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第五届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15)

发布时间:2013-11-12 08:01:52  

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动

九年级数学解题技能展示试题选解

三、解答题

13.某出租车公司买了每辆价值2a元的出租车投入运营,由调查得知:每辆出租车每年客运收入约为a元,且每辆客车第n年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和P(n)与年数n成正比,又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的48%.(1)写出每辆出租车运营的总利润(客运收入扣除总费用及其成本)y(元)与n的函数关系式.(2)每辆出租车运营多少年可使其运营的年平均利润最大?

解:(1)因为P(n)与年数n成正比,设P(n)=kn

当n=3时,P(n)=48%a=3k,,所以k=0.16a,P(n)=0.16an

所以运营n年后的总费用为:P(1)+P(2)+…+P(n)=0.16a(1+2+…n)=0.08an(n+1)

2所以 y=na-0.08an(n+1)-2a= -0.08a(n-11.5n+25)

2(2)运营n年平均利润为y/n=-0.08a(n-11.5n+25)/n=-0.08a(n+25/n-11.5)

∵ n+25/n≧2√25=10,当且仅当n=25/n,即n=5时等号成立.

∴ 每辆出租车运营5年可使其运营的年平均利润最大。

年平均最大利润=-0.08a(10-11.5)= 0.12a.

15.如图,圆O的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k-2)x+k=0(k是整数)的最大整数根. P是圆O外一点,过点P做圆O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B、C是直线

222PBC与圆O的交点.若PA、PB、PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求PA+PB+PC的

值.

解:要使方程x2+2(k-2)x+k=0(k是整数)有整数根,

2△=4(k-2)-4k=4(k-4)(k-1)≧0, k≧4或k≦1,

当k≧4时,二次方程的两根均为负值,不合题意。

22所以k≦1,且△=4(k-2)-4k=(2k-5)-9 为完全平方数,设△=m2(m≧0,且为整数)

当m=0时,k=1,x=1;

当m≠0时

2 (2k-5)-m2= 9,(2k-5+m)(2k-5-m)=9,

因为(2k-5+m)与(2k-5-m)同奇偶,且2k-5+m﹥2k-5-m

所以2k-5+m=-1,2k-5-m=-9;2k-5+m=9,2k-5-m=1 (k≦1)

解之得k=0,此时方程x2+2(k-2)x+k=0的根为x=0和4,所以⊙O得直径为4.

2∵ PA=PB·PC=PB(PB+BC),

1

PA -PB=PB·BC,(PA+PB)(PA-PB)=PB·BC,

因PA、PB、PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,PA+PB﹥PB所以 PA+PB=BC,PA-PB=PB

PA=2PB,BC=3PB﹤4(直径长),所以PB=1,PA=2,PC=4,

222PA+PB+PC=1+4+16=21.

济宁市任城区济东中学数学组提供 22

2

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