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2011年数学竞赛练习题

发布时间:2013-11-07 13:36:29  

2011年数学竞赛练习题C_3(填空题)

1.设数列{xn}满足:nsin1

n?1?xn?2)sin1

n?(n?1,

则lim1n

n??n?1?xk?_______。

k?1

2.

设(1n?an?b,其中an,ban

n为正整数,limn??b=__

n

x

3. 设f(x)有连续导数且limf(x)

x?0x?a?0,又F(x)??(x2?t)f(t)dt,

当x?0时F?(x)与xn是同阶无穷小,则n?________。 4. 设f(x)在[1,+?)上可导,下列结论成立的是:________。

A.若xlim?+?f?(x)?0,则f(x)在[1,+?)上有界;

B.若xlim?+?f?(x)?0,则f(x)在[1,+?)上无界;

C.若xlim?+?f?(x)?1,则f(x)在[1,+?)上无界。

5.设函数y=f(x)在有界可导,则下列结论成立的是: ______。

A当xlim?+?f(x)=0时,必有xlim?+?f?(x)=0

Bxlim?+?f?(x)存在时,必有xlim?+?f?(x)=0

C当limf(x)=0时,必有limf??0x?0(x)=0 x++

Dlimf?x?0+(x)存在时,必有limx?0+f?(x)=0

6. 设函数y?y(x)满足y???(x?1)y??2xy?x,e且y?(0)?,1若limy(x)?x

x?0x2?a,

a?___________。 7.设a?,b?是夹角为?b?=2,则lima??xb??a?

3x??x=_。

?

8. 如果要使函数f(x)???xksin1 x?0在x?

?x0处有连续的

?0 x?0

一阶导数, 则正整数k的最小值为_____。

9.

设y?y(10)

x?0?____________。 则

10.设y?1,y?ex,y?2ex,y?ex?1

?都是某二阶常系数线性

微分方程的解,则微分方程为_______。

11. 设二阶常系数线性微分方程y???py??qy?f(x) 有三个特解y1?e,y2?e?e,y3?ex?e?x, 则该方程为______。

12. 设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为

y1?xexcos2x,则其通解为__。

xxx2

13. ?____________+C。

x2?ax?2dx的结果中不含反正切函数,则a?_________。 14. 设不定积分?(x?1)(x2?1)

15.设连续非负函数满足f(x)f(?x)?1(???x???), ?

2

则?

?cosxdx?________。 1?f(x)?

2

16.

已在函数f(x)?3x则f(x)?___________。 ?f02(x)dx,

17.设In??

18.lim?n??k?1n1,则In?_____。 n1?tanx02ekn2kn_=______。 n?ne

19.设C是从球面x2?y2?z2?a2上任一点到球面x2?y2?z2?b2上任一点的任一条光滑曲线(a?0,b?0),则r3(xdx?ydy?zdz)?_______

,其中r。

C?

x2

20.设曲线L:?y2?1的周长为l,则4??(x?2y)ds=__________。 2

L

21.设f(x)??0?x?2?sinx,D是全平面, 0 其它?

则??f(x)f(y?x)dxdy?________。 D

x2y2z2

22.?为区域x?y?z?1,则???(2?2?2)dv?____________。 abc?222

23. x2+2y2+4z2=1与平面x+y+z之间的距离为___。 24. 设对于半平面x>0内任意的光滑有向闭曲面S,都有 ???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e

S2xzdxdy?0.其中函数f(x)在(0,+?)

内具有连续的一阶导数,且limf(x)=1.则f(x)的表达式为__。 ?x?0

25. I=(y2-z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz=____。 ??L

其中L是平面x+y+z=2与柱面x+y=1的交线,从z轴正向看去,L为逆时针方向。

26.设m?1为正整数,an是(1?x)

nn?m中x的系数,则?n1?_____。 n?0an?k3?6k2?11k?527. lim?=___。 n??(k?3)!k?1

28.?k?2?________。 k!?(k?1)!?(k?2)!k?1

??

29.幂级数?(1?nln(1?))xn的收敛域为________。

n?11n

30.设x?0或x??1,则级数?ln

n?1?[1?(n?1)x](1?2nx)的和为_________。 (1?nx)[1?2(n?1)x]

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