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2014年高等数学竞赛——专题五 不等式

发布时间:2013-11-06 11:45:44  

专题五 不等式

1. 设f(x)在 [0, 1]上连续,非负,单调减。

2.?f(x)dx?a?f(x)dx (0?a?1) 00a1

b?abf(x)dx 3. 设f(x)在[a,b]上连续,单调增。求证:?xf(x)dx?a2?ab

4. 设f(x) 在 [0, 1]上可导,且f(0)?0 , 0?f?(x)?1.

1135. ???0f(x)dx????0f(x)dx. ??2

sinx? (0?x?) ?x2

b2(b?a)(0?a?b) 7.求证: ln?ab?a6.求证: 2?

8.比较e?与?e的大小.

9.设limx?0f(x)?1,且f??(x)?0,证明:f(x)?x.(泰勒,最值,中值) x

10. 设f(x)在[0,??)二阶可导,且f(0)?1,f?(0)?1,f??(x)?f(x),(x?0).求证:f(x)?ex.

11. 设f(x)在??1,1?内有f??(x)?0,且limx?0f(x)?sinx?2,证明在??1,1?内有x

f(x)?3x.

12.证明:0?x?1时 有?xln(1?x) ?1?xarcsinx

1

x13.试利用函数f(x)?a,对于a?1,x?1,证明以下不等式

?a. n21naa?a?lna(n?1)2

1n?11n1n?1

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