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全国初中数学竞赛辅导(初3)第18讲_平面几何中的最值问题

发布时间:2013-11-09 08:45:12  

§第十八讲 平面几何中的最值问题

在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例. 例1 已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-

91)?

分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R.由于AB∥CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.

解 作DE⊥AB于E,则

x2=BD2=AB·BE

=2R·(R-y)=2R2-2Ry,

所以

所以求u的最大值,只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2,

上式只有当x=R时取等号,这时有

所以 2y=R=x.

所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,这时,梯形的底角恰为60°和120°.

例2 如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好?

分析与解 设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有

2x+2y+πx=8,

若窗户的最大面积为S,则

把①代入②有

即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大. 例3 已知P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大(图3-93)?

分析与解 因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB渐小,在极限状况(P与A重合时)等于AB.因此,猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值.

设P为半圆弧中点,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.为了证PA+PB最大,我们在半圆弧上另取一点P′,连P′A,P′B,延长AP′到C′,使P′C′=BP′,连C′B,CC′,则

∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°,

所以A,B,C′,C四点共圆,所以

∠CC′A=∠CBA=90°,

所以在△ACC′中,AC>AC′,即

PA+PB>P′A+P′B.

例4 如图3-94,在直角△ABC中,AD是斜边上的高,M,N分别是△ABD,△ACD的内心,直线MN交AB,AC于K,L.求证:S△ABC≥2S△AKL. 证 连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.因为在△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于D,所以

∠ABD=∠DAC,∠ADB=∠ADC=90°.

因为M,N分别是△ABD和△ACD的内心,所以

∠1=∠2=45°,∠3=∠4,

所以 △ADN∽△BDM,

又因为∠MDN=90°=∠ADB,所以由上文

△MDN∽△BDA,

所以 ∠BAD=∠MND.

由于∠BAD=∠LCD,所以

∠MND=∠LCD,

所以D,C,L,N四点共圆,所以

∠ALK=∠NDC=45°.

同理,∠AKL=∠1=45°,所以AK=AL.因为

△AKM≌△ADM,

所以 AK=AD=AL.

从而

所以 S△ABC≥S△AKL.

例5 如图3-95.已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P,Q.求证:PQ≤AB.

证 设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P1,Q1,连结P1C,显然,PQ≤P1Q1.因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°,所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角.若∠AQ1P1≥90°,则

PQ≤P1Q1≤AP1≤AB;

若∠P1Q1C≥90°,则

PQ≤P1Q1≤P1C.

同理,∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角,不妨设∠BP1C≥90°,则

P1C≤BC=AB.

对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论,因此,PQ≤AB.

例6 设△ABC是边长为6的正三角形,过顶点A引直线l,顶点B,C到l的距离设为d1,d2,求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题).

解 如图3-96,延长BA到B′,使AB′=AB,连B′C,则过顶点A的直线l或者与BC相交,或者与B′C相交.以下分两种情况讨论.

(1)若l与BC相交于D,则

所以

只有当l⊥BC时,取等号.

(2)若l′与B′C相交于D′,则

所以

上式只有l′⊥B′C时,等号成立.

例7 如图3-97.已知直角△AOB中,直角顶点O在单位圆心上,斜边与单位圆相切,延长AO,BO分别与单位圆交于C,D.试求四边形ABCD面积的最小值.

解 设⊙O与AB相切于E,有OE=1,从而

即 AB≥2.

当AO=BO时,AB有最小值2.从而

所以,当AO=OB时,四边形ABCD面积的最小值为

练习十八

1.设M为圆O外一定点,P为圆O上一动点.试求MP的最大值和最小值.

2.设AB是圆O的动切线,直线OA,OB保持互相垂直.如果圆O的半径为r,试求OA+OB的最小值.

3.一直角三角形的周长为10厘米(cm),则其面积的最大值是多少厘米?

4.已知l1∥l2,A,B是直线l1上的两个定点,且AB=10,l1,l2的距离为8,P为直线l2上的一个动点,试求△ABP周长的最小值.

5.如果矩形ABCD的周长为40厘米,那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米?

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