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同济大学2010年高等数学竞赛试题-答案

发布时间:2013-11-07 12:35:21  

高等数学竞赛试卷2010

一.填空题 1. limn??1?1122nn?cos?cos???cos??? . n?nnnnnn?

答: sin1+cos1-1 .

2. 设函数f(x)连续且f(1)?1,则极限limx?1?x1?1?t?u?f(u)du?dt???t? . 3?x?1?答:?1 . 63.

设x??y

0d3y3dx? .

x?0

答:4 .

?u?x?2y?2z?2z?2z?2z?2?1,那么4. 设z?z?x,y?,变量?且62?? . ?x?x?y?y?u?v?v?x?3y

答:1 . 5

x3?y3x2?y2x2y2

5. 设曲面?1的方程z?,?2的方程为z?,?3的方程为z?,322?

4的方程为z?,它们在xOy面上的投影均为x2?y2?1,它们的面积依次为S1、S2、S3和S4,则S1、S2、S3、S4的大小关系为 .(用等号或不等号表示)

答:S4?S2?S1?S3 .

?x2?y2?z2?1??x?1?2??y?2?2??z?3?2?ds? .

6.设曲线?:?,则?????x?2y?3z?1?

. 二.选择题

?1?cosx,x?0?1.设f(x)??, 其中g(x)是有界函数. 则f(x)在点x?0处x

?x2g(x),x?0?

(A)极限不存在 (B)极限存在但不连续

答: D (C)连续但不可导 (D)可导

22. 设f?x?与p?x?具有任意阶导数,且f???x??p?x?f??x??xf?x??x?x,x?0是

f?x?的驻点,且f?0??1,则 .

(A)f?0?为函数f?x?的极大值 (B)f?0?为函数f?x?的极小值

(D)极值或拐点由p?x?确定 (C)点?0,1?为曲线y?f?x?的拐点

答: B

3. 设函数f(x)连续,则

(A)xf(0)

答: C (B)dx22tf(x?t)dt? . ?0dx (C)xf(x) 21f(x2) 2

?(D)tf(x?t) 22????14. 已知级数???1???1?收敛,则实数?的取值范围是 . ?n?1??n????

(A)?0,? 3??1??(B)??1,3?1?? 2? (C)??1?,2? 2??(D)?2,???

答: D

三.

求无界区域1绕x轴旋转形成立体的体积. ?y?21+x??2?11x?dx?2?解:V?????22?01?x22dx, ???1?x?1?x2???????

?

令x?tant,V?2??2

0?2tan2tsec2t?2dt?2??2sintdt?. 40sect2

2??x?t?1四.已知曲线L的方程为?(t?0). 2??y?4t?t

(1) 讨论L的凹凸性.

(2) 过点(?1,0) 引L的切线,求切点(x0,y0),并写出切线方程.

(3) 求此切线与L以及x轴所围成的平面图形的面积.

d2y1dy2?t2解:(1) ???1,2??3?0?t?0?,L下凸; dxtdxtt

dy2?t4t?t2

??2(2) 由,得求得切点的参数t0??2,切点?5,?12?; dxtt?2

切线方程y??2?x?1?;

(3) 记L的方程为y?y?x?,面积

A?36???ydx?36??15?2020. ??4t?t?2tdt?36?88332

或记L的方程为x?x?y?,面积

A??dy??120x?y?2?y?2dx??0

?12x?y?dy??0?12y?2dy 2

??0

?2?t2?1??4?2t?dt?24?9220?24?. 33

五.设函数f(x)?

?

x

1

|t?t?x?|etdt(0?x?1),f?x0?是极值. 求曲线y?f?x?在点

2

?x,f?x??处的曲率.

解:

f(x)??t?x?t?etdt??t?t?x?etdt

x

2

1

2

?x?tetdt??t2etdt??t2etdt?x?tetdt

x

x

x

2

x

2

1

2

1

2

f??x???tetdt??tetdt?ex?

x

x

2

1

22

e?1

2

驻点x0?

2

f???x0??2x0ex0,K?

|f??|

?1?f??

322

x0

??

e?1六.设?是球面x2?y2?z2?1被平面z?0,x?y, z?2x切下的在第一卦限的部分,试求?的面积.

解:?:z? ,?在xOy面的投影:

2222

Dxy由5x?y?1,x?y,x?y?1围成.

S?

Dxy

?2

????

Dxy

?

???d?4

1

?d?

?

?

???2

4

??2??2

4

?21

?

??

?y?x2

七.设O是坐标原点,动点M在曲线?:???1?x?1?上移动时,线段OM的轨

?z?1

迹形成了锥面?.

(1)试写出?的方程;(2)求曲面积分zdydz?ydzdx?xdxdy,其中?取下侧. ???

?????????xy1解:(1)P?x,y,z???,必有M?x0,y0,1???,OM||OP ,?0?0?, xyz

yx2

y0?x??2,即?的方程为yz?x2??1?x?1?. zz2

x2

(2)?在zOx面上的投影区域Dzx:?z?x?z,0?z?1.?的方程为y?,有z

2xx2

yx?,yz??2,合一投影法并利用对称性计算, zz

I???zdydz?ydzdx?xdxdy?????z??yx??y?x??yz???dzdx

??

??x2x3?x2x3??????2x??2?dzdx??????2x??2?d? zz?zz???Dzx?

????Dzx21zxx22122d???2?dz?x???zdz??. 00zz309

(2)?在yOz面上的投影区域Dyz:0?y?z,0?z?1

x?,有 .???1??2的方程

为x?

zdydz???zdydz???zdydz?0. ?????12

x2

?在zOx面上的投影区域Dzx:?z?x?z,0?z?1.?的方程为y?,有 z

ydzdx???????Dzx21zxx2212d??2?dz?dx???z2dz??. 00zz309

?在xOy面上的投影区域Dxy:x?y?|x|

xdxdy????xd??0. ???Dxy2x2.?的方程为z?, y

故 2I???zdydz?ydzdx?xdxdy??. 9?

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