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中考资料-2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题47 圆的有关性质-数学

发布时间:2013-11-06 09:42:41  

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2012年全国中考数学试题分类解析汇编

专题47圆的有关性质

一、选择题

1. (2012重庆市4分)已知:如图,OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为【 】

A.45° B.35° C.25° D.20°

【答案】A。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°。∴∠ACB=45°。故选A。

2. (2012海南省3分)如图,点A、B、O是正方形网格上的三个格点,⊙O的半径为OA,

?点P是优弧AmB上的一点,则tan?APB的值是【 】

A.1B

C

D

【答案】A。

【考点】圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数定义。

【分析】如图,连接AO并延长交⊙O于点P1,连接AB,BP1。设网格的边长为a。 P1

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则由直径所对圆周角是直角的性质,得∠ABP1=90。

根据勾股定理,得AB=BP1

根据正切函数定义,得tan?AP1B=0AB。 BP1根据同弧所对圆周角相等的性质,得∠

ABP=∠ABP。∴tan?APB=tan?AP1B=1。故选

A。

3. (2012陕西省3分)如图,在半径为5的圆O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且

AB=CD=8,则

OP的长为【 】

A.3

【答案】C。 B.4

C. D.42

【考点】垂径定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】作OM⊥AB

于M,ON⊥CD于N,连接OP,OB

,OD,

∵AB=CD=8,

∴由垂径定理和全等三角形的性质得,AM=BM=CN=DN=4,OM=ON。

又∵OB=5,∴由勾股定理得:OM??3

∵弦AB、CD互相垂直,∴∠DPB=90°。

∵OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,∴∠OMP=∠ONP=90°。

∴四边形MONP是正方形。∴PM=PN=OM=ON=3。

∴由勾股定理得:OP??。故选C。

4. (2012广东深圳3分)如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的

?上一点,∠BM0=120,则⊙C的半径长为【 】 坐标为(0,3),M是第三象限内OBo

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A.6 B

.5 C.3 D

。【答案】C。

【考点】坐标与图形性质,圆内接四边形的性质,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,含30度角的直角三角形的性质。

【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,∴∠BAO=60°。

∵AB是⊙O的直径,∴∠AOB=90°,∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°,

∵点A的坐标为(0,3),∴OA=3。∴AB=2OA=6,∴⊙C的半径长=AB =3。故选C。 2

5. (2012浙江湖州3分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,∠C=50°,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,则∠BAD的度数是【 】

A.45° B.85° C.90° D.95°

【答案】B。

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。

【分析】∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°。

∵∠C=50°,∴∠BAC=40°。

∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,∴∠ABD=∠DBC=45°。∴∠CAD=∠DBC=45°。 ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°。故选B。

6. (2012浙江衢州3分)如图,点A、B、C在⊙O上,∠ACB=30°,则sin∠AOB的值是

【 】

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A. B.

【答案】C。

【考点】圆周角定理,特殊角的三角函数值。

【分析】由点A、B、C在⊙O上,∠ACB=30°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB=2∠ACB=60°,然后由特殊角的三角函数值得:

C.

D.

sin∠AOB=sin。故选C。 7. (2012浙江台州4分)如图,点A、B、C是⊙O上三点,∠AOC=130°,则∠ABC等于【 】

【答案】C。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠ABC=A. D.70° 50° B.60° C.65°1∠AOC=65°。故选C。 2

08. (2012江苏淮安3分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠A=40,则∠B的

度数为【 】

A、800B、600C、500D、400

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【答案】C。

【考点】圆周角定理,三角形内角和定理。

【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质,由AB是⊙O的直径,点C在⊙O上得∠C=90;根据三角形内角和定理,由∠A=40,得∠B=180-90-40=50。故选C。 000000

??,9. (2012江苏苏州3分)如图,已知BD是⊙O直径,点A、C在⊙O上,AB=BC∠AOB=60°,

则∠BDC

的度数是【 】

D

O

A

B

A.20° B.25° C.30° D. 40°

【答案】C。

【考点】圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系。

【分析】利用在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠BDC的度数:

?

?

,∠AOB=60°,∴∠BDC=1∠AOB=30°。故选C。 ∵ AB=BC2

10. (2012江苏泰州3分)如图,△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D,∠A=50°,则∠OCD的

度数是【 】

A.40° B.45° C.50° D.60°

【答案】A。

【考点】圆周角定理,垂径定理,三角形内角和定理。

【分析】连接OB,

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?所对的圆周角和圆心角,且∠A=50°, ∵∠A和∠BOC是弧BC

∴∠BOC=2∠A=100°。

又∵OD⊥BC,∴根据垂径定理,∠DOC=

00001∠BOC=50°。 2

∴∠OCD=180-90-50=40。故选A。

11. (2012江苏徐州3分)如图,A、B、C是⊙O上的点,若∠AOB=70,则∠ACB的度数为

【 】 0

A.700B.500C.400D.350

【答案】D。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据同(等)弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果:

∠ACB=11

00∠AOB=×70=35。故选D。 22

12. (2012湖北恩施3分)如图,两个同心圆的半径分别为4cm和5cm,大圆的一条弦AB与小圆相切,则弦AB的长为【 】

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

【答案】C。

【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理。

【分析】如图,连接OC,AO,

∵大圆的一条弦AB与小圆相切,∴OC⊥AB。∴AC=BC=

∵OA=5cm,OC=4cm,

1AB 2

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∴在Rt△AOC中,AC?

3

∴AB=2AC=6(cm)。故选C。

13. (2012湖北黄冈3分)如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于E,已知CD=12,则⊙O 的直径为【 】

A. 8 B. 10 C.16 D.20

【答案】D.

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】连接OC,根据题意,CE=1CD=6,BE=2. 2

在Rt△OEC中,设OC=x,则OE=x-2,∴(x-2)2+62=x2,解得:x=10。

∴直径AB=20。故选D.

14. (2012湖北随州4分)如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=35,则么∠ADC=【 】 0

A.350B.550C.700 D.1100

【答案】B。

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。

∵∠BAC=35°,∴∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°(直角三角形两锐角互余)

?所对的圆周角, ∵∠B与∠ADC是AC

∴∠ADC=∠B=55°(同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等)。故选B。

15. (2012湖北襄阳3分)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是【 】

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A.80° B.160° C.100° D.80°或100°

【答案】D。

【考点】圆周角定理。1028458

【分析】根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边四边形性质,即可求得∠AB′C的度数:

如图,∵∠AOC=160°,∴∠ABC=11

∠AOC=×160°=80°。 2

2

∵∠ABC+∠AB′C=180°,∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。

∴∠ABC的度数是:80°或100°。故选D。

16. 10. (2012湖北鄂州3分)如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°,则∠AOB的大小是【 】

A.40°

【答案】C。

【考点】圆周角定理。 B.50° C.60° D.70°

【分析】∵OA=OB=OC,∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。

作⊙O。

?所对的圆周角和圆心角,且∠ACB=30°, ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧AB

∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质,得∠AOB=60°。故选C。

17.(2012湖南湘潭3分)如图,在⊙O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD=【 】

A.20° B.40° C.50° D.80°

【答案】D。

【考点】圆周角定理,平行线的性质。

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【分析】∵弦AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等)

又∵∠ABC=40°,∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°(同圆所对圆周角是圆心角的一

半)。故选D。

18. (2012四川内江3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥A,∠CDB=30,CD=

阴影部分图形的面积为【

A.4?B.2?C.?D.

【答案】D

。 2? 3

【考点】垂径定理,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积公式。

【分析】连接OD。

∵CD⊥AB,CD=CE=DE=CD?。

∴S?OCE?S?CDE。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。

又∵∠CDB=30°,∠COB=∠BOD,∴∠BOD

=60°(圆周角定理)

∴OC=2。

∴S扇形OBD122?60??22 2?,即阴影部分的面积为。故选D。 ??36033

19. (2012四川达州3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,连结OB、OC,若OB=BC,则∠BAC等于【 】

A、60° B、45° C、30° D、20°

【答案】C。

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【考点】圆周角定理,等边三角形的判定和性质。

【分析】∵OB=BC=OC,∴△OBC是等边三角形。∴∠BOC=60°。

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠BAC=1∠BOC=30°。故选C。 2

20. (2012四川德阳3分)已知AB、CD是⊙O的两条直径,∠ABC=30°,那么∠BAD=【 】

A.45° B. 60° C.90° D. 30°

【答案】D。

【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质。

【分析】∵∠ADC与∠ABC所对的弧相同,∴∠ADC=∠ABC=30°。

∵OA=OD,∴∠BAD =∠ADC 30°,故选D。

21. (2012四川泸州2分)如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B = 60°,∠BOD = 100°,

则∠C的

度数为【 】

A、50°

【答案】C。 B、60° C、70° D、80°

【考点】圆周角定理,三角形的内角和定理。

【分析】∵∠BOD=100°,∴∠A=1∠BOD=50°。 2

∵∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=70°。故选C。

22. (2012贵州黔东南4分)如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=55°,则∠BCD的度数为【

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A.35° B.45° C.55° D.75°

【答案】A。

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角关系。

【分析】连接AD,

∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.

∵∠ABD=55°,∴∠A=90°﹣∠ABD=35°。

∴∠BCD=∠A=35°。故选A。

23. (2012贵州黔南4分)如图,在⊙O中,∠ABC=50,则∠CAO等于【 】 0

A.300B.400C.500D.600

【答案】B。

【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。

?所对的圆周角和圆心角, 【分析】∵∠ABC和∠AOC是弧AC

∴∠AOC=2∠ABC=100(同圆或等圆中同弧所对圆周角是圆心角的一半)。 ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA(等边对等角)。 0

1800??AOC ∴根据三角形内角和定理,得 ∠CAO==400。故选B。2

24. (2012贵州黔西南4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=40°,则∠ACB的大小为【 】

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(A)40° (B)30° (C)50° (D)60°

【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质,圆周角定理;三角形内角和定理.

【分析】∵OA=OB,∠ABO=40°,∴∠BAO=∠ABO=40°(等边对等角)。

∴∠AOB=100°(三角形内角和定理)。

∴∠ACB=50°(同弧所对圆周角是圆心角的一半)。故选C。

25. (2012山东泰安3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是【 】

?? C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD A.CM=DM B.CB=DB

【答案】D。

【考点】垂径定理,弦、弧和圆心角的关系,全等三角形的判定和性质。

【分析】∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,

∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立;

?的中点,即CB=DB??,选项B成立; ∵B为CD

在△ACM和△ADM中,∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°,CM=DM,

∴△ACM≌△ADM(SAS),∴∠ACD=∠ADC,选项C成立。

而OM与MD不一定相等,选项D不成立。

故选D。

26. (2012山东枣庄3分)如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则cos∠OBC 的值为【 】

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A.143B

C.D. 525

【答案】B。

【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系,等边三角形的性质,30

角的三角函数值。

【分析】连接AO,CO

,由已知⊙A的直径为10,点C(0,

5),知道△OAC是等边三角形,

所以∠CAO=60,根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC

=30,因此∠OBC的余弦值为

000。故选B。 2

127. (2012山东淄博4

分)如图,⊙O的半径为2,

弦AB=,点C在弦AB上,AC?AB,4

则OC的长为【

【答案】D。

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】如图,过点O作OD⊥AB于点D,则 AD=BD。

1 ∵AB

=,AC?AB,∴AD=BD,CD。

4(A

(B (C

(D 又∵⊙O的半径为2

,即OB=2,∴OD?? ?1。

∴OC。故选D。 ?28. (2012广西河池3分)如图,已知AB为⊙O的直径,

CAB=30,则∠D的度数为【 】 0

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A.30°

【答案】C。 B.45°C.60° D

.80°

【考点】圆周角定理,三角形内角和定理。

【分析】∵

AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。

∵∠CAB=30°,∴∠B=90°-∠CAB=60°。∴∠D=∠B=60°。故选C。

29. (2012云南省3分)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,连接AD、BC.若∠BAD=60,则∠BCD的度数为【 】 0

A. 40?B. 50?C. 60?D. 70?

【答案】C。

【考点】圆周角定理。

?所对的圆周角, 【分析】∵∠BAD和∠BCD都是⊙O的BD

∴根据同弧或等弧所对的圆周角相等的性质,得∠BCD=∠BAD=60。故选C。

30. (2012河北省2分)如图,CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是【 】 0

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??BC?C.∠D=1∠AECD.△ADE∽△CBE A.AE>BEB.AD2

【答案】D。

【考点】垂径定理,圆周角定理,三角形外角性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】∵CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,

∴根据垂径定理,得AE=BE。故选项A错误。

如图,连接AC,则根据同弧所对的圆周角相等的性质,得∠D=∠B,

∴BC=AC。

根据垂径定理,只有在AB是直径时才有AC=AD,而AB不是直径,∴AD≠AC。∴??AC?。 AD

??

BC?。故选项B错误。 ∴AD如图,连接AO,则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质,得∠D=

∵∠AEC是△AOE的外角,∴∠AEC>∠AOC。∴∠D<1

∠AOC。 21∠AEC。故选项C错误。 2

∵根据同弧所对的圆周角相等的性质,得∠D=∠B,∠DAE=∠BCE,

∴△ADE∽△CBE。故选项D正确。

故选D。

31. (2012黑龙江大庆3分)如图所示,已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆,则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】

A.90° B.180° C.270° D.360°

【答案】B。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵∠ADC,∠AEB,∠BAC所对圆弧正好是一个圆周,

∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°。故选B。

32. (2012黑龙江哈尔滨3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60,0P⊥AC于点P,0

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OP

O的半径为【 】.

(A

BC)8 (D)12

【答案】

A。

【考点】圆周角定理,含30

度角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。

? ,且∠B=60°, 【分析】∵圆心角∠AOC

与圆周角∠B

所对的弧都为 AC

∴∠AOC=2∠B=120°(在同圆或等圆中,同弧所对圆周角是圆心角的一半)。

又OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°(等边对等角和三角形内角和定理)。

∵OP⊥AC,∴∠AOP=90°(垂直定义)。

在Rt△AOP中,OP,∠OAC=30°,

∴OA=2OP30度角所对的边是斜边的一半)。

∴⊙O的半径A。

二、填空题

1. (2012天津市3分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D为⊙O上一点,若∠CAB=55,则∠ADC的大小为 ▲ (度). 0

【答案】35。

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系。

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【分析】∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,

∵∠CAB=55°,∴∠B=90°-∠CAB=35°。∴∠ADC=∠B=35°。

2. (2012安徽省5分)如图,点A、B、C、D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= ▲ °.

【答案】60。

【考点】圆周角定理,平行四边形的性质,圆内接四边形的性质。

?所对的圆心角和圆周角, 【分析】∵∠AOC和∠D分别是弧ABC

∴根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得∠AOC=2∠D。

又∵四边形OABC是平行四边形,∴∠B=∠AOC。

又∵圆内接四边形对角互补,即∠B+∠D=180°,∴∠D=60°。

连接OD,

则OA=OD,OD=OC,∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,

∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D= 60°。

3. (2012广东省4分)如图,A、B、C是⊙O上的三个点,∠ABC=25°,则∠AOC的度数是 ▲ .

【答案】50°。

【考点】圆周角定理。

?, 【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧AC

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠AOC=2∠ABC,

又∵∠

ABC=25°,∴∠AOC

=50°。

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4. (2012广东汕头4分)如图,A、B、C是⊙O上的三个点,∠ABC=25°,则∠AOC的度数是 ▲ .

【答案】50°。

【考点】圆周角定理。

?, 【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧AC

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠AOC=2∠ABC,

又∵∠ABC=25°,∴∠AOC=50°。

5. (2012广东湛江4分)如图,在半径为13的⊙O中,OC垂直弦AB于点B,交⊙O于点C,AB=24,则CD的长是 ▲ .

【答案】8。

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】连接OA,

∵OC⊥AB,AB=24,∴AD=1

AB=12, 2

在Rt△AOD中,∵OA=13,AD=12,

∴?

?5。

∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8。

6. (2012广东珠海4分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=26,CD=24,那么sin∠OCE

=

▲ .

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【答案】5。 13

【考点】垂径定理,勾股定理,锐角三角函数的定义。

【分析】如图,设AB与CD相交于点E

,则根据直径AB=26,

得出半径OC=13;由

CD=24,CD⊥AB,根据垂径定理得出CE=12;在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OE=5

;再根据正

弦函数的定义,求出sin∠OCE的度数:

sin?OCE?OE5=。 OC13

7. (2012浙江嘉兴、舟山5分)如图,在⊙O中,直径AB丄弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为 ▲ .

【答案】24。

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】连接OC,∵AM=18,BM=8,∴AB=26,OC=OB=13。∴OM=13﹣8=5。

在Rt△OCM中,CM??12。

∵直径AB丄弦CD,∴CD=2CM=2×12=24。

8. (2012浙江衢州4分)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为 ▲ mm.

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【答案】8。

【考点】垂径定理的应用,勾股定理。

【分析】连接

OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD,

∵钢珠的直径是

10mm,∴钢珠的半径是5mm。

∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,∴OD=3mm。

在Rt△AOD中,∵AD?4mm,

AB=2AD=2×4=8mm。

9. (2012浙江台州5分)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16厘米,则球的半径为 ▲ 厘米.

【答案】10。

【考点】垂径定理,勾股定理,矩形的性质,解方程组。

?于点G、H、I,【分析】如图,过球心O作IG⊥BC,分别交BC、AD、劣弧EF

连接OF。设OH=x,HI=y,则依题意,根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质,

22??x=6?x+8=?x+y?得?,解得?。∴球的半径为x+y=10(厘米)。 y=42x+y=16???2

10. (2012江苏南通3分)如图,在⊙O中,∠AOB=46o,则∠ACB= ▲ o.

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【答案】23°。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质,

?所对的圆周角和圆心角,且∠AOB=46o,∴ ∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧AB

∠ACB=11∠AOB=×46°=23°。 22

11. (2012江苏徐州2分)如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,AC=8,BC=6,则sin∠ABD=

▲ 。

【答案】4。 5

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,勾股定理,锐角三角函数定义。

【分析】∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90。

又∵CD⊥AB,∠ACD=∠ABC。

又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角,∴∠ABD=∠ACD。∴∠ABD=∠ABC。

又∵AC=8,BC=6,∴由勾股定理得AB=10。∴sin∠ABD=sin∠ABC=0AC84

??。 AB105

12. (2012福建南平3分)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,点D在⊙O上,∠ADC=68°,则∠BAC= ▲

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【答案】22°。

【考点】圆周角定理。

【分析】由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠B的度数,又由直径所对的圆周角是直角,即可求得∠ACB=90°,继而求得答案:

∵∠ABC与∠ADC是 AC 对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=68°。

∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°。

13. (2012湖北荆门3分) 如图,在直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,BC∥OA,⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B,与AB交于点F.已知A(2,0),B(1,2),则tan∠FDE= ▲ .

【答案】1。 2

【考点】切线的性质,锐角三角函数的定义,圆周角定理。

【分析】连接PB、PE.

∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B,∴PB⊥BC,PE⊥OA。

∵BC∥OA,∴B、P、E在一条直线上。

∵A(2,0),B(1,2),∴AE=1,BE=2。∴tan?

ABE?

∵∠EDF=∠ABE,∴tan∠FDE=AE1?。 BE21。 2

14. (2012湖北咸宁3分)如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量

角器0刻度

线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转,CP与

量角器的半

圆弧交于点E,第35秒时,点E

在量角器上对应的读数是 ▲ 度.

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【答案】

140。

【考点】圆周角定理。

【分析】连接OE,

∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上,即点C在⊙O上。

∴∠EOA=2∠ECA。

∵∠ECA=2×35°=70°,

∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°,即点E在量角器上对应的读数是140°。

15. (2012湖南益阳4分)如图,点A、B、C在圆O上,∠A=60°,则∠BOC= ▲ 度.

【答案】120。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角,

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。

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17. (2012湖南株洲3

分)已知:如图,在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,则∠AOB= ▲ .

【答案】90°。

【考点】圆周角定理。

【分析】由在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB的度数:

∵在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°。

18. (2012四川成都4分)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C.若AB=,0C=1,则半径OB的长为 ▲ .

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【答案】2。

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】

∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C

,AB=BC=

1AB 2

∵OC=1,∴在Rt△OBC中,

OB?2。

19. (2012四川广元3分)在同一平面上,⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm,

最短为

2cm,

则⊙O的半径为 ▲ cm

【答案】2。

【考点】点与圆的位置关系。

【分析】当点P在圆外时,直径=6 cm-2 cm =4cm,因而半径是2cm。

20. (2012辽宁鞍山3分)如图,△ABC内接于⊙O,AB、CD为⊙O直径,DE⊥AB于点E,

1sinA=,则∠D的度数是 ▲ . 2

【答案】30°。

【考点】圆周角定理,特殊角的三角函数值,直角三角形两锐角的关系,等边三角形的判定和性质,对顶角的性质。1367104

【分析】∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。

又∵sinA=1,∴∠CAB=30°。∴∠ABC=60°(直角三角形的两个锐角互余)。 2

又∵点O是AB的中点,∴OC=OB。∴△OCB是等边三角形。∴∠COB=60°。

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∴∠EOD=∠COB=60°(对顶角相等)。

又∵DE⊥AB,∴∠D=90°﹣60°=30°。

21. (2012辽宁朝阳3分)如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙O的半径为 ▲ 。

【答案】5。

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】连接OD,

∵AB⊥CD,AB是直径,∴由垂径定理得:DE=CE=3。

设⊙O的半径是R,

2

(R?1)?32 在Rt△ODE中,由勾股定理得:OD2?OE2?DE2,即R2

?

解得:R=5。

22. (2012辽宁大连3分)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若∠BCA=60°,则∠ABO= ▲ °。

【答案】30。

【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。

【分析】由△ABC是⊙O的内接三角形,∠BCA=60°,根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠BCA=120°。

∵OA=OB,∴根据等腰三角形等边对等角的性质,得∠BAO=∠ABO。

∴根据三角形内角和定理,得∠ABO=30°。 23. (2012

辽宁阜新3分)如图,在△ABC中,BC=3cm,∠BAC=60°,那么△ABC能被半径至少为

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【考点】三角形的外接圆与外心,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】作圆O的直径CD,连接BD,

?,∴∠

D=∠A=60°。 ∵圆周角∠A、∠D所对弧都是BC

CD是直径,∴∠

DBC=90°。∴sin∠D=

又∵BC=3cm,∴

sin60°=BC。

CD3,解得:CD= CD

∴圆O(cm)。

∴△

ABC

cm的圆形纸片所覆盖。

24. (2012辽宁锦州3分)如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3㎝,DB=10㎝,以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点,则线段EF的长是 ▲ ㎝.

【答案】6。

【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,垂径定理,勾股定理。

【分析】如图,过点O作OH⊥AP于点H,OE。

∵AD=3㎝,DB=10㎝,∴EO=DO=5㎝,AO=8㎝。

又∵∠PAC=30°,

∴在Rt△AOH中,HO=AOsin∠PAC=8×1=4(㎝), 2

在Rt△EOH中,EH?3(㎝)。

∴EF=2EH=6㎝。

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25. (2012贵州六盘水4分)如图,已知∠OCB=20°,则∠A= ▲ 度.

【答案】70°。

【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理,圆周角定理。

【分析】由OB=OC与∠OCB=20°,根据等边对等角的性质,即可求得∠OBC=20°。

由三角形内角和定理,得∠BOC=180°﹣∠OCB﹣∠OBC=180°﹣20°﹣20°=140°。 由同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质,即可求得∠A=1∠BOC=70°。 226. (2012贵州六盘水4分)当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位:cm),那么该圆的半径为 ▲ cm.

【答案】25。 6【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】如图,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,

∵OD⊥AB,∴AD=11AB=(9﹣1)=4。 2

2

设OA=r,则OD=r﹣3,

在Rt△OAD中,

25(cm)。 6

27. (2012贵州遵义4分)如图,AB是⊙O的弦,AB长为8,P是⊙O上一个动点(不与A、OA2﹣OD2=AD2,即r2﹣(r﹣3)2=42,解得r=B重合),过点O作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为

▲ .

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【答案】4。

【考点】垂径定理,三角形中位线定理。

【分析】∵OC⊥AP,OD⊥PB,∴由垂径定理得:AC=PC,PD=BD,

∴CD是△APB的中位线,∴CD=11AB=×8=4。 22

28. (2012山东东营4分)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图1),若

不计木条的厚

度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的底面半径

的最大值

是 ▲ cm.

【答案】30。

【考点】垂径定理的应用,勾股定理。

【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时,圆外接于△ABC;连接外心与B点,可通过勾股定理即可求出圆的半径:

如图,连接OB,

当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。

∵AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,∴O点在AD上,BD=24cm。

在Rt△0BD中,设半径为r,则OB=r,OD=48-r。

∴r=(48-r)+24,解得r=30。

∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm。 222

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29. (2012山东青岛3分)如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=60o,则∠ABC= ▲ o.

【答案】150。

【考点】圆周角定理,圆的内接四边形的性质。

【分析】如图,在优弧 ADC 上取点D,连接AD,CD,

∵∠AOC=60°,∴∠ADC=1∠AOC=30°。 2

∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°。

?上一点30. (2012山东泰安3分)如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧AB

(不与A,B重合),则cosC的值为 ▲ .

【答案】4。 5

【考点】圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数的定义。

【分析】连接AO并延长到圆上一点D,连接BD,

可得AD为⊙O直径,故∠ABD=90°。

∵半径为5的⊙O中,弦AB=6,则AD=10

∴BD

??8。

∵∠D

=∠C,∴cosC=cosD=BD84??。 AD105

31. (2012山东淄博4分)如图,AB,CD是⊙O的弦,AB⊥CD

BE是⊙O的直径.若AC=3,则DE=

▲ .

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【答案】

3。

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,平行的判定,等腰梯形的判定。

【分析】∵BE是⊙O的直径.∴∠BDE=90。∴∠BED+∠DBE=90。

∵AB⊥CD,∴∠BCD+∠ABC=90。

又∵∠BED和∠BCD是同弧所对的圆周角,∴∠BED=∠BCD。

∴∠DBE=∠ABC。∴∠DBE+∠ABE =∠ABC+∠ABE,即∠ABD=∠CBE。

又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角,∠CBE和∠CDE是同弧所对的圆周角, ∴∠ABD=∠ACD,∠CBE=∠CDE。∴∠ACD= CDE。

连接AE,设BE与CD交于点F,

∵BE是⊙O的直径.∴∠AEB+∠ABE=90。

∵AB⊥CD,∴∠ABE+∠BFC=90。∴∠AEB=∠BFC。∴AE∥CD。

∴四边形ACDE是等腰梯形。∴DE=AC。

∵AC=3,∴DE=3。

32. (2012广西河池3分)如图,AB、AC是⊙O的弦,OE⊥AB、OF⊥AC,垂足分别为E、00000

F.如果EF=3.5,

那么BC= ▲ .

【答案】7。

【考点】垂径定理,三角形中位线定理。

【分析】由OE垂直于AB,利用垂径定理得到E为AB的中点,同理得到F为AC的中点,可

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得出EF为三角形ABC的中位线,利用三角形的中位线定理得到BC=2EF,即可求出BC的长:

∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴E为AB的中点,F为AC的中点,即EF为△ABC的中位线。

∴EF=1BC。 2又∵EF=3.5,∴BC=2EF=7。

33. (2012广西南宁3分)如图,点B,A,C,D在⊙O上,OA⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC= ▲ . 0

【答案】25。

【考点】圆周角定理,垂径定理。

??

AC?,∴∠ADC=【分析】∵OA⊥BC,∴AB110∠AOB= ×50°=25。 22

34. (2012吉林省3分)如图,A,B,C是⊙O上的三点,∠CAO=25°,∠BCO=35°,则∠AOB= _ ▲____度.

【答案】120。

【考点】等腰三角形的性质,圆周角定理。

【分析】∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO=25°(等边对等角)。∴∠ACB=∠ACO+∠BOC=25°+35°=60°。

∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°(圆内同弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心

角的一半)。

35. (2012青海西宁2分)如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2m,净高CD为

5m,则圆拱

形门所在圆的半径为 ▲ m

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【答案】2.6。

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】连接

OA;

在Rt△OAD中,AD=1AB=1 m。 2

设⊙O的半径为R,则OA=OC=R,OD=5-R,

由勾股定理,得:OA=AD+OD,即:R=(5-R)+1,解得R=2.6(m)。

36. (2012青海省2分)如图,已知点E是圆O上的点,B、C分别是劣弧AD的三等分点,∠BOC=46°,则∠AED的度数为 ▲ 度. 222222

【答案】69。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵B、C分别是劣弧AD的三等分点,∠BOC=46°,∴∠AOD=138°(等弧所对圆心角相等)。

∴∠AED=138°÷2=69°(同弧所对圆周角是圆心角的一半)。

37. (2012内蒙古包头3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=60,⊙O的半径为2 ,则0

BC的长为

▲ (保留根号)。

【答案】

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【考点】圆周角定理,垂径定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】如图,过点O作OD⊥BC于点D,

∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角,且∠BAC=60,

∴∠BOC=2∠BAC=120。

又∵OD⊥BC,∴∠BOD=60,BD=DC。

又∵OB=2,∴BD=ODcos∠BOD=2

000?BC=2BD=

【答案】50°或130°。

【考点】三角形的外接圆与外心,圆周角定理,圆内接四边形的性质。

39. (2012黑龙江牡丹江3分)⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,且AB=8 cm,CD=6cm,则AB与CD的距离为 ▲

【答案】1 cm或7 cm。

【考点】平等线间的距离,垂径定理,勾股定理。

【分析】如图,分AB和CD在圆心的同侧和异侧。

当AB和CD在圆心的同侧时,连接OB,OD,过点O作AB和CD的垂线,分别交于点E,F。

由AB∥CD,AB=8 cm,CD=6cm,根据垂径定理,得BE=4cm,DF=3cm。

∵⊙O的半径为5cm,∴OB=OD=5cm。

∴根据勾股定理,得OE=3 cm,OF=4 cm。∴EF=OF-OE=1 cm。

同理,当AB和CD在圆心的异侧时,EF=OF+OE=7 cm。

综上所述,AB与CD的距离为1 cm或7 cm。

40. (2012黑龙江龙东地区3分)如图,点A、B、C、D分别是⊙O上四点,∠ABD=20°,

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BD是直径,

则∠ACB= ▲ 。

【答案】70°

【考点】圆周角定理,直角三角形两锐角的关系。

【分析】连接AD,

∵BD是直径,∴∠BAD=90°。

∵∠ABD=20°,∴∠D=90°-∠DBD=70°。

∴∠ACB=∠D=70°。

三、解答题

1. (2012宁夏区6分)在⊙O中,直径AB⊥CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD. 求∠D的度数.

【答案】解:连接BD 。

∵AB⊙O是直径,∴BD ⊥AD。

又∵CF⊥AD,∴BD∥CF。∴∠BDC=∠C。

又∵∠BDC=11∠BOC,∴∠C=∠BOC。 22

∵AB⊥CD,∴∠C=30°。∴∠ADC=60°。

【考点】圆周角定理,平行线的判定和性质,三角形内角和定理。

【分析】连接BD,根据平行线的判定和性质可得:BD∥CF,则∠BDC=∠C,根据圆周角定理可得

∠BDC=1

1 ∠BOC,则∠C=∠BOC,根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。 22

2. (2012江苏南通8分)如图,⊙O的半径为17cm,弦AB∥CD,AB=30cm,

CD

=16cm,

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圆心O位于AB、CD的上方,求AB和CD间的距离.

【答案】解:分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F,连接OA,OC。

∵AB=30,CD=16,∴AE=11

AB=15,CF=CD=8。 22

又∵⊙O的半径为17,即OA=OC=17。

∴在Rt△AOE中,OE??

?8。

在Rt△OCF中,OF

15。

∴EF=OF-OE=15-8=7。

答:AB和CD的距离为7cm。

【考点】垂径定理,勾股定理。

【分析】分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F;由于AB∥CD,则E、O、F三点共线,EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理,易求得AE、CF的长,可连接OA、ODC在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出OE、OF的长,也就求出了EF的长,即弦AB、CD间的距离。

??

AC?,弦AB与弦AC交于点A,弦3. (2012湖南岳阳6分)如图所示,在⊙O中,AD

CD与AB交于点F,连接BC.

(1)求证:AC=AB?AF;

(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积. 2

??AC?,∴∠ACD=∠ABC。 【答案】(1)证明:∵AD

又∵∠BAC=∠CAF,∴△

ACF∽△ABC。

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∴ACAF2,即AC=AB?AF。 =ABAC

(2)解:如图,连接OA,OC,过O作OE⊥AC,垂足为点E,

∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°。

又∵OA=OC,∴∠AOE=∠COE=1×120°=60°。 2

在Rt△AOE中,OA=2, OE=OAcos60°=1

AC=2AE

。 ∴S阴影?S扇形OAC?S?AOC120???2214???1???cm2。 36023?

【考点】圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性

质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积的计算。

??AC?,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对公共角【分析】(1)由

AD

相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC,根据相似得比例可得证。

(2)连接OA,OC,过O作OE垂直于AC,垂足为点E,由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积,利用等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义求出各线段长即可。

4. (2012辽宁沈阳10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB

是⊙O的直径,D为⊙O

上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD. (1)求证:BD平分∠ABC;

(2) 当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.

??AD?。 【答案】证明:(1)∵OD⊥ACOD为半径,∴CD

∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。

(2)∵OB=OD,∠ODB=30°,∴∠OBD=∠ODB=30°。

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。

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又∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°。

∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°。

又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。

∴在Rt△ACB中,BC=

∵OD=1AB 。 21AB,∴BC=OD。 2

0【考点】圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,三角形内角定理和外角性质,含30

角直角三角形的性质。

??

AD? ,又由在同圆或等圆【分析】(1)由OD⊥ACOD为半径,根据垂径定理,即可得CD

中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分∠ABC。

(2)由OB=OD,根据等腰三角形等边对等角的性质,求得∠AOD的度数;由OD⊥AC于E,可求得∠A的度数,然后由AB是⊙O的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90°,从而根据含30角直角三角形中30角所对直角边是斜边一半的性质,可证得BC=OD。

5. (2012贵州安顺12分)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.

(1)求∠B的大小;

(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离. 00

【答案】解:(1)∵∠APD=∠C+∠CAB,∠CAB=40°,∠APD=65°,

∴∠C=65°﹣40°=25°。

∴∠B=∠C=25°。

(2)过点O作OE⊥BD于E,则DE=BE,

又∵AO=BO,∴OE=11AD=×6=3。 22

∴圆心O到BD的距离为3。

【考点】圆周角定理,三角形外角性质,垂径定理,三角形中位线定理。

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【分析】(1)根据圆周定理以及三角形外角求出即可。

(2)利用三角形中位线定理得出OE=1AD,即可得出答案。 2

6. (2012山东潍坊9分)如图,三角形ABC的两个顶点B、C在圆上,顶点A在圆外,AB、AC分别交圆于E、D两点,连结EC、BD.

(1)求证:ΔABD∽ΔACE;

(2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状.

【答案】(1)证明:∵弧ED所对的圆周角相等,∴∠EBD=∠ECD,

又∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE。

(2)解:△ABC为等腰三角形。理由如下:

∵S△BEC=S△BCD,S△ACE=S△ABC-S△BEC,S△ABD=S△ABC-S△BCD,

∴S△ACE=S△ABD。

又由(1)知△ABD∽△ACE,∴对应边之比等于1。

∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形。

【考点】圆周角定理,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定。

【分析】(1)利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD,再利用∠A=∠A,得出△ABD∽△ACE。

(2)根据△BEC与△BDC的面积相等,得出S△ACE=S△ABD,进而求出AB=AC,得出答案。

7. (2012广西柳州10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.

(1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹

的签字笔描黑);

第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;

第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.

第三步,连接BD

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(2)求证:AD=AE?AB;

(3)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求2EO的值. FO

【答案】解:(1)如图;

(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。

又∵DE⊥AC,∴∠AED=90°。

∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。

∴AD:AB=AE:AD,∴AD=AE?AB。

(3)如图,连接OD、BC,它们交于点G,

∵5AC=3AB,即AC:AB=3:5,∴不妨设AC=3x,AB=5x,

∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。∴∠ECG=90°。 2

??。∴OD垂直平分BC。 又∵∠CAD=∠DAB,∴DC=DB13AC=x。∴四边形ECGD为矩形。 2253∴CE=DG=OD-OG=x-x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。 22∴OD∥AE,OG=

∵AE∥OD,∴△AEF∽△DOF。∴AE:OD=EF:OF,∴EF:OF=4x:x=8:5。

∴52EO8?513??。 FO

55

【考点】圆的综合题,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,矩形的判定和性质。

【分析】(1)根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D;点D作

AC

的垂线,垂

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足为点E。

(2)根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°,DE⊥AC,则∠AED=90°,又由AD平分∠CAB

得到∠CAD=∠DAB,根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似的性质得到AD:AB=AE:AD,利用比例的性质即可得到AD2=AE?AB。

(3)连接OD、BC,它们交于点G,由5AC=3AB,则不妨设AC=3x,AB=5x,根据直径所对的

??,根据垂径定理的推论得到圆周角为直角得到∠ACB=90°,由∠CAD=∠DAB得到DC=DB13AC=x,并且得到四边形ECGD为矩形,则可求出CE,22

5从而计算出AE,利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF,则AE:OD=EF:OF,即EF:OF=4xx=8:2

EO5,然后根据比例的性质即可得到 的值。 FOOD垂直平分BC,则有OD∥AE,OG=

8. (2012新疆区8分)如图,圆内接四边形ABCD,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于E.

(1)请你写出四个不同类型的正确结论;

(2)若BE=4,AC=6,求DE.

??CD?;【答案】解:(1)四个不同类型的正确结论分别为:∠ACB=90°;BE=CE;BDOD∥AC。

(2)∵OD⊥BC,BE=4,∴BE=CE=4,即BC=2BE=8。

∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°。

在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得:AB=10。∴OB=5。

在Rt△OBE中,OB=5,BE=4,根据勾股定理得:OE=3。

∴ED=OD﹣OE=5﹣3=2。

【考点】垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理。

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【分析】(1)由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角;由OD

??CD?,由OD垂直于BC,AC垂直于BC,利用垂径定理得到E为BC的中点,即BE=CE,BD

也垂直于BC,利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD与AC平行。

(2)由OD垂直于BC,利用垂径定理得到E为BC的中点,由BE的长求出BC的长,由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角,在Rt△ABC中,由BC与AC的长,利用勾股定理求出AB的长,从而求出半径OB与OD的长,在Rt△BOE中,由OB与BE的长,利用勾股定理求出OE的长,由OD﹣OE即可求出DE的长。

9. (2012吉林长春5分)如图,在同一平面内,有一组平行线l1、l2、l3,相邻两条平行线之间的距离均为4,点O在直线l1上,⊙O与直线l3的交点为A、B,AB=12,求⊙O的半径.

【答案】解:过点O作OD⊥AB,垂足为点D,连接OA。

∵AB=12,∴AD=11

AB=×12=6。 22

∵相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8。

在Rt△AOD中,∵AD=6,OD=8,

∴OA??

10。

答:⊙O的半径为10。

【考点】垂径定理,平行线之间的距离,勾股定理。

【分析】过点O作OD⊥AB,由垂径定理可知AD=1AB,再根据相邻两条平行线之间的距离2

均为4可知OD=8,在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长。

10. (2012青海省7分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C

(1)求证:CB∥MD;

(2)若BC=4,sinM=2,求⊙O的直径.

3

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?所对的圆周角,∴∠C=∠M。 【答案】解:(1)证明:∵∠C与∠M是BD

又∵∠1=∠C,∴∠1=∠M。∴CB∥MD。

(2)连接AC,

AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。

??BD?。∴∠A=∠M。∴sinA=sinM。又∵CD⊥AB,∴BC

在Rt△ACB中,sinA=BC224,∵sinM=,BC=4,∴?。∴AB=6,即⊙O3AB3AB

的直径为6。【考点】圆周角定理,平行的判定,垂径定理;锐角三角函数定

义。190187

?所对的圆周角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的【分析】(1)由∠C与∠M是BD

圆周角相等,即可得∠C=∠M,又由∠1=∠C,易得∠1=∠M,即可判定CB∥MD。

(2)连接AC,AB为⊙O的直径,可得∠ACB=90°,又由弦CD⊥AB,根据垂径定理的

??BD?,从而可得∠A=∠M,又由BC=4,sinM=2,即可求得⊙O的直径。 即可求得BC3

11. (2012黑龙江大庆6分) 如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°.

(1)求∠ACB的大小;

(2)求点A到直线BC的距离.

【答案】解:(1)连接BD,

∵以BC为直径的⊙O交AC于点D,∴∠BDC=90°。

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∵D是AC中点,∴BD是AC的垂直平分线。

∴AB=BC。∴∠A=∠C。

∵∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°。即∠ACB=30°。

(2)过点A作AE⊥BC于点E,

∵BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,

∴cos30°=CDCD。∴CD

。 ?BC3

∵AD=CD,∴

AC=。

1∵在Rt△

AEC中,∠ACE=30°,∴AE?AC?。

sin300=22

∴点A到直线BC

。 【考点】

圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,匀角三角函数定义,特殊角的三角函数值。11928

【分析】(1)根据垂直平分线的性质得出AB=BC,从而得出∠A=∠C=30°即可。

(2)根据BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,得出CD的长,从而求出AE的长度即可。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题47:圆的有关性质

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