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2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准[1]

发布时间:2013-11-06 12:44:05  

2012年全国初中数学联合竞赛

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.

已知a?

1,b?

c?2,那么a,b,c的大小关系是 ( )

A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D.b?c?a

2.方程x?2xy?3y?34的整数解(x,y)的组数为 ( )

A.3. B.4. C.5. D.6.

3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为 ( )

A

.22 B

. C

. D

.3333

22444.已知实数a,b满足a?b?1,则a?ab?b的最小值

为 ( ) A19A.0. C.1. D. ?. B.88

5.若方程x?2px?3p?2?0的两个不相等的实数根

23?x2),则实数p的所有可能的值之x1,x2满足x12?x13?4?(x22CE

和为 ( )

A.0. B.?

【答】 B.

由一元二次方程的根与系数的关系可得x1?x2??2p,x1?x2??3p?2,所以

2x12?x2?(x1?x2)2?2x1?x2?4p2?6p?4, 35. C.?1. D.?. 44

3x13?x2?(x1?x2)[(x1?x2)2?3x1?x2]??2p(4p2?9p?6).

又由x1?x1?4?(x2?x2)得x1?x2?4?(x1?x2),所以4p?6p?4?4?2p(4p?9p?6),所以p(4p?3)(p?1)?0,所以p1?0,p2??,p3??1. 23232233223

4

3均满足题意,p3??1不满足题意. 4

33因此,实数p的所有可能的值之和为p1?p2?0?(?)??. 44代入检验可知:p1?0,p2??

6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd(数字可重复使用),要求满足a?c?b?d.这样的四位数共有 ( )

A.36个. B.40个. C.44个. D.48个.

【答】C.

根据使用的不同数字的个数分类考虑:

(1)只用1个数字,组成的四位数可以是1111,2222,3333,4444,共有4个.

(2)使用2个不同的数字,使用的数字有6种可能(1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4).如果使用的数字是1、2,组成的四位数可以是1122,1221,2112,2211,共有4个;同样地,如果使用的数字是另外5种情况,组成的四位数也各有4个.因此,这样的四位数共有6×4=24个.

(3)使用3个不同的数字,只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的四位数可以是1232,2123,2321,3212,2343,3234,3432,4323,共有8个.

(4)使用4个不同的数字1,2,3,4,组成的四位数可以是1243,1342,2134,2431,3124,3421,4213,4312,共有8个.

因此,满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知互不相等的实数a,b,c满足a?

【答】 ?1. 111?b??c??t,则t?_________. bca

11111,代入b??t得?t得b???t,整理得ct2?(ac?1)t?(a?c)?0 ① bt?act?ac

1222又由c??t可得ac?1?at,代入①式得ct?at?(a?c)?0,即(c?a)(t?1)?0,又c?a,a由a?

所以t?1?0,所以t??1. 验证可知:b?

m21a?11a?1时t?1;b??时t??1.因此,t??1. ,c?,c??1?aa1?aa2.使得5?2?1是完全平方数的整数m的个数为.

【答】 1.

设5?2?1?n(其中n为正整数),则5?2?n?1?(n?1)(n?1),显然n为奇数,设n?2k?1(其中k是正整数),则5?2?4k(k?1),即5?2mm?2m2m2?k(k?1).

?k?5?2m?2,?k?5,?k?2m?2,显然k?1,此时k和k?1互质,所以?或?或?解得k?5,m?4. m?2?k?1?1,?k?1?2,?k?1?5,

因此,满足要求的整数m只有1个.

3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则

【答】

BC= . AP设D为BC的中点,在△ABC外作∠CAE=20°,则∠BAE=60°.

作CE⊥AE,PF⊥AE,则易证△ACE≌△ACD,所以CE=CD=1BC. 2又PF=PAsin∠BAE=PAsin60

°=1AP,PF=CE

,所以AP=BC,

222

BE

因此BCAP

4.已知实数a,b,c满足abc??1,a?b?c?4,abc4,则???a2?3a?1b2?3b?1c2?3c?19a2?b2?c2=.

【答】

233. 22因为a?3a?1?a?3a?abc?a(bc?a?3)?a(bc?b?c?1)?a(b?1)(c?1),所以

a1. ?2a?3a?1(b?1)(c?1)

同理可得b1c1,. ??b2?3b?1(a?1)(c?1)c2?3c?1(a?1)(b?1)

结合1114abc4可得,??????222(b?1)(c?1)(a?1)(c?1)(a?1)(b?1)9a?3a?1b?3b?1c?3c?19

所以4(a?1)(b?1)(c?1)?(a?1)?(b?1)?(c?1). 9

1. 4

332222因此,a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)?. 2

11实际上,满足条件的a,b,c可以分别为?,,4. 22结合abc??1,a?b?c?4,可得ab?bc?ac??

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c(a?b?c),则a?b?c?30.

显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c,下面先求c的值.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?3c,所以c?10.

由a?b?c及a?b?c?30得30?a?b?c?2c,所以c?15.

又因为c为整数,所以11?c?14. ……………………5分 根据勾股定理可得a?b?c,把c?30?a?b代入,化简得ab?30(a?b)?450?0,所以 222

(30?a)(30?b)?450?2?32?52, ……………………10分

2??a?5,?30?a?5,因为a,b均为整数且a?b,所以只可能是?解得?……………………15分 2b?12.30?b?2?3,???

所以,直角三角形的斜边长c?13,三角形的外接圆的面积为169?. ……………………20分 4

2二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:AD?BD?CD.

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页(共4页)

证明:连接OA,OB,OC.

∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得PA?PD?PO,AD?PD?OD. ……………………5分 又由切割线定理可得PA?PB?PC,∴PB?PC?PD?PO,∴D、B、C、O四点共圆,

……………………10分

∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD, ……………………20分 222PDBD2,∴AD?PD?OD?BD?CD. ……………………25分 ?CDOD

12三.(本题满分25分)已知抛物线y??x?bx?c的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、6

3B(x2,0)(x1?x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,?),若AM//BC,2∴

求抛物线的解析式.

解 易求得点P(3b,b?c),点C(0,c).

设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为(3b,m). 显然,x1,x2是一元二次方程?32212x?bx?c?0的两根,所

以x1?3b?

,6

x2?3b?AB的中点E的坐标为(3b,0),所以AE

.……………………5分

因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得AE?PE?

DE,即2

3)2?b2?c)?|m,又易知|m?0,所以可得m??6. ……………………10分

2

又由DA=DC得DA2?

DC2,即?m?(3b?0)?(m?c),把m??6代入后可解得c??6(另一解c?0舍去). ……………………15分 2222

3|?|OAOM又因为AM//BC,所以?. ……………………20分 ?

OBOC|?6|

55(另一解b??舍去). 22

15因此,抛物线的解析式为y??x2?x?6. ……………………25分 把c??6代入解得b?62

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页(共5页)

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