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希望杯集锦含答案

发布时间:2013-11-10 12:42:31  

CCDBD BBABA BCBCB CBBBB DADAC CAD

90-1-1-2.4

12.观察图1中的数轴:用字母a,b,c依次表示点 A,B,C对应的数,则
1 1 1 A. ? ? ab b ? a c
1 1 1 , , ab b ? a c

的大小关系是[

]

1 ? ? b ? a ?1 3 1 ?1 ? ?3 1 1 1 1 1 1 b?a C. ? ? D. ? ? c b ? a ab c ab b ? a 2 ? ?| a |? 1, 3 1 0 ?| b |? , 3 1 3 1 3 ? 0 ?| ab |? , 解1 : a ? ? , b ? ? , c ? 3 4 4 2 1 ? ? 3, 1 | ab | 解2 ? c ? 1? ? 1

1 1 1 B. ? ? b ? a ab c

c



1 ? 3, ab

a b c ? ? 24.若abc=1,则 的值是[ ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1

]

A.1.

B.0.

C.-1.

D.-2.

b ab ab ? ? bc ? b ? 1 abc ? ab ? a ab ? a ? 1
c abc 1 ? ? ca ? c ? 1 caab ? abc ? ab ab ? a ? 1

a b c ? ? ? ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1 a ? ab ? 1 ? ?1 ab ? a ? 1

25.已知数x

? 10?010?050 ??
n个0 n ?1个0

,则[ ]

90-1-1-2.3

A.x是完全平方数

B.(x-50)是完全平方数

C.(x-25)是完全平方数 D.(x+50)是完全平方数.

x ? 1?10 ? 1?10 ? 50 n? 2 2 n? 2 ? (10 ) ? 2 ?10 ? 5 ? 50

2 n? 4

n ?3

x ? 25 ? (10 ) ? 2 ?10 n? 2 2 ? (10 ? 5)

n? 2 2

n? 2

? 5 ? 25

26.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第 三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与 90-1-1-1 第一天杯中的水量相比的结果是( ) A.一样多 B.多了 C.少了 D.多少都可能. 解: 设杯中原有水量为a,依题意可得, 第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a; 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.99a<a 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C.

27.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静 水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时, 90-1-1-1 船往返一次所用的时间将( ) A.增多. B.减少. C.不变. D.增多、减少都有可能. 解1:

设两码头之间距离为s,船在静水中速度为a,水速为v0, 则往返一次所用时间为 s s
T0 ? a ? v0 ? a ? v0

设河水速度增大后为v,(v>v0)则往返一次所用时间为

27.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静 水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时, 90-1-1-1 船往返一次所用的时间将( ) A.增多. B.减少. C.不变. D.增多、减少都有可能. 解2:

设两码头之间距离为s,船在静水中速度为u,水速为v, 则往返一次所用时间为

s s 2su s(u ? v) ? s(u ? v) T? ? ? ? u?v u?v (u ? v)(u ? v) (u ? v)(u ? v) 2 su ? 2 2 u ?v
河水速度v增大,分母减小,T增大

28.某工厂去年的生产总值比前年增长a%,则前年比去
年少的百分数是 [
90-1-1-2.1

a ?1 A.a%. B.(1+a)%. C. 100 a

]

a D. 100 ? a

29.甲杯中盛有2m毫升红墨水,乙杯中盛有m毫升蓝

墨 水,从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0<a<m,搅匀后,又从乙 90-1-1-2.2 杯倒出a毫升到甲杯里,则这时 [ ] A.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少. B.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多. C.甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同. D.甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关 系不定.

6.现在4点5分,再过______分钟,分针和时针第一次重 合. 那么4点过5分时,分针和时针的夹角是:
120-6×5+5×0.5=92.5(度)
9 92.5÷(6-0.5)= 16 11 9 答:再经过 16 分钟.分针和时针第一次重合 11

9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的.如果工作4 天后,工作效率提高了,那么完成这批零件的一半,一共 需要______天.
1 1 1 每人每天工作量为1/54,提高工效后为: 54 (1 ? 5 ) ? 45

1 4 1 1 还需时间:4 ? ( ? )? ? 23 2 54 45 6

90-1-1-2.2

10.对于任意有理数x,y,定义一种运算*,规定 x*y=ax+by-cxy,其中的a,b,c表示已知数,等式右边是 通常的加、减、乘运算.又知道 1*2=3,2*3=4,x*m=x(m≠0),则m的数值是______.
由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0), 取x=0,得a· 0+bm-c· m=0,∴bm=0. 0· ∵m≠0,∴b=0. ∴等式改为x*y=ax-cxy. ∵1*2=3,2*3=4,

解得a=5,c=1.
∴题设的等式即x*y=5x-xy. 在这个等式中,令x=1,y=m,得5-m=1,∴m=4.

19 14.四个连续正整数的倒数之和是 ,则这四个正整 20 数两两乘积之和等于______.

和为3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119.

15.三个连续自然数的平方和(填“是”或“不是”或 “可能是”)______某个自然数的平方 90-1-1-2.5
设三个连续自然数是a-1,a,a+1,则它们的平方和是 (a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2, 显然,这个和被3除时必得余数2.

另一方面,自然数被3除时,余数只能是0或1或2,于是 它们可以表示成3b,3b+1,3b+2(b是自然数)中的一个, 但是它们的平方 (3b)2=9b2 (3b+1)2=9b2+6b+1, (3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1 可知被3除时,余数要么是0,要么是1,不能是2,所以三 个连续自然数平方和不是某个自然数的平方

1 1 1 5 ? ? ? 16求方程 x y z 6

的正整数解.
∴x,y,z都>1,

因此,当1<x≤y≤z时,(x,y,z)共有四组解: (2,4,12),(2,6,6),(3,3,6),(3,4,4). 由于x,y,z的对称性.所以可得如下表所列的15组解

17.新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间 的门,他知道每把钥匙只能开其中的一个门,但不知道每 把钥匙是开哪一个门的钥匙,现在要打开所有关闭着的 20个房间,他最多要试开______次.

18.在计算一个正整数乘以的运算时,某同学误将错写为 3.57,结果与正确答案相差14,则正确的乘积是_______.

X=1800, 6440

2 19.某班学生人数不超过50人.元旦上午全班学生的9
1 去参加歌咏比赛, 全班学生的 4

去玩乒乓球,而其余学

生都去看电影,

则看电影的学生有________人 显然全班人数被9整除,也被4整除,所以被4和9的 最小公倍36整除,但全班人数小于50,可见全班总 计36人,看电影的同学为36-8-9=19.

20.游泳者在河中逆流而上.于桥A下面将水壶遗失 被水冲走.继续前游20分钟后他发现水壶遗失,于是立 即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面 追到了水壶.那么该河水流的速度是每小时______公 里.(希望杯)
解:设该河水速每小时x公里.游泳者每小时游a公里, 20分钟逆游
1 ( a ? x ) ,壶漂流: 1 x 3

,掉头寻找壶可看作
1 1 ( a ? x) ? 2 2 ? x 3 3 ? x?a x

是一个追及问题,所用时间相等,列方程 解得x=3.即该河水速每小时3公里.

3

91-1-2-1.15

21.如图,a,b,c,d,e,f均为有理数.图中各行,各列、 两条对角线上三个数之和都相等, ab ? cd ? ef 则 =____. a?b?c?d ?e? f

再求得a=4,e=1,c=5,f=0

22.n为正整数,1990n-1991的末四位数字由千位、百位、 十位、个位、依次排列组成的四位数是8009.则n的最 小值等于______. 91-1-2-1.6
1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数 字.即为0000,即1990n末位至少要4个0,所以n的最小 值为4.

1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这 一百个自然数,问从这100名运动员中至少要选出多少人, 才能使在被选出的人中必有两人,他们运动服的号码数相 差9?请说明你的理由. 所选的人数必≥55才有可能. 我们证明,至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之 差恰是9. 被选出的55人有55个不同号码数,由于55=6×9+1,所以 其中必有7个号码数被9除余数是相同的.但由1—100这 一百个自然数中,被9除余数相同的数最多为12个数. 因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的,它们的差等 于9. 所以至少要选出55名小运动员,才能使其中必有两人运动 服的号码数相差9.

2.少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个整 数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是: 输入第一个整数x1,只显示不运算,接着再输入整数x2后 则显示|x1-x2|的结果,此后每输入一个整数都是与前次显 示的结果进行求差取绝对值的运算,现小明将从1到1991 这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入,全部 输入完毕之后显示的最后结果设为p.试求出p的最大值, 并说明理由.

2.由于输入的数都是非负数.当x1≥0,x2≥0时,|x1-x2|不超过 x1,x2中最大的数.对x1≥0,x2≥0,x3≥0,则||x1-x2|-x3|不超过 x1,x2,x3中最大的数.小明输入这1991个数设次序是 x1,x2,…,x1991,相当于计算:||…||x1-x2|-x3|……-x1990|x1991|=P.因此P的值≤1991. 另外从运算奇偶性分析,x1,x2为整数. |x1-x2|与x1+x2奇偶性相同.因此P与x1+x2+…+x1991的

奇偶性 相同. 但x1+x2+…+x1991=1+2+…1991=偶数.于是断定P≤1990.我 们证明P可以取到1990. 对1,2,3,4,按如下次序|||1-3|-4|-2|=0. |||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0,对k=0,1,2,…均成立.因 此,1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0.而后 ||1989-1990|-1991|=1990. 所以P的最大值为1990.

90-1-1-1

(2 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1) 32 2 ?1
2 4 8 16

(2 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1) ? 32 2 ?1
2 4 8 16

2 ?1 ? 32 2 ?1 ?1
32

1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=______ 解: 1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000 =(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(4999-5000) =-1×+(3-4)+(5-6)+…+(4999-5000)

91-1-2-2.1

1.绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于__
绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15,-14,14,15, 其乘积为(-14)(-15)(14)(15)=44100.

n(n+1)为偶数.设302被n(n+1)除商q余r,则 302=n(n+1)q+r知,r为偶数.显然B、C均应排 除.由除数n(n+1)只能取 6,12,20,30,42,56,72,90,110,132,156,182,210,240, 272这些值,计算得相应的余数中最小的正值为2,最 大正值为146.所以r的正的最小值与最大值的和是 148.选A.


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