度内的车辆数目,计算交通流密度,将数据筛选和标准化处理后,再根据数据来绘制该路段的车流量散点图和交通密度分布图,从图形变化中,直观看出各个交通事故发生至撤离期间(16:42:02--17:01:03),通行能力的变化情况。

问题二的提出,主要是考虑车道分布对通行能力的影响,不同车道上车流量的比例大小不同,同问题一一样,通过采集数据,绘制分布图并进行分析。对于多车道公路路段,车辆有外侧驶入内侧车道或者内侧通过外侧车道驶出,和从交叉路口驶入的车辆影响,这种车道转移常常影响正常行驶的车辆,外侧车道受干扰最大。通过图形的比较,利用流体力学的知识,说明所占车道不同对同一横断面实际通行能力的影响。

问题三,将排队长度L作为因变量,与L有关联性的自变量不止一个,我们用MATLAB模拟曲线并建立模型进行求解。

问题四利用问题三中的结论就可以求解。

关键字:通行能力 排队长度 模拟曲线 多元统计 相关系数

1

1. 问题重述

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素,导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点,一条车道被占用,也可能降低路段所有车道的通行能力,即使时间短,也可能引起车辆排队,出现交通阻塞。如处理不当,甚至出现区域性拥堵。

车道被占用的情况种类繁多、复杂,正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

视频1(附件1)和视频2(附件2)中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面,且完全占用两条车道。附件3:视频1中交通事故位置示意图;附件4:上游路口交通组织方案图;附件5:上游路口信号配时方案图。解题时,只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量,且换算成标准车当量数。试请解决以下问题:

(1)根据视频1(附件1),描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横

断面实际通行能力的变化过程。

(2)根据问题1所得结论,结合视频2(附件2),分析说明同一横断面交通事

故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

(3)构建数学模型,分析视频1(附件1)中交通事故所影响的路段车辆排队长

度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

(4)假如视频1(附件1)中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离。请估算,从事故发生开始,经过多长时间,车

辆排队长度将到达上游路口。

2. 问题分析

这是一个多车道公路路段,车辆有外侧驶入内侧车道或者内侧通过外侧车道驶出,这种车道转移常常影响正常行驶的车辆,外侧车道受干扰最大。若有事故发生,所占车道不同,整个横断面的实际通行能力不同,在该题中,对各个影响因素量化,分析其相关程度的大小。

2.1.问题(1)的分析

关键是从视频中采样到一定时间间隔内的标准车当量数和某一时刻,一定距离长度内的车辆数目,再根据数据来绘制该路段的车流量散点图,和交通密度分布图,在车流量相差不大的情况下,从车流密度的变化反映实际通行能力的变化情况。

2.2.问题(2)的分析

主要也是数据的采集,同第一问类似,根据数据用EXCEL绘出分布图,和视频1的图表进行比较,就可得出同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异。究其原因,车道二和三的车流量较大,类似于流体力学中合流对流动状态的影响。

2.3.问题(3)的分析

采集数据完成,以排队长度L作为因变量,分析可知,与L有关联性的自变量不止一个,那么可以用MATLAB软件模拟曲线,使用多元统计方法建立模型。

2.4.问题(4)的分析

将建立的模型进行数据的代入,进而得到结果。

2

3. 模型的假设

为了简化模型,给出如下模型合理性的假设:

1) 车流中每单个车的行驶状态与它前面的车辆完全一样;

2) 道路的坡度,坡长,车道数,交通流量,自由流车速和大车比例等因素对车辆

折算系数无影响,且车道数对折算系数也没有影响;

3) 忽略管制条件和交通外条件等对通行能力的影响;

4) 忽略相位变化对车流量的影响。

5) 的车长及车间距之和的平均值为6m

4. 符号说明

L:路段车辆排队长度;

TC:横断面实际通行能力;

t:事故持续时间;

D:道路宽度;

Q?t?:上游流量,时刻t单位时间内通过道路上游横截面的车辆数;

q?t?:下游流量,时刻t单位时间内通过事故所处横断面的车辆数;

??t?:交通流密度,时刻t事故所处横断面处单位长度内的车辆;

??t?:交通流速度,时刻t通过横断面处车流的速度;

N0:初始时刻t=0上、下游间的车辆数;

?j:上、下游断面间交通流的阻塞密度;

vf:畅行速度,

3

5. 模型建立与求解

5.1 准备工作

5.1.1 信息准备:

道路通行能力[5]是指在一定的条件下,单位时间内,任何车辆能合理地期望通过道N路某一断面或者均匀路段,所能达到的最大小时流率,且TC?d?v?D。 t

多车道实际通行能力是在现实的道路、交通状态下的通行能力。它是在基本通行能力的基础上,结合受限车道宽度和侧向净空影响修正系数,交通组成影响修正系数,路侧干扰影响修正系数及驾驶员总体特征影响修正系数,根据道路和交通的现实状态相对于理想状态的差别加以修正。即:

??

影响道路通行能力的主要因素是道路条件、交通条件、管制条件、交通外环境等。道路条件指的是道路几何组成状况,如车道数、车道宽度、侧向余宽、行车视距、纵坡、路面状况、沿线街道变化状况等;交通状况指的是交通流的车辆组成、方向分布和车道分布规律特性,如交通量大小、混合车种、行人、非机动车干扰等;交通外环境指的是道路交通以外的自然条件,如沿线地形、地物、景观、气候等。这三方面因素组合起来直接影响行车速度和道路通行能力。

通行能力的分析和计算,在公路设计中有着十分重要的作用,一是可利用通行能力资料正确选定公路类型和车道数、交织长度等,确定现有道路系统或者某一路段所存在的问题,针对问题提出改进方案和措施,为道路改建和改善提供依据,以适应交通需求;二是可用于评估现有路网对当前交通的承受能力和充分程度,预测将来交通量增长可能超过公路通行能力的时间,以便及早做出改善交通的措施;三是可用于对多种目的交通运行分析(如瓶颈路段),并提出改善交通运行的评价。作为交通枢纽的规划,设计及交通设施配置的依据为制定交通组织,交通疏导,交通引导,交通量均衡,交通总量控制和综合治理等交通系统管理方案提供依据。

5.1.2 数据准备:

根据视频1,准备以下三组数据:

以上游信号周期为流量计数周期(即每60秒为一个计数周期),测出并记录每一个周期中所通过的标准车当量数,即附件1的交通车流量,如附表1所示。

以事故发生地点至上游的120米为测量范围(即每60秒为一个计数范围),测出并记录每分钟每一个范围所包含的最大标准车当量数,即附件1的交通流密度,如附表2所示。

以事故发生地点至上游的120米为测量范围,即以120米的上游点为起点,以事故发生点为终点,对处于起点的小车进行测量,记录小车至终点的时间,并求出汽车的速度,即附件1的交通流速,如附表3所示。

根据视频2,同样准备三组数据,准备方法同视频1一样。得到附件2的交通车流量如附表4所示,附件2的交通流密度如附表5所示,附件2的交通流密度如附表6所示。

5.1.3 数据筛选:

因视频本身时间跳跃,导致测量不是很准确,故对一些数据进行整合和剔除,以便使计算结果更加科学。当测量时间不足一分钟时,

测量结果标准车当量数=?60(秒)。剔除的数据于附表中显示。 测量时间(秒)

4

5.2 问题(1)的解答

5.2.1 表面分析:

根据附表1所记录的每个周期中所通过的标准车当量数,得出如图1所示的附件一下游车流量折线表。图中横坐标上1—4段表示交通事故发生前的下游车流量;横坐标上6—22段表示交通事故发生至撤离期间的下游车流量;横坐标上24—26段表示交通事故撤离后的下游车流量。从图中我们不难看出,在交通事故发生至撤离期间的下游车流量总趋势基本恒定,期间有较小的波动。

图1

根据附表2所记录的每个周期中所通过的标准车当量数,我们还可以得出如图2所示的附件一交通流密度柱状图。图2横坐标上1—4段表示交通事故发生前交通流密度;横坐标上6—22段表示交通事故发生至撤离期间的交通流密度;横坐标上24—26段表示交通事故撤离后交通流密度。从中我们可以看出,在交通事故发生至撤离期间的交通流密度先有整体有上升的趋势,然后趋于一个比较恒定的状态,期间有小幅度波动。

图2

5

根据附表3所记录的每个周期中所通过的标准车当量数,我们还可以得出如图3所示的附件一交通流密度柱状图。图3横坐标上1—3段表示交通事故发生前交通流速度;横坐标上5—13段表示交通事故发生至撤离期间的交通流速度;横坐标上15—17段表示交通事故撤离后交通流速度。从中我们可以看出,在交通事故发生至撤离期间的交通流速度有急剧减低的趋势,然后趋于一个比较恒定的状态。

图五

5.2.2 模型分析:

图1中下游车流量与图2中交通流密度的波动很大程度上是由上游十字路口相位转换所引起的,另外两个小区出口车辆的进出也会有一定的影响,但影响不大。

将交通流视为一维流体场,可以将含t的三个函数类比为流体的流量、密度和速度。因此,我们可以知道单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积,即

Q1?t??v?t????t? (1)

由上图1、图2分析可知,在交通事故发生至撤离期间,流量的总体趋势基本恒定;交通流密度的总体趋势先逐渐增大,然后趋于一恒定的值。由(1)式得事故所处横断面的平均车速应先降低,然后趋于一常数。图3也证明了这一点。

N由TC?d?V?D知,事故所在横断面通行能力与车速成正比关系。所以事故所处t

横断面的通行能力总体趋势先逐渐减小,然后趋于恒定。由于上游十字路口相位周期性变换和两个小区出口车辆进出的影响,事故横断面的实际通行能力在趋于降低的过程中会有一定的波动。

5.2.3 模型改进:

本模型时间间隔较短,且以信号周期60s为时间计数单位,有助于对交通流量和交通流密度做出较为完整的数据,又可对实际问题的瞬时情况进行较好的观察和总结。周期性的计数,使计数结果同样具有周期性,便于总结规律。

6

5.3 问题(2)的解答

5.3.1 表面分析:

根据视频2,以上游信号周期为流量计数周期(即每60秒为一个计数周期),测出并记录每一个周期中所通过的标准车当量数,如附表4所示。根据附表4所记录的每个周期中所通过的标准车当量数,得出如图4所示的下游车流量折线表。图中横坐标上1—2段表示交通事故发生前的下游车流量;横坐标上3—33段表示交通事故发生至撤离期间的下游车流量;横坐标上35处表示交通事故撤离一分钟后的下游车流量。从图中我们不难看出,在交通事故发生至撤离期间的下游车流量总趋势基本恒定,期间有较小的波动。

图4

将图4与图1对比,我们可以发现,图4中显示的车流量平均值比图1大,即视频2中事故所处横断面的车流量比视频1中事故所处横断面处的车流量大。

根据视频2,我们还可以测出每一个流量计数周期中的交通流密度(指交通事故发生点往上游方向的120米内),如附表5中所示。根据附表5中记录的数据,可以得出如图五所示的交通流密度分布图。图五横坐标上1—2段表示交通事故发生前交通流密度;横坐标上3—33段表示交通事故发生至撤离期间的交通流密度;横坐标上35处表示交通事故撤离后交通流密度。从中我们可以看出,在交通事故发生至撤离期间的交通流密度先有整体有上升的趋势,然后趋于一个比较恒定的状态,期间有小幅度波动。

图5

7

将图5与图2对比,我们可以发现,随着时间的推移,图5中的交通流密度上升速度比图2中交通流密度上升的速度慢,及图5中的交通流密度更加平缓,即视频2中的交通流密度上升阶段比视频1中交通流密度的上升阶段更加平缓。

根据附表6所记录的每个周期中所通过的标准车当量数,我们还可以得出如图6所示的附件一交通流密度柱状图。图3横坐标上1—2段表示交通事故发生前交通流速度;横坐标上2—20段表示交通事故发生至撤离期间的交通流速度;横坐标上22段表示交通事故撤离后交通流速度。从中我们可以看出,在交通事故发生至撤离期间的交通流速度有急剧减低的趋势,然后趋于一个比较恒定的状态。

图6

将图6与图3进行对比,我们可以发现,图6中的速度大多数比图3中的速度大。即视频2中的交通流速度比视频1中的交通流速度大。

从交通流量、交通流密度、交通流速度的对比中,我们都可以得到,视频1中的通行能力较视频2通行能力差。

5.3.2 模型分析:

根据公式(1)Q1?t??v?t????t?知,事故所处横断面处车流速度与下游流量成正比,与事故所处横断面处以上的交通流密度成反比。

在以上的两组对比中,视频2中事故所处横断面的车流量比视频1中事故所处横断面处的车流量大,且视频2中的交通流密度上升阶段比视频1中交通流密度的上升阶段更加平缓,所以视频2中的交通阻塞情况加剧的速度比视频1中交通阻塞情况加剧的速度慢,即视屏2中道路的实际通行能力在事故发生后减小的速度更慢。

根据附件3(视频1中交通位置示意图)中三个车道流量比(右转流量比例21%、直行流量比例44%、左转流量比例35%)以及视频1与视频2中发生的事故所占的车道,可以推出:同一横断面交通事故所占车道的流量比例越大,其对应的通行能力减小的速度越快,即更容易在更短的时间内出现交通阻塞现象。

5.3.2 模型改进:

在各个因素中,道路条件因素的影响中的车道数,交通条件中的车道分布、方向分布都对通行能力有影响。将视频1的数据与视频2中的数据直接对比,简单直观,比较快速地得出视频2 的通行能力比视频1的要好。

8

5.4 问题(3)的解答

5.4.1 模型思想:

利用问题(1)中得出的数据,我们建立路段车辆排队时间与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上下游车流量间的函数关系,通过该函数关系得出道路被占用对车辆排队的影响。在理想情况下,排队长度和事故持续时间成正比,与路段上游车流量成正比,和通行能力成反比(在不考虑路段的情况下,假如两根车道堵了一根,则能力变为原来的一半,而在单位时间内长度自然成为2倍)。

5.4.2 模型基础:

A.现在[1]得到n个独立观察数据(y,xi1,xi2,xi3,xi4,.......,xim),i=1,2,3,......,

n(n》m)得:

Y?b0?b1xi1?b2xi2?b3xi3?........bmxim??i,?~N(0,σ2),i=1,2,3,4,..........n。

?1?1?X????

??1x11?x1m???1??y1??b1?????y??b?x21?x2m???2??2??2??, Y???, b???,????, ??x3m?????????????xn1?x4m????n???yn???bm??

则方程式可写成 Y?Xb??,?~N(0,σ2)

Q(b)???2?(Y?Xb)T(Y?Xb),

i?1n

则b的最小二乘估计为

??(XTX)?1XTY. b

与一元线性回归模型类似,S??(yi?),称它为观察值y1,y2,........yn的离2

A

I?1n2

差平方和,它可以分解为

222SA?SA1?SA2 n2

?i?)叫做回归平方和 式中,S??(y2

A1

I?1

2?SA2??(yi?yi)叫做残差平方和

I?1n2

作为模型整体的有效性检验,提出假设检验:

H0:b1?b2?b3??bm?0,

可以证明,当H0成立时,有如下结论:

SA12(1)2~?(m);(2)SA1和SA2相互独立。 ?

SA12?m~F(m,n-m?1); (3)F?2SA1?(n-m-1)

对于给定的显著性水平a,如果F>Fa,(m,n-m-1),则拒绝H0,即可以认为模型整体有效,但不排除有若干个bj=0.

9

B. 查阅[4]交通流基本模型LWR(Lighthill-Whitham-Richards):

由于将车流比拟为连续介质,可以首先建立关于车流密度ρ( x,t ) 和流量q( x,t) 的质量守恒方程:

?t?qx?0 (1)

定义车流平均速度:v?x,t??q?x,t?/(?(x,t))

?????0,ve?0??vf,ve??j??0,ve假定存在速度-密度的函数关系: v?ve??? ,其中,

vf为畅行速度,?j为阻塞密度。那么式( 1) 变为

?t??qe????x?0 ( 2)

其中qe?????ve???

如果取线性的速度-密度关系:

ve????vf?1??/?j? ( 3) 并令??0.5?j?1?u/vf?,则式( 2) 变为下面的Burgers 方程:

ut?uux?0

LWR 模型主要描述了两种非线性的双曲波。在Riemann 问题中,当下游车流密度较大时,形成激波;当下游密度较小时,则形成稀疏波。向上游传播的激波描述了交通中车流的堵塞排队现象。例如: 红灯禁行时在斑马线前出现车辆排队等候;当车道数或畅行速度减少时,由于车流密度较大在瓶颈的上游出现堵塞,向上游传播的稀疏波则描述了堵塞之后车流疏散的过程。例如,绿灯放行时在斑马线上下游车流密度逐渐得到稀释; 对应瓶颈上游的堵塞,瓶颈下游的车流密度则保持稀疏。总之,有堵必有疏,有疏必有堵。

可以看出交通流包含十分复杂的非线性波现象。

这一理论和之前运用最小二乘法进行排队长度和路段上游流量,事故持续时间,路段实际通行能力,这三个变量之之间的非线性关系相吻合。

5.4.3 模型建立:

设因变量为排队长度L,与之有关的自变量不止一个,可以多元统计分析的数学方法建立多元回归模型。

在模型建立的过程中,先假设事故截面处车辆的平均流速连续,上游的车流量恒定,且排队时车与车之间的距离相同,车身长均以标准车长计算(车间距离与车身长之和设定为5.5m)。

设事故持续时间为t,事故截面处上游的交通流密度为??t?,事故下游的交通流量

Q1?t?(可认为车辆排队时事故截面相临的上下游交通流量相等),事故截面处上游车辆

的平均速度为v?t?,上游车流量为q。

在视屏中,平均车速不易直接准确测量,根据公式(1):

Q1?t??v?t????t?,

可知在事故发生截面处的车速与事故下游的交通流量Q1?t?成正比,与事故截面处上游的交通流密度为??t?成反比关系,可以将速度间接地用流量与密度表示出来。如图7所示,交通流速度可用流量与密度的比值来表示

10

图7

为了更直观地观察平均速度的变化情况,将平均速度随时间的变化情况用图8表示。

图8

A.假设图8的平均速度服从线性分布,用MATLAB拟合出相关的曲线,并得到相应的函数表达式和相关系数。

11

MATLAB程序为:

x=[0,0.53,0.7,1.55,2.17,3.23,4.25,5.43,6.27,8.3,9.33,10.43,11.13,1

4.52,15.9];

y=[228.0912,182.3417,161.4238,257.2899,167.9463,173.3333,173.3333,160,114.2857,99.95142,84.70588,85.72653,68,98.19967,97.94319]; >> cftool

进入设置页面,如下图9所示:

图9

结果所得曲线如下图10所示:

12

图10

相应的函数表达式,具体参数及拟合系数如下:

Linear model Poly1:

f(x) = p1*x + p2

Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = -8.997 (-12.66, -5.336)

p2 = 199.7 (170.5, 229)

Goodness of fit:

SSE: 1.388e+004

R-square: 0.6843

Adjusted R-square: 0.66

RMSE: 32.67

虽然能得出线性方程,但因相关系数较小,故不选择此类曲线。

13

B. 假设图8的平均速度服从高斯分布,用MATLAB拟合出相关的曲线,并得到相应的函数表达式和相关系数。

MATLAB程序为:

x=[0,0.53,0.7,1.55,2.17,3.23,4.25,5.43,6.27,8.3,9.33,10.43,11.13,1

4.52,15.9];

y=[228.0912,182.3417,161.4238,257.2899,167.9463,173.3333,173.3333,160,114.2857,99.95142,84.70588,85.72653,68,98.19967,97.94319];

>> cftool

进入设置页面,如下图11所示:

图11

结果所得曲线如下图12所示:

14

图12

相应的函数表达式,具体参数及拟合系数如下:

General model Gauss2:

f(x) = a1*exp(-((x-b1)/c1)^2) + a2*exp(-((x-b2)/c2)^2) Coefficients (with 95% confidence bounds):

a1 = -85.45 (-552.1, 381.2)

b1 = 9.647 (3.778, 15.52)

c1 = 5.206 (-12.33, 22.74)

a2 = 206.4 (140.3, 272.5)

b2 = -0.7364 (-127.8, 126.3)

c2 = 22.55 (-101.7, 146.8)

Goodness of fit:

SSE: 7558

R-square: 0.8281

Adjusted R-square: 0.7825

RMSE: 28.98

15

可以看出此模型对数据的拟合关系良好。并可根据以上数据得出平均速度关于时间的表达式:

- f(x) = a1*exp(-((x-b1)/c1)^2) + a2*exp(-((x b2)/c2)^2)

即:v?t???85.45?e t?9.6472?()5.206?206.4?e?(t?0.7362)22.55

由设定的车长及车间距之和的平均值为6m,所以紧靠事故横断面处上游的实际通行流量近似为:

Q(t)=6?v?t?

由实际情况我们可知,当上游的车流量q大于紧靠事故横断面处上游的实际通行流量Q(t)时,就会造成交通拥挤而使车辆在事故所处横断面的上游部分排队。所以在假设条件下可以得出排队长度L(t):

L(t)??(q?Q(t))dt

v将Q(t)=6??t?代入,既得:

?(t?9.6472)5.226??(2?85.45)(t?9.647)[85.45t?]?e??2?qt??2?85.45??85.45???5.2062

L(t)???6t?0.73642??[206.4t?(2?206.4)(t?0.7364)]?e?(22.55)?

2?? ???2?206.4206.4???222.55??

化简后得:

L(t)?6qt?(5.5434t?0.3126)e

?(5.9532t?0.0174)e?(t?0.7362)22.55?(t?9.6472)5.026

5.5 问题(4)的解答

由问题(3)得出的路段排队长度与实际通行能力、事故持续时间和路段上游车流量之间的函数关系,将L=140m,q=1500pcu/h=25pcu/min带入函数关系式中,可以计算得到t?72min,实际中考虑相位的影响,t实际中应当更小一些。

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6. 模型检验

6.1 误差分析:

经过分析,该排队长度模型的误差可能来自以下几个方面:

1) 对视频进行数据提取时产生的误差:附件中提供的视频中仅包含少量的长度数据,论文中所使用到的交通流量、交通流密度、交通流速度都是通过视频提取出来的。由于提取数据时是人为计数,难免会有误差的存在。

2) 利用MATLAB模拟曲线建立函数关系时产生的误差:模拟曲线的目的是提高拟合程度,因此未来提高拟合程度,有可能将过多的理化指标变量选入函数中进行拟合。虽然显示的拟合程度很高,但由于样本量个数不大,引入过多的变量将对模型效果产生影响。

6.2检验思路:

我们是以实际流量近似代替实际通行能力,而且忽略了小区路口的影响,在假设的交通流速度一定的情况下,利用视频中路灯之间的距离近似为30米,估算汽车的排队长度,与模型得到的长度进行比较。估算的排队长度与模型得到的长度不应该有显著性的差异,据此可以检验该模型的有效性。

7. 模型的评价

该模型从交通流的实际通行能力与交通流量与交通流速的直接关系和交通流中的各种理化指标对道路通行能力的影响两方面进行了考虑,首先通过建立函数关系确定了路段排队长度与实际通行能力、事故持续时间和路段上游车流量之间的函数关系,用利用函数关系解决实际问题。

根据初始拟合曲线的相关系数R-square: 0.8281 可以看出,模型所用的曲线和实际数据所表达的曲线不能完全拟合,存在一定的误差,而这些误差的存在是不能避免的。

本模型对初步估算路段排队、实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系运用较为方便,但如果需要精确的计算还需采集更多的数据,联系实际情况综合考虑各种相关因素。

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参考文献

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[2] 韩明 王家宝 李林,数学实验(MATLAB版),上海:同济大学出版社,2009.1

[3] 韩明 张积林 李林 林杰 林江宏,数学建模案例,上海:同济大学出版社,2012.6

[4] 张鹏 王卓 黄仕进,交通流流体力学模型与非线性波,应用数学与力学,第34卷第1期:85-86,2013.1.15

[3] 杨小宝、张宁,道路通行能力中车道数因素的数学分析,武汉理工大学学报(交通科学与工程版),第32卷第4期:603-606,2008.8

[4] 余贵珍 刘玉敏 金茂菁,基于交通波的高速公路事故的交通影响分析,北京航空航天大学学报,第38卷第10期:1420-1424,2012.10

[5] 互动百科,道路通行能力,

http://www.baike.com/wiki/%E9%81%93%E8%B7%AF%E9%80%9A%E8%A1%8C%E8%83%BD%E5%8A%9B,2013年9月日

[6]朱辉,基于实测的三车道交通流数学模型和数值分析,,http://www.doc88.com/p-0093992418429.html,2013.9.16

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附录:

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