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2014中考前尖子生数学提升——培优综合训练(附解答)

发布时间:2013-11-09 08:45:10  

1.已知非零实数a,b 满足

2a?4?b?2?4?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一

点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A

)11 (B

) (C)1 (D)2 223.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y

?ax?by?3,的方程组? 只有正数解的概率为( ). ?x?2y?2

(A)12513 (B) (C) (D) 1291836

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点 B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图象如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

5.关于x,y?x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整

数,若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,

则b的值为 .

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:

每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告

诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉

他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报

3的人心里想的数是 ?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009; 14.n个正整数a1,a2,

?,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大且a1,a2,

值.

1. 已知实数a?b,且满足(a?1)2?3?3(a?1),3(b?1)?3?(b?1)2.则

bba?a的值为( ). ab

(A)23 (B)?23 (C)?2 (D)?13

4.如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE

、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32,△CDE

的面积为

( ).

(A)6(B)8(C)10(D)12

5.如果x和y是非零实数,使得x?y?3和xy?x3?0,

那么x+y等于( ).

(A)3(B) (C)1?(D)4? 22,则△CFG的面积S等于

8.已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2,ax?by?5,则(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?.

10.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是. 13.求满足2p2?p?8?m2?2m的所有素数p和正整数m

??2?

aba?b的值为( ). ?20, ?10,则bcb?c

1101121210(A) (B) (C) (D). 21211111

12.若实数a,b满足a?ab?b2?2?0,则a的取值范围是 ( ). 2

(A)a≤?2 (B)a≥4 (C)a≤?2或 a≥4 (D)?2≤a≤4 1.若

3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB

=BC

=4?CD

=则AD边的长为( ).

(A

) (B)46

(C)4?6 (D)2?26

?k?1??k?2?? 4.在一列数x1,x2,x3,……中,已知x1?1,且当k≥2时,xk?xk?1?1?4??????????4??4??

(取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数,例如?2.6??2,?0.2??0),则x2010等于( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3

绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…,

则点P2010的坐标是( ).

(A)(2010,2) (B)(2010,?2)

(C)(2012,?2) (D)(0,2)

二、填空题

6.已知a=5-1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于 .

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t= .

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶

点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4)

D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 .

9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM

AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则AE? AD

10.对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若n的最小值n0满足2000?n0?3000,则正整数k的最小值为

1010(第9题) 1. 若a,b,c均为整数且满足(a?b)?(a?c)?1,则|a?b|?|b?c|?|c?a|?

( )

A.1. B.2. C.3. D.4.

2.若实数a,b,c满足等式3|b|?6,9|b|?6c,则c可能取的最大值为( )

A.0. B.1. C.2. D.3.

a?1b?1??1?0, 则( ) ba

1144A.0?a?b?. B.?a?b?1. C.1?a?b?. D.?a?b?2. 33333.若a,b是两个正数,且

4.若方程x?3x?1?0的两根也是方程x?ax?bx?c?0的根,则a?b?2c的值为( )

A.-13. B.-9. C.6. D. 0.

5.在△ABC中,已知?CAB?60?,D,E分别是边AB,AC上的点,且?AED?60?,ED?DB?CE,?CDB?2?CDE,则?DCB?( )

A.15°. B.20°. C.25°. D.30°.

6.对于自然数n,将其各位数字之和记为an,如a2009?2?0?0?9?11,242a2010?2?0?1?0?3,则a1?a2?a3???a2009?a2010?( )

A.28062. B.28065. C.28067. D.28068.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

?x3?y3?19,221.已知实数x,y满足方程组?则x?y??x?y?1,

2.二次函数y?x?bx?c的图象与x轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于

点C.已知AB?2AC,?CAO?30?,则c?

3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA

PC=5,

则PB=

4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间

夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放 个球.

1 C.解:由题设知a≥3

,所以,题设的等式为b?2??0,于是a?3,b??2,从而a?b=1.

2 A.解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

由a?

0,解得a?1?. 2BOBC1a,即 ?,所以a2?a?1?0. ?ABACaa?1

3 D.解:当2a?b?0时,方程组无解.

6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时,方程组的解为? ?y?2a?3.?2a?b?

?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33???2a?b由已知,得?即?a?,或?a?, 22??2a?3?0,?????2a?b?b?3,?b?3.

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或?共3种情况. ?b?1,2,b?4,5,6,??

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为

4 B.\解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故

1S△ABC=×8×4=16. 213. 36

5 C.解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为x2?yx?(2y2?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数. 由??y2?4(2y2?29)??7y2?116≥0,解得 y2≤

116

?16.57

.于是 显然,只有y2?16时,??4是完全平方数,符合要求. 当y?4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x1??1,x2??3; 当y=-4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x3?1,x4?3. 所以,原方程的整数解为

?x1??1,

?

y?4;?1

?x2??3,

?

y?4;?2

?x3?1,

?

y??4;?3

?x4?3,

?

y??4.?4

6 3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为

kk

,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮50003000

胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky?kx

??k,??50003000

?

kykx???k,??50003000

两式相加,得

k(x?y)k(x?y)??2k,则x?y?50003000

211

?

50003000

?3750.

8 10.解:因为?b?a1??b?a

2

b?a??52009??b?a??3b?a??4

,且

a1,a,,a3,a4是五个不同的整数,所有ab?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也2

是五个不同的整数.又因为2009?1???1??7???7??41,所以

b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41.由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

10 ?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8?x.

于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9的人心里想的数是

16?(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,报3的人心里

想的数是4?(8?x)??4?x.所以 x??4?x,解得x??2.

?,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数14 解:设a1,a2,bi,i?1,2,?,n.即 bi?

(a1?a2???an)?ai

n?1

aj?ain?1

于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有bi?bj?从而n?1(aj?ai).由于 b1?bn?

n?123?251

an?a12008

是正整数,故 ?

n?1n?1

由于

an?1

??an?1???an

?1

an??2????a?n

≥2?a1?

a

?n?1???n?1?????n?1??(n?1)2,所以,(n?1)2≤2008,于是n ≤45. 结合

n?123?251,所以,n ≤9 另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,…,

a8?8?7?1,a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.综上所述,n的最大值

为9.

1 答:选(B ∵ a、b是关于x的方程?x?1??3(x?1)?3?0

2

的两个根,整理此方程,得x?5x?1?0, ∵ ??25?4?0,∴ a?b??5,ab?1. 故a、b均为负数. 因此

2

babaa2?b2

b?a??ab?ab??ababab

2

?a?b??2abab????23

ab

4 答:选(B)由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△

CD

?CA

S?CDE

?S?CAB

21FD1?,又由题设知,所以,??324FA2AD3

FD?

1131

AD??AC?AC,故FD?DC,于是 3344

2

S?CDE?1?1

????,S?CFG?8.因此,结论(B)是正确的. S?CFG?2?4

5.答:选(D)将y?3?x代入xy?x?0,得x?x?3x?0.

(1)当x>0时,x?x?3x?0,方程x?x?3?0无实根;

(2)当x<0时,x?x?3x?0,得方程x?x?3?0 322322332

解得x?1?2,正根舍去,从而x?1?2.于是

y?3?x?3?1?7??.故x?y?4?. 22

8 答:?5解:由a?b?x?y?2,得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4, ∵ ax?by?5,∴ ay?bx??1.

因而,(a?b)xy?ab(x?y)?(ay?bx)(ax?by)??5

10,答:2222132解:∵ x?y?5?z,xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z?5z?3, 3

22∴ x、y是关于t的一元二次方程t?(5?z)t?z?5z?3?0

的两实根.∵ ??(5?z)?4(z?5z?3)?0,即3z?10z?13?0,222

(3z?13)(z?1)?0.∴ z?13113,当x?y?时,z?. 333

13.解:由题设得p(2p?1)?(m?4)(m?2), 所以p(m?4)(m?2),由于p是素数,故p(m?4),或p(m?2). ……(5分)

(1)若p(m?4),令m?4?kp,k是正整数,于是m?2?kp,3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k2p2,故k2?3,从而k?1.

所以??m?4?p,?p?5,解得? ?m?2?2p?1,?m?9.

(2)若p(m?2),令m?2?kp,k是正整数.

当p?5时,有m?4?kp?6?kp?p?p(k?1),

3p2?p(2p?1)?(m?4)(m?2)?k(k?1)p2,故k(k?1)?3,从而k?1,或2.

由于p(2p?1)?(m?4)(m?2)是奇数,所以k?2,从而k?1.于是?这不可能.

?m?4?2p?1,

?m?2?p,

当p?5时,m?2m?63,m?9;当p?3,m?2m?29,无正整数解;当

22

p?2时,m2?2m?18,无正整数解. 综上所述,所求素数p=5,正整数m=9

a?1

a?b20?1210

1.解:D 由题设得. ???

b?c1?111?b10

2. 解.C因为b是实数,所以关于b的一元二次方程b?ab?

2

1

a?2?0 2

1

的判别式 ?=(?a)2?4?1?(a?2)≥0,解得a≤?2或 a≥4.

2

3. 解:D

如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F BE=AE

,CF

=DF=

,于是 EF=4

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得

AD??

2?

4解:B

??k?1??k?2??

??由x1?1和xk?xk?1?1?4??可得x1?1,x2?2,x3?3,x4?4,???

??4??4??

502+2,所以x2010=2. x5?1,x6?2,x7?3,x8?4因为2010=4×

5.解:B由已知可以得到,点P1,P2的坐标分别为(2,0),(2,?2).

( b2),其中a2?2,b2??2.根据对称关系,依次可以求得: 记P2a2,P3(?4?a2,-2-b2),P4(2?a2,4?b2),P5(?a2,?2?b2),P6(4?a2,b2).

令P6(a6,b2),同样可以求得,点P(4?a6,b2),即P(4?2?a2,b2), 10的坐标为10

由于2010=4?502+2,所以点P2010的坐标为(2010,?2).

6解:0 由已知得 (a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是

2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.

7解:15设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得 10?a?b??S,15?a?c??2S ②x?b?c??S ③

由①②,得30. (b?c)?S,所以,x=30. 故 t?30?10?5?15(分)

1118解:y??x+如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AF;连接CE,DF,33

且相交于点N.

由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,

过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.于是,直线MN即

?2k+b?3,为所求的直线l.设直线l的函数表达式为y?kx?b,则? 5k?b?2,?

1?k??,?111?3解得 ?,故所求直线l的函数表达式为y??x+. 33?b?11.?3?

9解: 5?1见题图,设FC?m,AF?n.因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 2

即 AB2?AF?AC 又因为 FC=DC=AB,所以 m2?n(n?m),

(n1n1n2n?

,或?(舍去).又Rt△AFE∽Rt△)??1?

,解得0m2m2mm

CFB,所以AEAEAFn???

?ADBCFCmAE, 即 AD

10 解:9 因为n?1为2,, 3 ?,k的倍数,所以n的最小值n0满足n0?1??2,, 3?, k?,其中?2,, 3? ,k?表示2,, 3? ,k的最小公倍数.由于

3? ,? 8??2,,

, 8,4,,2? ,3 ,,2 30? , 10?0?? 9,2?25??2,5?2,,0?2, 3? ? 1127720

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