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小学数学奥数基础教程6

发布时间:2013-11-06 13:38:35  

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小学数学奥数基础教程

数字谜(一)

数字谜的内容在三年级和四年级都讲过,同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多,思考性强,所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外,还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式的○内,使等式成立(每个运算符号只准使用一次):(5○13○7)○(17○9)=12。

分析与解:因为运算结果是整数,在四则运算中只有除法运算可能出现分数,所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时,因为除数是13,要想得到整数,只有第二个括号内是13的倍数,此时只有下面一种填法,不合题意。

(5÷13-7)×(17+9)。

当“÷”在第二或第四个○内时,运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时,可得下面的填法:(5+13×7)÷(17-9)=12。 例2 将1~9这九个数字分别填入下式中的□中,使等式成立:□□□×□□=□□×□□=5568。

解:将5568质因数分解为5568=2×3×29。由此容易知道,将 5568分解为两个两位数的乘积有两种:58×96和64×87,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种:

12×464, 16×348, 24×232,

29×192, 32×174, 48×116。

显然,符合题意的只有下面一种填法:174×32=58×96=5568。 例3 在443后面添上一个三位数,使得到的六位数能被573整除。

分析与解:先用443000除以573,通过所得的余数,可以求出应添的三位数。由

443000÷573=773??71 6

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推知, 443000+(573-71)=443502一定能被573整除,所以应添502。 例4 已知六位数33□□44是89的倍数,求这个六位数。

分析与解:因为未知的数码在中间,所以我们采用两边做除法的方法求解。 先从右边做除法。由被除数的个位是4,推知商的个位是6;由左下式知,十位相减后的差是1,所以商的十位是9。这时,虽然89×96=8544,但不能认为六位数中间的两个□内是85,因为还没有考虑前面两位数。

再从左边做除法。如右上式所示,a可能是6或7,所以b只可能是7或8。 由左、右两边做除法的商,得到商是3796或3896。由3796×89=337844, 3896×89=346744

知,商是3796,所求六位数是337844。

例5 在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,请你用适当的数字代替字母,使加法竖式成立。

分析与解:先看竖式的个位。由Y+N+N=Y或Y+ 10,推知N要么是0,要么是5。如果N=5,那么要向上进位,由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10,等号两边的奇偶性不同,所以N≠5,N=0。

此时,由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10, E不是0就是5,但是N=0,所以E=5。

竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同,说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0,所以I≠0,推知I=1,O=9,说明百位加法向千位进2。 再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进2,且X≠0或1,所以R+T+T+1≥22,再由R,T都不等于9知,T只能是7或8。

若T=7,则R=8,X=3,这时只剩下数字2,4,6没有用过,而S只比F大1,S,F不可能是2,4,6中的数,矛盾。

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若T=8,则R只能取6或7。R=6时,X=3,这时只剩下2,4,7,同上理由,出现矛盾;R=7时,X=4,剩下数字2,3,6,可取F=2,S=3,Y=6。 所求竖式见上页右式。

解这类题目,往往要找准突破口,还要整体综合研究,不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题,竖式中从上到下的四个词分别是 40, 10, 10, 60,而 40+10+10正好是60,真是巧极了!

例6 在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字,使竖式成立。

分析与解:按减法竖式分析,看来比较难。同学们都知道,加、减法互为逆运算,是否可以把减法变成加法来研究呢(见右上式)?不妨试试看。 因为百位加法只能向千位进1,所以E=9,A=1,B=0。

如果个位加法不向上进位,那么由十位加法1+F=10,得F=9,与E=9矛盾,所以个位加法向上进1,由1+F+1=10,得到F=8,这时C=7。余下的数字有2,3,4,5,6,由个位加法知,G比D大2,所以G,D分别可取4,2或5,3或6,4。 所求竖式是

解这道题启发我们,如果做题时遇到麻烦,不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换,将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外,做题时要考虑解的情况,是否有多个解。

练习1

1.在一个四位数的末尾添零后,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求原来的四位数。

2.在下列竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母,使竖式成立:

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3.在下面的算式中填上括号,使得计算结果最大:1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。

4.在下面的算式中填上若干个( ),使得等式成立:1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。

5.将1~9分别填入下式的□中,使等式成立:□□×□□=□□×□□□=3634。

6.六位数391□□□是789的倍数,求这个六位数。

7.已知六位数7□□888是83的倍数,求这个六位数。

练习1

1.6281。解:621819÷(100-1)= 6281。

2.(1)由百位加法知,A=B+1;再由十位加法A+ C=B+10,推知C=9,进而得到A=5,B=4(见左下式)。

(2)由千位加法知B=A-1,再由个位减法知C=9。因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1,所以百位减法是(10+B-1)-A=A,

化简为9+B=2A,将B=A-1代入,得A=8, B=7( 见右上式)。

3.1÷(2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9)=90720。

4.1÷(2÷3)÷4÷(5÷6÷7÷8)÷9=2.8。

5. 46×79= 23×158= 3634。

提示:3634=2×23×79。

6.391344。提示:仿照例3。

7.774888。 提示:仿例4,商的后3位是336,商的第一位是8或9。

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