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2011年数学竞赛练习题C_4

发布时间:2013-11-07 13:36:31  

2011年数学竞赛练习题C_4

1.求极限: lim?(m,n是正整数) ?x?11?xm1?xn???

2. 求函数f(x)?lim[limcosn(m!?x)](x?R)的表达式 m??n???mn?

3. 设 f(x)?a1sinx?a2sin2x???ansinnx, 其中a1,a2,?,an是实数,且f(x)?sinx, 试证:a1?2a2???nan?1

4. (1)若函数f(x)在x附近有连续的二阶导数, 且f??(x)?0,则由中值定理,??, 使得:f(x?h)=f(x)?hf?(x??h),求lim?; h?0

(2)若函数f(x)在x附近有连续的三阶导数, 且f???(x)?0,则由中值定理,??, 使得:h2

f(x?h)=f(x)?hf?(x)?f??(x??h),2! 求lim?.h?0

x

5. 试证:函数f(x)=(t?t)sin

0?22ntdt(x?0)的最大值不超过1.其中n为正(2n?2)(2n?3)

整数.

6.求曲线 lnx?lny?1所围成的图形的面积。

7.设数列?an?满足:

a0?3,a1?1,an?2?n(n?1)an(n?2)。试求幂级数?anxn的和函数。

n?0??

(?1)nn!8.(1)证明:In??(xlnx)dx?(n是自然数); n?1(n?1)0n

11

(2)证明:xdx?

0??x?nn?1??n(n是自然数)

9.设S是以曲线L为边界的光滑曲面,试求可微函数?(x)使得曲面积分

I???(1?x2)?(x)dydz?4xy?(x)dzdx?4xzdxdy的值与曲面S的形状无关。

S

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