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2008年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2013-11-07 09:33:05  

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.设a?1?3a,b?1?3b,且a?b,则代数式2211?2的值为( ) 2ab

A.5. B.7. C.9. D.11.

【答】B.

由题设条件可知a?3a?1?0,b?3b?1?0,且a?b,

所以a,b是一元二次方程x?3x?1?0的两根,故a?b?3,ab?1, 222

11a2?b2(a?b)2?2ab32?2?1因此2?2????7. 故选B. aba2b2(ab)212

2.如图,设AD,BE,CF为三角形ABC的三条高,若AB?6,BC?5,EF?3,则线段BE的长为( )

A.

【答】D.

因为AD,BE,CF为三角形ABC的三条高,易知B,C,E,F

四点共圆,于是△AEF∽△ABC,故182421. B.4. C.. D.. 555AFEF3??,即ACBC5

34cos?BAC?,所以sin?BAC?. 55

在Rt△ABE中,BE?ABsin?BAC?6?

3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是( )

1

424. 故选D. ?55

A.

【答】C. 1321. B.. C.. D.. 51052

能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.

所以所组成的数是3的倍数的概率是

4.在△ABC中,?ABC?12?,?ACB?132?,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则( )

A.BM?CN. B.BM?CN.

C.BM?CN. D.BM和CN的大小关系不确定.

【答】B.

∵?ABC?12?,BM为?ABC的外角平分线 ∴?MBC?82?. 故选C. 2051(180??12?)?84?. 2

又?BCM?180???ACB?180??132??48?

∴?BMC?180??84??48??48?

∴BM?BC. 又?ACN?11(180???ACB)?(180??132?)?24?, 22

∴?BNC?180???ABC??BCN?180??12??(?ACB??ACN)

?168??(132??24?)?12???ABC,

∴CN?CB.

因此,BM?BC?CN.故选B.

5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为( )

A.(). B.(). C.(). D.

【答】 B.

2

9839849859. 8

容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

设5种商品降价前的价格为a,过了n天. n天后每种商品的价格一定可以表示为

98a?(1?10%)k?(1?20%)n?k?a?()k?()n?k,其中k为自然数,且0?k?n. 1010

9i8n?i9i?18n?i?1要使r的值最小,五种商品的价格应该分别为:a?()?(),a?()?(), 10101010

989898其中i为不超过n的a?()i?2?()n?i?2,a?()i?3?()n?i?3,a?()i?4?()n?i?4,101010101010

自然数.

a?(9)i?4?(8)n?i?4

所以r的最小值为a?(9?(9)4. 故选B.

)i?(8)n?i8

1010

6. 已知实数x,y

满足(xy?2008,

则3x2?2y2?3x?3y?2007的值为( )

A.-2008. B.2008. C.-1. D.1.

【答】D.

∵(xy?2008,

∴x?

?y

y??x

由以上两式可得x?y.

所以(x2?2008,解得x2?2008,

所以3x2?2y2?3x?3y?2007?3x2?2x2?3x?3x?2007?x2?2007?1. 故选D.

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.

设a?a5?a4?2a3?a2?a?2

,则a3?a?________.

3

【答】-2

∵a?22123)??1?a 22∴a?a?1, a5?a4?2a3?a2?a?2a3(a2?a)?2a3?(a2?a)?2∴ ?32a?aa?a?a

a3?2a3?1?21?a31?a3

2??????(1?a?a)??(1?1)??2. 2a?(1?a)?a?a1?a

2.如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD

所在直线上的两点,且AM??MAN?135?,则四边形AMCN的面积为__________.

【答】5 2

设正方形

ABCD的中心为O,连AO,则AO?

BD,AO?OB?

MO?

?∴MB?MO?OB?? 又?ABM??NDA?135?,

?NAD??MAN??DAB??MAB?135??90???MAB??AMB,

所以△ADN∽△MBA

,故ADDNAD??BA?1?,从而DN?MB

BAMB4

根据对称性可知,四边形AMCN的面积

115S?2S△MAN?2??MN?AO?2?????. 22222

3.已知二次函数y?x?ax?b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且2

m?n?1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则p?q?________. 【答】1 2

2根据题意,m,n是一元二次方程x?ax?b?0的两根,所以m?n??a,mn?b. ∵m?n?1,∴m?n?m?n?1,m?n?m?n?1.

∵方程x?ax?b?0的判别式??a?4b?0 22

a2(m?n)21∴b???. 444

4b?4mn?(m?n)2?(m?n)2?(m?n)2?1??1,故b??1,等号当且仅当4

m??n?1时取得; 2

1,等号当且仅当44b?4mn?(m?n)2?(m?n)2?1?(m?n)2?1,故b?

m?n?1时取得. 2

111所以p?,q??,于是p?q?. 442

4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是________.

【答】1

12到32,结果都只各占1个数位,共占1?3?3个数位;

42到92,结果都只各占2个数位,共占2?6?12个数位;

102到312,结果都只各占3个数位,共占3?22?66个数位;

5

322到992,结果都只各占4个数位,共占4?68?272个数位;

1002到3162,结果都只各占5个数位,共占5?217?1085个数位;

此时还差2008?(3?12?66?272?1085)?570个数位.

3172到4112,结果都只各占6个数位,共占6?95?570个数位.

所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是411的个位数字,即为1.

2

第二试 (A)

一.(本题满分20分) 已知a?b?1,对于满足条件0?x?1的一切实数x,不等式 22

a(1?x)(1?x?ax)?bx(b?x?bx)?0 (1)

恒成立.当乘积ab取最小值时,求a,b的值.

解 整理不等式(1)并将a?b?1代入,得 22

(1?a?b)x2?(2a?1)x?a?0 (2)

在不等式(2)中,令x?0,得a?0;令x?1,得b?0.

易知1?a?b?0,0?2a?12故二次函数y?(1?a?b)x?(2a?1)x?a?1,2(1?a?b)

的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.

由题设知,不等式(2)对于满足条件0?x?1的一切实数x恒成立,所以它的判别式??(2a?1)?4(1?a?b)?a?0,即ab?21. 4

?a2?b2?1,?由方程组? (3) 1?ab??4

消去b,得16a?16a?1?

0,所以a?

4222或a?. 又因为a?

0,所以a?

a?, 44

6

??a???a???于是方程组(3

)的解为?或?

?b??b????

?所以ab的最小值为1,此时a,b的值有两组,分别为

4

a?

a? b?

b?二.(本题满分25分) 如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB?BC.

(1)证明:点O在圆D的圆周上.

(2)设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值.

解(1)连OA,OB,OC,AC,因为O为圆心,AB?BC,所以△OBA≌△OBC,从而?OBA??OBC.

因为OD?AB,DB?BC,所以?DOB?90???OBA?90???OBC??DBO. 所以DB?DO,因此点O在圆D的圆周上.

(2)方法一:

设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE?AC.设AC?2y(0?y?a),OE?x,AB?l,则a2?x2?y2,S?y(a?x),

l2?y2?(a?x)2?y2?a2?2ax?x2?2a2?2ax?2a(a?x)?2aS. y

7

因为?ABC?2?OBA?2?OAB??BDO,AB?BC,DB?DO,所以△BDO∽△ABC,所以BDBOalra,即?,故r?. ?ABAC2yl2y

a2l2a22aSSa3S所以r?,即a?y时成立,????()?

r?224y4yy2y22

这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r

1?2S?ABsin???2方法二:设∠ABC=∠D=?,易得?. 1?AB?rsin???2

AB3

消去sin?得:r?.

4S

而AB??=90?时等号成立.

AB33?=故r?4S4S2

所以圆D的的半径r

的最小值为

三.(本题满分25分)设a为质数,b为正整数,且 . 2

9(2a?b)2?509(4a?511b) (1)

求a,b的值.

解 方法一:

(1)式即(6a?3b24a?511b6a?3b4a?511b,设m?,则 )?,n?509509509509

509m?6a509n?4a (2) b??3511

22故3n?511m?6a?0,又n?m,所以3m?511m?6a?0 (3)

由(1)式可知,(2a?b)能被509整除,而509是质数,于是2a?b能被509整除,2

8

故m为整数,即关于m的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式??511?72a为完全平方数.

不妨设??511?72a?t(t为自然数),则72a?511?t?(511?t)(511?t). 由于511?t和511?t的奇偶性相同,且511?t?511,所以只可能有以下几种情况: ①?22222?511?t?36a,两式相加,得36a?2?1022,没有整数解.

?511?t?2,

②??511?t?18a,两式相加,得18a?4?1022,没有整数解. 511?t?4,?

?511?t?12a,两式相加,得12a?6?1022,没有整数解.

?511?t?6,③?

④??511?t?6a,两式相加,得6a?12?1022,没有整数解. 511?t?12,?

?511?t?4a,⑤?两式相加,得4a?18?1022,解得a?251. 511?t?18,?

⑥??511?t?2a,两式相加,得2a?36?1022,解得a?493,而493?17?29不是?511?t?36,

质数,故舍去.

综合可知a?251.

502(舍去). 3

509?3?6?251把a?251,m?3代入(2)式,得b??7. 3此时方程(3)的解为m?3或m?

方法二:由(1)式可知2a+b为质数509的倍数,不妨设2a+b=509k.

则(1)式可化为:9?(509k)?509(2?509k?509b)

即:9k?2k?b.

则2a?509k?b?509k?(9k?2k)?511k?9k?k(511?9k).

因为a为质数,故只有如下四种情况:

2222

9

①??k?2?k?2,解得?,a不是质数,舍去;

?a?493?17?29?511?9k?a

509?k???k?a?9②?,解得?,a不是整数,舍去; 511?9k?2509??a??9?

510?k???k?2a?9③?,解得?,a不是整数,舍去;

?511?9k?1?a?255

?9?

④??k?1?k?12,解得?,符合题意,代入9k?2k?b得:b=7. ?511?9k?2a?a?251

综上可得,a的值为251,b的值为7.

第二试 (B)

一.(本题满分20分)已知a?b?1,对于满足条件x?y?1,xy?0的一切实数对(x,y),不等式 22

ay2?xy?bx2?0 (1)

恒成立.当乘积ab取最小值时,求a,b的值.

解 由x?y?1,xy?0可知0?x?1,0?y?1.

在(1)式中,令x?0,y?1,得a?0;令x?1,y?0,得b?0.

将y?1?x代入(1)式,得a(1?x)?x(1?x)?bx?0,即 22

(1?a?b)x2?(2a?1)x?a?0 (2)

易知1?a?b?0,0?2a?12故二次函数y?(1?a?b)x?(2a?1)x?a?1,2(1?a?b)

的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.

由题设知,不等式(2)对于满足条件0?x?1的一切实数x恒成立,所以它的判别式??(2a?1)2?4(1?a?b)?a?0,即ab?

1. 410

?a2?b2?1,?由方程组? (3) 1?ab??4

消去b,得16a?16a?1?

0,所以a?

4222或a?a?0,

所以a?

a?. ??a?a?????于是方程组(3

)的解为?或?所以满足条件的a,b的值

?b??b????

?有两组,分别为

a?和a?. ,b?

,b?4444

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.

第二试 (C)

一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.

三.(本题满分25分)设a为质数,b,c为正整数,且满足

?9(2a?2b?c)2?509(4a?1022b?511c)??b?c?2

求a(b?c)的值.

解 方法一:(1)式即((1)(2) 6a?6b?3c24a?1022b?511c, )?509509

6a?6b?3c4a?1022b?511c设m?,则 ,n?509509

509m?6a509n?4a2b?c?? (3) 3511

故3n?511m?6a?0,又n?m,所以

11 2

3m2?511m?6a?0 (4)

由(1)式可知,(2a?2b?c)能被509整除,而509是质数,于是2a?2b?c能被509整除,故m为整数,即关于m的一元二次方程(4)有整数根,所以它的判别式

2??511?72a为完全平方数. 2

不妨设??511?72a?t(t为自然数),则72a?511?t?(511?t)(511?t). 由于511?t和511?t的奇偶性相同,且511?t?511,所以只可能有以下几种情况: 2222?511?t?36a,①?两式相加,得36a?2?1022,没有整数解. 511?t?2,?

②??511?t?18a,两式相加,得18a?4?1022,没有整数解.

?511?t?4,

?511?t?12a,两式相加,得12a?6?1022,没有整数解. 511?t?6,?③?

④??511?t?6a,两式相加,得6a?12?1022,没有整数解.

?511?t?12,

?511?t?4a,两式相加,得4a?18?1022,解得a?251. 511?t?18,?⑤?

?511?t?2a,⑥?两式相加,得2a?36?1022,解得a?493,而493?17?29不是511?t?36,?

质数,故舍去.综合可知a?251,此时方程(4)的解为m?3或m?

把a?251,m?3代入(3)式,得2b?c?502(舍去). 3509?3?6?251?7,即c?2b?7. 3

代入(2)式得b?(2b?7)?2,所以b?5,因此a(b?c)?251?(5?3)?2008. c?3,

方法二:由(1)(2)式联立消去c得:9(2a?b?2)?509(4a?511b?1022) 可知2a+b+2为质数509的倍数,不妨设2a+b+2=509k.

则(1)式可化为:9?(509k)?509(2?509k?509b?1018)

即:9k?2k?b?2.

则2a?509k?b?2?509k?(9k?2k)?511k?9k?k(511?9k).

12

22222

因为a为质数,故只有如下四种情况:

①??k?2?k?2,解得?,a不是质数,舍去;

?a?493?17?29?511?9k?a

509?k???k?a?9②?,解得?,a不是整数,舍去; 511?9k?2509??a??9?

510?k???k?2a?9③?,解得?,a不是整数,舍去; 511?9k?1255??a??9?

④??k?1?k?12,解得?,符合题意,代入9k?2k?b?2得:b=5. ?511?9k?2a?a?251 将b=5代入(2)式得:c=3.

因此a(b?c)?251?(5?3)?2008.

13

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