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变型鸡兔同笼问题与假设法 详细课件+典型题型

发布时间:2013-11-11 13:44:56  

【专题知识点概述】

你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗?这个问题,是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”!

“鸡兔同笼”问题基本解题公式

(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:

(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;

总头数-

兔数=鸡数。

或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;

总头数-鸡数=兔数。

(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用式

(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;

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-学 习 改 变 命 运-

总头数-兔数=鸡数

或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;

总头数-鸡数=兔数。

(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。 (每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;

总头数-兔数=鸡数。

或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;

总头数-鸡数=兔数。

(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:

(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。

或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。

(5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),可用下面的公式:

?(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)?÷2=鸡数;

?(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)?÷2=兔数。

【重点难点解析】

1. 通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题

2. 对“假设法”的理解和应用,渗透假设的思想方法

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-学 习 改 变 命 运-

【竞赛考点挖掘】

1. 假设法的应用

2. 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理

【习题精讲】

【例1】(难度等级 ※)

工人运青瓷花瓶250个,规定完整运一个到目的地给运费20元,损坏一个要倒赔100元,运完这批花瓶后,工人共得4400元.问共损坏了几个花瓶?

【分析与解】

假设250个能够完整运达目的地。将得运费250×20=5000(元),与实际所得相差5000-4400=600(元)。损坏个数600÷(100+20)=5(个)。

【例2】(难度等级 ※※)

松鼠妈妈采松果,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果,平均每天采14个.问这几天中有几个雨天?

【分析与解】

因松鼠妈妈共采松果112个,平均每天采14个,所以实际用了112÷14=8(天).假设这8天全是晴天,松鼠妈妈应采松果20×8=160(个),比实际采的多了160-112=48(个),因雨天比晴天少采20-12=8(个),所以共有雨天48÷8=6(天).

【例3】(难度等级 ※※)

四年级四班有60个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20副,2人下一幅象棋,6人下一副跳棋,问象棋和跳棋各多少副?

【分析与解】

假设20副均为象棋,共有20×2=40(人)在玩,还有20人没参加活动。跳棋数20÷(6-2)=5(副),象棋数20-5=15(副)。

【例4】(难度等级 ※※)

实验小学四年级举行数学竞赛,一共出了10道题目,答对一道得10分,答错一题反扣5分(没有不答的情况)。张华得了70分,他答对了几道题?

【分析与解】

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-学 习 改 变 命 运-

假设所有问题全部答对,得分10×10=100(分),比实际得分多100-70=30(分),错题数:30÷(10+5)=2(道),正确题数:10-2-8(道)。

【例5】(难度等级 ※※※)

蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只?

【分析与解】

因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。

利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数(118-6×18)÷(8-6)=5(只)。

因此就知道6条腿的小虫共18-5=13(只)。

也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀。

蝉数 (13×2-20)÷(2-1)=6(只)。

因此蜻蜓数是13-6=7(只)。

【例6】(难度等级 ※※※)

一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?

【分析与解】

我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份).

现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

根据前面的公式

"兔"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5,

"鸡"数=7-4.5 =2.5,

也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

【例7】(难度等级 ※※※※)

有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位?

【分析与解】

由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元).

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-学 习 改 变 命 运-

还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车 110-1.2×40=62(元).

还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成"鸡兔同笼"了:

总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11.

【例8】(难度等级 ※※※※)

商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个?

【分析与解】

因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).

从公式可算出,大球个数是

(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个).

买中,小球钱数各是

(120-30×3)÷2=15(元).

可买10个中球,15个小球.

答:买大球30个,中球10个,小球15个.

【例9】(难度等级 ※※※※)

使用甲种农药每千克要兑水20 千克,使用乙种农药每千克要兑水40 千克.根据农科院专家的意见,把两种农药混起来用可以提高药效,现有两种农药共50 千克,要配药水1400 千克,那么,其中甲种农药用了多少千克?

【分析与解】

假设50 千克都是乙种农药,那么需要兑水40×50=2000(千克).但题目要求配药水1400 千克, 即实际兑水1400-50=1350(千克).多用了2000-1350=650(千克)水,又已知使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20=20(千克),所以推知,在混合农药中甲种农药有650÷20=32.5(千克).

【例10】(难度等级 ※※※)

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-学 习 改 变 命 运-

某工厂的27位师傅带徒弟40名,每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟,如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍,那么带两名徒弟的师傅有几位?

【分析与解】

带一名徒弟的师傅的人数是:27×2=18(位) ;带两名或三名徒弟的师傅有27-18=9(位),3

他们共带40-18=22(名)徒弟,如果这9位师傅带两名徒弟,他们只能带18名徒弟,还有22-18=4(名)徒弟没人带,所以应有4位师傅每人带三名徒弟,带两名师傅有5位。

【例11】(难度等级 ※※※)

某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名?

【分析与解】

假设全是三等奖,共有:9500/50=190(人)中奖,比实际多:190-100=90(人)

1000/50=20,也就是说:把20个三等奖换成一个一等奖,奖金总额不变,而人数减少了:20-1=19(人) 250/50=5,也就是说:把5个三等奖换成一个二等奖,奖金总额不变,而人数减少了:5-1=4(人)。 因为多出的是90人,而:90=19*2+4*13.

即:要使总人数为100,只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖,把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。 所以,二等奖有13个人。

【例12】(难度等级 ※※※※)

今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?

【分析与解】

4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁).

1998年,兄年龄是14-4=10(岁).

父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁).

因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.

【例13】(难度等级 ※※※)

有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破

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-学 习 改 变 命 运-

损了几只 ?

【分析与解】

如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).

【例14】(难度等级 ※※※※)

从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米?

【分析与解】

把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时).

单程平路行走时间是6÷2=3(小时).

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是

45-5×3=30(千米).

又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是

(6×7-30)÷(6-3)=4(小时).

行走路程是3×4=12(千米).

下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米).

答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

【例15】(难度等级 ※※※※)

某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人?

【分析与解】

对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人).

他们共做对181-1×7-5×6=144(道).

由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39.

对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).

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-学 习 改 变 命 运-

【作业】

1.东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣3分.刘刚得了60分,则他做对了几道题?

【答案】15

2. 自行车进行越野赛。赛程全长220千米,全长由每段长9米的山路和每段长14米的平路两种组成,整个赛程共有20个赛段,求山路共有多少千米?

【答案】108

3. 摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段?

【答案】14, 11.

4. 大、小猴共35只,它们一起云采摘水蜜桃,猴王不在的时候,一只大猴子一小时可采摘15千克,一只小猴子一小时可采摘11千克,猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时都以多采摘12千克,一天,采摘了8小时 ,其中第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘4400千克水蜜桃,在这个猴群中,共有小猴子____只。

【答案】20

5. 春风小学3名云参加数学竞赛,共10道题,答对一道题得10分,答错一道题扣3分,这3名同学都回答了所有的题,小明得了87分,小红得了74分,小华得了9分,他们三人一共答对了_____道题。

【答案】20

【答案】34

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