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2011年全国初中数学联赛

发布时间:2013-11-10 13:41:39  

2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛

解答与评分标准

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1、分式

xyz

(xyz?0)中x,y,z的值都变为原来的2倍,则分式的值变为原来的

x?y?z

( )。

(A)2倍 (B)4倍 (C) 6倍 (D) 8倍

2、有甲、乙两班,甲班有m个人,乙班有n个人。在一次考试中甲班平均分是a分,乙班平均分是b分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是( ).

(A)

a?bm?nam?bnam?bn

(B) (C) (D) 2a?bm?n2

2

3、若实数a满足|a|??a,则|a?a|一定等于( ). (A)2a (B)0 (C) -2a (D)-a

4、AD是?BAC的平分线,且AB?AC?CD。若?BAC?60,则?A?ABC中,BC的大小为( )

(A)40 (B)60 (C)80 (D)100

5、在梯形ABCD中,AD平行BC,AD:BC?1:2,若?ABO的面积是2,则梯形

ABCD的面积是( )。

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

6、有一个最多能称10千克的弹簧秤,称重发现,弹簧的长度与物体重量满足一定的关系,如下表。那么,在弹簧秤的称重范围内,弹簧最长为( )。

?

?

?

?

?

A 10厘米 B 13.5厘米 C 14厘米 D 14.5厘米 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1、已知a?

2、已知在?ABC中,?C?90,AD是?BAC的平分线交BC于点D,

?

1?1

,b?

13?1

,则a?b?7的值为22

BD:DC?2:1,则?B的度数是 。

?

第2题

3、在?ABC中,?A?80,I是?B,?C的角平分线的交点,则?BIC的度数

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为 .

4、设函数y?kx(k?0)与y?

1

的图像相交于A、C,过A作x轴x

的垂线相交于B,则?ABC的面积是 。 三、(本大题满分20分)

设tx?2?2x?t是关于x的方程。当方程的解分别:(1)大于0;(2)等于0;(3)小于0时,求t的取值范围。

四、(本大题满分25分)

第4题

在平面直角坐标系中,A(2,0),B(3,0),P是直线y?x上的点,当PA?PB最小时,试求P点的坐标。 五、(本大题满分25分)

求证:有两条中线相等的三角形是等腰三角形。

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一、

1.选B。

2.答:选D。

3.答:因为|a|??a,所以a?0,故|a?a|?|a?|a||?|2a|??2a,选C。

4.答:作C关于AD的对称点C’。因为AD是角平分线,则C’一定落在AB上。由AB?AC?CD,得AB?AC'?C'D,故BC'?C'D,所以?C??AC'D?2?B,又2?B??C?180???A?120?,故?B?40?,选A。

5.答:设S?ADO?x。由AD:BC?AO:OC?S?ADO:S?CDO?1:2,故S?CDO?2x,同理S?ABO?2x,S?CBO?4x,故x?1,所以梯形面积是9,选C。

6.答:由表中关系可以得到,弹簧长度(y)与称重(x)的关系是y?3.5?x,故弹簧最长为13.5厘米,选B。

二、 1.答:由题设有:a?24?2324?2322,b?,则a?b?7?3。 44

? 2.答:因为AD是角平分线,所以BD:DC?AB:AC?2:1,故?B?30。

3.答:由题知

1111?BIC?180??(?B??C)?180??(180???A)?90???A?130? 2222

4.答:由题得B的坐标为(1

k,k),所以S?ABO?111??k?,又显然O为2k2

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AC的中点,故S?ABC?2S?ABO?1。

三、解:方程整理为(t?2)x?2?t

当t?2时,方程的解为:x?

(1)当x?0时,则2?t …………………5分 t?22?t?0,此时,t??2或t?2;…………………10分 t?2

2?t(2)当x?0时,则?0,此时,t??2; …………………15分 t?2

2?t(3)当x?0时,则?0,此时,?2?t?2。 …………………20分 t?2

四、解:如图,作A关于直线y?x的对称点A’,则PA?PA',故PA?PB?PA'?PB。 …………………5分

由图知,只有当A、P、B共线时,PA?PB最小。 ……10分

又由A与A’关于y?x对称知,A’(0,2)。 ………………15分

xy由A'、B两点坐标得AB直线方程:??1。 ………20分 32

?xy6???1联立?32解得x?y?, 5??y?x

故当PA?PB最小时,P的坐标为(,)。…………………25分

五、设BD、CE是?ABC的两条中线(如图),证明AB?AC。……5分

证明1 作中线AF,则三条中线交于重心G。 ……10分 665522BD,CG?CE,所以BG?CG; ………15分 33

所以GF?BC,即AF?BC。 ………20分

又AF是中线,故AB?AC。 ……………25分

因为BG?2011年四川省初中数学联赛(初二组)初赛(第 4 页 共 5 页)

证明2:

如图,将EC沿ED平移得DF,连接ED、CF,则四边形EDFC是平行四边形,所以BD?EC?DF. …………10分 又D、E分别AC、AB的中点,所以DE平行BC,所以B、C、

F共线。

所以 ?DBF??DFB ………15分 ??ECB又 BD=CE,BC=CB 所以?ECB??DBC(SAS) ………20分

所以?ABC??ACB,故AB=AC。 ……………25分

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