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十一届到十七届华杯赛答案详解

发布时间:2013-11-06 08:05:31  

第十一届华杯赛

一、

??95??31??14?4 1.原式=?1???16????1?2?????????1616???88??????8?7??

2.解:把m?2?代入多项式得:8a??2b??1?0 3

1 2

111 ∴4a?3?b??5???5?5 222∴4a?3?b???

3.解:假设有x名小朋友,y本书,依题有:4x?20?y,8x?m?y 其中 m?N且1?m?7 ,∴解得x?20?m , 4

∵x是正整数 ∴只有当m=4时,x=6符合条件, ∴共有6名小朋友。

4.解:设长方形的长为x,宽为y,依题:x?y?120

12113y?y?y?y2 2224

11又有S△ADE+S△BCG=y?DE?EC??y?x?60

22S△ADE+S△BCG=

∴解得:y?

∴x??∴

EC=x-y=EC?∴S□EFGH=EH2=10(cm2) 2∵△CEH为等腰直角三角形 ∴

EH=

5.解:因为||x-2006|-1|+8>0 ∴|||x-2006|-1|+8|=||x-2006|-1|+8=2006 ①.当x<2005时,||x-2006|-1|+8=|2006-x-1|+8=2005-x+8=2013-x=2006 解得:x=7<2005 符合条件为方程的解;

②.当2005≤x≤2006时,||x-2006|-1|+8=|2006-x-1|+8=x-2005+8=x-1997=2006 解得:x=4013 不符合条件;

③.当2006<x<2007时,||x-2006|-1|+8=|x-2006-1|+8=2007-x+8=2015-x=2006 解得:x=9不符合条件;

④.当x≥2007时,||x-2006|-1|+8=|x-2006-1|+8=x-2007+8=x-1999=2006 解得:x=4005符合条件为方程的解.

综合上述可得,满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和=7+4005=4012.

6.解:设池中原有水x立方米,每个出水口每分钟出水y立方米。依题意可得:16?3?x?16?3y ,9?3?x?9?5y 联立方程解得:x=288 ,y=7

∴池中原有水288立方米.

7.解:2S=1?23420052006k?1k ?2?3?...???1??...??2222k?12200422005

1111?2?3?...?20052222??1?2006?1?????20061?????2006?2?6020?1 ?2006=??2??2220063322006?1?1?????2? 3S=S+2S=1?

∴S=2602012?3010?2?3010???2006??1?2006? ∵0<?1?2006?<1 9929?29?2??

∴小于S的最大的整数是0.

8. 解:要使其中任何两个点之间的距离都不等于4,我们可以在数轴上连续取四个点,然后空四个点,再连续取四个点,如此重复。

如要取出2006个点,∵2006?4?501...2

∴在数轴上我们最少需要有501?8?2?4010个点与之对应,

即要求:2n+1≥4010 ∴nmin=2005.

二、

9. 解: 设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S,则阴影部分扫过的立体的体积即为2S

S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆锥的体积.

即:S=1122×6×10×π-2××3×5×π=90π, 33

∴阴影部分扫过的立体的体积为:2S=180π=565.2(立方厘米).

10.解:依题,要将21个整数分为个数不等的6组,那么每组的个数分别为1、2、3、4、5、6.

另一方面,要使六个组的六个平均值的和最大,就应当将数值大的数分在个数少的组中.所以,分组如下:

第一组 10

第二组 9 8

第三组 7 6 5

第四组 4 3 2 1

第五组 0 -1 -2 -3 -4

第六组 -5 -6 -7 -8 -9 -10

计算它们的平均值的和:

109?87?6?54?3?2?10?1?2?3?4?5?6?7?8?9?101??????17 1234562

1即这六个平均值的和最大是:17 2

11.解:分别把m =0和m =1代入等式,得到两个方程: ??x?2y?1?0

?3x?y?4?0

把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.

把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立

l2

∴x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解. l3

l答:这些方程有公共解,公共解是x=1,y =-1.

12. 解:如右图所示,在平面上任取一点O,过O点作已知的5条直线 ?5?的平行线l1,l2,l3,l4,l5,将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的 小的角,这10个小角的和恰等于360,所以,至少有一个小角不超过36. 三、

13. 解:设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;

l4

?6

??1

??l5

LL

, ?

8v?6v2vL

甲第一次追上乙时爬行的路程=8v?4L

2v

L3kL

甲第k+1次追上乙时爬行的时间=, ?

2v2vL3kL

甲第k+1次追上乙时爬行的路程=(?)?8v?L?3?(1?4k)L

2v2v

甲第一次追上乙时爬行的时间=

因为3×(l+4k)L是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B点追上乙; 在时刻

图4

L3kLL3kL3k1

,丙爬行的路程=(??)?5v?3L?6kL?(?)L

2v2v2v2v22

L3kL

当k=1时,上式是(?)?5v?9L?L。因为丙是从C出发顺时针爬行,所以

2v2v

丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合. 答:甲、乙、丙仅仅在B处会合.

14. 解:①A?(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?

111111

)(1?)

2233mm111111?(1?)(1?)(1?)?(1?)(1?)?(1?)

23m23m12m?134m?1m?1

???????????

23m23m2mn?1

同样,B?

2n

②由题设,

m?1n?1n?m1

, ???

2m2n2mn2613m

∴解得n?,∵依题意m,n都是正整数 ,∴1?m?12且m?N

13?mA?B?

计算得:只有当m=12时,n=156为正整数符合题意 ∴m,n有唯一解:m=12,n=156

第十二届华杯赛

一、

1.原式=?3576309?2521?32?16113999=-8 ????????201713151013130130

2??b?a?2.?? ?2?

40

?4?168=1212 3.原式=117?61313?67420.7?

4.解:

(m?n)2?(m2?n2)25?13mn????6?2?2

m4?n4?(m2?n2)2?2m2n2?132?2???6??972

5.解:从上往下看,这个立体有三排,先看最前面那排,从上面看只有第一列有小正方体,

从正面看有两层,所以最多只有两个小正方体,算得表面积最多为8;

再看中间那排,从上面看五列都有小正方体,从正面看从左到右数第一、二、四列有两

层,第三、五列有一层,所以最多有八个小正方体,算得表面积最多为27;

最后看最后那排,从上面看第二、五列有小正方体,从正面看第二列有两层,第五列有一层,所以最多有三个小正方体,算得表面积最多为13,∴这个立体的表面积最多是8+27+13=48.

6.解:当n≥1时,依题意,3?n?1??2n>2?3n?1? 解得n<-1,没有符合条件的整数n存在; 当-<n<1时,依题意,3?1?n??2n>2?3n?1? 解得n<

只有0一个; 当n≤-131,符合条件的整数n111时,依题意,3?1?n??2n>?-2??3n?1? 解得n>-5,符合条件的整数n有:3

-4、-3、-2、-1共4个 所以满足不等式3n?1?2n>23n?1的整数n的个数是5个。

7.解:假设这个年级原有x个班,则新学年时有x+6个班,因为新学年前和新学年时都刚好被分成人数相同的若干个班,∴x为280的因数,x+6为585的因数

∵585为奇数,6为偶数 ,∴要使x+6为奇数,x必须为奇数

由280=1?2?5?7 ,x的可能取值为1,5,7,35

又585=1?3?5?13计算得,只有当x=7时,x+6=13才为585的因数

∴这个年级原有7个班。

8.解:设最小角度数为x,则最大角度数为5x,另一个角度数为180-6x≤5x

∴x≥23180?16.4° 11

依题意,这个三角形为锐角三角形,所以其最大角度数必须小于90°

即5x<90°,解得x<18°

∴16.4°≤x<18° 又x必须为整数 ∴x=17°

此时5x=85°即这个三角形的最大角的度数是85°

二、

9.解:一定能。

∵4??5a?7b?22c???7a?2b?3c??13a?26b?91c?13??a?2b?7c? 一定能被13整除 又依题意:7a?2b?3c的值一定能被13整除,4不能被13整除

∴5a?7b?22c一定能被13整除。

S?ENF?S?FNC,

10.解:如下图所示,连接AE,EN,NC,易知: S?AEM?S?MEN,

两式相加得:S?AEM+S?FNC?S?MEN+S?ENF?S2...?1?,

且S四边形AECN=2S2,

连接AC,由三角形面积公式易知,S?ABE?

上面两式相加得:S?ABE?S?CDN?11S?AEC,S?CDN?S?ACN, 221S?S2?⑵ 2四边形AECN

将⑴式和⑵式相加得:S?AEM+S?FNC+S?ABE?S?CDN=2S2,

而S?AEM+S?ABE=S1,S?FNC?S?CDN=S3,

∴有:S1+S3?2S2, ∴S21? S1?S32

11.解:∵第三、六、八、九列都有9,∴第九行第二列只能填“9”;

∵第三 、六、九列都有7,∴第九行第八列只能填“7”;

∵第三、六列都有3,∴第九行第九列只能填“3”;

∵第六列有5,∴第九行第三列只能填“5”;

∵每行数字不能重复,∴第九行第六列填“6”,

∴这个九位数是:495186273.

12.解:(1)以这6个点为顶点可以构造的不同的三角形数:C6=36?5?4=20?个?; 3?2?1

(2)要求其中任何两个三角形没有公共顶点,每个三角形有3个顶点,所以,6个点

最多只能构造2个没有公共顶点的三角形;

(3)令这6个点分别为A、B、C、D、E、F,假设可以选出两两没有公共边的5个三

角形,它们共有15个顶点,需要15个英文大写字母,这里不同的英文大写字母仅有6个,因此,这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点,不妨设为A,根据假设,这3个三角形两两没有公共边,即除去公共顶点A之外,其余6个顶点互不相同,即表示这6个顶点的字母不相同,但是,除A之外,我们仅有5个不同的字母,所以,不可能存在5个三角形,它们两两没有公共边。

又显然△ABC、△ADE、△BDF和△CEF这4个三角形两两没有公共边, ∴最多可以挑出4个三角形,其中任何两个三角形都没有公共边。 三、

13.解:依题意,王雪比刘芳小1,∵菲菲刘芳小29岁,∴菲菲的妈妈比刘芳小2岁, ∴刘芳和王雪都不是菲菲的妈妈,即菲菲的妈妈是李薇。

∵路路和妈妈年龄差7岁,其岁数之差为奇数,∴他们两个的岁数之和也为奇数,

∴王雪是路路的妈妈。

设李薇现在的岁数是x,则,刘芳的岁数是x+2,王雪的岁数是x+1, 菲菲的岁数是x-27,壮壮的岁数是x-25,路路的岁数是x-26,

依题意有:x+?x?2???x?1???x?27???x?25???x?26??105 解得:x=30

∴菲菲的年龄是3岁,壮壮的年龄是5岁,路路的年龄是4岁。 14.解:∵

11111?111?111++=1,∴=??++???+, 23688?236?162448

1

能表示成3个互异的正整数的倒数的和(表示法不唯一)。 8

1111

不妨设a<b<c,现在的问题就是寻找整数a,b,c满足:=2+2+2,

8abc

11111113

由a<b<c,则有:2<2<2,从而=2+2+2<2,

cba8abca11222

∴解得a<24,又有>2,∴a>8,故a=9或16.

8a

111111121112

⑴若a=9,则有2?2??? ,由于>2,并且2>2?2?

bc897272bbbc72

144. ∴b>72,72<b<

22

72b2

,没有一个是完全平方数, 故b?18,100或121,将值分别代入c?2

b?72

2

2

1111

++无解; 8a2b2c2111112

⑵若a=16,则2?2???,

bc81616

说明当a=9时,=

2

16b216?25类似地,可得到16<b<32,即b=25,此时,c=2 ?不是整数。b?169222

综上所述,

1不能表示成3个互异的完全平方数的倒数之和。 8

第十三届华杯赛

一、

1.解:2月21日至28日总气温:-8℃ ,2月22日至28日总气温:-8℃-(-3℃)=-5℃,

2月22日至29日总气温:-4℃ ,

∴2月22日的平均气温为:-4℃-(-5℃)=1℃

2.解:2008=1?2?251 ∴新北京=251或502

当新北京=251 ,新+奥+运=8 ,又新=2 ∴奥+运=6

∴新北+京+3??11??奥+运?=?25+1?+?6=29; 新2

当新北京=502 ,新+奥+运=4 ,又新=5 ∴奥+运=-1

而依题意每个汉字代表0到9的数字,加起来不可能为负,所以不合题意。 ∴算式新北+京+??11??奥+运?=?25+1?+?6=29 新2

3.解:我们只研究这个代数式的个位:

-1?8+2?7-3?6+4?5-5?4+6?3-7?2?8?1?9?0?0?9?1?8....?3?6?4?5= 0?0?....?0?8?14?18?20=8

∴代数和的个位数字是8.

4.解:用一个平面去截一个长方体,平面与长方体的面的交线就是截得的多边形的边,长方体有六个面,所以,截得的多边形边数最多有6条。

5.解:依题设第n个数为an,则有:an= an-1+n

∴有:

an? an?1?n

an?1? an?2?n?1

an?2?an?3?n?2

?

a3?a2?3

a2?a1?2

1?n?n??1 把上面各式相加得:a-a=2+3+4+?+(n-2)+(n-1)+n=n1 2

∴an= a1+?1?n?n?1=?1?n?n 22

∴a2008=2009?2008=2017036. 2

2226.解:依题意有:ax+bx=-(-ax+bx) 化简得:2bx=0

∴b=0 ∴ab=0.

7.解:依题意m=-3 ,∵a?m?3 ∴-3≤a≤3

∴a?m?a?m???a?m???a?m???2m?6.

8.解:有四列,每列至少要去掉一枚棋子,所以至少要去掉4枚围棋子。 二、

9.解:设这个锐角三角形的三个角的度数分别为a,b,c且a?b?c, 则有:a?4c且a<90?,∴c<22.5?...?1?,c?b<4c,

∵a?b?c?5c?b?180?,∴6c?180??9c,解得:20??c?30?...?2?, 由?1?、?2?得,这个三角形的最小角的度数c的可能取值为: 20、21、22.

10.解:设共有x只猴子,每只猴子得到的桃子的数目为y,

依题意xy?1y?164,即?4x?1?y?4?164?24?41, 4

4,y?2?16,解得:x?10, ∵4x?1为奇数,∴4x?1?41

∴共有10只猴子。

11.解:如右图,连接AP,设S?EBP?x,S?APF?y,则S?

AEP?x?y

∵S?BCF:S?BFA?S?FPC:S?APF?x:y,S?BCE:S?AEC?S?EBP:S?AEP?x:?x?y?, 而S?BCE?S?BCF,S?BFA?S?AEC?x?x?2x,

∴x:y?x:?x?y?,解得:y? x, 2

x?2:1,2即S?BCF:S?BFA??12?x?:2x?x:

∴S?EBP1?S?PBC?4.3

12.解:要使x有意义,则y?0,若x?y?x?y,则y?0矛盾,∴x?y?x?y, y

若x?0,则由x?y?xy或x-y?xy都得到y=0,∴x?0,即xy?0,

∴要使其中的三个代数式的值相等,只有两种可能:

⑴x?y?xy?x由后一等式得到,y?1或y??1, , y

若y?1,由第一个等式得到x?1?x,矛盾,

若y??1,由第一个等式得到x?1??x,即2x?1,∴x?

⑵x?y?xy?1; 2x, 由后一等式同样得到,y?1或y??1, y

若y?1,由第一个等式得到x?1?x,矛盾,

若y??1,由第一个等式得到x?1??x,即2x??1,∴x??

综上所诉,只有当x?1. 211,y??1或x??,y??1时能使其中的三个代数式的值相等。 22

三、

13.解:设所用的等边三角形的边长单位为1. 任何满足条件的六边形的外接三角

形一定是一个边长为l 的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为a,b,c的 等边三角形的角而得到, 其中a,b,c为正整数, 并且满足a?b?c?1,l>a?b. 又由于用边长为1 的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需 要的个数是1?3?5?...??2x?1??x, 2

∴n?l?a?b?c

22?222?,其中l?3,l>a?b,a?b?c?1. ?222(1)l?3时, n可以为3?1?1?1

2??9?3?6; 2 (2) l?4时, n可以为4?2?1?1?22??16?6?10,4??122?12?12??16?3?13;

(3) l?5时, 与上面不同的n可以为:

52??32?12?12??25?11?14,52??22?22?12??25?9?16,

52??22?12?12??25?6?19,52??12?12?12??25?3?22;

⑷ l?6时, 与上面不同的n可以为:

62??42?12?12??36?18?18,62??32?12?12??36?11?25,

62??22?22?22??36?12?24,62??22?22?12??36?9?27, 62??22?12?12??36?6?30,62??12?12?12??36?3?33,

⑸ l?7时, 与上面不同的n都比27大;

(6) l≥8时, 可以证明满足要求的n都不小于26.

由(1)到(6)可得,前10 个满足要求的n 为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25. 14.解:因为方程左边的第1、3项都是整数,所以3y是整数。注意到

?25?y2??y2??y2?

??1???1???, ??

?25??25??25?

?y2?3y?y2?3y

????0.所以代入方程,得到20?3y?10?10???0,1?是整数,

25102510????

3y是10的倍数. 令3y=10k , k 是整数, 代入得:

?100k2??4k2?4k2?4k2?

0?1?k????1?k??9??1?k?9??9?, 9?25??????

?4k2?4k24k2

1?k?????0. 其中,对于有理数x,?x??x??x?.所以有:?,?1<1+k?

99?9?

4k2

当k取不同整数时,1?k?的情况如下表:

9

k的可能值是-1和3,相应的y??

和y?10.代入验算得到y??或y?10. 33

第十四届华杯赛试题A

一、 1.原式=

1004134

+?-16?6=10 91329

2.原式=a-b+a-c+c-b=2(a-b)

3.解:三个n次多项式之积的次数为3n,一个2m次多项式的次数为2m,它们的和的次数就是较高次多项式得次数,依题意:3m<2n ∴2m<2?

2n4n

?<3n 33

∴三个n次多项式之积与一个2m次多项式之和是3n次多项式

4.解:上山时间t1=1010,下山时间t2==2, 35

总路程10+1015==?km/h? 总时间+24

3 ∴这位运动员上下山的平均速度=

5. 解:一定不成立的是②

22 ∵a?0 ,b?0 ,a?0 ,b?0 ,1>0

22>0 ∴a?b?a?b?1

对于①,当a>0,b<0时不等式成立;对于③,显然当a=b=1时成立。

6.解:第一个方程组两边分别乘以3,第二个方程组两边分别乘以2,再把两个方程组相加20x?3y?11 ,依题意:-1≤x≤2,-2≤y≤4 6

?20?6?1115 ∴当x=-1,y=-2时,(m+n)min=??; 66

40?12?1163当x=2,y=4时,(m+n)max= ? 66得到:m?n?

∴m?n????1563?,? 66??

7.解:要使值最大,第一个方框要尽可能大,﹣号后面的数要尽可能小,所以分母要尽可能大,分子要尽可能小,所以分子填2006和2007,

2006?2007

2006?20072006?20072009 比较2009?与2008? :?>1 2006?20072008200820092008?2009

2006?20072006?2007 ∴2009?>2008? 20082009

2006?20071003即算式最大可能值是:2009?=3 100420082009?

8.解:34个。

二、

9.解:?2x?3x???2x???3x??5x?95??2x???3x???0,2?,解得:x??19,???

?97??, 5?

⑴当x??19,?

?58? ?时,?2x??38,?3x??57,则?2x???3x?=38+57=95,方程成立;3?

⑵当x???5897?,?时,?2x??38,?3x??58,则?2x???3x?=38+58=96?95,方程不成立 ?35?

综合⑴、⑵,方程的解为:x??19,19?. ?

?1?3?

10.解:由等式11110x ??可解得:y?xy1010?x

又依题意x, y只能取自然数1, 2, 3, ?, ∴1?x?9且x?N 计算得,使y也为自然数的x有:

?x1?5?x2?6?x3?8?x4?9 ????y?40?y1?10?y2?15?3?y4?90

显然有y4>y3>y2>y1 ∴当x=9时,y达到最大值等于90.

11.解:依题意:AD3? ,AD?AB?17

AB2

,AB?CD?

,PQ?EO?

∴解得:AD?BC?同理可得:QE?PO?设CG?x,FQ?y,则QE?AD?x?y

,∴x?y?AD?QE???22GF??x??x ???33??

∴ S四边形CDGF+S四边形FGQP

=S△CDG+S△CFG+S△GFQ?S△FPQ

1111?CDx?GFx?GFy+PQy2222

11?2?1????xx?y+??

????22?3?2

1??+3x??????17-x?y?22?6=

2、...、8, 12.解:令aij表示第i行第j列方格上的数字,其中i,j?1、

由图可得:a24?1,a42?13,a43?, 816

311??, 16816 设每一行相邻两个格子中的数之差为d,则d?a43?a42?

115,a44?a43?d?,a45?a44?d?,16416 , 371a46?a45?d?,a47?a46?d?,a48?a47?d?8162∴a41?a42?d?

∵a24?q2?a44?11,方格内的数都为正数,∴q=, 42

a433a411a4215?,a??,a??,a?a?q?,22335545222q2q2q832

371234a?a?q?,a?a?q?,a?a?q?,4677478848 66 3212832

11315371123∴主对角线上8个数之和:a11+a22+...+a88=+++++++=12284323212832128∴a11?

三、

13.解:由题可知:从编号为1的点开始,每隔6个点去掉一个点,第一次去掉的

是编号为8的,第二次去掉的是编号为15,则第N次去掉的为7N+1,又圆周上只有2009个点,编号为1到2009,则第286次去掉的为2003,第287次去掉的为1,500=286+214,则第214去掉的即为第500次去掉的214*7+1=1499,第500次去掉的为1499.

14.解:过点G作GI垂直AB于I,过点F作FH垂直AB于H

∵S△AGE?S△FGD ∴

∴AEAG ?FDFGFHAEAG?GFGFbc?dad?bc?2bd ???1??1+??GIAGAGAGa?bdd(a?b)

∴S?AGE

S?ABCD1AE?GId2?a?b?1dd(a?b)=???? AB?FH2c?dad?bc?2bd2c?dad?bc?2bdd2?a?b?

2c?dad?bc?2bd 又已知S?ABCD=1 ∴S?AGE=

第十四届华杯赛试题B

一、

1.原式=100413100+18+481664+?+32?6=??18 9132999

2.原式=a-b+c-a+c-b=2(c-b)

3. 解:三个n次多项式之积的次数为3n,一个5m次多项式的次数为5m,它们的和的次数

就是较高次多项式得次数,依题意:3m>2n

∴5m>5?2n10n?>3n 33

432 ∴三个n次多项式之积与一个5m次多项式之和是5m次多项式。 4.解:依题意:x?ax?bx?cx?d??x?1??x?2?x?4?x?x?2x?4x?8, 2432??

∴a?1,b?2,c?4,d??8,∴a?b?c?d?1?2?4?8??1.

5. 解:一定不成立的是①

22 ∵a?0 ,b?0 ,a?0 ,b?0 ,1>0

22>0 ∴a?b?a?b?1

对于②,当a>0,b<0时不等式成立;对于③,显然当a=b=1时成立。

6.解:∵(a?b) ?0,∴|(a?b)?1|?1,又∵(a?b?2) ?0,222

|(a?b)2?1|?(a?b?2)2?1,∴|(a?b)2?1|?1,(a?b?2)2?0,

∴(a?b)2?0且a?b-2?0,解得a?b?1.

∴x?ay?1,bx-y?3,即x?y?1,x-y?3,

∴|(x?y)2?1|?(x?y?2)2?32?1?12?11 .

7.解:设张明每年要归还银行x万元,依题意有:

???10?105%?x??105%?x???105%?x?0, 解得:x?3.7?万元?

即张明每年要归还银行3.7万元.

8. 解:由已知得,k ≥ 5,即n至少还有d2、d3、d4三个因数,所以n至少有3个质因子(若n仅有两个质因子a和b,则n的因数只有1、a、b、n四个)。

当d2 = 2,d3 = 3,d4 = 6,d5 = 9,n取最小值18。

当d2 = 2,d3 = 4,d4 = 5,d5 = 8,n取第二小的值40。

当d2 = 2,d3 = 3,d4 = 6,d5 = 9,n取第三小的值54。

所以第三小的比第二小的大14。

二、

9.解:a沿原点出发经过10次移动后距离原点6个单位,则a有两种可能,一种是向正方

向移动了8次,沿负方向移动了2次,另一种是沿正方向移动了2次,沿负方向移动了

10?9?45?种?; 2

10?928 对于第二种可能,a的移动方法有:C10?C8??45?种? , 28228次。对于第一种,a的移动方法有:C10?C2?C10?

∴点a的移动方法总共有:45+45=90(种).

10.解:由方程得:6x?5?6x?5?9x?18?????0,1? ?7735??

解得:x??2,?53?? ?9?

⑴当x??2,?19??6x?5?时,?1 ,∴1?3x?5?0, ???67????

?19??为方程的解; ?6?解得:x?2??2,

⑵当x???1913??6x?5?,?时,??2 ,∴1?3x?5?2?0, ?637????

11?1913???,?为方程的解; 3?63?解得:x?

⑶当x???1311??6x?5?,?时,??3 ,∴1?3x?5?3?0, ?327????

16?1311???,?为方程的解; 3?32?解得:x?

⑷当x???1153??6x?5?,?时,??4 ,∴1?3x?5?4?0, ??29??7?

?1153?,?不是方程的解; 29??解得:x?7??

综上所述,方程有3个解,为:x?2,1116, 33

11.解:?OBC??OCB=180?-?BOC?180?-140?=40?

11依题意,?OBC=?PBC,?OCB??PCB33

∴?PBC??PCB?3?OBC?3?OCB?3?40?=120?

∴?ABP??PCD??90?-?PBC???90?-?PCB??180?-120?=60?.

12.解:

三、

13.解:依题意可得:3t的个位数为3 ,又t=0,1,2?9 ∴可得只有当t=1时符合条件 ∴可得3z的个位数为9,又z=0,1,2?9 ∴可得只有当z=3时符合条件 ∴2y的个位数为4,又y=0,1,2?9 ∴y=2或7

∴两位数yt?21或71.

14.解:过点G作GI垂直AB于I,过点F作FH垂直AB于H

∵S△AGE?S△FGD ∴

∴AEAG ?FDFGFHAEAG?GFGFbc?dad?bc?2bd ???1??1+??GIAGAGAGa?bdd(a?b)

1AE?GId2?a?b?1dd(a?b)=???? AB?FH2c?dad?bc?2bd2c?dad?bc?2bdd2?a?b?

2c?dad?bc?2bd, ∴S?AGES?ABCD又已知S?ABCD=1 ∴S?AGE=

∵S?ADE

S?ABCD1?AEddd???,∴S?ADE?S?ABCD?, 2c?d2c?dAB2c?dd2?a?b?dbd??? 2c?d2c?dad?bc?2bd2ad?bc?2bd∴S?ADG?S?ADE?S?AGE

第十四届华杯赛试题C

一、

1.原式=

100413100+18-96224+?-64?6=??2 9132999

2.原式=b-a+c-a+b-c=2(b-a)

3. 解:三个m次多项式之积的次数为3m,一个(3n-2)次多项式的次数为(3n-2),它们的和的次数就是较高次多项式得次数,依题意: m<n-1

∴3m<3n-3<3n-2

∴三个m次多项式之积与一个(3n-2)次多项式之和是(3n-2)次多项式。

362a?21, ,y?6a?96a?9

3 而依题意,方程组无解,∴6a?9?0,即a?. 2

5.解:设产品原价为A,最初投资为x万元。后来价格为0.7A,剩下的钱为x?160, 4.解:假设方程组有解,解之得:x?

A0.7A?,解得:x?1000?万元?. 1.2xx?1606. 解:一定不成立的是③

22 ∵a?0 ,b?0 ,a?0 ,b?0 ,1>0

22>0 ∴a?b?a?b?1

对于①,当a>0,b<0时不等式成立;对于②,显然当a=b=1时成立。

7.解:连接BC,设AB=x,则BC=20-x,由勾股定理,

122?x2??20?x?,解得:x=6.4,

2 CC'???cm?,

∴sin?A'CC'?A'C' CC' ∴S四边形ABCD=S?ABC?S?BCD?11?AB?AC??BC?CD?sin?A'CC'?79.2?cm2? 22

8. 解:2mn?5m?3n?25,n??2m?3??5??m?5?,

?13?5?135??1??5?5??2m?10?2m?3?2m?3??n?? , 2?2m?322

∵n为正整数,又5为奇数,∴要求

∴2m?3=1或5或13或65

=1时,m=2,n=35;

=5时,m=4,n=9;

=13时,m=8,n=5;

=65时,m=34,n=3;

∴n可取4个不同的正整数值。 5?13为奇数,又∵ 5和13都是质数, 2m?3

二、

9.解:设CM=x ,CN=y

对直角三角形BCM ,有:x??2y??22222?.①

?.② 对直角三角形ACN ,有:?2x??y?19222

联立①、②解得:x?64 ,y?105

22??26. 10.解:设甲车速度为xkm/h,则乙车速度为(220-x)km/h.

ACABADAC?,?,依题意有:x220?xx220?x ABAC??220?x?220?x?220?x?25????∴, 2ADxAC?xx36

解得:x1?120,x2?1320>220?舍去?,即甲车速度为120km/h.

11.解:∵x<0 , ∴-x=ax+2 ,得:x??

∴a>-1 ?⑴

假设方程有正数根,则由x=ax+2得:x??22<0 a+12>0,解得:a<1 , a-1

依题意方程只有负数根,∴a?1 ?⑵

联立⑴、⑵得:a的取值范围:a?1。

12.解:6位。

当有4位同学去上海旅游时,只要他们去上海时分别选择飞机、火车、轮船和长途汽

车,即可满足题意,当有多于4位同学时,多的同学在去上海时必须与原来4位同学选择的交通工具重复,所以,要满足题意,则从多出来的同学和原来4位同学中任选3位同学,他们从上海回来时所选择的交通工具必须各不相同,假设从原来4位同学中选出2位,他们从上海回来时所选择的交通工具不同,那么,只剩两种不同的交通工具,要满足题意,最多只能多2位同学,即这些同学最多有4+2=6(位)。

三、

13.解:假设这个乘法算式是:abc?de?fghi?jkl

∵abc?d是一个三位数 ∴a?d是一位数 ∴a只能取1或3

假如a=1 , ∵abc?e是一个四位数且千位为偶数,

而此时就算bmax?8,cmax?8,emax?8 ,188?8?1504 千位数也只能是1

∴a=3 ∴d=2

∴要使3bc?e为千位数是偶数的四位数 e=6或8

又3bc?2?偶奇偶 ,b、c都是偶数 ∴b=2或4 ,c=6或8

假如b=2,则e必须为8 ,则有:32c?8=偶奇偶偶

将c=2、4、6、8分别代入发现都不能满足条件 ∴b=4

∵c?e的十位数必须为偶数 ∴当e=6时,c=8;当e=8时,c=6或8

分别计算346?28,348?26,348?28发现只有348?28 符合题意

∴该乘法竖式是:348?28?2784?696?9744 .

14.解:过点G作GI垂直AB于I,过点F作FH垂直AB于H

∵S△AGE?S△FGD ∴

∴AEAG ?FDFGFHAEAG?GFGFbc?dad?bc?2bd ???1??1+??GIAGAGAGa?bdd(a?b)

∴S?AGE

S?ABCD1AE?GId2?a?b?1dd(a?b) =????AB?FH2c?dad?bc?2bd2c?dad?bc?2bdd2?a?b?

2c?dad?bc?2bd22又已知S?ABCD=1 ∴S?AGE= , b2?c?d?S?DGFDF2?bc?d?又∵, ??????222S?AGEAEd?d?a?b??a?b

S?DGF?S?AGE?

b2?c?d?d222?a?b????2c?dad?bc?2bdd2?a?b?22a?bad?bc?2bdd2?a?b?b2?c?d?2b2?c?d?

第十五届华杯赛

一、

1.解:∵等式右边不含a,∴等式左边两个绝对号内的数符号相同

即:??a?b>0?a?b<0或? ∴b<a<c或c<a<b

?c?a>0?c?a<0

∴居中的是点A.

2.解:从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面积分别是:5, 5, 5, 5, 6,

6,∴S立体图形=5?5?5?5?6?6?32.

3.解:设甲乙两站的路程是xkm,依题意有:x15x ??90?806090?70

解得:x=680 ∴甲乙两站的路程是680km.

4.解:2010个数中,有1005个偶数,根据条件,显然要分组的话,每组最多只能有2个偶数,所以至少要分成1005/2=502??1,所以要503组。下面就看503组是不是满足条件的最少组了。我们这样来划分偶数组(2),(2*2,2*3)(2*4,2*5)(2*6,2*7)??(2*1004,2*1005),这样的503组中,它们除去约数2后,剩下的是互质的(因为相邻),所以,将剩余的1005个奇数也采用相邻奇数插入,即3放入(2)中,5、7放入(2*2,2*3)中,9、11放入(2*4,2*5)中??2007、2009放入(2*1004,2*1005)中,由于相邻奇数也是互质的,所以每组中任意三个数一定互质,即公约数是1,所以最小分为503组

5.解:正n边形每个内角度数都为:?n?2?180? , n

依题意,要使:?n?2?360??360?720为整数 ,∴正整数n为720的因数且nnn>2 ∵720=2?3?5 ∴720的大于2的正因数个数为:5?3?2-2=28(减去1和2这两个数)。

6.解:令42a?2b3b?2cc?2a??=t ,则有:a?2b?7t,3b?2c?5t,c?2a?3t, 753

1?x??11?3?设x?a?2b??y?3b?2c??z?c?2a??3a?b?2c ,解得:?y? 11?16?z???11?

∴3a?b?2c=1326t?16??7t??5t?????3t?? 11111111??

同理可得:2a?5b?6c=?t 26t

3a?b?2c26∴ ??2a?5b?6c?t11?

7.解:一共有15场比赛且不可能有两人都一场不胜, ∴a?2b?c?2d?15,d?1.

于是 6d<15, d≤2.

若d=2 , 则4c<a+2b+c=11, 进而得到 c≤2=d,矛盾. ∴d=1.

4c<a?2b?c?13,c?3,

即c=2或3. 若c=3,则3b<a+2b=10, b≤3=c,矛盾. 所以c=2 ,

再由a+2b=11 得到 b=3, a=5.

8. 解:

二、

9.解:不能。

理由:假设存在7个整数a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7排成一圈后,

满足任3个相邻数的和都等于29.

则a1?a2?a3?29,a2?a3?a4?29,a3?a4?a5?29,a4?a5?a6?29,a5?a6?a7?29,a6?a7?a1?29,a7?a1?a2?29.

(a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7)?29?7.将上述7式相加,得3? ∴a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?29?7203 ?,33

与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!

所以不存在满足题设要求的7个整数.

4k?35?x???4110.解:解方程组可得:? 5k?28?y???41

依题意,x,y为整数,∴根据整数完备性定理,y?x?k?63也为整数, 41

∴41/k?63,假设k?41m?63 ∵1910?k?2010,

∴只有当m1?46,k1?1949;m2?47,k2?1990时符合条件,

∴这样的整数k只有两个。

11.解:依题意:12p?1p?112q?1q?1??...???m,??...???n, ppp2qqq2 mn??p?1??q?1??48,∴p?1q?1=192, ????4

192?1?192?2?96?3?64?4?48?6?32?8?24?12?16

各乘数加1既得(p,q)其中质数组有(2,193)、(3,97)、(13,17),

2-1193-119313-197-113-117-1 +=?96,+=49,+=14,22222222

1∴m?n的可能值是96,14或49. 2

12.解:显然:?x?是整数,x-?x???0,1?,由x[x]?80可得:x?80, [x]

1; ⑴当x>0时,若?x??8,则x?10,x-?x?=2>

若?x??9,则x?801,x-?x?=-<0,没有适合方程的解; 99

⑵当x<0时,若?x??-8,则x?-10,x-?x?=-2<0;

若?x??-9,则x?-801,x-?x?=??0,1?,是方程的解; 99

1, 若?x??-10,则x?-8,x-?x?=2>

综上所述,方程只有一个解:x?-80. 9

三、

13.解:S?ABC+S?BCD+S?CDE+S?DEF+S?EFA+S?FAB

=2(S?AA1B+S?BB1C+S?CC1D+S?DD1E+S?EE1F+S?FF1A)+S6个阴影三角形面积

=S六边形ABCDEF

又∵S6个阴影三角形面积=S六边形ABCDEF ,

∴S?AA1B?S?BB1C?S?CC1D?S?DD1E?S?EE1F?S?FF1A=S六边形ABCDEF ∴ ∴1313S六边形A1B1C1D1E1F1

S六边形ABCDEF

21=. 3214.解:9(x?1)?2x?5=9x?20x?4

10?100?2?4?a为⑴假设这个单项式是零次单项式a,则有:9x?20x?4?a??3x???39??

一个整式的平方, 2

10064; ?4?a?0,解得:a?99

⑵假设这个单项式是一次单项式ax, ∴?

20?a??20?a??2则有:9x?20x?4?ax??3x??????4为一个整式的平方, 66????22

?20?a?∴????4?0,解得:a1?8,a2?32; 6??

⑶假设这个单项式是二次单项式ax,

22

22则有:9x?20x?4?ax???4为一个整式的平方,

22

∴??4?0,解得:a?16 ∴这样的单项式有3个,分别为:264,8x,32x,16x2. 9

第十六届华杯赛

一、

1.解:原式=?2424. ??1?27?2?17919

2.解:8547.

3.解:先将1个,2个,3个,4个球分别放入编号为1至4的四个盒子中,则已经满足每个

盒子中的小球数不小于盒子编号数这一条件,剩下球有:12-1-2-3-4=2(个)

C4?C4?6?4?10?种?, 这两个球可任意放入编号为1至4的四个盒子中,放法有: 21

∴共有10种不同的放法.

4.解:设第n个数为an,依题意,从第n个数开始(n≥3),

a1?a2?...?an?2?an?1?n?2??an?1?an?1an???an?1, n?1n?1

又a3?10?20?15,∴a2011?a3?15. 2

5.解:当x????,?2?,p???3x?6???x?3???2x?6???x?9???7x?12,pmin?26; 当x???2,3?,p??3x?6???x?3???2x?6???x?9???x?24,pmin?21; 当x??3,9?,p??3x?6???x?3???2x?6???x?9??5x?6,pmin>21;

当x??9,+??,p??3x?6???x?3???2x?6???x?9??7x?12,pmin>51; 综上所诉,当x是有理数,pmin?21.

6.解:自然数1~22中,质数13、17、19除非把1做分母,否则不管这三个质数

是做分母还是分子,分数值都不能为整数,把其中一个做分子, 1做分母,组成一个整数,其余两个做成一个分数值不是整数的分数,而1~22中余下的数都可以两两组合做成分数值为整数的分数,

∴分数值为整数的最多能有:11-1=10(个).

3n?17.解:当3n?1?5m?2,即m?时,两串单项式中的项为同类项, 5

要使m为非负整数,3n-1必须整除5,∴3n-1的个位数必须为0或5, ∴n的个位数必须为2或7,

而自然数0~2010中,个位数为2的数的个数为:10?20?1?201,

个位数为7的数的个数为:10?20?1?201,

∴这两串单项式中同类项共有:201+201=402(对).

8. 解:11x?4?10x?2??x?2?,x?2被5整除,x最小=3,

11x?4最小= 11?3?4?37

55x+37?54x?36??x?1?,x?1被3整除,x最小=2,

55x+37最小= 55?2?37?147,

165x?147?x?0、1、2......? 则符合被3整除、被5除余2、被11除余4的数的形式就是:

解165?x?1??147?2011,165x?147>2011得11.3?x?12.3,

在此范围内的整数x?12,

显然165?12?147是这类数中的第13个,∴n?13.

二、

9. 解:S=A+B+C+D+E+F+G+H+I ,

4S=4(A+B+C+D+E+F+G+H+I)

=(A+B+D+E)+(B+C+E+F)+(D+E+G+H)+(E+F +H+I)+2(A+B+C+D+F+G+H+I)+(A+C+G+I) =400+2(A+B+C+D+F+G+H+I)+(A+C+G+I)

由于A,B,C,D,F,G,H,I 为各不相同的正整数,

有:A+B+C+D+F+G+H+I≥1+2+3+?+8=36,A+C+G+I≥1+2+3+4=10 ,

所以,4S≥400+2×36+10=482,即S≥120.5

因为S为整数,有S≥121.

另一方面,可以如图1 填数使得S=121.

综上所述,表格中所填9 个正整数总和的最小值为121.

10.解:∵平行ABCD,BFFCFC1?3,∴?? FCADBC4

S?EFCFC2FC21S?EFCEFFC1??????, ∴22S?ADEADBC16S?CDEDEAD4

∴S?EFCS?EFCS?EFC1, ???S?ACDS?ADE?S?CDE16S?EFC?4S?EFC20

又S?ACD=1111S?ABCD=,∴S?EFC=S?ACD=. 222040

83888)?(3?)(3?)(3?)?1, pmnp11. 解:由原方程,我们有(3?

∴(3?8)?1,p?4, p

88888)(3?)(3?)?(3?)(3?),m?n?4, mnpmn 若p?4,则1?(3?

上式只有当m?n?4时成立,

∴p 的最大值是4。

12.解:过点A作AF⊥CD于F,DE?CD?CE?CD?AB?33米,AE?BC?26米 1

323

cos?D?100??80?400???-??AD2?DE2-AE23??3?34???=,∴sin?D 1002?AD?DE552?20?

322

4?16米 5

222 ∴S?ABCE?AB?AF?38?16?618?m? 33

11122 又S?AED??DE?AF??33?16?266?m? 2233

2212 ∴S梯形ABCD?S?ABCE?S?AED?618?266?885?m?. 333 ∴AF?AD?sin?D?20?

三、

13. 解:如图,连接AF, AE, 则?ADF,?AFE,?AEB都是顶角为30,两腰为1厘米的

等腰三角形.其面积相等.

自点F作FP?AD于P. 则FP??1?cm?, 2

111?1???cm2?. 224

32∴S五边形ABEFD?cm). 4

32同理,S五边形BCDGH?cm)

. 4∴ S?ADF?

而S正方形ABCD=1cm?2?.

331??1??cm2?. 442由面积重叠原理可知,重叠部分为阴影六边形BEFDGH, ∴S阴影六边形BEFDGH?

14.解:不存在。

114为完全平方数,则设存在正整数使得,x??n2. n44xx

11因为x??m,所以x2?2?m2?2. xx

1所以x4?4?(m2?2)2?2. x若存在整数m使得x4?

所以(m?2)?2?n.

即(m?2?n)(m?n)?2.

因为m?2?n与m?2?n的奇偶性相同,且2是偶数,

所以m?2?n与m?2?n都是偶数.

因为(m?2?n)(m?n)是4的倍数,但是2不是4的倍数,矛盾!

所以不存在整数m使得x?

4222222222221为完全平方数. 4x

第十七届华杯赛试题A

一、

1.原式=?16?10?8?96???16 ?62.解:依题意,从第二项起,每一项都等于1加前一项的倒数之和,所以,前一项都等于后一项减1后的倒数,当第五项是0时,第四项=111??1,第三项=??,第0?1?1?12二项=1213????,第一项=. 2?1?13??153.解:∵∠ABD+∠DBC=60° AB=BC=CA =AD

∴△ABC为等边三角形 ∠ABD=∠ADB ∠ACD=∠ADC ∠BCA=60°

∴∠DBC =60°-∠ABD=60°-∠ADB

∵∠DBC+∠BCA+∠ACD+∠BDC=180° ∠ADC=∠ADB+∠BDC

∴60°-∠ADB+60°+∠ADC+∠BDC=60°-∠ADB+60°+∠ADB+∠BDC +∠BDC

=120°+2*∠BDC=180°

∴解得:∠BDC=30°

4.解:将b=3c代入a=b+2c得:a=5c

将b=3c,a=5c代入c=7b-a-20解得:c=4/3

将c=4/3代入b=3c得:b=4

5.解: 首先n不等于5,若n=5,n-4=1,1和任何数互质,

?n3?3?

n?4n??3?64?67?

n?4??n2?4n?16??67, n?4

n2?4n?16是整数,要想n3?3与n?4不互质,那么67可约, n?4

又n不等于5,67是质数 ,∴ n?67?4?71。

6.解:4名。

∵每个班至少选出一名学生,

∴只要一个年级的班级数大于1,则选出的学生的同班同学就会比他们的同年级同学少, 依题意5个年级共8个班,有下面三种情况:

⑴2个年级有一个班,3个年级各有2个班,此时,至少有2?3=6名学生的同班同学比他们的同年级同学少;

⑵3个年级有一个班,1个年级有2个班,1个年级有3个班,此时,至少有2+3=5名学生的同班同学比他们的同年级同学少;

⑶4个年级有一个班,1个年级有4个班,此时,至少有4名学生的同班同学比他们的同年级同学少,

综上所述,至少有4名学生,他们的同班同学比他们的同年级同学少。

7.解:设总水量为1,第一台抽水机注水速度为x, 第一台抽水机注水速度为y,依题意,两台抽水机同时向水池注入水量为:2131???, 918186

∵两台抽水机单独向水池内注水后注入水池的总水量相同,

y?1??6x?y?81x1? ∴?,解得:x?y? 378?1?x?49y??6x?y

11111????231?分钟? ∴还需要一起注水的时间t?x?y

378

16?1528.解:每两人赛一盘,则比赛总盘数:C16==120, 21?

依题意,经过120盘比赛后,16位选手的总积分为120分,

每个晋级者手中积分不少于10分,那么,晋级者人数不会多于:120?10=12?名?. 显然本次比赛后不可能有12位选手晋级,因为剩下的4位选手不能都得0分。 那么首先考虑能不能让11位选手晋级,如果是这样,这11位选手之间全部都是平局,每人都得了10÷2=5分;他们又都赢了剩下不晋级的5个人,又得了5分。这

样,这11位选手每人都得了5+5=10分,每11个人安全晋级是完全可以做到的。 所以晋级的选手最多有11人。

二、

9.解:由第二个方程得:y?1?2x ,代入第一个方程得:3?5x??7x?5?① ⑴当x????,??

?1??时,由①式:3?5x??1?7x??5 , 7?

解得:x??1?1?3????,??为方程的解,此时y?1?2x?; 4?7?2

⑵当x????13?,?时,由①式:3?5x??1?7x??5 , 75??

解得:x?1?13????,?为方程的解,此时y?1?2x?0; 2?75?

?

?7?3???,??? 12?5???3?5x???1?7x??5 , ⑶当x??,???时,由①式: 解得:x??3

?5

1?1?x?????x?4 综上所述,方程组得解为:?. 2或?3?y??y?0???2

10.解:没有。

设p为2000到2099任意一数,假设有那样的表达式存在,一定满足3?p+3?①,显然有m>n,①两边同时除3得3

nnmnnm?n?p?1?②,②式两边均为整数, n3m?n∴3整除p,令p?a3?③,③代入②得3?a+1,∴a?3m?n?1?④,

根据2000≦p≦2099及④式,a只能取下列值:2、8、26、80、242、728;

根据③式及2000≦p≦2099,3只能取下列值1、3、9、27、81、243、729; 当a=2时,a乘3的最大值(729)<2000,∴a≠2;

当a=8时,8×243=1944<2000,8×729=5832>2099,∴a≠8;

当a=26,26×81=2106>2099,26×27=702<2000,∴a≠26;

当a=80,80×27=2160>2099,80×9=720<2000,∴a≠80;

当a=242,242×9=2178>2099,242×3=726<2000,∴a≠242;

当a=728,728×3=2184>2099,728×1=728<2000,∴a≠728。

综上所述,不存在满足要求的a,所以从2000年到2099年的年份,

不能表示为3?3的形式。

mnnn

11.解:由11?11?1?11?x????12 可得:???????0,1? x?x?x?x?

解得:x????,?1?

⑴当x????,?11?时,??11?-11?为方程的解;=-1,∴?x?12 解得:x??12??-?, ?x??

⑵当x???11,??

?11?11??11??时,=-2,∴ -2x?12解得:x=-6??11,?为方程的解;?????2?2???x?

⑶当x???111??1111??11??1∴3 -x?12解得:x=-4???,??为方程的解;,??时,??=-3,2323x??????

111??1111??11??1∴4 -x?12解得:x=-3???,??为方程的解;,??时,??=-4,4?4??3?3?x?

解得:x=-12?11??,??5?45? 为方程的解;??⑷当x???⑸当x????1111??11?=-5,∴5-x12?,??时,??45x????

⑹当x????1111??11??1111? ,??时,??=-6,∴-6x?12解得:x=-2?????为方程的解;6?6??5?5?x?

?1111??11?,??时,??=-7, 7??6?x?

12?1111????,??为方程的解; 7?67?⑺当x???∴-7x?12解得:x=-

⑻当x???3?1111??1111??11?8x?12解得:x=-?????为方程的解;∴- ,??时,??=-8,2?78?8??7?x?

4?1111??1111??11?9x?12解得:x=-?????为方程的解;∴-,??时,??=-9,3?89?9??8?x?⑼当x???

⑽当x????1111??11?,??时,??=-10, ?910??x?

6?1111????,??为方程的解; 5?910?

解得:x=-12?11????,??为方程的解; 11?10?∴-10x?12解得:x=-⑾当x????11??11?11x1?2,?1?时,??=-11,∴-?10??x?

综上所述,方程有11个解,

346121212、-2、-、-、-、-、- 2357115

119199199...99226266266...66???,???.12.解:59499499...99556565566...665 分别为x=-12、-6、-4、-3、-

三、

13.解:设平行四边形ABCD的高为h,

三角形BEH的高为h1,三角形CFH的高为h2 ,

则S?BCE?11422111?BE?h???AB?h?,S?BEH???, 22555840

S?BEH

S?ABCD111?BE?h1h11h1114h2h11????1??1??,∴1=,又h=h1+h2,∴1=AB?h25h5h140h16h25

1ABBEh111547AE11∵?BEH??CFH,∴??,∴CF?BE?AB,DF=AB,??,CFh25111111DF7CD35

11

?AEG??DFG,∴ ∵

又S?ADF=SAGAE11AG11AG11??,∴??ADG??, GFDF35AF46S?ADFAF4611771177?DF?h???CD?h?,∴S?ADG=?=. 221122462292

14.解:14.解: 当1?k?5时,∵与“好点”相连的点必小于好点,

∴每个好点对应k个非好点,

要n最小,只需要非好点对应多个好点,一个非好点最多对应k个好点, ∴非好点最少有:

∴nmin?10. 5k?5?个? 5

当k>5时,还是5k非好点讨论重复,一个非好点最多对应5个好点, ∴非好点5k?k,nmin?5?k, 5

?10,1?k?5.

?5?k,k>5∴∴nmin??

第十七届华杯赛试题B

一、 1.原式?

-8+12?440

==2.

1+1+1820

2.解:第五项是20,则第四项为

11118

?,第三项为??,

120?21835?218

135188

第二项为??,第一项为??.

88211??2??23588

3.解:设三角形两条直角边为x,y且x>y,依题意有,

x?y?20?400,x?y?5,∴xy?

∴直角三角形的面积:S?4.解:

222

?x?y?

2

??x2?y2??2

?187.5

1

xy?93.75?平方分米? 2

?2012+1??2012+2??2012+3??2012+2012?

+++...+????????

5?5??5??5???

2012+12012+22012+32012+2012?2012+1??2012+2??2012+3??2012+2012?????...??????...???55555?5????5????5????2012?2012???805.4

5.解:连接AB,分别过点N,P,M作NE⊥AB于E, PD⊥AB于D, MC⊥AB于C,

?1?2012??2012

5

?402?402?5??403+404+405+...+804?

∵S四边形MAOB?S?AB0?S?ABM,S四边形NAOB?S?AB0?S?ABN,又S四边形MAOB=S四边形NAOB=40,

∴S?ABM?S?ABN,∴NE?MC,∴MN?AB,∴PD=MC,∴S?ABP=S?ABM,

∴S四边形PAOB?S?ABO?S?ABP?S?AB0?S?ABM?S四边形MAOB?40.

6.解:假设6/m,则2/m且3/m,∴m为偶数,

∵m?2n?n2,显然2n为偶数,∴n2为偶数,∴n为偶数,∴2n???1??1?mod3?

∴要使3/m,必须有n?1?mod3?,即?n-1??n?1??0?mod3?,

2

n

∵n取1,2,...,2012,∴n?3p-1,p=1,2,...,671或者n?3p+1,p=0,1,2,...,670, 又n为偶数,∴满足条件的n671?671即能被6整除的m有671个。 ?671,2

7.解:4名。

∵每个班至少选出一名学生,

∴只要一个年级的班级数大于1,则选出的学生的同班同学就会比他们的同年级同学少, 依题意5个年级共8个班,有下面三种情况:

⑴2个年级有一个班,3个年级各有2个班,此时,至少有2?3=6名学生的同班同学比他们的同年级同学少;

⑵3个年级有一个班,1个年级有2个班,1个年级有3个班,此时,至少有2+3=5名学生的同班同学比他们的同年级同学少;

⑶4个年级有一个班,1个年级有4个班,此时,至少有4名学生的同班同学比他们的同年级同学少,

综上所述,至少有4名学生,他们的同班同学比他们的同年级同学少。

8. 4396.

二、

9.解.不能。

假设可以构造出一个5?200的长方形使其每一行都有奇数个星、每一列都有偶数个星,则5行奇数个星的总个数为奇数个,200行偶数个星的总个数为偶数个,

∴这个5?200的长方形含有星星的个数为奇数个,但是500个小长方形有500个星星,为偶数,矛盾,

∴不可能构造出一个5?200的长方形使其每一行都有奇数个星、每一列都有偶数个星。

10.解:因为要最多,所以从1开始取,首先可以肯定两个数间隔为1或者2都不可以,这个题的答案就是间隔为3取数,1,4,7,....,1000,一共334个数。

下面进行证明。因为取得数都是除以3余1,所以任意两个数为3a+1,3b+1 ,那么两个数的和3(a+b)+2,肯定不能被3整除;在看两个数的差 3(a - b)肯定是3的倍数,如果想要和可以整除差,那么和必须可以整除3,上面已经证明任意两个数的和不能整除3,所以任意两个数的和肯定不能整除两个数的差。

所以这题的答案是每隔3取一个数,当然取的数不能整除3。也可以2,5,8,...,1000 这样比从1开始取得方法的数少,所以最多的取法是:1,4,7,....,1000,一共334个数。

11. 解:设总水量为1,第一台抽水机注水速度为x, 第一台抽水机注水速度为y,依题意,两台抽水机同时向水池注入水量为:2131???, 918186

∵两台抽水机单独向水池内注水后注入水池的总水量相同,

y?1??6x?y?81x1? ∴?,解得:x?y? 1x378???49y?6x?y?

1?

∴还需要一起注水的时间t?11111????231?分钟?。 x?y

378

12.解:设起跑时间为0秒时刻, 则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为

[0,9], [72k?9,72k?9], k?1,2,3,?,

[0,10], [80m?10,80m?10], m?1,2,3,?.

其中 [a, b] 表示第a秒时刻至第b秒时刻. 显然 [0,9] 即前9秒里两类时间段的公共部分. 此外, 考虑[72k?9,72k?9]和[80m?10,80m?10]的公共区间, k,m为正整数, 分两种情况:

1) 72k?80m, 即小李和小张分别跑了k圈和m圈同时回到起点, 他们二人同时在划定区域跑了18秒.

2) 72k?80m, 例如

72k?9?80m?10?72k?9?80m?10?1?80m?72k?19 ①.

两人同时在划定区域内跑了72k?9?(80m?10)?19?(80m?72k). 由①知80m?72k?8, 16. 于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒. 其它情况类似可得同样结果.

综上, 答案为3,9,11,18.

三、

13.解:设z=w+a,y=w+a+b,x=w+a+b+c.则a、b、c≥0,且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.

故2012=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) ≥4(x+y+z+w).

因此,x+y+z+w≤503.

当x=y=z=503/3,w=0时,上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为503.

又2012=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w),

2012则 x+y+z+w≥. 5

当x=20122012,y=z=w=0时,上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为. 55

14.解: 当1?k?5时,∵与“好点”相连的点必小于好点,

∴每个好点对应k个非好点,

要n最小,只需要非好点对应多个好点,一个非好点最多对应k个好点, ∴非好点最少有:

∴nmin?10.

还是5k非好点讨论重复,一个非好点最多对应5个好点, 当k>5时,

∴非好点5k?5?个? 55k?k,nmin?5?k, 5

?10,1?k?5.

?5?k,k>5∴∴nmin??

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