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八年级数学竞赛培训:图形的平移与旋转

发布时间:2013-11-06 11:45:47  

八年级数学竞赛培训图形的平移与旋转

一、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

1.(5分)如图,P为正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1:2:3,则∠APB=

2.(5分)(2002?河南)如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合,若PB=3,则PP′=.

3.(5分)如图,P是等边△ABC内一点,PA=6,PB=8,PC=10,则∠APB=.

4.(5分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长是

5.(5分)(2002?济南)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 _________ cm. 2

6.(5分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,点E在DC上,AE、BC的延长线交于点F,若AE=10,则S△ADE+S△CEF的值是

二、选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)

7.(3分)如图,在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=n,BN=x,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )

8.(3分)(2005?乌兰察布)如图:把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离AA′是( )

2

9.(3分)如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:

①△PFA≌△PEB;

②∠PFE=45°;

③EF=AP;

④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半;

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的有( )

10.(3分)(2009?临夏州)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=(

11.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC内一点,则( )

3

12.(3分)如图,设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3,则PC所能达到的最大值为( )

三、解答题(共11小题,满分72分)

13.(5分)如图,六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,对边之差BC﹣EF=ED﹣AB=AF﹣CD

>0,试判断该六边形的各角是否相等?若相等,请说明理由.

14.(6分)如图,在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F,使AE=CF.已知BC=2,求证:EF≥1.

15.(5分)如图所示,等边△ABC的边长a=

若PC=5,求PA,PB的长. ,点P是△ABC内的一点,且PA+PB=PC,222

16.(9分)(2007?玉溪)正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和,对角线BD和FH都在直线l上,O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距,当中心O2在直线l上平移时,正方形EFGH也随之平移(其形状大小没有变化).(所谓正方形的中心,是指正方形两条对角线的交点;两个正方形的公共点,是指两个正方形边的公共点)

(1)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1O2=; 4

(2)设计表格完成问题:随着中心O2在直线l上平移,两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的中心距的值或取值范围.

17.(9分)(2002?河北)图形的操作过程:

在图①中,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分); 在图②中,将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).

(1)在图③中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;

(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:

S1=,S2=,S3=

(3)联想与探索:

如图④在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草地面积是多少并说明你的猜想是正确的.

18.(9分)已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,可以说明:△ACN≌△MCB,从而得到结论:AN=BM.

现要求:

(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在CB上.请对照原题图在下图中画出符合要求的图形(不写作法,保留作图痕迹);

(2)在(1)所得到的图形中,结论“AN=BM”是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)在(1)所得到的图形中,设MA的延长线与BN相交于D点,请你判断△ABD与四边形MDNC的形状,并说明你的结论的正确性.

5

19.(5分)如图,已知△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,BD=CE,连DE,求证:DE>BC.

20.(5分)如图,P为等边△ABC内一点,PA、PB、PC的长为正整数,且PA+PB=PC,设PA=m,

22n为大于5的实数,满mn+30m+9n≤5m+6mn+45,求△ABC的面积.

222

21.(5分)如图,五羊大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河,l1∥l2表示小河甲,l3∥l4表示小河乙,A为校本部大门,B为分校大门,为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.图中的尺寸是:甲河宽8米,乙河宽10米,A到甲河垂直距离为40米,B到乙河垂直距离为20米,两河距离100米,A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米,为使A、B两点间来往路程最短,两座桥都按这个目标而建,那么,此时A、D两点间来往的路程是多少米?

22.(5分)如图,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到△ABC各边的距离等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ.

①证明:△AKL,△BMN,△CPQ都是等腰直角三角形.

②求证:△ABC与△A1B1C1公共部分的面积.

6

23.(9分)(2008?旅顺口区)(1)操作:如图2,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处,并将纸板绕O点旋转.求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.

(2)思考:如图1,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转.当扇形纸板的圆心角为 _________ 时,正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;如图3,当扇形纸板的圆心角为 _________ 时,正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(直接填空)

(3)探究:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为 _________ 度时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.

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新课标八年级数学竞赛培训第29讲:图形

的平移与旋转

参考答案与试题解析

一、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

1.(5分)如图,P为正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1:2:3,则∠APB=

2.(5分)(2002?河南)如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合,若PB=3,则PP′=.

8

3.(5分)如图,P是等边△ABC内一点,PA=6,PB=8,PC=10,则∠APB=.

9

4.(5

分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长是﹣a .

10

5.(5分)(2002?济南)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 1.44 cm.

2

11

6.(5分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,点E在DC上,AE、BC的延长线交于点F,若AE=10,则S△ADE+S△CEF的值是 48或

30 .

12

二、选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)

7.(3分)如图,在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=n,BN=x,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )

8.(3分)(2005?乌兰察布)如图:把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离AA′是( )

13

9.

(3分)如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点

E、F,给出以下四个结论:

①△PFA≌△PEB;

②∠PFE=45°;

③EF=AP;

④图中阴影部分的面积是△ABC的面积的一半;

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的有( )

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10.(3分)(2009?临夏州)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( )

11.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC内一点,则( )

15

16

12.(3分)如图,设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3,则PC所能达到的最大值为( )

三、解答题(共11小题,满分72分)

13.(5分)如图,六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,对边之差BC﹣EF=ED﹣AB=AF﹣CD>0,试判断该六边形的各角是否相等?若相等,请说明理由.

17

14.(6分)如图,在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F,使AE=CF.已知BC=2,求证:EF≥1.

18

15.(5分)如图所示,等边△ABC的边长a=

若PC=5,求PA,PB的长. ,点P是△ABC内的一点,且PA+PB=PC,222

19

16.(9分)(2007?玉溪)正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和,对角线BD和FH都在直线l上,O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距,当中心O2在直线l上平移时,正方形EFGH也随之平移(其形状大小没有变化).(所谓正方形的中心,是指正方形两条对角线的交点;两个正方形的公共点,是指两个正方形边的公共点)

(1)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1O2= 3 ;

(2)设计表格完成问题:随着中心O2在直线l上平移,两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的中心距的值或取值范围.

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17.

(9分)(2002?河北)图形的操作过程: 在图①中,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分); 在图②中,将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).

(1)在图③中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;

(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:

S1=S2=,S3=

(3)联想与探索:

如图④在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草地面积是多少并说明你的猜想是正确的.

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18.(9分)已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,可以说明:△ACN≌△MCB,从而得到结论:AN=BM.

现要求:

(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在CB上.请对照原题图在下图中画出符合要求的图形(不写作法,保留作图痕迹);

(2)在(1)所得到的图形中,结论“AN=BM”是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)在(1)所得到的图形中,设MA的延长线与BN相交于D点,请你判断△ABD与四边形MDNC的形状,并说明你的结论的正确性.

22

19.(5分)如图,已知△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,BD=CE,连DE,求证:DE>BC.

23

20.(5分)如图,P为等边△ABC内一点,PA、PB、PC的长为正整数,且PA+PB=PC

,设PA=m,

22n为大于5的实数,满mn+30m+9n≤5m+6mn+45,求△ABC的面积. 222

24

21.(5分)如图,五羊大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河,l1∥l2表示小河甲,l3∥l4表示小河乙,A为校本部大门,B为分校大门,为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.图中的尺寸是:甲河宽8米,乙河宽10米,A到甲河垂直距离为40米,B到乙河垂直距离为20米,两河距离100米,A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米,为使A、B两点间来往路程最短,两座桥都按这个目标而建,那么,此时A、D两点间来往的路程是多少米?

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22.(5分)如图,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到△ABC各边的距离等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ.

①证明:△AKL,△BMN,△CPQ都是等腰直角三角形.

②求证:△ABC与△A1B1C1公共部分的面积.

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23.(9分)(2008?旅顺口区)(1)操作:如图2,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处,并将纸板绕O点旋转.求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.

(2)思考:如图1,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转.当扇形纸板的圆心角为 120° 时,正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值

a;如图3,当扇形纸板的圆心角为 72° 时,正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(直接填空)

(3

)探究:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为 度时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.

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