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初二数学上册讲义奥数

发布时间:2013-11-08 11:41:02  

新学期教师寄语

光阴荏苒,时光飞逝,过去的一年已经驻足于昨天的日历。千里之行,始于足下,一切成绩都要从点滴小事做起。这学期欢迎同学们继续到卓众来学习,同时请同学们记住两句话:责任心是迈向成功的起点;好习惯是快乐成长的阶梯。

好习惯,包含了很多的内容。习惯不仅体现在学习上,我们平时的一言一行、一举一动都体现着我们的个人修养。好习惯的养成要从每天做起。希望同学们有学校责任感,加强个人修养,养成良好的生活习惯和行为习惯。

学校,不仅仅是提供一些教室供人读书,不仅仅是提供一些老师传授知识,更重要的是提供一种让每一位学生高质量成长的文化环境,让每一位同学养成一种终身受用的优秀品质和修养。正如树木形成森林,森林形成气候,气候又影响着树木的成长一样,校园文化也是一种生态环境,它的浸染性不仅传递给我们每个人,而且出自于我们每一个人。

新学期里我期望每一个人都志存高远,踏踏实实地过好每一天、认认真真地做一个每一件事开始:向每一位老师问候、向每一个客人致意,尊重和理解你周围的每一个人;保持好班级环境、保护好校园卫生,珍惜你生活和学习的地方。

希望每位同学本着对自己负责的态度,认识自己、塑造自己、发展自己、完善自己;注重讲究礼仪、礼节、礼貌,把握和控制自己的行为细节,养成良好的行为习惯;真切地希望每个同学做到诚实、忠实、务实,盼望每个同学在家做个好子女,在学校做个好学生,在社会做个好公民,在你的交际圈内做个好朋友。

各位同学,新的学期,新的挑战,我们都应该站在新的起跑线上,以满腔的热情投入到新学期的工作和学习中去,为实现自身的目标而奋斗,书写新学期学习的满意答卷。

卓众培训校:彭杰

2013 年9月

1

华师大版八年级奥数上册目录 讲义1--------------- 平方根与立方根 讲义2--------------- 实数

讲义3--------------- 幂的运算 讲义4---------------

讲义5---------------

讲义6---------------

讲义7---------------

讲义8---------------

讲义9---------------

讲义10--------------

讲义11--------------

讲义12--------------

讲义13--------------

讲义14--------------

整式的乘法 乘法公式 整式的除法 因式分解 命题、定理与证明 三角形全等的判定 等腰三角形 尺规作图 逆命题与逆定理 勾股定理 数据的收集与表示 2

2013年秋季初二奥数班讲义1

一、基本知识点

1、什么叫做平方根?

如果一个数的平方等于9,这个数是几?±3是9的平方根;9的平方根是±3。 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做的a平方根,也称为二次方根。 数学语言:如果x2?a,那么x就叫做a的平方根。

4的平方根是1的平方根是 。 的平方根是0.81。 49

如果x2?25,那么x?2的平方根是?

2、平方根的表示方法:

一个正数a的正的平方根,记作“a”,正数a的负的平方根记作“?a”。 这两个平方根合起来记作“?a”,读作“正,负根号a”.

表示

2的平方根是x2?2,那么x?。

3、平方根的概念:

一个正数的平方根有2个,它们互为相反数;0只有1个平方根,它是0本身; 负数没有平方根。

求一个数的平方根的运算叫做开平方。

4、算术平方根:

正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.

例如,4的平方根是?2,2叫做4的算术平方根,记作4=2;

2的平方根是?5、算术平方根的性质:

2,2叫做2的算术平方根,记作2?2。

0a?0。 2⑵a?a(a?0), a2??a(a?0), (a)2?a(a?0)

6、立方根的概念:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,则这个数x叫做a的立方根.

7、立方根的的表达形式:一个数a的立方根记作“a”,读作“三次根号a”, a是被开方数,3是根指数。

8、 立方根的性质:任何数都有且只有一个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.

二、经典例题

例1. 求下列各数的算术平方根和平方根.

3

(1)272 (2)(?7) 9

例2.下列式子中,正确的是( ).

A

.??0.6 B

??13

C

??6 D

.??5

例3

?0,求x+y的值.

例4:求下列各数的立方根

10

(1)227 (2)-0.008 (3)-343 (4)0.512

例5 求下列各式中的x:

33(1)8x?125?0 (2)?4x?1??343; (3)1?27x?0 3

三、过关检测题

一 填空题

1. 一个正数有 个平方根,0有 个平方根,负数 平方根.

,平方根是 ;的平方根是___,的算术平方根是_____

3. ?1的立方根是________,125的立方根是________. 8

4.若某数的立方等于-0.027,则这个数的倒数是________.

6.已知x??y,则x+y的值为________.

7.-3是________的平方根,-3是________的立方根.

8.若一个数的立方根等于这个数的算术平方根,则这个数是________.

9 设x??2722,则x,x,x分别等于____ ____ ____ 8

10.算术平方根等于它本身的数有________,平方根等于本身的数有________.

11.一个正数的两个平方根的和是________. 一个正数的两个平方根的商是________

4

12.若一个正数的平方根是2a?1和?a?2,则a?____,这个正数是 ; 13. ?1的相反数是 ;

214、化简:(3??)?

15. 满足

的整数x是

16.已知2a?1?(b-3)2?0,则2ab? ; 3

17.当m______ 时,?m有意义;当x_______ 时,

二 选择题

2.下列计算正确的是( )

2A

=±2 B

???6 D.?9??9 1?x有意义;

3.下列说法中正确的是( )

A.9的平方根是3 B

2

2

4下列语句正确的是( )

A.64的立方根是2 B.-3是27的负立方根

C.12552的立方根是? D.(?1)的立方根是?1 2166

6.下列运算中,错误的是( ) ①25511119?1, ②(?4)2??4, ③?22??22??2,④???? 1441216254520

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

7.设x、y为实数,且y?4??x?x?5,则x?y的值是( )

A、1 B、9 C、4 D、5

8.若a、b为实数,且b?a2?1??a2

?4,则a?b的值为( ) a?7

A ?1 B 4 C3或5 D 5

9如果x?5有意义,则x可以取的最小整数为( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

5

10. 若a和?a都有意义,则a的值是( )

A.a?0 B.a?0 C.a?0 D.a?0

x2?

289

11.361

,那么x的值为( ) A.x??

1719B.x?17C.x?1717

19D.x??

18 18 12.下列命题正确的是

[ (1)±4都是64的立方根;(2)x3

?x;(3)64的立方根是4;(4)?8??2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

14.下列说法正确的是

[ A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数 B.一个数的立方根与这个数同号

C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根 D.一个数的立方根是非负数

15.如果x与x都有意义,则它们之间的关系是

[ A.xx B.xx C.xx或xx D.以上都不对

16.一个自然数a的算术平方根为x,那么a+1的立方根是

[ A.?a?1 B.(x?1)2

C.x2?1 D.x3

?1

三 解答题

(1)解方程:1.7x2

?343?0 2.25(x?3)2?(?16)2

(2) 计算:1.

49

144

?

2

9

+(6) 2. ?

3

1

?416

]

]

]

]

6

3、?332710?; 4、?0.973; 5、?5? 6、0.25?27. 6427

322

7、0.125?31????1?7?

8??1?2116?; 8、???2???(?2)?2?;

3

9、64??0.1?2?(?2)3?1250.064

(3).已知:实数a、b满足条件a?1?(ab?2)2?0 试求1

ab?1

(a?1)(b?1)?1

(a?2)(b?2)????1

(a?2004)(b?2004)

的值. 7

14.一个正方体的体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的多少倍?

探究创新

15.若x?7和3y?4互为相反数;试求x+y的值.

16.设1996x3?1997y3?1998z3,xyz>0,且x2?1997y2?1998z2???,求111

x?y?z的值.

8

2013年秋季初二奥数班讲义2

知识点:

实数

1. 有理数的定义:任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2. 无理数的定义:无限不循环小数叫无理数

3. 实数的定义:有理数和无理数统称为实数

??整数?有理数??有限小数或无限循环小数 实数?分数?????无理数?无限不循环小数

4. 像有理数一样,无理数也有正负之分

?

是正无理数,

,??是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分,实数也可以这样分类:

??正有理数?正实数??正无理数 ? ?实数?0

?负有理数?负实数????负无理数?

5. 实数与数轴上点的关系:

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,

数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,

实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。

与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大

6. 数a的相反数是?a,这里a表示任意一个实数。

7. 实数的绝对值:一个正实数的绝对值是本身;

一个负实数的绝对值是它的相反数;

0的绝对值是0。

判断

无限小数是有理数( ) 无限小数是无理数( )

有理数是无限小数( ) 无理数是无限小数( )

数轴上的点都可以用有理数表示( ) 有理数都可以由数轴上的点表示( ) 数轴上的点都可以用无理数表示( ) 无理数都可以由数轴上的点表示( ) 数轴上的点都可以用实数表示( ) 实数都可以由数轴上的点表示( )

1.下面几个数:0.23 ,1.010010001?,,3π,,,其中,无理数的个数有( )

A、1 B、2 C、3 D、4

【变式】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是( )

9

A、1 B、1.4 C、 D、

,则A,B两点的2.点A在数轴上表示的数为

距离为______

【变式1】如图,数轴上表示1,

为C,则点C表示的数是( ). ,点B在数轴上表示的数为的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点

A.-1 B.1- C.2- D.-2

[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示:

化简

3.已知:=0,求实数a, b的值。

【变式1】已知(x-6)2+

【变式2】已知

过关题:

一、填空题 +|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。 那么a+b-c的值为___________

10

1、已知一块长方形的地长与宽的比为3:2,面积为3174平方米,则这块地的长为

2

(b?1)?0,?。

3

?2在实数范围内成立,其中a、x、y是3x2?xy?y2

两两不相等的实数,则2的值是 。 x?xy?y2

4、已知a、b为正数,则下列命题成立的:

若a?b?2,1;若a?b?3,?3;若a?b?6,?3. 2

根据以上3个命题所提供的规律,若a+6=9

5、已知实数a

满足?a??a,则a?1999?

6、已知x、y是有理数,且x、y

满足2x?3y??23?,则。

7、已知实数a

满足a?0,那么a?1?a?1? 22

8

、设A?B?则A、B中数值较小的是。

1?2y?5.28,则9

10

、若0?a?1,且a?

二、选择。 1 ?6,a1

、若3a,b,则a?b的值为( )

A、0 B、1 C、-1 D、2

2

?a?b,?( )

A、ab3abab3ab B、 C、 D、 1010100100

23

、使等式(?x成立的x 的值( )

A、是正数 B、是负数 C、是0 D、不能确定

4

、如果a?0,( )

A

、 B

、? C

、 D

、?

5、下面5

个数:3.1416,1

???1,其中是有理数的有( )

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

11

6、 如图,在数轴上1

A、B, A是线段BC的中点,则点C所表示的数是 ( )

A

.2 B

2 三、解答题。

1.已知2a?1的平方根是?3,4是3a?b?1的算术平方根,求a?2b的值.

2.已知y?x?2?2?x?3,求yx的平方根.

3、已知实数 a、b 试化简:a+b

4、若(2x+3)2和互为相反数,求 x-y 的值。

5、如果A的平方根是2x-1与3x-4,求A的值?

x12

6、已知?2x与33y?2互为相反数,求

1?2x的值。 y

7

、已知x?0,y?0,且x?15y?0,

8、已知

x,y,z试求x,y,z的值。

9

、在实数范围内,设a?(

210、已知x、y

是实数,且(x?y?1) 4x?x?12006,求a的各位数字是什么?

13

2013年秋季初二奥数班讲义3

幂的四则运算(知识点)

一、同底数幂的乘法

运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。用式子表示为: a是正整数)

练习:

a 32a =_______ a ·a7—a4 ·a4 =____

二、同底数幂的除法

运算法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减。用式子表示为:a?a?am、n是正整数,m>n。) mnm?nm?an?am?n(m、n。(a?0且

补充:

零次幂及负整数次幂的运算:任何一个不等于零的数的0次幂都等于1;任何不等于零的数的?p(p是正整数)次幂,等于这个数的p次幂的倒数。用式子表示为:a?1(a?0),0a?p?1(a?0,p是正整数)。 pa

练习:

1、下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?

(1)x?x?x (2)m?m?m

(3)a?a?a (4)(?c)?(?c)??c

2、计算: 3,5,10

14 0?1?33342263254,7,1?2?10,(2004) 0

三、幂的乘方

运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘. 用式子表示为:

整数) 注:把幂的乘方转化为同底数幂的乘法

练习:

1、计算:

①?2

例1. 已知3x(x?5)?3x

变式 已知2x+5y-3=0,求4?32的值.

例2. 已知25?2?10?5?2,求m、n.

变式 已知a?5,a

例3. 已知10?3,10?5,10?7,试把105写成底数是10的幂的形式.

变式 已知9

15 n?1abcxx?ynn?12?am??amnn(m、n都是正?x???x???x???x?32242522 ②a????a???a?2mn3m?12?a2 ?45,求x的值. xymn74?25,求ax?ay的值. 若xm?2n?16,xn?2,求xm?n的值. ?32n?72,求n的值.

过关检测题

一、选择

100991.计算所得的结果是( ) (?2)?(?2)

A.-2 B.2 C.-299 D.299

2.当n是正整数时,下列等式成立的有( )

(1)a2m?(am)2 (2)a2m?(a2)m (3)a2m?(?am)2 (4)a2m?(?a2)m A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

3.下列运算正确的是( )

A.2x?3y?5xy B.(?3x2y)3??9x6y3

1

C.4x3y2?(?2xy2)??2x4y4 D.(x?y)3?x3?y3

4、若n是正整数,当a=-1时,-(-a2n)2n+1等于( )

A、1 B、-1 C、0 D、1或-1

5. 如果 ??am?n?amn 成立,则( )

A、m是偶数,n是奇数 B、m、n都是奇数

C、m是奇数,n是偶数 D、n是偶数

二、填空

1.计算:(?a2)3?(?a3)2= .

2.若2m?5,2n?6,则2m?2n= .

3、若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4,则m-n的值为______

4、已知ax=1

2,bk=-112x3k

3,求3 (a)÷(b)的值______

5、已知x6-b2x2b+1=x11,且ya-12y4-b=y5,求a+b的值______

6、已知am=2, an=7,求a3m+2n –a2n-3m 的值______

7、已知3?9m?27m?316,求m的值______

8、14?24?34?44???20094?20104 的个位数是9.若 a、b互为倒数,则 a2003?b2004三、计算

1、用简便方法计算 1111

(1)(2)2000??1.5?1999???1?1999 (2) ??17????9??(?1)11

3?9??16?

16

四、解答

1、已知:3x=2,求3x+2的值.

2、已知a=355,b=444,c=533,请把a,b,c按大小排列.

3、用简便方法计算:(-0.125)123(-127

3)3(-8)133(-3

5)9.

4、若x3=-8a6b9,求x的值。

5、已知xn=5,yn=3,求(xy)3n的值.

6、已知 xm= 2 , xn=3,求下列各式的值:(1)x m+n (2) x2mx2n (3) x 3m+2n

7、已知10??5,10??6,求102??3?的值

8.已知2a?3,2b?6,2c?12,求a, b, c之间的关系。

9.若ab??2,ac??1,求?2abc???2???ca?2的值。

17

2013年秋季初二奥数班讲义4 整式的乘法知识点

(1) 单项式的乘法

单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

练习:

1(?3x3y)?(?x4)?(?y3) 2xy?(?x2y2z)?(?3x3y3)2

(1.2?103)(2.5?1011)(4?109) 15xny?2xn?1?yn?1

(2) 单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。练习:

1(?3x2)(?x2?2x?1)? ?(2x?4x3?8)?(?x2)?2

12132(3x2?y?y2)?(?xy)312ab[2a?(a?b)?b] 23243

(3) 多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

练习:(3x-1)(4x+5) (-4x-y)(-5x+2y)

22(y-1)(y-2)(y-3) (3x+2x+1)(2x+3x-1)

经典例题

例1 计算

1(?a)3?(?2ab2)3?4ab2?(7a5b4?ab3?5) 2

变式 (x?2y?z)(?x?2y?z)

例2.化简求值

已知ab2?6,求ab(ab?ab?b)的值。

变式1.若x?25312222,y?1,求x(x?xy?y)?y(x?xy?y)?3xy(y?x)的值。 2

18

2. 已知2m?5?(2m?5n?20)?0,

例4 综合应用

若(x+ax-b)(2x-3x+1)的积中,x的系数为5,x的系数为-6,求a,b.

变式.若2a?3,2b?6,2c?12,求证:2b=a+c. 22322

过关检测题

一、填空题:(每空3分,共30分)

251. ?4x4y???xy3??

2. ??0.2?2004?42003?

3 已知(b?c)2?4(a?b)(c?a),且a?0,用代数式表示a,b,c的关系4当a?b?3,x?y?1时,代数式a2?2ab?b2?x?y的值等于 55.多项式x2?x?1的最小值是.

2n?4?2(2n)6.化简得______. n?32(2)

7. ??3(ab)?3423?_____________已知a?9b9?,,代数式a2?2ab?b2?5a?5b?。

二、选择

1.若M、N分别是关于x的7次多项式与5次多项式,则M+N( )

A.一定是7次多项式 B.一定是12次多项式

C.一定是不高于12次的多项式 D.无法确定其积的次数

2.下列计算错误的是 ( )

322366322331818(?m)?(?n)??m?n[(?m)?(?n)]??m?nA、 B、

19

322398232398(?mn)?(?m?n)?m?n(?mn)?(?m?n)?m?nC、 D、

23.当a,b取任意有理数时,代数式(1)2(a?1)2?(2a?1)2;(2)a?7a?12;(3)

(4?3a)2?(b?4)2;(4)3a?2b?4?3a2?12a?13中,其值恒为正的有( )个.

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 四、化简

1.(x?y)3

?(x?y)2

??

(x?y)3?2

??(?x?y)3?6

2.?(?x

2)3

?(?x2)2?x(?x3)3

3.(2x?3y)(2x?3y)(4x2

?9y4

) 4.(4m+n2

)(2m-n4

5.(x+3y+2z)(x-3y+6z)

五、解答

1.解方程:

(x?7)2

?(x?6)(x?2)?7(2x?5) 2.现规定一种运算,a※b=ab+a-b,求a※b+(b-a)※ b的值

2006

3.已知 | x + y – 3 | + (x – y – 1) 2 = 0,求代数式 ??x?

?2?

?

?(?y)2005的值

4.已知2a?5,2b?3.2,2c?3.2,2d?10,求a?b?c?d的值。

19. 设m2?m?1?0,求m3?2m2?2004的值。

20.计算(1-

11

22

)(1-

32

)(1-

1

42

)?(1-

192

)(1-

1

102

20

2013年秋季初二奥数班讲义5

乘法公式知识点

1.平方差公式:?a?b??a?b??a?b 22

平方差公式的一些变形:

(1)位置变化:?a?b???b?a?? ?a?b 22

(2)系数变化:?3a?5b??3a?5b?? ?9a?25b 22

(3)指数变化:m?n?32??m3?n2???m6?n4

(4)符号变化:??a?b??a?b?= ??a?b2?2??b

22?a2 (5)数字变化:983102=(100-2)3(100+2)=10000-4=9996 (6)增项变化:?x?y?z??x?y?z?? ??x?z??y?x?2xz?z?y 2222

(7)增因式变化:?a?b??a?b?a?b2

22?2??a4?b4?a2?b2a2?b2a4?b4??a8?b8 222???????2.完全平方公式:?a?b??a?2ab?b,?a?b??a?2ab?b 2

完全平方公式的一些变形:

(1)形如?a?b?c?的计算方法 2

?a?b?c?2???a?b??2?a?b?c?c2?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2 2

(2)完全平方公式与平方差公式的综合运用

?2a?b?c??2a?b?c?? ??2a?2??b?c?2?4a2?b2?2bc?c2

(3)幂的运算与公式的综合运用

?2a?b?2?2a?b?2??4a2?b2??2?16a4?8a2b2?b4

(4)利用完全平方公式变形,求值是一个难点。

已知:a?b,ab的值,求 :?a?b???a?b??4ab,a?b??a?b??2ab 22222已知:a?b,ab的值,求 :?a?b???a?b??4ab,a?b??a?b??2ab 22222已知:a?b,a22?a?b???a2?b2??b的值,求:ab? 2

2

22?a?b???a?b?已知:a?b,a?b或?a?b?,?a?b?的值,求:ab? 22

4

21

(5)运用完全平方公式简化复杂的运算

9992??1000?1??1000000?2000?1?998001 2

【例题分析】

例1.计算

1111(a?b)(a?b)2323

变式1、 (2x+3)(3-2x) 2、 (-y+2x)(-y-2x)

22例2.计算(m?2n)?2(m?2n)(m?2n)?(m?2n)

24x(x?1)?x(2x?3)(3?2x) 变式 (1)(3x+4y-2z)(3x-4y+2z) (2)

过关检测题

一、填空

3. 若16b2?4?m是完全平方式,则m?

4. ?a?2??a?2??4?a2??

5. 已知:a?11?5,则a2?2?。 aa

26. 已知:x?y?4,xy?2,则?x?y??x2?y2?。

7、已知,x、y是非零数,如果xy11?5,则??______________6.下列式子中,x?yxy

含有(x-y)的因式是________.(填序号)

(1)(x+y)(y-x) (2)x-y+2 (3) -3(x-y)3 (4) (y-x)3+(x-y)

8、若x?mx?15?(x?3)(x?n),则m= . 2

9、 已知a?b?3,ab??12,则a?ab?b =__________ (a?b)=__________. 222

22

?a?b??7,则ab的值是10、已知?a?b??11,22

11??11、已知x??3,则?x??的值为xx??

12、已知x?x?1?0,则x

13、 ?a?b??a?b?a?b2222000?x1999?x1998的值为?2??a4?b4?_________________. ?

14、乘积?1?

二、选择 ??1??1??1?1??1??=_____________ 1?1???1-1?????????22222?2??3??4??1999??2000?

1.若(x+4)(x-2)= x?px?q,则p、q的值是( )

A、2,8 B、-2,-8 C、-2,8 D、2,-8

1.已知m+n=2,mn= -2,则m2+n2的值为( )

A.4 B.2 C.16 D.8

2.若n为正整数,且x2n2?7,则(3x3n)2?4(x2)2n的值为( )

22A.833 B.2891 C.3283 D.1225 3.若a?b?2,a?c?1,则(2a?b?c)?(c?a)等于( )

A.9 B.10 C.2 D.1

4.下列式子中一定相等的是( )

A、(a- b)2 = a2 - b2 B、(a+ b)2 =a2 + b2

C、(a - b)2 = b2 -2ab + a2 D、(-a - b)2 = b2 -2ab + a2

5.给出下列多项式:(1)x2?2xy?y2;(2)?x2?y2?2xy;(3)x2?xy?y2;

(4)1?x?12x 4

其中能用和的完全平方公式的有 ( )

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 112=2,则a+2的值为( ) aa6.若a-

A.0 B.2 C.4 D.6

7.在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a?b),把余下的部分剪拼成一个矩形,

通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )

2A a2?b2?(a?b)?a?b? B ?a?b??a2?2ab?b2

2C ?a?b??a2?2ab?b2 D ?a?2b??a?b??a2?ab?2b2

23

五,探索题:(本题12分)

1、已知a?b??5,ab?7, 求ab?ab?a?b的值。

2、求证:523-521能被120整除.

3、已知a、b、c分别为三角形的三条边,求证:a?b?c?2bc?0

4、若x?y?8,x?y?48,求y-x的值

5.(1)若x?y?9,xy?16,求x?y

(2)已知?x?y??16,?x?y??4 ,求xy的值 22222222222

6.计算 :43?13?1??????3

?2??4??2006?1 ?

7、已知a?b?1,ab??1,设233s1?a?b,2s?a2?b,s?a?b3,-------,sn?an?bn。

(1)计算s1?s2?;s3?;s4?

(2)试写出sn?2,sn?1,sn三者之间的关系式 ;

(3)根据以上得出的结论,计算a7?b7。

24

2013年秋季初二奥数班讲义6

姓名:

整式的除法知识点

【知识点一】单项式除以单项式

【总结法则】:(1)先计算幂的乘方或积的乘方(2)系数相除,作为商的系数,

(3)同底数幂相除,(4)对于只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式。

例1:(1)28xy÷7x y 4232

变式 (1) -5a5b3c÷15a4b (2)(2x2y)32(-7xy2)÷14x4y3

【知识点二】:多项式除以单项式

【总结法则】:多项式除以单项式:

1、一把负号放前面,二要括号后面进里面,三是除法小心算,四是检查符号的变换

本质:把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式

例:(1)(12a3-6a2+3a)÷3a;

变式 1、(6xy?5x)?x 2、(15x2y?10xy2)?5xy

练习

一、选择题

25

3.化简(a2?b2)2?(a?b)2的结果是( )

A. a2?b2 B.(a?b)2 C.a2?b2 D. (a?b)2

224.计算??a?b???a?b????4ab?的结果是( )。 ??

a?ba?b A. B. C.1 D.2ab 44

5.如果4a?3ab?22。 ??M??4a?3b,那么单项式M等于( )

A.ab B.?ab C.a D.?b

6. (0.75a2b3-ab2+ab)÷(-0.5ab)等于________。

A. -1.5ab2+1.2b-1

C. -1.5ab2+1.2b B. -0.375ab2+0.3b-0.25 3

23512D. ab2-1.2b+1

22b,则m、n的值为( ) 77. 已知8a3bm?28anb2?

A.m=4,n=3 B.m=4,n=1

C.m=1,n=3 D.m=2,n=3

8.(-m2n3)6÷(-m2n3)2 = ( )

A.m8n12 B.m6n9 C.-m8n12 D.-m6n9

999119

9.已知P?99,Q?90,那么P,Q的大小关系是( )。 99

A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定

二、填空题:

321.(25a3x3y)2÷__________= 5a2x2y2 (?a2b3c5)?(ab2c3)?________. 23

(12x5y3z?3x2y4)?(?xy)?________. [(2a?b)2?b2]?(?2a)____________

26

(-a)÷(-a)=_________. (25axy)÷__________= 5axy

5324(12xyz?3xy)?(?xy)?________.[(2a?b)2?b2]?(?2a)__________. 126123332222

32(?a2b3c5)?(ab2c3)?________. 23

2.一个长方形的面积是(x?9)m,其长为(x?3)m,用含x的整式表示它的宽为 22

_____m。

3. 若5x?3y?2?0,则10?10

4. 21?(5a?b)2m?5x3y?。 7则m,n的关系(m,n为自然数)是。 (5a?b)n?24,8

三、计算题

(1). ?15(a2bc)4?

(5ab2)2

(3). 15x

(4)?824 yz?(?3x4yz3)?(?4x2y) 2??2??232xy?7xy3?y3???y2? 3??3??5

四、解答。

1.一个多项式除以x?2x?3,得商工为x?1,余式为2x?5,求这个多项式。

2.若?3x?2y?10?无意义,且2x?y?5,求x,y的值。

27 02

3.若3m?6,9n?2求32m?4n?1的值。

4.阅读下列解答过程,并仿照解决问题:

已知x2?2x?3?0,求x3?x2?9x?8的值。∵

解:∵x2?2x?3?0,

∴x2?2x?3,

∴x3?x2?9x?8?x?x2?x2?9x?8?x??2x?3???2x?3??9x?8?2x2?3x?2x?3?9x?8?2?2x?3??4x?5?1。

请你仿照上题的解法完成:已知x2?5x?1?0,求x3?4x2?4x?1的值。

28

2013年秋季初二奥数班讲义7

姓名:

因式分解知识点:

定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。

基本方法

⑴提公因式法

口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。

例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

⑵公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b) 2;

注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

完全立方公式:a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b) 3.

公式:a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如:a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。

提公因式法基本步骤:

(2)提公因式并确定另一个因式:

例1: 把3ay-3by+3y分解因式

变式:把-4a3b2+6a2b-2ab分解因式

例2 把-2p2(p2+q2)+6pq(p2+q2)分解因式

29 (1)找出公因式;

变式:把5(x-y)2-10(y-x)3分解因式

二、 选择题:(每题4分,共24分)

1.将xn?1?xn?1因式分解,结果正确的是 ( )

A.xn?x?x?1? B.xn?1?x?1?

C. xn?1?x2?1? D.xn?1?x?1??x?1?

2.下列各式是因式分解,并且正确的是 ( )

123 A.?a?b??a?b??a2?b2 B. ??a?1a?1a?1

C.a3?a2?a?1??a?1??a?1? D.a2?ab?2b2??a?b??a?2b?

3.把a2?b2?2b?1因式分解,正确的是 ( )

A. ?a?b??a?b??2b?1 B.?a?b?1??a?b?1?

C. ?a?b?1??a?b?1? D.?a?b?1??a?b?1?

4.化简??5?20032?52004所得的值为 ( )

A.?5 B.0 C.52002 D. 4?52003

三、解答题:(每题5分,共20分)

1.把下列各式因式分解:

(1)am?an?ap (2)x3?25x

(3)25x2?20xy?4y2 (4)y2?7y?10

2.把下列各式因式分解:

(1)15am?2b?12am?1b2?3amb3 (2)a2?x?y??b2?y?x?

30

(3)?a3?4a2?12a (4)?x?y?2?4?x?y?1?

(5)16a4?72a2b2?81b4 (6)(x?y)2?10(x?y)?25

3.用简便方法计算:

(1)57.631.6+28.8336.8-14.4380 (2)39337-13334

4.试说明:两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍。

四,解答题。(每题7分,共14分)

1.试说明代数式?2y?3??3y?2??6y?y?3??5y?16的值与y的值无关。

2.已知xy?8满足x2y?xy2?x?y?56。求x2?y2的值。

31

3.若x?3?y?2?z?1,求x2?y2?z2?xy?yz?zx的值。

14.对于式子x2?y2?x?6y?10,你能否确定其值的正负性?若能,请写出解4

答过程;若不能,请简要说明理由。

5.阅读下列计算过程:

99399+199=99+2399+1=(99+1)=100=10

1.计算:

9993999+1999=____________=_______________=_____________=_____________; 9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________。

2.猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少?写出计算过程。

2224

32

2013年秋季初二奥数班讲义8

姓名:

知识点 命题

知识点一 命题的概念

叙述一件事情的句子(陈述句),要么是真的,要么是假的,那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。

注意:(1)命题必须是一个完整的句子。

(2)这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断,二者缺一不可。

例 下列句子中不是命题的是( )

A 明天可能下雨 B 台湾是中国不可分割的部分

C 直角都相等 D 中国是2008年奥运会的举办国 知识点二 真命题与假命题

如果一个命题叙述的事情是真的,那么称它是真命题;如果一个命题叙述的事情是假的,那么称它是假命题

注意:真、假命题的区别就在于其是否是正确的,在判断命题的真假时,要注意把握这点。

例 下列命题中的真命题是( )

A 锐角大于它的余角 B 锐角大于它的补角

C 钝角大于它的补角 D 锐角与钝角等于平角

知识点三 命题的结构

每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。一般地,命题都可以写出“如果------,那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------,那么-------”的形式,但可以写成这种形式。如:“对顶角相等”,改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”。

例 把下列命题改写成“如果------,那么-------”的形式,并指出条件与结论。

13.同角的余角相等 2、两点确定一条直线

知识点四 证明及互逆命题的定义

(2)从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理),得出它的结论成立,这个过程叫作证明。

(3)一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,这两个命题称为互逆的命题,其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。

例 说出下列命题的逆命题,并指出它们的真假。

(1)直角三角形的两锐角互余; (2)全等三角形的对应角相等。

公理与定理

33

知识点一 公理与定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其它命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。

以基本定义和公理作为推理的出发点,去判断其他命题的真假,已经判断为真的命题称为定理。

例 填空:(1)同位角相等,则两直线 ;

(2)平面内两条不重合的直线的位置关系是 ;

(3) 四边形是平行四边形。

知识点二 互逆定理

如果一个定理的逆命题也是定理,那么称它是原来定理的逆定理,这两个定理称为互逆定理。

证明

知识点一 证明的含义

从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理),得出它的结论成立,从而判定该命题为真,这个过程叫做证明。

例. 已知:如图正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF

(1)求证:ΔBCE≌ΔDCF

(2)若∠FDC=30°,求∠BEF的度数。

A D

B

知识点二 反证法

从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较简单。

反证法证题步骤:(1)假设命题的结论不成立,即假设命题结论的反面成立;(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论成立。

34

例 在 △ABC中,∠A 、∠B 、∠C是它的三个内角。

求证:在∠A 、∠B、 ∠C中不可能有两个直角。

巩固训练

一、填空

1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果??,那么??”的形式是________________________________________________________________________.

2.命题“如果a2?b2 ,那么a?b”的逆命题是________________________________.

3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个______命题(填“真”或“假”).

4.如图,已知梯形ABCD中, AD∥BC, AD=3,

AB=CD=4, BC=7,则∠B=_______.

5.用反证法证明“b1∥b2”时,应先假设_________.

二、选择题

1.下列语句中,不是命题的是( )

A.直角都等于90° B.面积相等的两个三角形全等

C.互补的两个角不相等 D.作线段AB

2.下列命题是真命题的是( )

A.两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等

C.同位角相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等

3.下列条件中能得到平行线的是( )

①邻补角的角平分线;②平行线内错角的角平分线;③平行线同位角的平分线; ④平行线同旁内角的角平分线.

A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ④

4.下列命题的逆命题是真命题的是( )

35

A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等

C.若a?b,则a2?b2 D.若(a?1)x?a?1,则x?1

5.三角形中,到三边距离相等的点是( )

A.三条高的交点 B.三边的中垂线的交点

C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点

6.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )

A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等 D.面积相等

7.△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a?b)(b?c)(c?a)?0,则这个三角形一定是(

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.等腰直角三角形 D.无法确定

8.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB的长为1,

EC的长为2,那么正方形ABCD的面积是( )

C.3 D.5

三、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明.

(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

(2)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.

)36

2013年秋季初二奥数班讲义9

姓名:

一、知识要点:

1.全等形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形.

2.全等形的性质:(1)形状相同.(2)大小相等.

3.全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

4.全等三角形的表示:

(1)两个全等的三角形重合时:重合的顶点叫做对应顶点;重合的边叫做对应边;重合的角叫做对应角.

(2)如图,对应位置上.

和全等,记作.通常对应顶点字母写在

5.全等三角形的性质:

(1)全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.

(2)全等三角形的周长、面积相等.

6.全等变换:只改变位置,不改变形状和大小的图形变换. 平移、翻折(对称)、旋转变换都是全等变换.

二、知识要点

1、两个三角形全等的条件【重点】

(1)判定1——边边边公理

三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”。 “边边边”公理的实质:三角形的稳定性(用三根木条钉三角形木架)。

(2)判定2——边角边公理

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。

37

(3)判定3——角边角公理

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写为“角边角”或“ASA”。

(4)判定4——角角边推论

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简称“角角边”或“AAS”。

(5)直角三角形全等的判定——斜边直角边公理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边直角边”或“HL”。

2、证明三角形全等一般有以下步骤:

(1)读题:明确题中的已知和求证;

(2)要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中

(3)、分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什么条件。有公共边的,公共边一定是对应边, 有公共角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对应角

(4)、先证明缺少的条件 (5)、再证明两个三角形全等

38

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