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历届(第1-24届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

发布时间:2013-11-12 11:50:42  

“希望杯”全国数学竞赛

(第1-23届)

初一年级/七年级

第一/二试题

1

目 录

1.希望杯第一届(1990年)初中一年级第一试试题 ............................................. 003-005

2.希望杯第一届(1990年)初中一年级第二试试题 ............................................. 010-012

3.希望杯第二届(1991年)初中一年级第一试试题 ............................................. 018-020

4.希望杯第二届(1991年)初中一年级第二试试题 ............................................. 024-026

5.希望杯第三届(1992年)初中一年级第一试试题 ............................................. 032-032

6.希望杯第三届(1992年)初中一年级第二试试题 ............................................. 038-040

7.希望杯第四届(1993年)初中一年级第一试试题 ............................................. 048-050

8.希望杯第四届(1993年)初中一年级第二试试题 ............................................. 056-058

9.希望杯第五届(1994年)初中一年级第一试试题 ............................................. 063-066

10.希望杯第五届(1994年)初中一年级第二试试题 .......................................... 071-073

11.希望杯第六届(1995年)初中一年级第一试试题 ........................................... 078-080 12希望杯第六届(1995年)初中一年级第二试试题 ........................................... 085-087

13.希望杯第七届(1996年)初中一年级第一试试题 ........................................... 096-098

14.希望杯第七届(1996年)初中一年级第二试试题 ........................................... 103-105

15.希望杯第八届(1997年)初中一年级第一试试题 ............................................ 111-113

16.希望杯第八届(1997年)初中一年级第二试试题 ........................................... 118-120

17.希望杯第九届(1998年)初中一年级第一试试题 ........................................... 127-129

18.希望杯第九届(1998年)初中一年级第二试试题 ........................................... 136-138

19.希望杯第十届(1999年)初中一年级第二试试题 ........................................... 145-147

20.希望杯第十届(1999年)初中一年级第一试试题 ........................................... 148-151

21.希望杯第十一届(2000年)初中一年级第一试试题 ....................................... 159-161

22.希望杯第十一届(2000年)初中一年级第二试试题 ....................................... 167-169

23.希望杯第十二届(2001年)初中一年级第一试试题 ....................................... 171-174

24.希望杯第十二届(2001年)初中一年级第二试试题 ....................................... 176-178

25.希望杯第十三届(2002年)初中一年级第一试试题 ....................................... 182-184

26.希望杯第十三届(2001年)初中一年级第二试试题 ....................................... 186-189

27.希望杯第十四届(2003年)初中一年级第一试试题 ....................................... 193-196

2

28.希望杯第十四届(2003年)初中一年级第二试试题 ....................................... 198-200

29.希望杯第十五届(2004年)初中一年级第一试试题 .............................................. 203

30.希望杯第十五届(2004年)初中一年级第二试试题 .............................................. 204

31.希望杯第十六届(2005年)初中一年级第一试试题 ....................................... 213-218

32.希望杯第十六届(2005年)初中一年级第二试试题 .............................................. 204

33.希望杯第十七届(2006年)初中一年级第一试试题 ....................................... 228-233

34.希望杯第十七届(2006年)初中一年级第二试试题 ....................................... 234-238

35.希望杯第十八届(2007年)初中一年级第一试试题 ....................................... 242-246

26.希望杯第十八届(2007年)初中一年级第二试试题 ....................................... 248-251

37.希望杯第十九届(2008年)初中一年级第一试试题 ....................................... 252-256

38.希望杯第十九届(2008年)初中一年级第二试试题 ....................................... 257-262

39.希望杯第二十届(2009年)初中一年级第一试试题 ....................................... 263-266

20.希望杯第二十届(2009年)初中一年级第二试试题 ....................................... 267-271

21.希望杯第二十一届(2010年)初中一年级第一试试题 ................................... 274-276

22.希望杯第二十二届(2011年)初中一年级第二试试题 ................................... 285-288

23.希望杯第二十三届(2012年)初中一年级第二试试题 ................................... 288-301

24. 希望杯第二十四届(2013年)初中一年级第一试试题..................................301-303

25. 希望杯第二十四届(2013年)初中一年级第二试试题..................................304-307

3

希望杯第一届(1990年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每题1分,共10分)

1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么 ( )

A.a,b都是0. B.a,b之一是0.C.a,b互为相反数.D.a,b互为倒数.

2.下面的说法中正确的是 ( )

A.单项式与单项式的和是单项式.B.单项式与单项式的和是多项式.

C.多项式与多项式的和是多项式.D.整式与整式的和是整式.

3.下面说法中不正确的是 ( )

A. 有最小的自然数. B.没有最小的正有理数.

C.没有最大的负整数. D.没有最大的非负数.

4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么

A.a,b同号. B.a,b异号.C.a>0. D.b>0.

( ) ( ) 5.大于-π并且不是自然数的整数有

A.2个. B.3个.C.4个. D.无数个.

6.有四种说法:

甲.正数的平方不一定大于它本身;乙.正数的立方不一定大于它本身; 丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身. 这四种说法中,不正确的说法的个数是 ( )

A.0个. B.1个.C.2个. D.3个.

7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是 ( )

A.a大于-a.B.a小于-a.C.a大于-a或a小于-a.D.a不一定大于-a.

8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边( )

A.乘以同一个数.B.乘以同一个整式.C.加上同一个代数式.D.都加上1.

9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )

A.一样多. B.多了.C.少了. D.多少都可能.

10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将( )

A.增多. B.减少.C.不变. D.增多、减少都有可能.

4

二、填空题(每题1分,共10分)

1. 0.0125?3?1

511516?(?87.5)???(?22)?4? ______. 71615

2.198919902-198919892=______. (2?1)(22?1)(24?1)(28?1)(216?1)3.=________. 322?1

4. 关于x的方程1?xx?2??1的解是_________. 48

5.1-2+3-4+5-6+7-8+?+4999-5000=______.

6.当x=-24时,代数式(3x3-5x2+6x-1)-(x3-2x2+x-2)+(-2x3+3x2+1)的值是____. 125

7.当a=-0.2,b=0.04时,代数式

______. 722711(a?b)?(b?a?0.16)?(a?b)的值是73724

8.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是______克.

9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的.如果工作4天后,工作效率提高了,那么3511完成这批零件的一半,一共需要______天.

10.现在4点5分,再过______分钟,分针和时针第一次重合.

5

答案与提示

一、选择题

1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D 9.C 10.A

提示:

1.令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此

2.x,2x,x都是单项式.两个单项式x,x之和为x+x是多项式,排除A.两个单项式x,2x之和为3x是单项式,排除B.两个多项式x+x与x-x之和为2x是个单项式,排除C,因此选D.

3.1是最小的自然数,A正确.可以找到正

222323232233232

所以C“没有最大的负整数”的说法不

正确.写出扩大自然数列,0,1,2,3,?,n,?,易知无最大非负数,D正确.所以不正确的说法应选C.

5.在数轴上容易看出:在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2,-1,0共4个.选C.

6.由1=1,1=1可知甲、乙两种说法是正确的.由(-1)=-1,可知丁也是正确的说法.而负数的平方均为正数,即负数的平方一定大于它本身,所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确.即丙不正确.在甲、乙、丙、丁四个说法中,只有丙1个说法不正确.所以选B.

7.令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D.

8.对方程同解变形,要求方程两边同乘不等于0的数.所以排除A.

我们考察方程x-2=0,易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1,得(x-

1)(x-2)=0,其根为x=1及x=2,不与原方程同解,排除B.若在方程x-2=0两边加上同一个代数式

6

233去了原方程x=2的根.所以应

排除C.事实上方程两边同时加上一个常数,新方程与原方程同解,对D,这里所加常数为1,因此选D.

9.设杯中原有水量为a,依题意可得,

第二天杯中水量为a3(1-10%)=0.9a;

第三天杯中水量为(0.9a)3(1+10%)=0.931.13a; 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为

所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C.

10.设两码头之间距离为s,船在静水中速度为a,水速为v0,则往返一次所用时间为

设河水速度增大后为v,(v>v0)则往返一次所用时间为

由于v-v0>0,a+v0>a-v0,a+v>a-v

所以(a+v0)(a+v)>(a-v0)(a-

v)

∴t0-t<0,即t0<t.因此河水速增大所用时间将增多,选A.

二、填空题

7

提示:

2.19891990-19891989

=(19891990+19891989)3(19891990-19891989) =(19891990+19891989)31=39783979.

3.由于(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)

=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)

=(2-1)(2+1)(2+1)

=(2-1)(2+1)=2-1.

161632881644816224816248162481622

2(1+x)-(x-2)=8,2+2x-x+2=8解得;x=4

5.1-2+3-4+5-6+7-8+?+4999-5000

=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+?+(4999-5000)

8

=-2500.

6.(3x-5x+6x-1)-(x-2x+x-2)+(-2x+3x+1)=5x+2

323232

7.注意到:

当a=-0.2,b=0.04时,a-b=(-0.2)-0.04=0,b+a+0.16=0.04-0.2+0.16=0.

22

8.食盐30%的盐水60千克中含盐60330%(千克)设蒸发变成含盐为40%的水重x克,即0.001x千克,此时,60330%=(0.001x)340%

解得:x=45000(克).

10.在4时整,时针与分针针夹角为120°即

9

10

希望杯第一届(1990年)初中一年级第2试试题

一、选择题(每题1分,共5分)

以下每个题目里给出的A,B,C,D四个结论中有且仅有一个是正确的.请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号.

1.某工厂去年的生产总值比前年增长a%,则前年比去年少的百分数是 ( )

A.a%. B.(1+a)%. C.a?1a D. 100a100?a

2.甲杯中盛有2m毫升红墨水,乙杯中盛有m毫升蓝墨水,从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0<a<m,搅匀后,又从乙杯倒出a毫升到甲杯里,则这时 ( )

A.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少.

B.甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多.

C.甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同.

D.甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定.

3.已知数x=100,则( )

A.x是完全平方数.B.(x-50)是完全平方数.

C.(x-25)是完全平方数.D.(x+50)是完全平方数.

4.观察图1中的数轴:用字母a,b,c依次表示点A,B,C对应的数,则大小关系是

( ) 111,,的abb?ac

A.111111111111??; B.<<; C. <<; D. <<. cb?aabcabb?aabb?acb?aabc5.x=9,y=-4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解,这个方程的不同的整数解共有 ( )

A.2组. B.6组.C.12组. D.16组.

二、填空题(每题1分,共5分)

1.方程|1990x-1990|=1990的根是______.

2.对于任意有理数x,y,定义一种运算*,规定x*y=ax+by-cxy,其中的a,b,c表

11

示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1*2=3,2*3=4,x*m=x(m≠0),则m的数值是______.

3.新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门,他知道每把钥匙只能开其中的一个门,但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙,现在要打开所有关闭着的20个房间,他最多要试开______次.

4.当m=______时,二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15可以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积.

5.三个连续自然数的平方和(填“是”或“不是”或“可能是”)______某个自然数的平方.

三、解答题(写出推理、运算的过程及最后结果.每题5分,共15分)

1.两辆汽车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线行驶,每车最多只能带24桶汽油,途中不能用别的油,每桶油可使一辆车前进60公里,两车都必须返回出发地点,但是可以不同时返回,两车相互可借用对方的油.为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点,另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回?离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里?

2.如图2,纸上画了四个大小一样的圆,圆心分别是A,B,C,D,直线m通过A,B,直线n通过C,D,用S表示一个圆的面积,如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S-1),直线m,n之间被圆盖住的面积是8,阴影部分的面积S1,S2,S3满足关系式S3=11S1=S2,求S.

33

3.求方程1115???的正整数解. xyz6

12

答案与提示

一、选择题

1.D 2.C 3.C 4.C 5.D

提示:

1.设前年的生产总值是m,则去年的生产总值是前年比去年少 这个产值差占去年的应选D.

2.从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后:

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后: 乙杯中含有的红墨水的数量是

乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ②∵①=②∴选C.

∴x-25=(10n+2+5)2

可知应当选C.

13 ①

4.由所给出的数轴表示(如图3): 可以看出

∴①<②<③,∴选C.

5.方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1222325

∵x,y是整数,

∴2x+3y,x+y也是整数.

由下面的表

可以知道共有16个二元一次方程组,每组的解都是整数,所以有16组整数组,应选D.

二、填空题

提示:

1.原方程可以变形为|x-1|=1,即x-1=1或-1,∴x=2或0.

2.由题设的等式x*y=ax+by-cxy

及x*m=x(m≠0)

得a20+bm-c202m=0,

∴bm=0.

∵m≠0,∴b=0.

14

∴等式改为x*y=ax-cxy.

∵1*2=3,2*3=4,

解得a=5,c=1.

∴题设的等式即x*y=5x-xy.

在这个等式中,令x=1,y=m,得5-m=1,∴m=4.

3.∵打开所有关闭着的20个房间,

∴最多要试开

4.利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识,可以判定给出的二元二次六项式 6x2+mxy-4y2-x+17y-15

中划波浪线的三项应当这样分解:

3x -5

2x +3

现在要考虑y,只须先改写作

然后根据-4y,17y这两项式,即可断定是:

由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式,所以m=5.

5.设三个连续自然数是a-1,a,a+1,则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2, 显然,这个和被3除时必得余数2.

另一方面,自然数被3除时,余数只能是0或1或2,于是它们可以表示成

3b,3b+1,3b+2(b是自然数)中的一个,但是它们的平方

(3b)=9b

(3b+1)2=9b2+6b+1,

(3b+2)2=9b2+12b+4

=(9b+12b+3)+1

被3除时,余数要么是0,要么是1,不能是2,所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方.

三、解答题

1.设两辆汽车一为甲一为乙,并且甲用了x升汽油时即回返,留下返程需的x桶汽油,

15

2222

将多余的(24-2x)桶汽油给乙.让乙继续前行,这时,乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油,依题意,应当有48-3x≤24,∴x≥8.

甲、乙分手后,乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明,当x的值愈小时,代数式的值愈大,因为x≥8,所以当x=8时,得最大值30(48-428)=480(公里),

因此,乙车行驶的路程一共是2(6028+480)=1920(公里).

2.由题设可得

即2S-5S3=8??②

∴x,y,z都>1,

16

因此,当1<x≤y≤z时,解

(x,y,z)共(2,4,12),(2,6,6),

(3,3,6),(3,4,4)四组.

由于x,y,z在方程中地位平等.所以可得如下表所列的15组解.

17

希望杯第二届(1991年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每题1分,共15分)

以下每个题目的A,B,C,D四个结论中,仅有一个是正确的,请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号.

1.数1是 ( )

D.最小有理数. A.最小整数. B.最小正数.C.最小自然数.

2.若a>b,则 ( ) A.11?; B.-a<-b.C.|a|>|b|. abD.a2>b2.

3.a为有理数,则一定成立的关系式是 ( )

A.7a>a. B.7+a>a.C.7+a>7. D.|a|≥7.

4.图中表示阴影部分面积的代数式是( )

A.ad+bc.B.c(b-d)+d(a-c).C.ad+c(b-d).D.ab-cd.

5.以下的运算的结果中,最大的一个数是( )

A.(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1; 2468

C.(-13579)311; D.(-13579)÷ 24682468

6.3.141637.5944+3.14163(-5.5944)的值是 ( )

A.6.1632. B.6.2832.C.6.5132. D.5.3692.

7.如果四个数的和的1是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( ) 4

11且小于-的是( ) 34A.16. B.15. C.14. D.13. 8.下列分数中,大于-

A.-11436; B.-; C.-; D.-. 20131617

9.方程甲:3(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( ) 4

18

A.甲方程的两边都加上了同一个整式x.B.甲方程的两边都乘以4x; 3

C. 甲方程的两边都乘以

10.如图:

O是原点,则43; D. 甲方程的两边都乘以. 34,数轴上标出了有理数a,b,c的位置,其中111,,的大小关系是( ) abc

A.111111111111??; B.>>; C. >>; D. >>. bcabaccababc

x5?的根是( ) 22.23.711.方程

A.27. B.28. C.29. D.30.

4x?2y1 12.当x=,y=-2时,代数式的值是( ) xy2

A.-6. B.-2. C.2. D.6.

13.在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个数中,最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )

A.225.

14.不等式1?B.0.15.C.0.0001. D.1. xxxx????x的解集是( ) 24816

1. 16A.x<16. B.x>16.C.x<1. D.x>-

15.浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.(mp?nq)p?q(mp?nq)%;D.%; B.(mp?nq)%; C.%. p?q2m?n

二、填空题(每题1分,共15分)

1. 计算:(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=______.

2. 计算:-3÷6321=_______. 6

3. 计算:

(?63)?36=__________. 16219

4. 求值:(-1991)-|3-|-31||=______.

5. 计算:111111?????=_________. 2612203042

n6.n为正整数,1990-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成

的四位数是8009.则n的最小值等于______.

?191919??1919?7. 计算:???????=_______. ?919191??9191?

8. 计算:1[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________. 5

55

5?1??1?9.在(-2),(-3),???,???中,最大的那个数是________. ?2??3?5

10.不超过(-1.7)2的最大整数是______.

11.解方程2x?110x?12x?1???1,x?_____. 3124

355?355??????113?113?12.求值:=_________. ?355?????113?

13.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是______.

14.一个数的相反数的负倒数是1,则这个数是_______. 19

15.如图11,a,b,c,d,e,f均为有理数.图中各行,各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab?cd?ef=____. a?b?c?d?e?f

20

答案与提示

一、选择题

1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.A 13.B 1 4.A 15.D

提示:

1.整数无最小数,排除A;正数无最小数,排除B;有理数无最小数,排除D.1是最小自然数.选C.

有|2|<|-3|,排除C;若2>-3有2

<(-3)2,排除D;事实上,a>b必有-a<-b.选B.

3.若a=0,730=0排除A;7+0=7排除C|0|<7排除D,事实上因为7>0,必有7+a>0+a=a.选B.

4.把图形补成一个大矩形,则阴影部分面积等于

ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d).选C.

5.运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

6.3.141637.5944+3.14163(-5.5944)

=3.1416(7.5944-5.5944)=233.1416

=6.2832.选B.

为32.第四个数数=32-(-6+11+12)=15.选B.

2

新方程x-4=4x与原方程同解.选C.

21

13.-4,-1,-2.5,-0.01与-15中最大的数是-0.01,绝对值最大的数是-15,(-0.01)3(-15)=0.15.选B.

15.设混合溶液浓度为x,则m3p%+n3q%=(m+n)x.

二、填空题

提示:

1.(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1.

4.(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019.

6.1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为0000,即1990n末位至少要4个0,所以n的最小值为4.

(-1993)]=-1991.

22

10.(-1.7)2=2.89,不超过2.89的最大整数为2.

去分母得

4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12.

8x-4-10x-1=6x+3-12.

8x-10x-6x=3-12+4+1.

13.十位数比个位数大7的两位数有70,81,92,个位数比十位数大7的两位数有18,29,其中只有29是质数.

b+d+7=-1+3+7=9,所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9.易求得a=4,e=1,c=5,f=0.

23

希望杯第二届(1991年)初中一年级第2试试题

一、 选择题(每题1分,共10分)

1.设a,b为正整数(a>b).p是a,b的最大公约数,q是a,b的最小公倍数.则p,q,a,b的大小关系是 ( )

A.p≥q≥a>b. B.q≥a>b≥p. C.q≥p≥a>b. D.p≥a>b≥q.

2.一个分数的分子与分母都是正整数,且分子比分母小1,若分子和分母都减去1,则所得分数为小于

A.5个. 6的正数,则满足上述条件的分数共有( ) 7B.6个. C.7个. D.8个.

3.下列四个等式:

( )

A.3个. a222=0,ab=0,a=0,a+b=0中,可以断定a必等于0的式子共有bC.1个. D.0个. B.2个.

4.a为有理数.下列说法中正确的是( )

A.(a+1)的值是正数.B.a+1的值是正数.C.-(a+1)的值是负数.D.-a+1的值小于1.

5.如果1<x<2,则代数式 2222x?2

x?2?x?1

x?1?x

x的值是( )

A.-1. B.1. C.2. D.3.

6.a,b,c均为有理数.在下列

甲:若a>b,则ac>bc.乙:若ac>bc,则a>b.两个结论中, ( )

A.甲、乙都真. B.甲真,乙不真.C.甲不真,乙真. D.甲、乙都不真.

7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为

( )

A.2a+3b-c. B.3b-c.C.b+c. D.c-b. 2222

8.①若a=0,b≠0,方程ax=b无解.②若a=0,b≠0,不等式ax>b无解.③若a≠0,则方程ax=b有唯一解x=bb;④若a≠0,则不等式ax>b的解为x>.则( ) aa

A.①、②、③、④都正确.B.①、③正确,②、④不正确.

24

C.①、③不正确,②、④正确.D.①、②、③、④都不正确.

9.若abc=1,则abc??的值是( ) ab?a?1bc?b?1ca?c?1

A.1. B.0. C.-1. D.-2.

10.有一份选择题试卷共六道小题.其得分标准是:一道小题答对得8分,答错得0分,不答得2分.某同学共得了20分,则他( )

A.至多答对一道小题.B.至少答对三道小题.

C.至少有三道小题没答.D.答错两道小题.

二、填空题(每题1分,共10分)

1. 绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______.

mm?900?21321122. 单项式xyz与3xyz7?17是同类项,则m=________. 4

3. 化简:190091=_________. 219901991?19901989?19901991

11,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的,则哥哥现在254. 现在弟弟的年龄是哥哥年龄的

的年趟龄是_____.

5. 某同学上学时步行,放学回家乘车往返全程共用了1.5小时,若他上学、下学都乘车.则只需0.5小时.若他上学、下学都步行,则往返全程要用______小时.

6. 四个连续正整数的倒数之和是

2219,则这四个正整数两两乘积之和等于______. 20

.7.1.2345+0.7655+2.46930.7655=______.

8.在计算一个正整数乘以3.57的运算时,某同学误将3.57错写为3.57,结果与正确答案相差14,则正确的乘积是_______.

9.某班学生人数不超过50人.元旦上午全班学生的.21去参加歌咏比赛, 全班学生的94去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人.

10.游泳者在河中逆流而上.于桥A下面将水壶遗失被水冲走.继续前游20分钟后他发现水壶遗失,于是立即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面追到了水壶.那么该河水流的速度是每小时______公里.

25

三、解答题(每题5分,共10分,要求:写出完整的推理、计算过程,语言力求简明,字迹与绘图力求清晰、工整)

1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数,问从这100名运动员中至少要选出多少人,才能使在被选出的人中必有两人,他们运动服的号码数相差9?请说明你的理由.

2.少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是:输入第一个整数x1,只显示不运算,接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果,此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算,现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入,全部输入完毕之后显示的最后结果设为p.试求出p的最大值,并说明理由.

26

答案与提示

一、选择题

1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D

提示:

1.两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者.两个自然数的最大公约数一定不大于两数中较小者.所以q≥a>b≥p.选B.

,也有a必为0.所以a必为0的式子共有3个.

选A.

4.a=-1时(a+1)2=0,A不真;a=-1时-(a+1)2=0,C也不真;a=0时-a2+1=1,D不真;只有对任意有理数a,a2+1>0成立.选B.

5.当1<x<2时,x>0,x-1>0,x-2<0.

∴|x|=x,|x-1|=x-1,|x-2|=2-x.

=-1-(-1)+1=1.选B.

6.若c=0,甲不正确.对于乙,若ac2>bc2,可推出c≠0,∴c2>0,进而推出a>b,乙正确.选C.

c-b>0,|b-c|=c-b.∴|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c.选C.

8.若a=0,b=-1,0x>-1,可见②无解不

27

9.abc=1,则a,b,c均不为0.

选A.

10.设选对x题,不选的有z题,选错的有y题.依题意有x+y+z=6,8x+2z=20(x≥0,y≥0,z≥0,且都为整数).解之得x=2,y=2,z=2,选D.

二、填空题

提示:

1.绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15,-14,14,15,其乘积为

(-14)(-15)(14)(15)=44100.

3.令n=19901990,n-1=19901989,19901991=n+1.

则分母199019912-19901989319901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1).

5.设步行速度为x,乘车速度为y,学校到家路程为s,则

28

6.设所求的四个连续整数分别为a,a+1,

∴a=2不合题设条件.

和为334+335+336+435+436+536=119.

7.令x=1.2345,y=0.7655,则2xy=2.46930.7655,1.23452+0.76552+2.46930.7655=(x+y)2=(1.2345+0.7655)2=22

=4

9.显然全班人数被9整除,也被4整除,所以被4和9的最小公倍36整除,但全班人数小于50,可见全班总计36人,看电影的同学为36-8-9=19.

10.设该河水速每小时x公里.游泳者每小时

29

解得x=3.即该河水速每小时3公里.

三、解答题

1.若选出54个人,他们的号码是1,2,?,8,9,19,20,?,26,27,37,38?,44,45,55,56,?,62,63,73,74,?,80,81,91,92?,98,99.的时候,任两个人号码数之差均不等于9.

可见,所选的人数必≥55才有可能.

我们证明,至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9.

被选出的55人有55个不同号码数,由于55=639+1,所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的.但由1—100这一百个自然数中,被9除余数相同的数最多为12个数.因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的,它们的差等于9.

所以至少要选出55名小运动员,才能使其中必有两人运动服的号码数相差9.

2.由于输入的数都是非负数.当x1≥0,x2≥0时,|x1-x2|不超过x1,x2中最大的数.对x1≥0,x2≥0,x3≥0,则||x1-x2|-x3|不超过x1,x2,x3中最大的数.小明输入这1991个数设次序是x1,x2,?,x1991,相当于计算:||?||x1-x2|-x3|??-x1990|-x1991|=P.因此P的值≤1991.

另外从运算奇偶性分析,x1,x2为整数.

|x1-x2|与x1+x2奇偶性相同.因此P与x1+x2+?+x1991的奇偶性相同.

但x1+x2+?+x1991=1+2+?1991=偶数.于是断定P≤1990.我们证明P可以取到1990. 对1,2,3,4,按如下次序|||1-3|-4|-2|=0.

|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0,对k=0,1,2,?均成立.因此,1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0.而后||1989-1990|-1991|=1990.

所以P的最大值为1990.

30

31

希望杯第三届(1992年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每题1分,共10分)

1.有理数-1

a一定不是( )

A.正整数. B.负整数.C.负分数. D.0.

2.下面给出的四对单项式中,是同类项的一对是 ( ) A.121321xy与-3x2z; B.3.22m2n3与nm; C.0.2a2b与0.2ab2; D.11abc与ab. 3111992

( ) 3.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于

A.3x-3. B.x-1.C.3x-1. D.x-3.

4.两个10次多项式的和是 ( )

A.20次多项式.B.10次多项式.C.100次多项式.D.不高于10次的多项式.

5.若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是 ( )

A.a,-1,1,-a.B.-a,-1,1,a.C.-1,-a,a,1.D.-1,a,1,-a.

6.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5),则 ( )

A.c>b>a. B.c>a>b.C.a>b>c. D.b>c>a.

7.若a<0,b>0,且|a|<|b|,那么下列式子中结果是正数的是 ( )

A.(a-b)(ab+a). B.(a+b)(a-b).C.(a+b)(ab+a). D.(ab-b)(a+b).

8.从2a+5b减去4a-4b的一半,应当得到( )

A.4a-b. B.b-a.C.a-9b. D.7b.

9.a,b,c,m都是有理数,并且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b与c ( )

A.互为相反数. B.互为倒数. C.互为负倒数. D.相等.

10.张梅写出了五个有理数,前三个有理数的平均值为15,后两个有理数的平均值是10,那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( ) A.5; B.811; C.12; D.13. 32

二、填空题(每题1分,共10分)

1. 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______.

2. (?2)?5?(?8)?(?12)=_________________. (?3)?4?(?15)

32

3.[(?1)?(?1)

22121992?(?1)3?(?1)22]=_________________. 224.若P=a+3ab+b,Q=a-3ab+b,则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中,化简后,是

______.

5.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)

21990]}=_______________. 2233a2b36.六个单项式15a,xy,ab,0.11m,-abc,-的数字系数之和等于34

_____________.

7.小华写出四个有理数,其中每三数之和分别为2,17,-1,-3,那么小华写出的四个有理数的乘积等于______.

8.一种小麦磨成面粉后,重量要减少15%,为了得到4250公斤面粉,至少需要______公斤的小麦.

9.满足2?x2x?1?的x值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于______. 23

10.在下图所示的每个小方格中都填入一个整数:

并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则x?y?z=__________. xyz

33

答案与提示

一、选择题

1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A 8.D 9.A 10.D

提示:

故选D.

2.依同类项的定义,选B.

3.(x-1)-(1-x)+(x+1)

=x-1-1+x+x+1=3x-1,选C.

4.多项式x10+x与-x10+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式,因此排除了A、B、C,选D.

5.由a+1<0,知a<-1,所以-a>1.于是由小到大的排列次序应是a<-1<1<-a,选A.

6.易见a=-123.4+123.5=0.1,b=123.4-123.5<0,c=123.4-(-123.5)>123.4>a,所以b<a<c,选B.

7.因为a<0,b>0.所以|a|=-a,|b|=b.由于|a|<|b|得-a<b,因此a+b>0,a-b<0.ab+a<0,ab-b<0.所以应有(a-b)(ab+a)>0成立,选A.

=2a+5b-2a+2b=7b,选D.

9.因为a+2b+3c=m=a+b+2c,所以b+c=0,即b,c互为相反数,选A.

10.前三个数之和=1533,

后两个数之和=1032.

所以五个有理数的平均数为

二、填空题

34

提示:

1.前12个数,每四个一组,每组之和都是0.所以总和为14+15=29.

4.因为P-[Q-2P-(-P-Q)]

=P-Q+2P+(-P-Q)

=P-Q+2P-P-Q

=2P-2Q=2(P-Q)

以P=a+3ab+b,Q=a-3ab+b代入,

原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)]

=2(6ab)=12ab.

6.六个单项式的系数依次为:

2222

35

7.小华写四个有理数之和为

分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3,-12,6,8.所以,这四个有理数的乘积=33(-12)3638=-1728.

8.设需要x公斤小麦,根据题意,得

解方程,得x=5000.

答:需要5000公斤小麦.

去分母,得3(2+x)≥2(2x-1)

去括号,得6+3x≥4x-2

移项,得3x-4x≥-2-6

合并同类项-x≥-8

于是x≤8.

其中绝对值不超过11的整数之和为(-9)+(-10)+(-11)=-30.

10.容易断定与x相邻的两个数分别为9与2,即

因为9+x+2=5,则x=-6,依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,分别确定出每个格子中所填之数如下:

断定y=-6,z=9.所以

36

37

希望杯第三届(1992年)初中一年级第2试试题

一、选择题(每题1分,共10分)

1.若8.047=521.077119823,则0.8047等于 ( )

A.0.521077119823.B.52.1077119823.C.571077.119823.D.0.00521077119823.

2.若一个数的立方小于这个数的相反数,那么这个数是 ( )

A.正数. B.负数.C.奇数. D.偶数.

3.若a>0,b<0且a<|b|,则下列关系式中正确的是 ( )

A.-b>a>-a>b. B.b>a>-b>-a.C.-b>a>b>-a. D.a>b>-a>-b.

4.在1992个自然数:1,2,3,?,1991,1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号,则其代数和一定是 ( )

A.奇数. B.偶数.C.负整数. D.非负整数. 33

5.某同学求出1991个有理数的平均数后,粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起,成为1992个有理数,而忘掉哪个是平均数了.如果这1992个有理数的平均数恰为1992.则原来的1991个有理数的平均数是 ( )

A.1991.5. B.1991.C.1992. D.1992.5.

6.四个互不相等的正数a,b,c,d中,a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是( )

A.a+d<b+c. B.a+d>b+c.C.a+d=b+c. D.不确定的.

7.已知p为偶数,q为奇数,方程组??x?1992y?p的解是整数,那么( ) 1993x?3y?q?

A.x是奇数,y是偶数.B.x是偶数,y是奇数.

C.x是偶数,y是偶数.D.x是奇数,y是奇数.

8.若x-y=2,x2+y2=4,则x1992+y1992的值是 ( )

A.4. B.1992.C.221992. D.41992.

9.如果x,y只能取0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的数,并且3x-2y=1,那么代数式10x+y可以取到( )不同的值.

A.1个. B.2个.C.3个. D.多于3个的.

10.某中学科技楼窗户设计如图15所示.如果每个符号(窗户形状)代表一个阿拉伯数码,每横行三个符号自左至右看成一个三位数.这四层组成四个三位数,它们是837,571,206,439.则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的( )

38

二、填空题(每题1分,共10分)

1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且a1b1c1d1e1?,?,?,?,?,则b2c3d4e5f6

f=_____. a

2.若三个连续偶数的和等于1992.则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______.

3.若x3+y3=1000,且x2y-xy2=-496,则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______.

4.三个互不相等的有理数,既可表示为1,a+b,a的形式,又可表示为0,

则a1992+b1993=________.

5.海滩上有一堆核桃.第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的b,b, 的形式,a2,又扔掉4个到大海中5

去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的

____个. 5,那么这堆核桃至少剩下8

6.已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1,2,3.那么a的取值范围是______.

7.a,b,c是三个不同的自然数,两两互质.已知它们任意两个之和都能被第三个整除.则a+b+c=______.

8.若a=1990,b=1991,c=1992,则a+b+c-ab-bc-ca=______.

9.将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11这个10个自然数填到

图17中10个格子里,每个格子中只填一个数,使得田字形的4个格

子中所填数字之和都等于p.则p的最大值是______.

10.购买五种教学用具A1,A2,A3,A4,A5的件数和用钱总数列

成下表:

39

222333

那么,购买每种教具各一件共需______元.

三、解答题(每题5分,共10分)

1.将分别写有数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张正方形卡片排成一排,发现恰是一个能被11整除的最大的九位数.请你写出这九张卡片的排列顺序,并简述推理过程.

2.一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.

(1)请你举例说明:“希望数”一定存在.

(2)请你证明:如果a,b都是“希望数”,则ab一定是729的倍数.

40

答案与提示

一、选择题

1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 9.C 10.D

提示:

所以将8.047=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823,即为0.8047的值,选A.

2.设该数为a,由题意-a为a的相反数,且有a<-a,

∴a+a<0,a(a+1)<0,

因为a2+1>0,所以a<0,即该数一定是负数,选B.

3.已知a>0,b<0,a<|b|.在数轴上直观表示出来,b到原点的距离大于a到原点的距离,如图18所示.所以-b>a>-a>b,选A.

4.由于两个整数a,b前面任意添加“+”号或“-”号,其代数和的奇偶性不变.这个性质对n个整数也是正确的.因此,

1,2,3?,1991,1992,的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号,其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-1991+1992=996的奇偶性相同,是偶数,所以选B.

5.原来1991个数的平均数为m,则这个1991个数总和为m31991.当m混入以后,那1992个数之和为m31991+m,其平均数是1992,

∴m=1992,选C.

6.在四个互不相等的正数a,b,c,d中,a最大,d最小,因此有a>b,a>c,a>d,b>d,c>d.

32333

所以a+b>b+c,成立,选B.

7.由方程组

41

以及p为偶数,q为奇数,其解x,y又是整数.

由①可知x为偶数,由②可知y是奇数,选B.

8.由x-y=2 ①

平方得x2-2xy+y2=4

又已知x2+y2=4 ③

所以x,y中至少有一个为0,但x2+y2=4.因此,x,y中只能有一个为0,另一个为2或-2.无论哪种情况,都有

x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992,选C.

9.设10x+y=a,又3x-2y=1,代入前式得

由于x,y取0—9的整数,10x+y=a的a值取非负整数.由(*)式知,要a为非负整数,23x必为奇数,从而x必取奇数1,3,5,7,9.

三个奇数值,y相应地取1,4,7这三个值.这时,a=10x+y可以取到三个不同的值11,34和57,选C.

二、填空题

提示:

42

与666,所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于

6662-6622=(666+662)(666-662)=132834=5312.

3.由于x3+y3=1000,且x2y-xy2=-496,因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式,以便代入求值,为此有

(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)=x+y+2xy-2xy=(x+y)-2(xy-xy)=1000-2(-496)=1992.

4.由于三个互不相等的有理数,既可表示为1

33222333223322

下,只能是b=1.于是a=-1.

所以,a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2.

5.设这堆核桃共x个.依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目(正整数),即

目标是求m的最小正整数值.

可知,必须20|x即x=20,40,60,80,??

43

m为正整数,可见这堆核桃至少剩下6个.

由于x取整数解1、2、3,表明x不小于3,

即9≤a<12.

可被第三个整除,应有b|a+c.

∴b≥2,但b|2,只能是b=2.

于是c=1,a=3.因此a+b+c=3+2+1=27+8+1=36.

8.因为a=1990,b=1991,c=1992,所以

a+b+c-ab-bc-ca 222

333333

9.将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11填入这10个格子中,按田字格4个数之和均等于p,其总和为3p,其中居中2个格子所填之数设为x与y,则x、y均被加了两次,所以这3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y

于是得3p=65+x+y.

要p最大,必须x,y最大,由于x+y≤10+11=21.

所以3p=65+x+y≤65+21=86.

44

所以p取最大整数值应为28.

事实上,如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立.

所以p的最大值是28.

10.设A1,A2,A3,A4,A5的单价分别为x1,x2,x3,x4,x5元.

则依题意列得关系式如下:

③32-④式得

x1+x2+x3+x4+x5=231992-2984=1000.

所以购买每种教具各一件共需1000元.

三、解答题

1.解①(逻辑推理解)

我们知道,用1,2,3,4,5,6,7,8,9排成的最大九位数是987654321.但这个数不是11倍的数,所以应适当调整,寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数.

设奇位数字之和为x,偶位数字之和为y.

则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

由被11整除的判别法知

x-y=0,11,22,33或44.

但x+y与x-y奇偶性相同,而x+y=45是奇数,所以x-y也只能取奇数值11或33.

于是有

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10>6.所以(Ⅱ)的解不合题意,应该排除,由此只能取x=28,y=17.

45

987654321的奇位数字和为25,偶位数字和为20,所以必须调整数字,使奇位和增3,偶位和减3才行。为此调整最后四位数码,排成987652413即为所求.

解②(观察计算法)

987654321被11除余5.因此,987654316是被11整除而最接近987654321的九位数.但987654316并不是由1,2,3,4,5,6,7,8,9排成的,其中少数字2,多数字6.于是我们由987654316开始,每次减去11,直到遇到恰由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的九位数为止.其过程是

987654316→987654305→987654294→987654283

→987654272→987654261→987654250→987654239

→987654228→987654217→987654206→987654195

→987654184→??→987652435→987652424

→987652413.

这其间要减去173次11,最后得出一个恰由九个数码组成的九位数987652413,为所求,其最大性是显见的,这个方法虽然操作173次,但算量不繁,尚属解决本题的一种可行途径,有一位参赛学生用到了此法,所以我们整理出来供大家参考.

2.(1)答:由于428571=33142857,所以428571是一个“希望数”.

说明:一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解定义的能力,并能举例说明被定义的对象存在.在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”.而在四位数中很容易找到实例.

如:3105=331035,所以3105是个“希望数”;

或:7425=332475,所以7425是个“希望数”;

或:857142=33285714,所以857142是个“希望数”;

以下我们再列举几个同学们举的例子供参考,如:

37124568=3312374856

43721586=3314573862

692307=33230769

461538=33153846

705213=33235071

8579142=332859714

46

594712368=33198237456

37421568=3312473856

341172=33113724.

可见37124568,43721586,592307,461538,705213,8579142,594712368,37421568,341172都是希望数,事实上用3105是希望数,可知31053105也是“希望数”,只要这样排下去,可以排出无穷多个“希望数”.因此,“希望数”有无穷多个.

(2)由a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和.

由a=3p和a为3的倍数.

因此a被9整除.

于是a是27的倍数.

这样就证明了,“希望数”一定能被27整除.

现已知a,b都是“希望数”,所以a,b都是27的倍数.

即a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数).

所以ab=(27n1)(27n2)

=(27327)(n13n2)

=729n1n2.

所以ab一定是729的倍数.

47

希望杯第四届(1993年)初中一年级第1试试题

一、选择题:(每题1分,共15分)

1.若a是有理数,则m?12345????一定不是( ) aaaaa

A.正整数. B.负整数.C.负分数. D.零.

2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于 ( )

A.-1995. B.1991.C.1995. D.1993.

3.若a<b,则(a-b)|a-b|等于 ( )

A.(a-b). B.b-a.C.a-b. D.-(a-b).

4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+2222221=0,则必有( ) b

3n2n?1

2n?1??1? A.a+??=0; B.a2n+???b??b?n2n2n?1?1??1?=0; C.a+??=0; D.a2n+1+???b??b?=0.

5.如果有理数a,b满足11?=0,则下列说法中不正确的一个是( ) ab

A. a与b的和是0. B.a与b的差是正数.

C.a与b的积是负数. D.a除以b,得到的商是-1.

6.甲的6张卡片上分别写有-4,-1,-2.5,-0.01,-33,-15,乙的6张卡片上分别写有4

-5,-1,0.1,-0.001,-8,-121a,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的 比2b

( )

D.(a-1993)2+0.001是正数. 的值等于( ) A.1250. B.0.C.0.1. D.800. 7.a是有理数,则在下列说法中正确的一个是 A.-a是负数. B.a2是正数.C.-|a2|是负数.

8.-19191919019019001900?? 的值等于( ) 93939393093093009300

191; C.-1; .D.-. 313 A.-3; B.-

9.在下列条件中,能使ab<b成立的是( )

A.b>0,a>0.B.b<0,a<0.C.b>0,a<0.D.b<0,a=0.

48

10.若a=???3.14??2.14??1.14??3.12?2.12,b=,c=??????(?1.12),则a,b,c的大小?3.13???2.13??1.13?

D.c>b>a.

3关系是 ( ) A.a>b>c. B.a>c>b.C.b>c>a. 11.有理数a、b小于零,并且使(a-b)<0,则

A.( ) 11?; B.-a<-b; C.丨a丨>丨b丨; D.a2>b4. ab

B.70.C.42. D.0. 12.M表示a与b的和的平方,N表示a与b的平方的和,则当a=7,b=-5时,M-N的值为 ( ) A.-28.

13.有理数111,,8恰是下列三个方程的根: 25

2x?110x?12x?1???1,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),3124

xz1?1?2z?(z?1)?(z?1),则?的值为 ( ) ??yx2?2?3

A.-17134771142; B.-; C.; D.. 80554022014.图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图.图中填入的所有数的总和等于

( )

A.126. B.127.C.128. D.129.

15.在自然数:1,2,3,4,5,?中,前15个质数之和的负倒数等于( ) A.-1111; B.-; C.-; D.-. 328329337340

二、填空题(每题1分,共15分)

1.若a>0,在-a与a之间恰有1993个整数,则a的取值范围是______.

2.如果相邻的两个正整数的平方差等于999,则这两个正整数的积等于______. 3.(?1)(?2)?(?3)(?4)?(?5)(?6)?(?7)(?8)=_________. (?1)(?2)?(?2)(?3)?(?3)(?4)?(?4)(?5)

4.一辆公共汽车由起点站到终点站(这两站在内)共途经8个车站。已知前6个车站共上车100人,除终点站外前面各站共下车80人,则从前6站上车而在终点站下车的乘客共有______.

5.(3-2)+(4-3)+(5-4)+(6-5)=______.

49

222222222222

6.在多项式1993uv+3xy+uv-4xy

项,则m2n=______. mnmn3m2nn-12m-4(其中m,n为正整数)中,恰有两项是同类

7.若a,b,c,d为整数,(a2+b2)(c2+d2)=1993,则a2+b2+c2+d2=______.

8.方程1?1?1?1???x?1????1??1??1?1993的根是x=____________. 2?2?22?????

?19??9393??????=______. ?93??1919?9.(-1)÷??

10.甲、乙两个火车站相距189公里,一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同时出发,相向而行,经过1.5小时,两车相遇,又相距21公里,若快车比慢车每小时多行12公里,则慢车每小时行______公里.

b2

11.在等式y=kx+b中,当x=0时,y=2;当x=3时,y=3,则=______. k

12.满足不等式2?x2x?1?的所有非负整数的乘积等于_______. 23

abcd

abcd=-1,则13.有理数a,b,c,d使a

a?b

b?c

c?d

d的最大值是_______.

14.△ABC是等边三角形,表示其边长的代数式均已在

?x2?y2

图23中标出,则?22x?2y??27??1=_________. ?40

15.有人问一位老师:他教的班有多少学生.老师说:“一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在念外语,还剩不足六位学生正在操场踢足球.”则这个“特长班”共有学生______人.

50

答案与提示

一、选择题

1.D 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A 13.B 1 4.B 15.A

提示:

若a=1,m=3排除A,若a=-1,m=-3排除B.

=

=1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995,选C.

3.因a<b所以a-b<0,此时|a-b|=b-a.

所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2,选D.

的是B.

7.当a=0,显然A,B,C,均不正确,应排除,所以选D.事确上,对任意有理数a,

51

都有(a-1993)≥0,所以(a-1993)+0.001>0是正数.

22

9.b=1>0,a=2>0,ab=231=2>1=b,排除A;a<0,b<0,ab>0>b,排除B;a=0,b<0,ab=0>b排除D,因此选择C.

10.容易看出a,b,c均为负数,我们看|a|,

11.由(a-b)3<0,得出a-b<0.即a<b.

∵a,b<0,∴|a|<|b|,选C.

12.M=(a+b)2,N=a+b2.

M-N=(a+b)2-(a+b2)=a2+2ab+b2-a-b2=a2+2ab-a.

14.第1行只有1=20,第2行1+1=2=21,

第3行1+2+1=4=2,第4行1+3+3+1=8=2,

第5行1+4+6+4+1=16=24,

52

23

第6行1+5+10+10+5+1=32=2

第7行1+6+15+20+15+6+1=64=2.

图中填入所有数之和为1+2+4+8+16+32+64=127,选B.

二、填空题

提示:

1.在-a与a之间的整数为2n+1个.所以由2n+1=1993知,n=996,即996≤a<997.

2.相邻的两个正整数设为n与n+1,则由(n+1)2-n2=2n+1=999得n=499,n+1=500. 相邻的两个正整数的积为4993500=249500.

4.设第1站到第7站上车的乘客依次为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7.第2站到第8站下车的乘客依次为b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8显然应有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8.

已知a1+a2+a3+a4+a5+a6=100,b2+b3+b4+b5+b6+b7=80.

表明从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人.

5.原式=52+72+92+112=276.

6.若1993umvn与u3mv2n为同类项.只能m=0且n=0.与已知条件不合,所以只能3xmyn与-4xn-1y2m-4为同类项.于是得m=n-1,n=2m-4.解得m=5,n=6,所以mn=30.

7.由于1993是质数,a2+b2,c2+d2是1993的约数,只能a2+b2=1,c2+d2=1993,或a2+b2=1993,c2+d2=1,所以a2+b2+c2+d2=1+1993=1994.

65

53

所有非负整数解的积=0.

14.由2x-8=x+6,解得x=14.所以正三角形边长为14+6=20.

由3y+2=20,解得y=6,所以

15.设这个班共有学生x人.在操场踢足球的学生共a人,依条件,x,a都是自然数,且1≤a<6.

54

根据题意列方程如下:

合并同类项,移项得

因为a,x均为自然数,(3,28)=1所以3|a.

但a只能取1,2,3,4,5这五个数,所以a=3.因此x=28. 答:这个班共有28名学生.

55

希望杯第四届(1993年)初中一年级第2试试题 一、

1.选择题:(每题1分,共10分) 1111???的值是 ( ) 0.10.010.0010.0001

A.-11110. B.-11101.C.-11090. D.-11909.

2.一滴墨水洒在一个数轴上,根据图24中标出的

数值,可以判定墨迹盖住的整数个数是( )

A.285. B.286.C.287.

22D.288. 2223.a,b都是有理数,代数式a+b,a-b,(a-b),

(a+b),ab+1,ab+1,a+b+0.1,2a+3b+1中,其值为正的共有( )

A.3个. B.4个.C.5个. D.6个. 22232224

4.a,b,c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是

( ) A.?a??

?1??11?(a?c); B.????(c?a); C.(1-a)(c-b); D.ac(1-bc). b??bc?

5.19+93的末位数字是 ( )

A.2. B.4. C.6. D.8.

6.今天是4月18日,是星期日,从今天算起第19933天之后的那一天是

A.星期五. B.星期六.C.星期日. D.星期一.

7.n为正整数,302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值.则r的最大值与最小值的和是 ( ) A.148. B.247.C.93. D.122.

( ) ( ) 93198.绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于

A.0. B.-32.C.33. D.-33.

9.x是正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3.即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>3<1>3<8>>的值是( )

A.12. B.11.C.10. D.9.

56

10.如图26是一个长为a,宽为b的矩形.两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形.则矩形中未涂阴影部分的面积为( )

A.ab-(a+b)c.B.ab-(a-b)c. C.(a-c)(b-c).D.(a-c)(b+c).

二、填空题(每题1分,共10分)

1.在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数.在1993.4与它的相反数之间共有b个整数,在-1与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________. 1993.4

2.设a=1÷2÷3÷4,b=1÷(2÷3÷4),c=1÷(2÷3)÷4,d=1÷2÷(3÷4),则(b÷a)÷(c÷d)=______.

3.两个同样的大小的正方体形状的积木.每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v 等于-1,现将两个正方体并列放置.看得见的五个面上的数字如图27所示,则看不见的七个面上的数的和等于______.

?7??7??7??7??7??7??7??7??7??1???1???1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6???7??8??9?4.计算: ?9??9??9??9??9??9??9??1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6??7?

=__________. 5.abcde是一个五位自然数,其中a,b,c,d,e为阿拉伯数码,且a<b<c<d,则|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______.

6.连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数.则这1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是______.

7.某次竞赛满分为100分,有六个学生的得分彼此不等,依次按高分到低分排列名次.他们六个人的平均分为91分,第六名的得分是65分.则第三名的得分至少是______分.

199319922

8.计算:=________. 199319912?199319932?2

9.若a,b,c,d为非负整数.且(a+b)(c+d)=1993.则a+b+c+d=______.

10.有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇.平均每个采得蘑菇的个数约是一个十

57

2222

位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的

蘑菇,则丁采蘑菇______ 个. 43,乙采的数量是丙的倍,丁比甲多采了3个52

三、解答题(在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果.每题5分,共10分)

1. 如图28,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x,y,z).试求满足上述条件的矩形的面积最小值.

2.你能找到三个整数a,b,c,使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗?如果能找到,请举一例,如果找不到,请说明理由.

58

答案与提示

一、选择题

1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C

提示:

=10-100-1000-10000=-11090.选C.

2.在-109.2与-11.9之间最小整数是-109,最大整数是-12.共计包含

(-12)-(-109)+1=98个整数.在10.5与199.5之间包含最小整数是11,最大整数是199.共计包含199-11+1=189个整数.因此墨水共盖住98+189=287个整数.选C.

3.当a=b=0时,a2+b2,a2-b2,(a-b)2,(a+b)2取值为0,而当a=-1,b=1时a3b+1=0.因此对任意有理数a,b其值为正的只有ab+1,a+b+0.1,2a+3b+1,共3个选A.

ac(1-bc)<0,所以选A.

5.1993=194323+1,9319=93434+3

所以1993与191的末位数相同是9、9319与933末位数字相同是7.因此1993+9310末位数字是9+7=16的末位数字6,选C.

6.19933=(28437+5)3=(28437)3+33(28737)235+3(28737)352+125.

所以1993被7除的余数与125被7除的余数相同,125=737+6.所以1993被7除余数为

6.从4月18日星期日数起,每到第十天就是星期六,如4月24日是星期六,因此1993-6恰是星期六,再往后数6天,1993天是星期五.而1993天之后的那一天应是星期六,选B.

7.n(n+1)为偶数.设302被n(n+1)除商q余r,则302=n(n+1)q+r知,r为偶数.显然B、C均应排除.由除数n(n+1)只能取6,12,20,30,42,56,72,90,110,132,156,182,210,240,272这些值,计算得相应的余数中最小的正值为2,最大正值为146.所以r的正的最小值与最大值的和是148.选A.

8.即求-100与100之间被3除余1的整数之和,在0到100之间被3除余1的整数是1,4,7,?91,94,97共计33个.在-100到0之间被3除余1的整数是-98,-95,-92,-89,?-8,-5,-2.共33个其总和为-33.选D.

9.<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过93

59

33333222224

的质数,共24个,易知<1>=0.所以<<19>+<93>+<4>3<1>3

<8>>=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11,选B.

10.解①大矩形面积为ab,两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc.重叠部分面积为c2,所以未涂阴影部分面积为ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c),选C.

解②将阴影部分等积变形如图29,两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c2)均未改变.易见,未涂阴影部分面积为空白矩形的面积,是(a-c)(b-c),选C.

二、填空题

提示:

1994个整数,a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有231993+1=3987个整数,

3987=1=5982.

3.由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1.所以每个正方体六个面上写的数之和等于-3.两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6.而五个看得见的面上的数之和是1+2+3+4+5=15.因此,看不见的七个面上所写数的和等于

(-6)-15=-21.

60

5.若a<b<c<d≤e时

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a.当e=9,a=1时取最大值为8.

若a<b<c<d,且d>e时.

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e.当d=9,a=1,e=0时,取最大值17.所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17.

6.设这连续的1993个自然数为

x-996,x-995,?,x-1,x,x+1,x+2,?,x+995,x+996.显然.x-996≥1,即x≥997.这1993个连续自然数之和设为σ.

则σ=1993x,要求σ为完全平方数,而1993又是质数,x的最小值为1993.此时,1993个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989,即当σ为完全平方数时,1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是2989.

7.设六个人的成绩依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6.则65=x6<x5<x4<x3<x2<x1≤100.

∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481.

要使x3最小,必须x1,x2尽可能大,x4,x5尽可能接近x3,所以当x1=100,x2=99,x4=x3-1,x5=x3-2时,x3取最小值,即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481.

3x3=481-100-99+3=285.x3=95.

答:第三名的得分至少是95分.

61

9.因为1993是质数,a+b与c+d都是正整数,所以a+b与c+d分别取值1与1993(参见第一试填空第7题解答).为确定起见;,不妨设a+b=1,c+d=1993.

(1)a2+b2=1.推知a=0,b=1或a=1,b=0,因此a+b=1.

(2)c2+d2=1993.

若c≤31,d≤31,则c2+d2≤23312=23961=1922<1993.所以c,d中至少有一个大于

31.又由于442=1936<1993,故设c为c,d中较大的一个,则32≤c≤44.

我们依次取c=44,43,42,41,?,33,32试算如下:

222222222222

其中1933-c的结果中,只有144=12为完全平方数,即43+12=1993,所以c=43,d=12或c=12,d=43.因此,c+d=55.

所以a+b+c+d=1+55=66.

2222

一个近似为首位的是3的两位整数.因此,由近似数的表示有

23.5?≤x≤31.5?

因x是整数,x只能从24,25,26,27,28,29,30,31中选取.

62

因此只能有x=30,即丙采30个蘑菇.

此时,乙采45个蘑菇,甲采36个蘑菇,因此丁采39个蘑菇.

舍五入,约为38是个十位数是3的两位

数.

三、解答题

1.如图30已有三个小正方形的边长为x,y,z,我们通过x,y,z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中,它们是x+y,x+2y,x+3y,4y,x+7y,2x+y,2x+y+z,4x+4y-z,4x+4y-2x,及5x-2y+z.因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z

化简上述的两个方程得到z=13y-4x,4z=2x+3y.消去z得18x=49y.

因为18与49互质,所以x、y的最小自然数解是x=49,y=18,此时z=38.

以x=49,y=18,z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z,得长、宽分别为593和422.此时得最小面积值是5933422=250246.

2.答:找不到满足条件的三个整数理由如下:

如果存在整数a,b,c,使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立.

因为3388是偶数,则左边四个因子中至少有一个是偶数.

不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数.

同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数.b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数.

因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除,而3388不能被16整除,得出矛盾. 故不存在三个整数a,b,c满足关系式

(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388.

希望杯第五届(1994年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每题3分,共30分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.

1.-│-a│是 ( )

A.正数 B.负数. C.非正数 D.0.

2.在下面的数轴上(图1),表示数(2)(5)的点是( )

A.M

B.N. C.P D.Q 63

3.?9?9?4

1?9?9?4的值的负倒数是( ) A.413; B.-; C.1; D.-1. 313

4.??31??41??51??61??71??81???????????????????????=( ) ?45??56??67??78??89??910?

D.5.85 A.5.5 B.5.65. C.6.05

5.-4332-(-433)2=( )

A.0 B.72. C.180 D.108

6. x的41与的差是( ) 53

A.4141415x?x; B.x?; C.(x?); D.x?3. 5353453

7.n是整数,那么被3整除并且商恰为n的那个数是( ) A.n3; B.n+3; C.3n; D.n. 3

B.6. C.9 D.12 8.如果x∶y=3∶2并且x+3y=27,则x,y中较小的是( ) A.3

9. 200角的余角的

01等于( ) 1400?3??3??6?0 A.?1?; B.?11?; C.?7?; D.5. ?7??7??7?

10. 1?1??(?7)?????7=( ) 7?7?

B.49. C.7 D.7 A.1

二、A组填空题(每题3分,共30分)

1.绝对值比2大并且比6小的整数共有______个.

2.在一次英语考试中,某八位同学的成绩分别是93,99,89,91,87,81,100,95,则他们的平均分数是______.

3.| | | |1992-1993|-1994|-1995|-1996|=______.

64

4.数:-1.1,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最大的一个数与最小的一个数的比值是______. 5.111111?????=________. 100110001002100110021000

a2?b2

6.在自然数中,从小到大地数,第15个质数是N,N的数字和是a,数字积是b,则N的值是__________.

7.一年定期储蓄存款,月利率是0.945%.现在存入100元,则明年的今日可取得本金与利息共______元.

8.若方程19x-a=0的根为19-a,则a=______.

9.当丨x丨=x+2时,19x94+3x+27的值是__________.

10.下面有一个加法竖式,其中每个□盖着一个数码,则被□盖住的七个数码之和等于______.

三、B组填空题(每题4分,共40分)

1.已知a,b是互为相反数,c,d是互为负倒数,x的绝对值等于它的相反数的2倍,则x+abcdx+a-bcd的值是______.

2.1992319941994-1994319931993=___.

3

按上表中的要求,填在空格中的十个数的乘积是_______.

4.在数码两两不等的所有的五位数中,最大的减去最小的,所得的差是______.

5.已知N=19923199331994+19933199431995+19943199531996+19953199631997,则N的末位数字是______.

6.要将含盐15%的盐水20千克,变为含盐20%的盐水,需要加入纯盐______千克.

7.一次考试共需做20个小题,做对一个得8分,做错一个减5分,

不做的得0分.某学生共得13分.那么这个学生没有做的题目有______个.

8.如图2.将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正

方形放在一起(a>0,b>0).则三角形ABC的面积是_______.

65

9.在1到100这一百个自然数中任取其中的n个数.要使这几个数中至少有一个合数,则n至少是______.

10.如图3,是某个公园ABCDEF,M为AB的中点,N为CD的中点,

P为DE的中点,Q为FA的中点,其中游览区APEQ与BNDM的面积和

是900平方米,中间的湖水面积为361平方米,其余的部分是草地,

则草地的总面积是______平方米.

66

答案2提示

一、选择题

提示

1.若a=0,则-│-a│=0,排除(A),(B).

若a≠0,-│-a│≠0,排除(D).

事实上对任意a,|-a|≥0,∴-|-a|≤0.即-|-a|为非正数.

2.(-2)-(-5)=-2+5=3.在数轴上对应的是点P.

5.原式=-439-(-433)3(-433)=-36

(-12)3(-12)=-36-144=-180.

7.被3整除的商恰好为n的数是3n.

8.由x∶y=3∶2得x=1.5y,代入x+3y=27得4.5y=27,于是y=6,x=9,所以x,y中较小的那个数是6.

二、A组填空题

提示:

1.绝对值比2大而比6小的整数共有-5,-4,-3,3,4,5共6个.

67

3.|1992-1993|=1,||1992-1993|-1994|=1993.

|||1992-1993|-1994|-1995|=|1993-1995|=2.

∴||||1992-1993|-1994|-1995|-1996|=|2-1996|=1994.

4.数-1.1,-1.01,-1.001,-1.0101,-1.00101中最

6.在自然数列中,质数由小到大依次排列是

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,??,第15个质数N=47,其数字和a=11,数字积b=28,所以

7.本金100元,一年的利息是10030.945%312=11.34元

一年到期取的本金与利息之和是111.34元.

8.因为19-a是方程19x-a=0的根,所以19-a满足方程19x-a=0,即19(19-a)=0,解得a=18.05.

9.由|x|=x+2,显然|x|≠x,只能|x|=-x.

得-x=x+2,于是x=-1.

当x=-1时,

19x94+3x+27|x=1=19(-1)94+3(-1)+27=19-3+27=43.

10.显然,加数的百位数码都是9,千位数码也都是9,个位数码之和是14,和的千位数码是1,所以被□盖住的数字之和等于1+9+9+9+9+14=51.

三、B组填空题

提示:

1.a,b互为相反数,所以a+b=0,c、d互为负倒数,所以cd=-1.x的绝对值等于它的相反数的2倍,可得x=0.

∴x3+abcdx+a-bcd=0+0+a-b(cd)=a+b=0.

68

2.1992319941994-1994319931993

=199231994310001-199431993310001

=19943100013(1992-1993)

=19943

10001=-19941994

所以按表中要求填入的十个数之积是五个-1相乘,其积为-1.

4.在五个数码两两彼此不等的五位数中,最大的一个是98765,最小的一个是10234,它们的差是98765-10234=88531.

5.19923199331994的末位数字与23334的末位数字相同,等于4.容易看出其余三个乘式中每一个都有因子2和因子5,所以19933199431995,19943199531996,19953199631997的末位数字都是0.所以N的末位数字是4.

6.20千克盐水中含纯盐20315%千克,设加入x千克的纯盐后盐水浓度变为20%,则 20315%+x=(20+x)320%解得:x=1.25(千克).

7.设该生做对x个题,做错y个题,没做的是z个题,则

x+y+z=20,z=20-(x+y)=13+13y=13(1+y)

又8x-5y=13

∴8(x+y)=8x+8y=13+13y=13(1+y)

∵(13,8)=1,∴13|(x+y).又0<x+y≤20

∴x+y=13,z=20-13=7.

8.延长大、小正方形的边交成一个矩形(图4),其面积为(a+b)3b,△ABC的面积等于这个矩形面积减去外围三个直角三角形的面积,即

9.在1100这100个自然数中,容易数出来共有25个质数,不有1既不是质数也不是合数,所以,在最坏的情况下,拿到这26个非合数之后,只要拿一个数,必然会出现一个合数,因此要保证多少取出一个合数,必须至少取27个数,所以n至少是27.

69

10.连接AD、AE、DB(图5).

根据一个三角形的中线平分这个三角形的面积,可知:

△EQA面积=△EQF面积

△AEP面积=△ADP面积

△DBM面积=△DAM面积

△BND面积=△BNC面积

上述四个等式相加,可知:游览区APEQ与BNDM的面积之和恰等于△EQF、△BNC,四边形APDM的面积之和.因此,草地和湖水的面积之和恰为900平方米,其中湖水面积为361平方米,所以草地面积是900361=539平方米.

70

希望杯第五届(1994年)初中一年级第2试试题

一、选择题:(每题4分,共40分)

1.若a<0,b>0,且|a|<|b|,则a+b= [ ]

A.|b|-|a| B.-|a|-|b| C.|a|-|b| D.|a|+|b|

2.在数22355268,,3.1416,中,最小的一个数是[ ] 711385

A.22355268; B.; C.; D.3.1416. 711385

1,-a,c-b,c+a中,最大的一个是[ ] a3.a,b,c在数轴上的位置如图6.则在-

A.-a; B.c-b; C.c+a; D.- 1. a

4.若3?4?5?6?71993?1994?1995?1996?1997?,则N=[ ] 5N

B.1993. C.1995 D.1997 A.1991

5.a,b在数轴上的位置如图7.

则在a+b,b-2a,|a-b|,|b|-|a|中负数的个数是 [ ]

A.1 B.2. C.3 D.4

6.如果等式1992+1994+1996+1998=5000-□成立,则□中应当填的数是 [ ]

A.5. B.-980 C.-1990 D.-2980

7.据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是

[ ]

A.1 B.3. C.7 D.9

8.在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数码后,使所得的数最大,则替换的数字是

[ ]

A.1 B.4. C.2 D.8

9.当-1<a<0时,则有 [

]

71

A.1>a; B.丨a3丨>a3; C.-a>a2; D.a3<-a2. a

10.有如下三个结论:

甲:a,b,c中至少有两个互为相反数,则a+b+c=0.

乙:a,b,c中至少有两个互为相反数,则(a+b)2+(b+c)2+(c-a)2=0.

丙:a,b,c中至少有两个互为相反数,则(a+b)(b+c)(c+a)=0.

其中正确结论的个数是 [ ]

A.0 .B.1. C.2. D.3

二、填空题:(每题4分,共40分)

1.图8中,以点A,B,C,D,E,O为端点的线段有______条.

2.在1,2,3?,N这前N个自然数中,共有p个质数,q个合数,m个奇数,n个偶数,则(p-m)+(q-n)=______.

4.一个六位数2abcde的3倍等于abcde9,则这个六位数是_______________.

5.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣,共需______工时.

6.若p,q都是质数,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则p2-q=______.

7.n是自然数,我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”,如1的指标数是1,27的指标数是14,40的指标数为4,则1~99这九十九个自然数的指标数的和是______.

8.在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=20,则ab+bc+9b2=______.

9.我们用<x>表示不超过正数x的质数的个数,如<3.1>=2,<7>=4等等.那么式子<<48>3<6.7>-<10.1>>=______.

10.电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位到k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4,?,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94.则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是______.

三、解答题:(每题10分,满分20分)

1.在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图9所示. 试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)

72

2.(1)现有一个19°的“模板”(图10),请你设计一种办法,只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.

(2)现有一个17°的“模板”与铅笔,你能否在纸上面画出一个1°的角来?

(3)用一个21°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?

对(2)、(3)两问,如果能,请你简述画法步骤,如果不能,请你说明理由.

73

答案2提示

一、选择题

提示:

1.依有理数加法法则知,选(A).

3.由图6可见,-1<a<0,0<b<c<1.

∴-1<c+a<1.又c-b<1-0=1.

5.由图7可见,a<0,b>0,|a|>|b|.

∴a+b<0,b-2a>0,|a-b|>0,|b|-|a|<0.选(B).

6.设□的数是x,则1992+1994+1996+1998=5000-x,即 7980=5000-x

∴x=5000-7980=-2980.选(D).

7.2n的末位数字对指数以4为周期而变化,21=2,22=4,23=8,24末位数是6.一般地24k+1末位数字为2,24k+2末位数字为4,24k+3末位数字为8,24k+4末位数字是6(其中k是非负整数).

859433=21485834+1,2859433=243214858+1

∴2859433末位数字为2.

∴2859433-1末位数字为1.选(A).

8.实际上是比较-0.3428(3换1)、-01328(3换4)、-0.1438(3换2)、-0.1423(3换8)哪

74

个最大,即比较0.3428、0.1328、0.1438、0.1423哪个最小.易知0.1328最小.所以在-0.1428中用数字3换4,所得之数最大.选(B).

10.比如选a=5,b=-5,c=3,5,-5,3至少有两个互为相反数,但5+(-5)+3=3≠0.知(甲)不真.[5+(-5)]2+(-5+3)2+(3-5)2=8≠0知(乙)不真.a,b,c三数中至少有两个互为相反数,比如至少a,b互为相反数,即a+b=0,则有(a+b)(b+c)(c+a)=0,(丙)真.所以(甲)、(乙)、(丙)中只有丙是真命题.选(B).

二、填空题

提示:

1.共有13条不同的线段,AB,AC,BC,AE,EC,CD,BD,BO,OE,BE,AO,AD,OD.

2.p+q=N-1,m+n=N.则(p-m)+(q-n)=p-m+q-n=(p+q)-(m+n)=(N-1)-N=-1.

3.因为个位是23个3的和2333=69的末位数是9,向十位进6.

十位是22个3之和2233=66,再加上个位进上来的6,得72,所以十位数是2,向百位进7.

百位是21个3之和2133=63,再加上十位进上来的7,得70,所以百位数是0,向千位进

7.千位数是2033=60,再加上百位进上来的7,得67,所以千位数字为7. 所得四位数是7029.

这个六位数是285713.

5.设缝纫师做一件衬衣的时间为x,则一条裤子的时间为2x,做一件上衣用时为3x. 由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣,即2x+33(2x)+43(3x)=10(工时). 即20x=10(工时),则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需:

75

23(3x)+103(2x)+14x=40x=20(工时)

6.因为1为方程px+5q=97的根,所以p+5q=97.p与5q必有一个是奇数,另一个是偶数. 若p为奇数,5q为偶数,只能q为偶质数2,此时p=97-532=87=3329,与p为质数的条件不符.所以只能p为偶质数2,5q=95,q=19.

∴p2-q=4-19=-15.

7.1~9的指标数之和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

10~19的指标数之和为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46

20~29的指标数之和为23(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=2346

30~39的指标数之和为33(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=3346

40~49的指标数之和为43(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4346

50~59的指标数之和为53(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5346

60~69的指标数之和为63(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=6346

70~79的指标数之和为73(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=7346

80~89的指标数之和为83(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=8346

90~99的指标数之和为93(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=9346

所以1~99的指标数之和为45+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)346=45347=2115

8.以x=1,y=-2代入y=a2+bx+c得a+b+c=-2 ①

以x=-1,y=20代入y=ax2+bx+c得a-b+c=20 ②

①-②,2b=-22,所以b=-11.因此a+c=9.于是

ab+bc+9b2=b(a+c)+9b2=(-11)3(9)+93112=990.

9.由定义知,<48>=15,<6.7>=3,<10.1>=4.

∴<<48>3<6.7>-<10.1>>=<1533-4>=<41>=13.

10.设k0点所对应的数为x,则

(x-1)+2-3+4-5+6-,?,-99+100=19.94即x+50=19.94

∴x=-30.06.

三、解答题

1.解:设小长方形的长为x,宽为y,依图11可见,

x+3y=14 ①

x+y-2y=6,即x-y=6 ②

76

①-②得4y=8,y=2,代入②得x=8.

因此,大矩形ABCD的宽AD=6+2y=6+232=10.

矩形ABCD面积=14310=140(平方厘米).

阴影部分总面积=140-63238=44(平方厘米).

2.解:(1)在平面上取一点O,过O点画一条直线AOB,以19°模板顶点与O重合,一边与OB射线重合,另一边落在射线OB1,仍以O为顶点,角一边重合于OB1,另一边落在射线OB2,?,这样做出19个19°的角,其总和为361°,∠BOB19就是1°角.

(2)利用17°角的模板,要画出1°的角,关键在于找到整数m和n,使得173m-1803n=1.

事实上17353-18035=901-900=1.所以做法如下:

在平面上任取一点O,过O点画直线AOB,以OB为始边、O为顶点,反时针方向依次画53个17°的角,设最后的终边为OB53,而53180°的终边在OA射线,这时∠AOB53即为1°的角.

(3)若用21°的模板可以画出1°的角,则存在整数m,n,使得21°3m-180°3n=1°

77

希望杯第六届(1995年)初中一年级第1试试题

一、选择题:

1.有理数-95的值一定不是[ ] a?19

A.19. B.-19.C.0. D.1.

2.方程1-19x=1的根是[ ] 19

A.0; B.1811; C. ; D.. 36136119D.a3=-│a3│.

[ ] 3.若a<0,则下列结论中不成立的是 [ ] A.a2=(-a)2. B.a3=(-a)3. C.a2=│a2│. 4.下面的数轴上(图1),表示(-5)÷│-2│的值的点是

A.P.

B.Q. C.M. D.N.

5.如果由四舍五入得到的近似数是35,那么在下列各数中不可能是真值的数是[ ]

A.34.49. B.34.51.C.34.99. D.35.01.

[ ] 6.如果a、b均为有理数,且b<0,则a,a-b,a+b的大小关系是

A.a<a+b<a-b.B.a<a-b<a+b.C.a+b<a<a-b.D.a-b<a+b<a.

7.如图2,∠AOB=180°,OD是∠COB的平分线,OE是∠AOC的平分线,设∠DOB=a,则与a的余角相等的角是 [ ]

A.∠COD. B.∠COE.C.∠DOA. D.∠COA.

8.在绝对值小于1000的整数中,完全平方数的个数是[ ]

A.62. B.63. C.32. D.31.

9.计算:1?2?3?4?5?6?7?8?9?10=[ ] 0.1?0.2?0.3?0.4?0.5?0.6?0.7?0.8?0.9

A.

1111; B.1; C.-; D.-1. 9999

78

10.已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,若A+B+C=0,则C= [ ]

A.5a2+3b2+2c2. B.5a2-3b2+4c2.C.3a2-3b2-2c2.

二、A组填空题

1.计算(-0.125)7282=_____.

2.计算(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)=_____.

3.由0.03096四舍五入精确到万分位得近似数的有效数字是_____.

4.a、b为有理数.则表中空格内应填的数是_____.

5.在下表所填的16个数中,最大的一个数是_____.

D.3a2+b2+4c2.

?72??30?=_______.6.计算:?? ????1313????

7.若a被1995除,所得的余数是2,则-a被1995除,所得的余数是_____.

8.a、b、c在数轴上的位置如图3所示.则在

____________.

9.如图4,O为圆心,半径OA=OB=r,∠AOB=90°,点M在OB上,OM=2MB,用r的式子表示阴影部分的面积是_____.

10.如果a=-2,则在-3a,4a,

值最大的是________.

三、B组填空题

1. 在数轴上,点A、B分别表示有理数a、

b,原点O恰是AB的中点,则1995a322111,,中,最大的是a?bc?ba?c242,a,1这五个数中, a26的值是_____. 3b

2.某次测验共20道选择题、答对一题记5分,答错一题记-2分,不答记0分,某同学得48分,那么他答对的题目最多是_____个.

79

?1111?(2?3?4?5)?3.计算:?????=_______. ?2345?

4.ABCD和EBFG都是正方形,尺寸如图5所示,则阴影部分的面积是_____(cm2).

5.a与b是相邻的两个自然数,则a、b的最大公约数与最小公倍数之和等于_____.

6.若丨x-y+3丨与丨x+y-1995丨互为相反数,则x?2y的值是_____________. x?y

7.120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于_____.

8.如图6给出的乘法竖式中,四个方块盖住的四个数字之和的最大值是_____.

80

答案2提示

一、选择题

提示:

5.由于34.51,34.99,35.01四舍五入的近似值都可能是35,而只有34.49不可能是真值,选(A).

6.因为b<0,所以a+b<a<a-b,选(C).

7.∵∠AOC+∠COB=180°

,即 ∠COE+∠BOD=90°∠COE=90°-∠BOD=90°-a

∴选(B).

8.在绝对值小于1000的整数中,共计1999个整数,其中-1999,-1998,?,-2,-1,这999个负整数都不能写成整数的平方。因此可以写成整数的平方的数只能在0,1,2,?,998,999这一千个整数中去找。0=02,1=12,4=22,?,961=312。共计32个,选(C).

81

10.∵A+B+C=0

∴C=-A-B=-(a2+b2-c2)-(-4a2+2b2+3c2)

=-a2-b2+c2+4a2-2b2-3c2=3a2-3b2-2c2.选(C).

二、A组填空题

提示:

1.(-0.125)7288=(-0.125)728728=(-0.12538)728=-8

2.(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)

=(-11)+22+33+44+55+66

=(-22)+(11+22+33+44+55+66)

=(-22)+11(1+2+3+4+5+6)

=(-22)+11321==(-22)+231=209

3.0.03096四舍五入精确到万分位所得近似值是0.0310,有效数字是3、1、0.

4.由表可见,a+b=-49,a-b=-97

解得a=-73,

b=24

5.表中所填的数都是负数,应该以绝对值最小的其值最大,可按行比较. 第一行最大者为-1.1,第二行最大者为-1.001,

第三行最大都为-1.01,第四行最大都为-1.0101.

在-1.1、-1.001、-1.01、-1.0101中最大者为-1.001,所以全表16个数中最大者为

-1.001

7.设a被1995除商q余2,则a=19953q+2-a=19953(-q)-2=19953(-q)-1995+1993 即 -a=19953[(-q)-1]+1993

∴ -a被1995除的余数是1993.

8.由图3可见,0>c>b>a.

于是a-b<0,c-b>0,a-c<0.

82

所以a=-2时,所给五个单项式的值最大的是6.

三、B组填空题

提示:

1.在数轴上,有理数a与b对应的点A与B满足原点O是线段AB的中点。则

a+b=0

2.设小明答对x题,答错y题,没答z题

则 x+y+z=20

5x-2y=48 ① ②

②+23①得

7x+2z=88

4.从图5中观察易知,阴影的面积是正方形ABCD面积的一半,

5.a、b为两个相邻的自然数,它们的最大公约数为1,所以a、b的最小公倍数为ab. 因此,a、b这两个相邻自然数的最大公约数与最小公倍数之和等于ab+1.

83

7.120的正约数共有1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120计有16个,其中是合数但不是奇数的正约数有4,6,8,10,12,20,24,30,40,60,120共11个,它们的和是4+6+8+10+12+20+24+30+40+60+120=334

8.设四个方块中所有数字为a,b,c,d,

即因乘积是两位数,所以断定a=1.

又由于乘数为5,所以d=0或5,即d的最大值是5,又b≤9,c≤d

∴a+b+c+d≤1+9+9+5=24

而事实上1+9+9+5=24,表明24是可达到的.

所以四个方块盖住的四个数字之和的最大值是24.

9.设步行所用时间为t小时,则乘汽车用1-t小时,依题意列方程如下:

363(1-t)+43t=28 解得 t=0.25

答 步行所用时间为0.25小时。

10.a,b,c均为整数,则a-b,c-a也为整数,│a-b│19,│c-a│95为两个非负整数,其和为1

只能 │a-b│19=0,且│c-a│95=1 ①

或 │a-b│19=1且│c-a│95=0. ②

由①

于是

由②

于是 a=b且c=a±1 │b-c│=│c-a│=1 c=a且a=b±1 │b-c│=│a-b│=1

无论①或②,都有

│a-b│+│c-a│=1且│b-c│=1

∴ │c-a│+│a-b│+│b-c│=2

84

希望杯第六届(1995年)初中一年级第2试试题

一、选择题:

1.若y是正数,且x+y<0,则在下列结论中,错误的一个是 [ ]

A.x3y>0. B.x+│y│<0.C.│x│+y>0. D.x-y2<0.

2.已知│a│=-a,则化简│a-1│-│a-2│所得的结果是 [ ]

A.-1. B.1.C.2a-3. D.3-2a.

3.已知a=1995x+1994,b=1995x+1995,c=1995x+1996.那么(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的值等于[ ]

A.4. B.6. C.8. D.10.

4.用一副学生用的三角板的内角(其中一个三角板的内角是45°,45°,90°;另一个是30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同角度的角共有_____种.

[ ].

A.8. B.9.C.10. D.11.

5.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点是[ ]个.

A.1994或1995. B.1994或1996.C.1995或1996. D.1995或1997.

6.方程1995x+6y=420000的一组整数解(x、y)是[ ]

A.(61,48723). B.(62,48725).C.(63,48726). D.(64,48720).

7.某同学到集贸市场买苹果,买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半,而其余的钱都买了每公斤2元的苹果,则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤_____元.

[ ]

A.2.6. B.2.5. C.2.4. D.2.3.

, 8.a、b、c的大小关系如图7所示

a?bb?cc?aab?ac??? 则的值是[ ] a?bb?cc?aab?ac

A.-1. B.1. C.2. D.3.

85

9.设P=-

[ ] 111,Q=-,R=-,则P,Q,R,的大小关系是12345?1234612344?1234612344?12345

D.R>Q>P. A.P>Q>R. B.Q>P>R.C.P>R>Q.

10.某项球类规则达标测验,规定满分100分,60分及格,模拟考试与正式考试形式相同,都是25道选择题,第题答对记4分,答错或不答记0分.并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中的原题.假设某人在模拟考试中答对的试题,在正式考试中仍能答对,某人欲在正式考试中确保及格,则他在模拟考试中,至少要得 [ ]

A.80分.

二、填空题

1.计算:12+2-334÷5+62+7-839÷10=_____.

2.若a+b<0,则化简│a+b-1│-│3-a-b│的结果是_____.

3.某市举行环城自行车比赛,跑的路线一圈

是6千米,甲车速是乙车速的,在出发后1小时10分钟时,甲,乙二人恰在行进中第二次相遇,则乙车比甲车每分钟多走_____千米.

4.如图8,两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形,其中S1面积是8,S2的面积是6,S3的面积是5.则阴影三角形的面积是_____.

5.若n=1?B.76分.C.75分. D.64分. 17911131517?????,则n的负倒数是______. 3122030425672

6.一次数学小测验共有十道选择题,每题答对得3分,答错或不答均扣1分,则这次小测验的成绩至多有_____种可能的分数.

7.已知p、q均为质数,并且存在两个正整数m,n,使得p=m+n,q=mn,pp?qq

则n的值为_____. mm?n

8.如图9,已知△ABC中,∠C=90°,AC=1.5BC,在AC上取点D,

使得AD=0.5BC,量得BD=1cm,则△ABD的面积是________cm2.

????.则和数S的末四位数字的和是_____. 9.若S=15+195+1995+19995+?+?

44个91999?95

10.用分别写有数字的四张卡片,,,可以排出不同的四位数,如1234,1342,4231,?等等共24个,则其中可被22整除的四位数的和等于_____.

86

三、解答题

1.某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号,这些运动员随意地站成一个圆圈,则一定有顺次相邻的某3名运动员,他们运动服号码数之和不小于32,请你说明理由.

2.已知ax+by=7,ax+by=49,ax+by=133,ax+by=406,试求1995(x+y)+6xy-22334417(a+b )的值.

287

答案2提示

一、选择题

提示:

1.∵y>0,若x≥0则x+y≥0,与x+y<0矛盾.所以由y>0,x+y<0必有x<0. 因此,x3<0,x3y<0,即(A)是错误的.

事实上,y>0,x+y<0,即x+│y│<0,(B)成立.│x│+y>0,(C)成立.x<0,y2>0,x-y2<0,(D)成立.因此,选(A).

2.∵│a│=-a,∴a≤0.

│a-1│-│a-2│=-(a-1)+(a-2)=-1,选(A).

3.a-b=(1995x+1994)-(1995x+1995)=-1

b-c=(1995x+1995)-(1995x+1996)=-1

c-a=(1995x+1996)-(1995x+1994)=2

∴ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(-1)2+(-1)2+22=6.选(B).

4.由于15°=45°-30°,所以15°可以画出.因为30°,45°,60°,90°都是15°的倍数.0°~176°之间度数为15°的倍数的角都可画出.这些不同度数的角共计11种,它们是:15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°.选(D).

5.若所画的长为1995厘米的线段的两个端点A与B均为整点时,此时线段AB盖住的整点个数是1995+1=1996个.若A点不是整点,则B点也不是整点,此时线段AB盖住的整点个数为1995个,所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995个,所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995或1996个.选(C).

6.设x,y均为整数,且满足1995x+6y=420000.

则5│1995x,5│420000,所以5│6y.

但(5,6)=1,因此5│y.所以排除(A),(C).对(B),若(62,48725)满足方程,则 事实上,1995364+6348720=420000成立.选(D).

7.设该同学买了3元一公斤的苹果x公斤,

2

88

了x+y公斤苹果,花去了3x+2y=6x元.所以所买的

8.从图9中可见,a<b<c且a<0,b<0,c>0 所以a-b<0,b-c<0,c-a>0,ab>0,ac<0 所以ab-ac>0,

=(-1)-(-1)+1+1=2.选(C).

9.因为12344<12345<12346

所以12344312345<12344312346<123453

12346

即R<Q<P.选(A).

10.设在模拟考试中至少要得x分,则在模拟

89

解得x≥80.即某人欲在正式考试中确保及格,则他在模拟考试中至少要得80分.选(A).

二、填空题

提示:

1.原式=1+2-334÷5+36+7-839÷10=3-12÷5+36+7-72÷10=3-2.4+43-7=36.4

2.∵a+b<0,a+b-1<0,3-a-b=3-(a+b)>0

∴│a+b-1│-│3-a-b│

=-(a+b-1)-(3-a-b)=-a-b+1-3+a+b=-2

甲、乙二人在行进中第二次相遇,乙要追过甲两圈,所以

解得 x=36(千米/小时),即乙车速36千米/

因此,乙车比甲车每分钟多走

4.如图8,设AB、CD交于O,阴影三角形面积为S,则矩形

90

6.设这次小测验答对x道题,则有10-x道题答错或没答,应得分数

w=3x-(10-x)=4x-10

因此,可能得到的分数为偶数,且不被4整除,又最高得分为满分30分,最低得分为-10分,在-10~30之间被2整除但不被4整除的数有-10,-6,-2,2,6,10,14,18,22,26,30共11种可能,容易验证,这11种分数值都是可以取到的.

7.∵q是质数,q=m3n,

所以m,n只能一个为1,另一个为q.

此时p=m+n=1+q,而p又是质数,只能p=3,q=2.

即m,n一个是1,另一个是2.

即△BCD为等腰直角三角形(图10),四个等腰

9.S=(20-5)+(200-5)+(2000-5)+(20000-5)+?+(-5)

=20+200+2000+20000+?+-5345=-225

所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24

10.在由1,2,3,4组成的24个四位数中,末位数字是1,3的不能被22整除,这样的数共12个,而其余12个末位数字是偶数,有可能被22整除,它们是

1234,1324,1432,1342,2134,2314,

3124,3412,3142,3214,4132,4312.

由奇位数字和减去偶位数字和之差是11倍数者,原数为11的倍数,可知其中被11整除的只有1342,2134,3124,4312.即这四个数被22整除,它们的和是

1342+2134+3124+4312=10912

91

三、解答题

1.证:在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1,a2,a3,?,a18,a19(图11),显然a1=1,而a2,a3,?,a18,a19就是2,3,4,5,6,?,18,19的一个排列

令A1=a2+a3+a4

A2=a5+a6+a7

A3=a8+a9+a10

A4=a11+a12+a13

A5=a14+a15+a16

A7=a17+a18+a19

则A1+A2+A3+A4+A5+A6

=a2+a3+a4+?+a17+a18+a19

=2+3+4+?+17+18+19

=189

如果A1,A2,A3,A4,A5,A6中每一个都≤31,则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6331=186,与(*)式矛盾.所以A1,A2,A3,A4,A5,A6中至少有一个大于31.为确定起见,不妨就是A1>31,即a2+a3+a4>31,但a2+a3+a4是整数,所以必有a2+a3+a4≥32成立.即一定有顺次相邻的某三名运动员,他们运动服号码数之和不小于32.

说明:本试题来源于一道常见的试题,“将1,2,3,4,?,17,18,19这19个自然数任意排成一圈,必定能找到相邻的3个自然数,它们之和不小于30.” 其证法是,设这19个数在圆圈排列后依次逆时针顺序是a1,a2,?,a18,a19(图12),则

A1=a1+a2+a3

A2=a2+a3+a4

A3=a3+a4+a5

A4=a4+a5+a6

??

92

A17=a17+a18+a19

A18=a18+a19+a1

A19=a19+a1+a2

相加得A1+A2+?+A18+A19

=3(a1+a2+?+a18+a19)

=33(1+2+3+4+?+17+18+19)

=570

若A1,A2,?,A18,A19这19个自然数都小于30,则A1+A2+?+A18+A19<19330=570与(*)式矛盾.所以A1,A2,?,A18,A19中至少有一个不小于30.为确定起见,不妨设A1≥30,即a1+a2+a3≥30,即一定有顺相邻的3个数,其和不小于30.

但在写数排圈试验中不难发现,总会找到相邻3个数之和大于30,这表明30这个限不是最好的,我们可以改进到32.要达到这个结果,其一,找三数组的个数减小,平均值可能增大,原来找出19个数三数组,现在我们找出6个,且互不重复,这样,其用到19个中的18个数,显然有一个数没用在三数组中,这个数只有取a1=1时,才能使其余18个数之和尽可能大.以上这些想法已经包含着非智力因素在内的对问题灵活处理的综合能力.克报困难意识强,遇事思维开阔的学生,处理本题的能力会表现突出一些.

2.分析:已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax4+by4=406.形式很对称,很容易诱使你将ax+by=7两边平方,再减去ax2+by2=49,?想利用乘法公式算出xy,但一试发现此路不通.由于受所作某些训练题型模式的影响,很多同学仍企图走此路,以致最后陷入死胡同.

事实上,ax+by平方后必出现a2x2与b2y2,而ax2+by2中,a,b都不是平方,这一特点已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通.应及时转向,通过一项一项表示,往一起凑这个最基本的方式去做.

解:显然

ax2=49-by2, by2=49-ax2

ax3=49x-bxy2, by3=49y-ax2y

相加得

93

133=ax3+by3=49(x+y)-xy(ax+by)

49(x+y)-7xy=133

7(x+y)-xy=19

同理 ① ax3=133-by3,by3=133-ax3

ax4=133x-bxy3,by4=133y-ax3y

相加得

406=ax4+by4=133(x+y)-xy(ax2+by2)

即 133(x+y)-49xy=406

19(x+y)-7xy=58 ②

由①、②联立,设x+y=u,xy=v

得 7u-v=19

19u-7v=58,解得 u=2.5,v=-1.5

即 x+y=2.5,xy=-1.5

由 ax=7-by,by=7-ax

得 ax2=7x-bxy,by2=7y-axy

相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b)

所以 1.5(a+b)=49-732.5

∴ a+b=21

此时即可求得

=4987.5-9-178.5=4800

说明:本题虽然所用知识单元块均在初一学过,但解此题需要考生有较强的应变能力与观察综合能力,并且计算也要很细心,因此本题属于对学生数学素质综合检查的题目.本题改编自下面的问题“已知ax+by=8,ax2+by2=22,ax3+by3=62,ax4+by4=178,试求1995(x+y)+6xy之值”.有兴趣的读者不防解一解看.答案是10011.再想一想,

94

满足题设条件的a与b两数之和a+b等于多少?你能独立地求出a+b之值吗?(答a+b=3)

95

希望杯第七届(1996年)初中一年级第1试试题

一、 选择题:

1.(-1)-(-9)-(-9)-(-6)的值是 ( )

A.-25. B.7. C.5 . D.23

( ) 2.方程19x-96=96-19x的解是

A.0; B.4819296; C.; D.. 191919

3.如果a<0,则a与它的相反数的差的绝对值是( )

A.0 B.a. C.-2a D.2a

4.如果一个方程的解都能满足另一个方程,那么,这两个方程 ( )

A.是同解方程.B.不是同解方程.C.是同一个方程.D.可能不是同解方程

5.a、b为有理数,在数轴上如图1所示,则( ) A.11111111<1<; B. <<1; C. <<1; D.1<<.

ababbaba

6.如果x<-2,那么|1-|1+x||等于 ( )

A.-2-x. B.2+x. C.x. D.-x

7.线段AB=1996厘米,P、Q是线段AB上的两个点,线段AQ=1200厘米,线段BP=1050厘米,则线段PQ= ( )

A.254厘米 B.150厘米. C.127厘米 D.871厘米

8.?,?都是钝角,甲,乙,丙,丁计算1(???)的结果依次为500,260,720,900,其中确6

有正确的结果,那么算得结果正确者是( )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

9.如果a>b,且c<0,那么在下面不等式中: (1)a+c>b+c;(2)ac>bc;(3)?ab??;(4)ac2><bc2.成立的个数是 cc( )

A.1. B.2. C.3 . D.4

96

10.如果?a??5

32a,2+c>2,那么( ) 7

A.a-c>a+c B.c-a>c+a. C.ac>-ac D.3a>2a

二、A组填空题

1.(-1)+(-2)+(-3)+(-4)=______.

2.多项式3x2+5x-2与另一个多项式的和是x2-2x+4,那么,这“另一个多项式”是______.

3.若a、b互为相反数,c、d互为负倒数,则(a+b)19962345+(cd)______. 323

4.如图2△ABC的面积是1平方厘米,DC=2BD,AE=3ED,

则△ACE的面积是______平方厘米.

5.设自然数中两两不等的三个合数之和的最小值是m,

则m的负倒数等于______.

6.一个角?与500角之和的1等于650角的余角,则?=______. 7

7.不等式2(x?1)4x?1??1的解是______________. ?5?15

?2x?3y?8?8.x,y,z满足方程组?3y?2z?0,则xyz=________.

?x?z??2?

9.已知关于x的方程3a-x=x+3的解是4,则(-a)2-2a=_________. 2

10.用一队卡车运一批货物,若每辆卡车装7吨货物,则尚余10吨货物装不完;若每辆卡车装8吨货物,则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物,那么,这批货物共有______吨.

二、 B组填空题

1.计算:?401?1109?34422??1??(?0.5)???[(?2)?2]=_____. ?2?4144?433

2.方程7x?11?0.2x5x?1??的根是______. 0.0240.0180.012

3.一个四位数能被9整除,去掉末位数字后所得的三位数恰是4

的倍数,则这样的四

97

位数中最大的一个的末位数字是______.

4.在-44,-43,-42,?,1995,1996这一串连续的整数中,前100个连续整数的和 等于______.

5.如图3,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、

BD分为四个部分,△AOB的面积是1平方千米,△BOC的面

积是2平方千米,△COD的面积是3平方千米,公园陆地的

总面积是6.92平方千米,那么人工湖的面积是______平方千米.

98

答案2提示

一、选择题

提示:

1.(-1)-(-9)-(-9)-(-6)=23,选D.

2.解,移项得19x+19x=96+96,合并,得2319x=2396,

3.a的相反数为-a,所以a与它的相反数的差的绝对值是

|a-(-a)|=|-2a|=-2a(其中a<0),选C.

4.当另一个方程的解也都满足第一个方程时,这两个方程才是同解方程,因此排除

B.但另一个方程的解不都满足第一个方程时,它们不是同解方程,所以排除A、C,因此选D.

6.∵x<-2

∴|1-|1+x||=|1+1+x|=-2-x,选A.

7.由图4可见:PQ=AQ+PB-AB=1200+1050-1996=254(厘米),选A.

8.90°<α<180°,90°<β<180°,∴180°<α+β<360°

9.已知a>b,c<0,a+c>b+c,显然成立.

由2+c>2知c>0,所以-c<c,两边加a

得a-c<a+c,所以排除A.

由a<0,c>0知ac<0,-ac>0,

99

显然ac<-ac排除C.

3a<2a排除D,

因此应选B.

事实上,因为a<0,所以-a>0.

因此 -a>a,两边同加上c,即可得c-a>c+a.

二、A组填空题

提示:

1.(-1)2+(-2)3+(-3)4+(-4)5=1+(-8)+81+(-1024)=-950

2.(x-2x+4)-(3x+5x-2)=-2x-7x+6

3.因为a、b互为相反数,所以a+b=0,c、d互为负倒数,所以cd=-1. 因此 (a+b)1996+(cd)323=0+(-1)=-1

4.由于S△ABC=1,DC=2BD.

又因为

AE=3ED

5.三个两两不等的合数之和的最小值应是三

222

解得a=125°.

7.原不等式可为

去分母得-6(x-1)-(-4x-1)>15,-2x>8,∴x<-4.

8.由2x-3y=8及3y+2z=0,相加得2x+2z=8,即x+z=4与x-z=-2联立. 解得 x=1,z=3.代入第二个方程求得y=-2,所以 xyz=12(-2)23=-6

100

7x+10=8(x-1)+3,解得 x=15(辆)所以,这批货物共有7315+10=115(吨)

三、B组填空题

提示:

4.这前100个连续整数是

-44,-43,?,-1,0,1,2,?43,44,45,46,?54,55,其中前89个整数之和

(-44)+(-43)+?+0+?+43+44=0

后11个数之和是45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55=550

所以,所给一串连续整数中,前100个连续整数的和等于550.

5.由△AOB,△BOC的底边AO、OC共线,由B到AC的距离是这两个三角形的共同的高线.

101

因此 S四边形ABCD=1+2+3+1.5=7.5(平方千米)

由于公园陆地面积是6.92平方千米,所以人工湖面积是

7.5-6.92=0.58(平方千米)

102

希望杯第七届(1996年)初中一年级第2试试题

一、选择题(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.)

1.当a=-0.01时,在-(-a),-|-a|,-a,-(-a)中,其值为正数的是( )

A.-(-a)

2.如果2222B.-|-a|. C.-a D.-(-a) 22a=0,那么有理数a,b( ) b

A.都是零 B.互为相反数. C.互为倒数 D.不都是零

3.五个有理数a,b,c,d,e在数轴上的位置如图5所示:则a+b-d3c÷e等于

( )

A.-8.5 B.-4. C.5 D.8.5

4.若a<0,ab<0,那么|b-a+1|-|a-b-5|等于 ( )

A.4. B.-4. C.-2a+2b+6. D.1996

5.A、B两地相距s千米.甲、乙的速度分别是a千米/小时,b千米/小时(a>b).甲、乙都从A到B去开会,如果甲比乙先出发1小时,那么乙比甲晚到B地的小时数是

( ) s?ss?ss?ss?s??????1??1??1 A.??; B.??; C.??; D.???1?. a?b?b?a?a?b?b?a?

6.若|x|=a,则|x-a|= ( )

A.2x或2a B.x-a. C.a-x D.零

7.设关于x的方程a(x-a)+b(x+b)=0有无穷多个解,则 ( ) A.a+b=0; B.a-b=0; C.ab=0; D.a=0. b

8.从111111?????中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于1,那24681012

11111111,; B. ,; C. ,; D. ,. 46412610108

103 么删去的两个加数是( ) A.

9.如果关于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程

那么( ) A.a>2; B.a<2; C.a<(4a?1)xa(3x?4)?的解,4377; D.a>. 1818

1%,那么原来盐水的浓度是( ) 310.在某浓度的盐水中加入一杯水后,得到新盐水,它的浓度为20%,又在新盐水中加入与前述一杯水的重量相等的纯盐合,盐水浓度变为33

A.23%; B.25%; C.30%; D.32%.

二、填空题

11.若(x-1996)2+(7+y)2=0,则x+y3=______.

m2?n2

12.自然数m,n是两个不同的质数,m+n+mn的最小值是p,则=_____. 2p

13.角?,?,?中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算1(?????)的值15

时,全班得23.50,24.50,25.50这样三个不同结果,其中确有正确答案,那么

?????=______.

14.已知有理数a、b的和a+b及差a-b在数轴上如图6所示,则化简|2a+b|-2|a|-|b-7|,得到的值是______.

?是以A为圆心的一段圆弧,KN?是以B为圆心15.在长方形ABCD中,M是CD边的中点,DN

的一段圆弧,AN=a,BN=b,则图7中阴影部分的面积是

_______.

16.快慢两列火车的长分别是150米和200米,相向行驶在平行轨道上.若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒,那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是______秒.

17.若一个三角形的底边a增加3厘米,该底边上的高ha减少3厘米后面积保持不变,那么ha-a=______厘米.

104

18.一次数学测验满分是100分,全班38名学生平均分是67分.如果去掉A、B、C、D、E五人的成绩,其余人的平均分是62分,那么在这次测验中,C的成绩是______分.

19.从3点15分开始到时针与分针第一次成30°角,需要的时间是______分钟.

20.甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发,8分钟后两人第三次相遇, 已知每秒钟甲比乙多行0.1米,那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短 距离是______米.

三、解答题

21.(1)请你写出不超过30的自然数中的质数之和.

(2)请回答,千位数是1的四位偶自然数共有多少个?

(3)一个四位偶自然数的千位数字是1,当它分别被四个不同的质数去除时,余数也都是1,试求出满足这些条件的所有自然数,其中最大的一个是多少?

22.(1)用131,232,333三种型号的正方形地板砖铺设23323的正方形地面,请你设计一种辅设方案,使得131的地板砖只用一块.

(2)请你证明:只用232,333两种型号的地板砖,无论如何铺设都不能铺满23323的正方形地面而不留空隙.

105

答案2提示

一、选择题

提示:

1.当<0时,(-a)2>0,|-a|>0,a2>0

所以-(-a)2<0,-|-a|<0,-a2<0,因此排除A、B、C,选D. 事实上,a<0时,a2>0,-(-a2)>0.当然a=-0.01时更是如此.

3.a=-3,b=-6,c=-1,d=2,e=4,

a+b-d3c÷e=(-3)+(-6)-23(-1)÷4=-8.5,选A.

4.由a<0,ab<0 可知b>0,于是b-a>0,

b-a+1>0,a-b<0,a-b-5<0.

因此|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4,选B.

6.因|x|=a,所以a≥0,下面对x分情况讨论.

当x<0时x-a<0|x-a|=-(x-a)=a-x.

当x≥0时,x=a,x-a=0=a-x,∴|x-a|=a-x.

综上,对任意x,都有|x-a|=a-x成立,选C.

7.整理原方程得 (a+b)x=a2-b2.

要使该方程有无穷多解,只当a+b=0且a2-b2=0,当a+b=0时a=-ba2-b2=0. 所以当a+b=0时,原方程有无穷多个解,选A.

106

9.关于x的方程3(x+4)=2a+5的解为

10.设原盐水溶液为a克,其中含纯盐m克,后加入“一杯水”为x克,依题意得

由①a+x=5m ③

由②a+2x=3m+3x 即a-x=3m ④

③+④得2a=8m,∴a=4m.

二、填空题

提示:

11.由(x-1996)+(7+y)=0得x=1996,y=-7.

∴x+y3=1996+(-7)3=1996-343=1653.

12.m、n都是质数,要m+n+mn取最小值,

只能m、n取2与3,所以p=2+3+233=11.

13.由α、β、γ中有两个锐角一个钝角,易知

90°<α+β+γ<360°

∴α+β+γ=352.5°.

14.由图6中可见,0<a-b<1,a+b<-1

107

22

所以 2a<0,因此a<0,若b≥0

则a-b<0与a-b>0不等,所以b<0.

此时 2a+b<0,b-7<0.

所以 |2a+b|-2|a|-|6-7|

=-(2a+b)-2(-a)-[-(b-7)]

=-2a-b+2a+b-7=-7.

15.矩形面积为a(a+b)

设阴影面积为S.则

16.设快车速为x米/秒,慢车速为y米/秒,

17.由题意得

即 aha=aha+3ha-3a-9,∴3(ha-a)=9.ha-a=3.

18.设A、B、C、D、E分别得分为a、b、c、d、e.

因此 a+b+c+d+e=500

由于最高满分为100分,因此a=b=c=d=e=100,即C得100分.

108

作为追及问题,由于3点15分时分钟与时针成角小于30°,所以分针必须追上时针并超出

20.解法1(方程法):设乙每秒行x米,则甲每秒行(x+0.1)米,依题意有 8360(x+x+0.1)=40033,解得x=1.2

则在8分钟内,乙共行1.236038=576(米)

去掉乙走过了一整圈400米,还余176米,由于不足200米,故是相遇地点沿跑道距A点的最短距离.

解法2(算述法):在8分钟内,甲比乙共多行0.136038=48米,这时一共有了三圈,每圈甲比乙多行16米,即相遇地是越过此出发地始终端的400米跑道的中点16÷2=8

(米).三圈累计,越过833=24(米).所以第三次相遇点距A沿跑道的距离是176米或224米,较小值176米是所求的最短距离.

三、解答题

21.

(1)不超过30的质数和为

2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129.

(2)千位数是1的四位自然数中最小为1000最大为1999.共连续1000个自然数.其中有500个是偶数.所以千位数是1的四位偶自然数共有500个.

(3)设满足题设性质的自然数为x,则x的千位数字是1,个位数字是偶数码. 又设质数p1<p2<p3<p4,则依题意有x=kp1p2p3p4+1 ①,其中k为自然数. 若p1=2,则kp1p2p3p4+1为奇数,与x为偶数不符.所以p1,p2,p3,p4均为奇质数. 设p1=3,p2=5,p3=7,p4=11,有33537311=1155,所以k=1.

而p1=3,p2=5,p3=11,p4=13时335311313=2145>1999.

109

所以p1=3,p2=5,p3=7是①中p1,p2,p3的唯一取值法.这样一来,只须再对p4讨论: 当p4=11时,x1=33537311+1=1156.

当p4=13时,x2=33537313+1=1366.

当p4=17时,x3=33537317+1=1786.

当p4=19时,x4=33537319+1=1996.

而当p4=23时,x5=33537323+1>2000不合要求.

所以,满足题设条件的自然数共四个,它们是1156,1366,1786,1996.

其中最大的一个是1996.

22.(1)如图8,用12块333地板砖与6块232地板砖能铺成12311的长方形地面. 如图9的铺设方案.用4个12311的图8所示的板块,恰用1块131地板砖,可以铺满23323的正方形地面.

(2)我们将23323的大正方形分成23行23列共计529个131的小方格,再将第1行,第4行,第7行,第10行,第13行,第16行,第19行,第22行这八行染红色,其余的15行都染白色,如图10所示.

任意232或333的小正方块无论怎样放置(边线与大正方形格线重合),每块232或333的正方块都将盖住偶数块131的白色小方格.

假设用232及333的正方形地板砖可以铺满23323后正方形地面,则它们盖住的白色131的小方格总数为偶数个.然而23323地面染色后共有23315(奇数)个131的白色小方格,矛盾.

所以,只用232,333两种型号地板砖无论如何铺设,都不能铺满23323的正方形地面而不留空隙.

110

希望杯第八届(1997年)初中一年级第1试试题 一、

1.?选择题: 8?a

1997 是( )

A.正数 B.负数. C.非正数. D.零.

2.下面说法中,不正确的是 [ ]

A.小于-1的有理数比它的倒数小.B.非负数的相反数不一定比它本身小

C.小于0的有理数的二次幂大于原数.D.小于0的有理数的立方小于原数 3.1?(?9)??9?7

1?9?9?7的值的负倒数是( ) A.83242972; B.; C.; D.. 29247283

4.在图1的数轴上,标出了有理数a、b、c的位置,则[ ]

A.a-c<b-a<b-c. B.a-b<b-c<a-c

C.b-c<a-c<a-b. D.a-c<b-c<b-a

5.下面判断中正确的是 [ ]

A.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x同解

B.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x没有相同的解

C.方程x(2x-3)=x的解都是方程2x-3=1的解

D.方程2x-3=1的解都是方程x(2x-3)=x的解

6.(3x+9)(2x-5)等于 [ ]

A.5x+3x-45. B.6x-3x+45. C.5x+33x+45. D.6x+3x-45

7.若a=2222199519951996199619971997,b=,c=,则( ) 199619961997199719981998

A.a<b<c B.b<c<a. C.c<b<a D.a<c<b

8.有理数a、b满足a=1997b,则[ ]

A.a≥b B.|a|≤b. C.a≥|b| D.|a|≥|b|

9.有理数a、b满足|a+b|<|a-b|,则[ ]

A.a+b≥0 B.a+b<0. C.ab<0 D.ab≥0.

111

10.有理数b满足|b|<3,并且有理数a使得a<b恒能成立,则a的取值范围是[ ]

A.小于或等于3的有理数.B.小于3的有理数

C.小于或等于-3的有理数.D.小于-3的有理数

二、

11.??1A组填空题: ?

?1132417??7?7?????????1=_____. 3610710718??8?11

12.图2中,三角形的个数是______.

13.已知32n?11997n?7x与x是同类项,则(n-17)3=______. 19974

14.?1996??1998??2000??20021?2?2?4?3?64?85?106?127?14=_______.

15.数学晚会上,小明抽到一个题签如下:若ab<0,(a-b)2与(a+b)2的大小关系是( )

A.(a-b)<(a+b). B.(a-b)=(a+b)

C.(a-b)2>(a+b)2. D.不能确定的

小明答对了,获了奖,那么小明选择答案的英文字母代号是______.

16.如图3,OM是∠AOB的平分线,射线OC在∠BOM内部,

ON是∠BOC的平分线,已知∠AOC=80°,那么∠MON的大小等于______.

17.已知a-b=2,b-c=-3,c-d=5,则(a-c)(b-d)÷(a-d)=______. 18.10位评委为某体操运动员打分如下:

10,9.7,9.85,9.93,9.6,9.8,9.9,9.95,9.87,9.6去掉一个最高分和一个最低分,其余8个分数的平均数记为该运动员的得分,则这个运动员的得分是______.

19.如图4,长方形ABCD中,△ABP的面积为20平方厘米,△CDQ的面积为35平方厘米,则阴影四边形的面积等于______平方厘米. 2222

????

20. ??在左边的算式中乘数不是1,且每个小方纸片都盖

5991

住了一个数字,这五个被盖住的数字的和等于______.

三、B组填空题:

21.初一“数学晚会”上,有10个同学藏在10

个大盾牌后面.男同学的盾牌前面写的

112

是一个正数,女同学的盾牌前面写的是一个负数,这10个盾牌如下所示.

(?5)2(?1)883(?30),,a?0.1,,,?8,??2,,4?(?2),5??1, 3(?25)199719?97(?3)30

则盾牌后面的同学中有女同学______人;男同学______人.

22.甲、乙两商店共有练习本200本,某日甲店售出19本,乙店售出97本,甲乙两店所剩的练习本数相等,由甲店原有练习本______本;乙店原有练习本______本.

23.一个有理数恰等于它的相反数,则这个有理数是______;一个有理数恰等于它的倒数,那么这个有理数是______.

24.一个有理数的n倍是8,这个有理数的1是2,那么这个有理数是_______. n

25.关于x的方程|a|x=|a+1|-x的解是1,那么,有理数a的取值范围是______;若关于x的方程|a|x=|a+1|-x的解是0,则a的值是______.

113

答案2提示

一、选择题

提示:

2.设a为有理数,当-1<a<0时,a>a,∴(D)的说法不正确.

3

4.由图1可知,a<b,所以a-c<b-c;又知c>a,所以c-b>a-b,

不等式两边都乘以-1,则有b-c<b-a.

综上所述,有a-c<b-c<b-a,选(D).

5.方程2x-3=1的解是x=2;方程x(2x-3)=x的解是x=0和x=2.因此,(A)、

(B)、(C)的判断都是错误的,只有(D)判断正确.

6.原式=6x2-15x+18x-45=6x2+3x-45.所以,选(D).

7.设A=19951995,B=19961996,C=19971997,D=19981998,则有B=A+10001,C=B+10001,D=C+10001.

∵ (B+10001)(B-10001)=B-10001

亦即,C2A=B-10001∴ C2A<B.

由于B、C均为正数,不等式两边同时除以B2C,得到

22 222

8.∵1997>0,可以确定有理数a、b同是正数,或同是负数,或同是0.又∵1997>1,所以必须|a|≥|b|,选(D).

9.由|a+b|<|a-b|有(a+b)2<(a-b)2

即 a2+2ab+b2<a2-2ab+b2.

114

不等式两边都减去a+b,然后除以2,则有ab<-ab,

只有ab<0时才能成立,选(C).

10.|b|<3就是-3<b<3,只有当a≤-3时,a<b恒成立,选(C). 三、

提示:

A组填空题 22

12.图中的三角形有:△BPC、△AQD、

△BEP、△EAQ、△CPF、△FQD、△BEC、△BFC、△EAD、△FAD、△CED和△BFA,共12个.

13.由题意有2n-1=n+7.解此方程得到n=8,代入(n-17)=(8-17)=(-

9)3=-729.

15.(a-b)-(a+b)=a-2ab+b-a-2ab-b=-4ab

∵ ab<0,∴ -4ab>0即(a-b)-(a+b)>0.

∴ (a-b)>(a+b).∴ 选(C).

16.设∠1=∠AOM=∠BOM,∠2=∠BON=∠CON∠3=∠MOC

∠由题意有∠1+∠3=80° ①

2∠2+∠3=∠1 ②

①和②等式两边相加,则有

2∠2+2∠3+∠1=80°+∠1.

两边减∠1,有2(∠2+∠3)=80°.

∵ ∠2+∠3=40°.

∠MON=∠MOC+∠CON=∠2+∠3=40°.

115

222222222233

17.a-c=(a-b)+(b-c)=2+(-3)=-1.

b-d=(b-c)+(c-d)=(-3)+5=2.

a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)

=2+(-3)+5=4.

18.由题意去掉10和一个9.6,其余8个分数的整数部分都是9,所以只需对小数部分求平均数,为了计算简便可将各数的次序调整:

所以该运动员得分是9.825分.

19.由于△BEC的高与矩形ABCD的AB边相等,所以

∴ S△BEC=S△ABF+S△CDF.

等式左边=S△BPF+S△QFC+S阴影部分

等式右边=S△ABP+S△BPF+S△CDQ+S△FQC.

等式两边都减去(S△BPF+S△QFC),则有

S阴影部分=S△ABP+S△CDQ=20+35=55(平方厘米).

20.两数相乘所得积的个位数为1,这两个数只可能是1、1或3、7或9、9.按题意排除1、1。又由于5991不能被9和7整除,所以又排除9、9,且乘数只能是3.

因为5991÷3=1997,所以被乘数是1997,这5个数的和是:1+9+9+7+3=29.

三、B组填空题

提示:

116

∴ 有女同学4人,男同学6人.

22.设甲店有x本,则乙店有(200-x)本.

由题意列方程:x-19=(200-x)-97

解方程得到x=61,200-x=200-61=139.

∴ 甲店有61本;乙店有139本.

23.0的相反数-0=0.

24.设这个有理数为x,由题意有:

③代入① 2n=8n=±2.

由③ x=±4.

25.将解x=1代入原方程,则有:|a|=|a+1|-1.|a|+1=|a+1|, ∴ a≥0.将解x=0代入原方程,则有:0=|a+1|,∴ a=-1. 2

117

希望杯第八届(1997年)初中一年级第2试试题

一、 选择题(以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.)

1.x的8倍与17的和是( ) 97

A.8x?17?171717?x; B.8x?; C.8?x??; D.x8?. 97?979797?

2.|a-b|=|a|+|b|成立的条件是 [ ]

A.ab>0 B.ab>1. C.ab≤0 D.ab≤1

3.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20米处,玩具店位于书店东边100米处,小明从书店沿街向东走了40米,接着又向东走了-60米,此时小明的位置在[ ]

A.文具店 B.玩具店. C.文具店西边40米 D.玩具店东-60米

4.有四个关于x的方程:(1)x-2=-1;(2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1);(3)x=0;(4)x-2+

其中同解的两个方程是( )

A.(1)与(2).

5.已知a<-b,且B.(1)与(3). C.(1)与(4). D.(2)与(4). 11=-1+. x?1x?1a>0,则丨a丨-丨b丨+丨a+b丨+丨ab丨等于( ) b

A.2a+2b+ab. B.-ab. C.-2a-2b+ab. D.-2a+ab

6.1997个不全相等的有理数之和为零,则这1997个有理数中[ ]

A.至少有一个是零. B.至少有998个正数

C.至少有一个是负数.D.至多有1995个是负数

7.a、b、c在数轴上的位置如图1所示,则 [ ]

118

A.a?ba?ba?cba?ba?ba?cb??; B.??; a?ba?ba?cba?ba?ba?cb

C.a?ba?cba?ba?cba?ba?b??; D.??; a?ba?cba?ba?cba?ba?b

8.平面上三条直线相互间的交点个数是[ ]

A.3 B.1或3. C.1或2或3 D.不一定是1,2,3

9.如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的小时数是 [ ] abc2c2a2b A.2; B.; C.2; D.2 cababc

10.将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体,现将大正方体各面上的某些小方格涂上黑色,如图2所示,而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同,这时,至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是 [ ]

A.18 B.20. C.22 D.24

二、填空题

11.化简-3xy+4xy+5xyx-7xy+|-8xyx|=______.

12.8-x的负倒数等于19,则x-97=______.于x,y的二元一次方程,则的值为____.

13.若3x3m+5n+9+4y4m-2n-7=2是关于x,y的二元一次方程,则22222m的值为____. n

14.《数理天地》(初中版)月刊,全年共出12期,每期定价2.50元,某中学初一年级组织集体订阅,有些学生订半年而另一些学生订全年,共需订费1320元,若订全年的同学都改订半年,而订半年的同学均改订全年时,共需订费1245元,则该中学初一年级订阅《数理天地》(初中版)的学生共有______人.

15.如图3所示,O是直线AB上一点,∠AOD=120°,CO⊥AB于O,OE平分∠BOD,则图中彼此互补的角共有______对.

16.设m+m-1=0,则m+2m+1997=______.

17.如图4所示, ΔABC中,点P在边AB上,AP=2321AB,Q点 3

在边BC上,BQ=BC1,R点在CA边上,CR=CA,已知阴影 45

119

ΔPQR的面积是19平方厘米,那么△ABC的面积是______平方厘米.

18.容器A中盛有浓度为a%的农药溶液m升,容器B中盛有浓度为b%的同类农药溶液m升(a>b),现将A中药液的1倒入B中,混合均匀后再由B倒溶液回A,使A中的药液恢复为m升,4

则互掺后A、B两容器中的药量差比互掺前A、B两溶器中的药量差减少了______升.

19.计算:

1??11??11??111??11????1?????1????????????????1997??21996??21997??231996??23

=______________.

20.有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,已知用24部A型抽水机6天可抽干池水,若用21部A型抽水机8天也可抽干池水,设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,则至多只能用______部A型抽水机抽水.

三、解答题

21.已知一个七位自然数62xy427是99的倍数(其中x、y是阿拉伯数字),试求 950x+24y+1之值,简写出求解过程.

22.用24个面积为1的单位正三角形拼成如图5所示的正六边形,我们把面积为4的正三角形称为“希望形”.

(1)请你回答,图中共可数出多少个不同的“希望形”?

(2)将1~24这24个自然数填入24个单位正三角形中(每个里只填1个数).我们依次对所有“希望形”中的4个单位正三角形中填的数同时加上一个相同的自然数称为一次操作,问能否经过有限次操作员后,使图中24个单位正三角形中都变为相同的自然数?如果能,请给出一种填法,如果不能,请简述理由.

120

答案2提示

一、选择题

提示:

2.当a、b异号或a、b均为0时,|a-b|=|a|+|b|成立,∴ 选(C).

3.由题意画图6:

因为,向东走了-60米就是向西走了60米.所以,小明从书店向东走了40米,再向西走60米,结果是小明的位置在书店西边20米,也就是文具店的位置,∴ 选(A).

4.方程①的解x=1,将x=1代入方程②,方程②成立,∴ x=1也是方程②的解.方程①和②是同解方程,而①与③显然不同解;①的解代入④,④无意义.∴ (B)、(C)、

(D)都不正确,只有(A)正确,∴ 选(A).

原式=-a-(-b)+[-(a+b)]+ab

=-a+b-a-b+ab=-2a+ab,∴ 选(D).

6.由题意,这1997个有理数可以有零,也可以没有零,则排除(A).这1997个有理数中,必须有正数和负数.例如,1996个-1和一个1996相加为零,则否定了(B)和(D),∴ 选(C).

7.由图有a-b<a+cb<a-cb<a+b.

121

8.当平面上三条直线互相平行时,没有交点,

∴ 排除(A)、(B)、(C),选(D).

10.由图2可见,大正方体正面中心的一个小正方体,以及它后面的两个小正方体(共3个)没有涂黑,顶面中间一排左右两个小正方体,及其底面相对应的两个小正方体没有涂黑,所以,总共有7个小正方体没有涂黑,其余20个小正方体至少有一面涂黑了,选(B).

二、填空题

提示:

11.原式=-3xy+4xy+5xy-7xy+8xy=6xy+xy 2222222222

13.由题意列方程

②-①得 m=7n+16 ③

③代入①有 21n+48+5n+9=1,26n=-56,

14.设订半年的学生x人,订全年的学生y人,按照题意列方程:

122

由②得到 y=83-2x,

代入①后求得 x=26,y=83-2x=31.

∴ 订阅的学生人数=x+y=26+31=57.

15.由题意有∠COD=∠DOE=∠EOB=30°,这三个角都与∠AOE互补. ∵ ∠COE=∠DOB=60°,

∴ 这两个角与∠AOD互补.

另外,∠AOC和∠COB都是直角,二者互补.因此,共有6对互补角.

16.原式=m3+m2-m+m2+m-1+1998

=m(m+m-1)+(m+m-1)+1998

=(m+m-1)(m+1)+1998

由于m2+m-1=0,∴ 原式=1998.

17.连AQ,则有△ABQ.

222

123

18.先计算互掺后A、B两容器药液浓度:

掺前A、B药量差=am%-bm%=(a-b)m%

124

20.设每部抽水机每天抽水量为x,泉水每天的涌流量为y,由题意列方程:

②-①得到 24x=2y,y=12x

因此,至多只能用12部抽水机抽水.

三、解答题

∴ x+y+3=9m(m是自然数)

∵ 0≤x≤9,0≤y≤9,

可以导出3≤x+y+3≤21

从而 x+y=6或x+y=15 ①

∴ 13+x-y=11k(k是整数)

又 -9≤x-y≤9,

即4≤13+x-y≤22.

∴ x-y=-2或x-y=9

∵ x+y与x-y同奇偶,

125

∴ x=2,y=4,

950x+24y+1=95032+2434+1=1997.

22.(1)有12个不同的“希望形”.

(2)不可能,理由如下:

假设经过m次操作后,24个单位正三角形的数均变为a,则总和为24a.

另一方面,设第i次操作中每个“希望形”的4个单位正三角形中的数都增加自然数ni,则

第i次操作共增加:1234ni

m次操作后共增加:1234(n1+n2+?+nm)

这24个单位正三角形最初填入的24个数之和为1+2+3+?+24=25312所以m次操作后24个单位正三角形中填数的总和为

25312+1234(n1+n2+?+nm)

于是有 25312+1234(n1+n2+?+nm)=243a进而推出 24|25312,即2|25但这是不成立的.

126

希望杯第九届(1998年)初中一年级第1试试题

一、选择题:(每小题6分,共60分)

1.数(-1)1998是 ( )

A.最大的负数 B.最小的非负数. C.最小的正整数 D.绝对值最小的整数 2.a=???????????,则a的相反数是( ) A.??1??1??1??6??5??4?177177; B.?; C.; D.. 60606060

B.a+b3. C.a3+b D.(a+b)3 3.“a与b的和的立方”的代数式表示是 ( ) A.a3+b3

4.有下面4个命题:①两个数的差一定是正数.②两个整式的和一定是整式.

③两个同类项的数字系数相同.④若两个角的和等于180°,则这两个角互为邻补角. 其中真命题的个数是 ( )

A.1 B.2. C.3 D.4

( )

D.非负数 5.若19a+98b=0,则ab是 A.正数 B.非正数. C.负数

116.有理数a,b,c在数轴上的表示如图1,则在2,,ac中,( ) bb

111ac A.2最小; B.最大; C. 最大; D. 2最大. bbb

7.一杯盐水重21千克,浓度为7%.当再加入0.7千克纯盐后,这杯盐水的浓度是( )

A.7.7% B.10%. C.10.7% D.11%

8.a、b都是有理数,现有4个判断:

①如果a+b<a,则b<0.②如果ab<a,那么b<0

③如果a-b<a,则b>

A.①② B.②③. C.①④ D.①③

9.若,其中正确的判断是 ( ) 1b?a?3,6?b?63,,则的最大值是( ) a2

127 A.21 B.2. C.12 D.126

10.数a、b、c如图2所示,有以下4个判断:

①1>a+b+c; ②ab2>c; ③a-b>-c; ④5a>2b. 其中正确的是 ( ) a

A.①和② B.①和③. C.②和④ D.②和③

二、A组填空题(每小题6分,共60分) 11.1?1?1?1?1????1??1??1????=_______. 2?3?4?5???

2212.若m=-1998,则│m+11m-999│-│m+22m+999│+20=______.

13.两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是______.

14.一个有理数的倒数的相反数的3倍是1,那么这个有理数是_________. 3

15.17个连续整数的和是306,那么紧接在这17个数后面的那17个连续整数的和等于________.

16.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和,那么他的年龄是______岁.

17.图3中,B、C、D依次是线段AE上的三点,

已知AE=8.9厘米,BD=3厘米,则图中以A、

B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度之和等于_______厘米.

18.五位数abcde是9的倍数,其中abcd是4的倍数,那么abcde的最小值为_______.

19.梯形ABCD如图4所示,AB、CD分别为梯形上下底,已知阴影部分总面积为5平方厘米,△AOB的面积是0.625平方厘米.则梯形ABCD的面积是________平方厘米.

20.三个有理数a,b,c两两不等,那么a?bb?cc?a,,中有______个是负数. b?cc?aa?b

三、B组填空题(每小题6分,共30分)

21.三个质数之和是86.那么这三个质数是________.

22.线段AB上有P、Q两点,AB=26,AP=14,PQ=11,那么BQ=________.

23.篮、排、足球放在一堆共25个,其中篮球个数是足球个数的7倍,

那么其中排球的个数是________.

24.一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是________.

128

25.将1,?,,?,,???按一定规律排成下表

: 11

23114516

从表中可以看到,第4行中自左向右第3个数是11, 第5行中自左向右第2个数是-, 912那么第199行中自左向右第8个数是______, 第1998行中自左向右第11个数是_____.

129

答案2提示

一、选择题

1 C.2 D.3 D.4 A.5 B.6 D.7 B.8 D.9 D.10

提示:

1.(-1)1998=+1.排除A.由于最小的非负数是0,排除B.绝对值最小的整数也是0,排除D.显然应选C.事实上+1是最小的正整数

. B

3.a3+b3的意义是a立方与b立方之和;

a+b的意义是a与b立方之和;

a+b的意义是a立方与b之和;

(a+b)的意义是a与b的和的立方.选D.

4.由3-4=-1,知命题①不真;3ab2与5ab2是同类项,但数字系数不同,③不真;由于两条平行线被第三条直线所截,同旁内角之和为180°,但它们并不互为邻补角.命题④不真.易知,两个整式的和仍是整式是真命题.所以只有1个真命题,选

A.

333

7.加入0.7千克纯盐后,这杯盐水的浓度是

130

综上分析可知,选

D.

二、A组填空题

11、 12、20000 13、-1 14、-9 15、595 18 10008 19、15.625 20、2

提示:

131

16、18 17、41.6

13.两个三位数之和的最大值为999+999=1998,所以两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是1998-1999=-

1.

15.设17个连续整数为

m,m+1,m+2,?,m+16 ①

有m+(m+1)+?+(m+16)=306.

它后面紧接的17个连续自然数应为

m+17,m+18,m+19,?,m+33②

②的每一项比①中对应项多17,所以②中17个数总和比①中17个数总和多17317,所以②中17个数总和为306+17317=

595.

132

∴ 只取x=8,y=0.

某人的年龄是18岁.

17.以A,B,C,D,E这5个点为端点的线段共有十条,它们是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE.其长度总和

AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE

=4AB+6BC+6CD+4DE

=4(AB+DE)+6(BC+CD)

=4(AE-BD)+6BD

=4AE+2BD=438.9+233=41.6(厘米)

.

19.易知△ADB与△ACB面积相等,所以△AOD与△BOC面积相等.但△AOD与△BOC面积之和为5平方厘米,所以△AOD的面积=△BOC的面积=2.5平方厘米.

又S△AOB∶S△BOC=AO∶OC=S△AOD∶S△DOC.

即 0.625∶2.5=2.5∶S△DOC

所以梯形ABCD面积

=S△AOB+(S△AOD+S△BOC)+S△DOC

=0.625+5+10=15.625(平方厘米).

133

二、B组填空题

21、(2,5,79)、(2,11,73)、(2,13,71)、(2,17,67)、(2,23,61)、

(2,31,53)、(2,37,47)、(2,41,43)

22、1或23

23、1或9或17

24、大于1的有理数和负有理数

提示:

21.86是个偶数,那么3个质数加数中至少有一个偶数,这个偶数又是质数,故只能是2.其余两个加数是奇质数,其和为84.易知,只能是(5,79),(11,73),(13,71),(17,67),(23,61),(31,53),(37,47),(41,43)这八组,所以,84表示为3个质数和可以有八组,它们是

(2,5,79),(2,11,73),(2,13,71),

(2,17,67),(2,23,61),(2,31,53),

(2,37,47),(2,41,43).

22.P、Q在线段AB上可以有两种情形.

对于图5∶BQ=AB-AP-PQ=26-14-11=1.

对于图6∶BQ=AB-AP+PQ=26-14+11=23.

23.篮球、排球、足球总数是25个.并且篮球数是足球数的7倍.所以足球数只能取1,2,3个.这时篮球数对应取7,14,21个.从而排球数可能取的值是17,或9,或1个.

134

24.画出数轴如图7.

大于1的有理数的二次幂大于它自身;1的二次幂等于1;

大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0;

负有理数的二次幂是正数,大于它自身.

综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.

25.这个数串中奇号项为正,偶号项为负.第

n

所以第198行第198个数是数串中的第19701项.

因此,第199行的第8个数是数串中的第19701+8=19709项.

同理,这个表中第1997行结束时,共排了

所以第1997行第1997个数是数串中的第1995003项,第1998行第11个数应是数串中的第1995003+11=1995014项.

135

希望杯第九届(1998年)初中一年级第2试试题

一、选择题:(每题6分,共60分)

1.已知有理数a在数轴上原点的右方,有理数b在原点的左方,那么 ( )

A.ab<b B.ab>b. C.a+b>0 D.a-b>0

19982.有理数a等于它的倒数,有理数b等于它的相反数,则a

A.0 B.1. C.-1 D.2 +b1998= ( )

3.下面的四个判断中,不正确的是 ( )

A.34x3y6与34a3b6不是同类项.B.3x和-3x+1不能互为相反数.

C.4(x-7)=6(5-27x)和6(5-27y)=4(y-7)不是同解方程.

D.3和11?不能互为倒数. a3

4.已知关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解,则ab是 ( )

A.正数 B.非正数. C.负数 D.非负数

5.如果a-b>a+b,那么 ( )

A.|a-b|>|a+b|. B.ab<0. C.-2b>2b. D.-2a>2b

?3x?y?76.方程组?的解(x,y)是( ) 5x?8y?31?

A.(3,-2). B.(2,1).C.(4,-5). D.(0,7)

7.一条直线上距离相等地立有10根标杆,一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走,当他走到第6杆时用了6.6秒,则当他走到第10杆时所用时间是

A.11秒. B.13.2秒. C.11.88秒. D.9.9秒 ( )

8.有以下两个数串:

1,3,5,7,?,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,?,1990,1993,1996,199.同时出现在这两个数串中的数的个数共有 ( )

A.333 B.334. C.335 D.336

9.如图8所示,S△ABC=1,若S△BDE=S△DEC=S△ACE,则S△ADE= ( ) A.1111; B.; C.; D.. 5678

10.若关于x的方程|2x-3|+m=0无解,|3x-4|+n=0只有一个解,|4x-5|

136

+k=0有两个解,则m,n,k的大小关系是 ( )

A.m>n>k B.n>k>m. C.k>m>n D.m>k>n

二、填空题(每题6分,共60分)

783?223

11.计算:2=________. 278?78?22?22

12.若a+19=b+9=c+8,则(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=________.

13.图9中三角形的个数是_______.

14.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是_________秒.

15.某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/时的速度从乙地返回甲地,那么某人往返一次的平均速度是______千米/时.

16.对于不小于3的自然数n,规定如下一种操作:<n>表示不是n的约数的最小自然数,如<7>=2,<12>=5等等,则<<19>3<98>>=_______.(式中的3表示乘法)

17.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球,红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_________.

18.图10,中,两个半径为1的

,1'''与?圆扇形?AOB叠放 AOB4在一起,POQO是正方形,则整个阴影图形的面积是__________.

19.(3a+2b)x+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有

唯一解,则x=__________.

20.某校运动会在400米球形跑道上进行10000米比赛,甲、乙两运动员同时起跑后,乙速超过甲速,在第15分时甲加快速度,在第18分时甲追上乙并且开始超过乙,在第23分时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙匀速跑完全程所用的时间是________分.

二、解答题(每题15分,共30分,解答本题时,请写出推算过程)

21.23个不同的正整数的和是4845,问:这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少?写出你的结论,并说明理由

.

137

2

22.(a)请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交,并简单说明画法.

(b)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交?如果能,请画出一例,如果不能,请简述理由.

138

答案2提示

一、选择题

1、D

10、A

提示:

1.a在数轴上原点右方,a>0;b在原点左方,b<0.

当a=1,ab=b,显然应排除A、B.

当a=1,b=-2时,a+b=-1<0,排除C.

所以应选D,事实上,当a>0,b<0时,a-b>0总成立

. 2、 B 3、 C 4、 B 5、 C 6、 A 7、 C 8、 B 9、 B

3.①34x3y6与34a3b6,因字母不同,不是同类项,所以A是正确的,排除A.

②若3x与-3x+1互为相反数,则-(3x)=-3x+1得出0=1的矛盾.所以“3x和-3x+1不能互为相反数”这句话正确,排除

B.

因为这两个方程的解集相同,因此,它们是同解方程.即C“4(x-7)=6(5-27x)和6(5-27y)=4(y-7)不是同解方程”这句话是不正确的

.

4.关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解.

当且仅当

139

5.由a-b>a+b可知-b>b,即b<

0.

6.以(3,-2),(2,1),(4,-5),(0,7)代入方程组检验,只有(3,-

2)满足方程组,选A.

7.从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔.因而,每个间隔行进6.6÷5=1.32(秒).而从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔.所以行进9个间隔共用1.3239=11.88(秒),选择C.

8.第一个数串是1~1999的整数中被2除余1的数,共有1000个.

第二个数串是1~1999的整数中被3除余1的数,共有667个.

同时出现在这两个数串中的数是1~1999的整数中被6除余1的数.它们是:1,7,13,19,25,?,1993,1999.共计334个,选择

B.

10.|2x-3|+m=0无解,则m>0.

|3x-4|+n=0有一个解,则n=0.

|4x-5|+k=0有两个解,则k<0.

所以,m>n>k成立,选择A.

二、填空题

题号 答案

12、222

13、48 14、7.5 15、4.8 16、4 11、100 17、4 18、

提示: 19、1.5 20、25

140

12.由a+19=b+9=c+8 得

a-b=-10,b-c=-1,c-a=11.

∴(a-b)+(b-c)+(c-a)

=(-10)+(-1)+11=100+1+121=222.

13.如图11所示,标上字母A、B、C、D.当不考虑AD时,△ABC被从顶点B引出的五条线分成的三角形个数是6+5+4+3+2+1=21个.

当考虑AD时,在AD上方也可以数出21个三角形,而在AD下方只可以数出6个三角形. 总计,共有21+21+6=48个三角形.

14.甲、乙两车相向在平行轨道上行驶,当从甲车某个窗口看乙车时,从看到车头到车尾通过,要经过200米的距离,而这200米的距离是以两车速度之和来通过的,是个相遇问题.

设甲、乙两车速度和为u米/秒.甲车上某乘客从

222222

15.设甲、乙两地距离为S千米.某人由甲地

所以某人从甲→乙→甲往返一次的平均速度

16.根据定义,<n>表示不是n的约数的最小自然数.我们可以求得:

<19>=2,<98>=3

∴ <19>3<98>=233=6

141

<<19>3<98>>=<6>=4.

17.设小明摸出的10个球中有x个红球,y个黄球,z个蓝球.

依题意列得方程组:

①33-②得2x+y=9,即 y=9-2x.

由于y是非负整数,x也是非负整数.

易知 x的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球.

所以阴影的总面积为

19.方程(3a+2b)x+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且有唯一解,则

2

20.设出发时甲速度为a米/分,乙速度为b米/分.第15分甲提高的速度为x米/分,所以第15分后甲的速度是(a+x)米/分.依题意,到第15分时,乙比甲多跑15(b-a)米,甲提速后3分钟(即第18分)追上乙,所以

(a+x-b)33=15(b-a) ①

接着甲又跑了5分(即第23分钟),已经超过乙一圈(400米)再次追上乙,所以

(a+x-b)35=400 ②

到了第23分50秒时甲跑完10000米,这10000米

解①,②得b-a=16米/分,x=96米/分.

142

代入③a=384米/分,所以b=400米/分.

乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的,所以乙跑完全程所用的时间是25分.

三、解答题

21.设这23个彼此不同的正整数为a1,a2,?,a23.

不妨设 a1<a2<a3<?a23.它们的最大公约数是d.

则 a1=d2b1,a2=d2b2,?,a23=d2b23

依题意,有4845=a1+a2+?+a23=d(b1+b2+?+b23)

则应当有 b1,b2,?b23也为彼此不等的正整数.

且 b1+b2+?+b23≥1+2?+23=276.

因此 4845=d(b1+b2+?+b23)≥2762

d.

又因为 4845=19317315

因此,这23个不同的正整数的最大公约数的最大值可能是17.

我们证明,存在两两不等的23个正整数,它们的最大公约数恰为17.例如

a1=17,a2=1732,a3=1733,?,a21=17321,

a22=17322,a23=17332.

a1+a2+?+a23=17(1+2+?+22)+17332

=173253+17332=173285=4845.

而(a1,a2,?,a22,a23)=17.

所以符合题设条件的23个正整数的最大公约数的最大值是17.

22.(a)在平面上任取一点A.过A作二直线m1与n1.在n1上取两点B,C,在m1上取两点D,G.过B作m2∥m1,过C作m3∥m1,过D作n2∥n1,过G作n3∥n1,这时,m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点,如图14所示.由于彼此平行的直线不相交,所以图14中每条直线都恰与另3条直线相交.

(b)在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.

理由如下:

假设平面上可以画出7条直线,其中每一条都恰与其他3条相交,因两直线相交只有一个交点,又没有3条直线共点,所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.

143

我们按直线去计数这些交点,共有337=21个交点,但每个交点分属两条直线,被重复计数一次,所以这7条直线交点总数为

所以,满足题设条件的7条直线是画不出来的.

144

希望杯第十届(1999年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每小题6分,共60分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在表格内和每题后面的圆括号内。

1、0-(0-1999)=( )。

(A)19.99;(B)-1999;(C)1999;(D)0。

2、下面四个命题中正确的是( )。

(A)1是最小的正有理数;(B)-1是最大的负有理数;

(C)0是最小的正整数;(D)0是最大的非正整数。

3、若,则=( )。

(A)1;(B)-1;(C)0;(D)2。

4、设,则下述命题中正确的是( )。

(A)a的偶次方的偶次方是负数;(B)a的奇次方的偶次方是负数;

(C)a的奇次方的奇次方是负数;(D)a的偶次方的奇次方是负数。

5、一元一次方程2x+1=0有( )。

(A)正整数解;(B)负整数解;(C)正分数解;(D)负分数解。

6、设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c=( )。

(A)-1;(B)0;(C)1;(D)2。

7、,,,这四个数由小到大的排列顺序是( )。

(A)<<<;

(B)<<<;

(C)<<<;

(D) <<<145 。

8、a,b,c三个整数满足a<b<c,则( )。

(A)

9、若(A)与;(B)互为相反数,则;(C);(D)与的大小关系是( )。 。

3100%,如果该工厂2000

,则等于( )。 ;(B);(C);(D

)10、定义:一个工厂一年的生产增长率就是年的产值要达到1998年产值的1.44倍,而且每年的生产增长率都是

(A)5%;(B)10%;(C)15%;(D)20%。

二、A组填空题(每小题6分,共60分)

11、

12、若是1998的三个不同的质因数,且=________。 ,则=________。

13、=________。

14、如图,矩形ABCD的面积为1,BE:EC=5:2,DF:CF=2:1,则三角形AEF的面积的大小为________。

15、已知,则

=________。

16、计算

17、已知 和是同类项,则=________。 =________。

146

18、如图,正方形的边长为a,小圆的直径是b,S表示正方形面积与大圆面积的差,A是小圆面积,设圆周率为π,则=________。

19、一次测验共出5道题,做对一题得1分,已知26人的平均分不少于4.8,最低得3分,至少有3人得4分,则得5分的有________人。

20、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则化简

得的结果是________。

三、B组填空题(每小题6分,共30分)

21、若0<x<10,则满足条件

________。

22、若长方形的长、宽都是整数,且周长与面积的数值相等,则长方形的面积等于________。

23、将一筐桔子分给若干个儿童,如果每人分4个桔子,则剩下9个桔子;如果每人分6个桔子,则最后一个儿童分得的桔子数将少于3个,由以上可推知共有________个儿童分________个桔子。

24、设________。

25、某种出租汽车的车费是这样计算的:路程在4公里以内(含4公里)为10元4角,达到4公里以后,每增加1公里加1元6角;达到15公里后,每增加1公里加2元4角,增加不足1公里时按四舍五入计算,则乘坐15公里该种出租车应交车费________元,某乘客乘坐该种出租车交了车费95元2角,则这个乘客乘该出租车行驶的路程为________公里。 (精确到个位)

147

的整数a的值共有________个,它们的和等于满足,,则=________,=

参考答案

一、选择题

148

希望杯第十届(1999年)初中一年级第2试试题

一、选择题:(每小题6分,共60分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.1的相反数是( ). 1999

11; (D)? 19991999 (A)1999 (B)-1999 (C)-

2.已知a、b、c都是负数,并且│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,则xyz是( ).

(A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数

3.下面四个命题中正确的是( ).

(A)相等的两个角是对顶角

(B)和等于180°的两个角是互为邻补角

(C)连接两点的最短线是过这两点的直线

(D)两条直线相交所成的四个角都相等,则这两条直线互相垂直

4.a、b、c三个有理数在数轴上的位置如图所示,则( ). (A)111111; (B) ????c?ac?ba?bb?cc?ab?a111111; (D) ????c?ab?ab?ca?ba?cb?c (C)

5.7-a的倒数的相反数是-2,那么a=( ).

(A)9 (B)7.5 (C)5 (D)6.5

6.一个角的补角的1是6°,则这个角是( ). 17

a2233<0;ac<0;ac<0;ca<0;ca<0中,必定成立的有c (A)68° (B)78° (C)88° (D)98° 7.如果ac<0,那么下面的不等式:

( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

8.不超过100的所有质数的乘减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).

149

(A)3 (B)1 (C)7 (D)9

9.已知0≤a≤4,那么│a-2│+│3-a│的最大值等于( ).

(A)1 (B)5 (C)8 (D)3 AC10.若n是奇自然数,a1,a2, ?,an是n个互不相同的负整数,则( ).

(A)(a1+1)(a2+2)…(an+n) 是正整数; (B) (a1-1)(a2-2)…(an-n) 是正整数. (C)?

正数.

二、填空题(每小题6分,共60分)

11.如图,线段AB= BC= CD= DE= 1 厘米, 那么图中所有线段的长度之和等于______厘米. 12.

__

13.P是长方形ABCD的对角线BD上的一点,M为线段PC的中点.如果三角形APB的面积是2平方厘米,则三角形BCM的面积等于___________平方厘米.

??1??1??1?1??1??1?1???2????n?是正数; (D)?1???2????n?a2??an?a1??a2??an?a1?????是?1?12??123??1234?24849??1?????????????????????????=2?33??444??5555?5050??5050

14.五位数538xy 能被3,7和11整除,则x-y =_________.

15.如图,OM平分∠AOB,ON平分∠COD.若∠MON=50°,

∠BOC=10°,则∠AOD= _______.

16.三个不同的质数,a,b,c满足abc+a=200,则a+b+c=_______.

17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数,

使得这个五位数都被3,5,7,13整除.这样的五位数中最大的是___________. b22NCOBM18.A、B两个港口相距300公里.若甲船顺水自A驶向B,乙船同时自B 逆水驶向A,两船在C处相遇.若乙船顺水自A驶向B,甲船同时自B逆水驶向A,则两船于D 处相遇,C、D相距30公里.已知甲船速度为27公里/小时,则乙船速度是______公里/ 小时.

19.已知x=1999,则∣4x-5x+9∣-4∣x+2x+2∣+3x+7=__________.

20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛,通过抽签决定出赛顺序. 在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至150

22

少被一人所猜中,则出赛顺序中,第一是______, 第三是______,第五是_______.

三、解答题:(每小题15分,共30分)要求:写出推算过程.

21.一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形的面积

.

22.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?

151

1999年度(第十届)初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案:

一、选择题

1.根据相反数的定义,11的相反数是-,选(C). 19991999

2.由绝对值定义│x-a│≥0,│y-b│≥0,│z-c│≥0.而已知│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,当且仅当│x-a│=│y-b│=│z-c│=0,即x=a且y=b且z=c.已知a, b,c均为负数,则x,y,z均为负数,因此xyz是负数.选(A).

3.如图8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC与∠BOC不是对顶角,排除(A).

如图9,a∥b,同旁内角∠1+∠2=180°,但∠1与∠2并非互为邻补角,排除(B). 两点之间最短距离是连接这两点的线段,不能表述为过这两点的直线,排除( C).因此应选(D).事实上,(D)正是两条直线互相垂直的定义. C

1

a

AO

(8)Bb(9)

4.由图10可见c<b<a,所以0<a-b<a-c,0<b-c<a-c,由此

0?11?  ① a?ca?b

11?  ② a?cb?c

11?  ③ c?ab?a 0?由①有 0?

由②有0?11?  ④ c?ac?b

11?0及③可知应排?0 及④可知应排除(A).由b?ca?b 由②知,应排除(D),由

除(C), 肯定(B),所以应选(B).

5.7-a的倒数是11111,的相反数是-.依题意列方程:???2. 7?a7?a7?aa?7a?7

152 解得:a=6.5,选(D)

11800??6.设这个角为a,a的补角等于180°-a,其为,依题意它是6°, 17171800??所以=6°. 解得α=78°.选(B). 17

7.由ac<0,可知a≠0,c≠0,a,c符号相反.所以

且cac<0,ca<0.

若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a·c=1>0;

若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a·c=1>0;

可见,ac<0,ac<0 不一定成立.

所以ac<0时,只有222223a2223<0,而a>0,c>0,因此a·ac<0,ca<0,ca33<0,ca<0,ca<0 三个不等式必然成立.选(C). c

8.不超过1000的所有质数中包含质数2与5,所以不超过100的所有质数的乘积个位数字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7,17,37,47四个,其乘积的末位数字是1,所以,不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7 的所有质数的乘积所得差的个位数字为9.选(D).

9.①当0≤a≤2时,

│a-2│+│3-a│=2-a+3-a=5-2a≤5,当a=0时达到最大值5.

②当2<a≤3时,

│a-2│+│3-a│=a-2+3-a=1

③当3<a≤4时,

│a-2│+│3-a│=a-2+a-3=2a-5≤234-5=3.当a=4时,达到最大值3.

综合①、②、③的讨论可知,在0≤a≤4上,│a-2│+│3-a│的最大值是5,选(B).

10.a1,a2,…,an 是n个互不相同的负整数,其中n是奇自然数.

若a1=-1,a2=-2,a3=-3,…,an=-n,

时,(a1-1)(a2-2)…(an-n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)2×4×6×…×(2n)<0(因为n是奇数),故排除(B).

若a1=-1时,?n??1??1??1??1?1?=0,故??1???2????n??0,排除(C).故选(D). ?a1??a1??a2??an?

153

实事上,若a1<0, a2<0,?, an<0,则?111?0,??0,?,??0, a1a2an

所以1?111?0,2??0,?,n??0, a1a2an

??>0,故选(D). ??1??1??1所以?1???2????n?a2??an?a1??

二、填空题

11.图中,长为1厘米的线段共4条,长为2厘米的线段共3条,长为3 厘米的线段共2条,长为4厘米的线段仅1条.

图中所有线段长度之和为

134+233+332+431=20(厘米).

12.设s=B(11)D1?12??123??1234?24849??1?????????????????????????, 2?33??444??5555?5050??5050

又s=1?21??321??4321??49481???????????????????????, 2?33??444??5555??505050?

相加得 2s=1+2+3+4+?+49,

又 2s=49+48+47+?+2+1,

相加得 4s=50349=2450,

故 s=612.5

13.根据题意画图,如图12所示.连接AC交BD于O,则△ABO的面积等于△CBO 的面积,△APO的面积等于△CPO的面积.因此,△ABP的面积等于△CBP的面积,所以由△APB面积是2平方厘米,可知△CBP面积是2平方厘米.而BM是△CBP的一条中线,三角形中线平分三角形的面积,所以△BCM的面积等于1平方厘米.

14.由于五位数538xy能被3,7和11整除,可知337311=231整除538xy.

试除知 2313230=53130

231×231=53361

231×232=53592

231×233=53823

154

BAD2C(12)

231×234=54054

可见x=2,y=3.x-y=4-9=5.

15.如图13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD

=2∠MOB+∠BOC+2∠CON

=2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC

=2∠MON-∠BOC

=2×50°-10°

=90°

16.易知a(bc+1)=2000=2×5.

若a=5,则bc+1=400,

∴bc=399=3×133=3×7×19

无论c=3,7或19都不能求得质数b,故a≠5.

只能取a=2,此时bc+1=1000,

∴ bc=999=3×37,则b=3,c=37,

因此,a+b+c=2+3+37=42.

17.所求五位数能被3、5、7、13整除,当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是33537313=1365的倍数.

通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是7331365=99645.

但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出

7231364=98280(两个8重复,不合要求).

7131365=96915(两个9重复,不合要求).

7031365=95550(三个5重复,不合要求).

6931365=94185(五个数码不同).

因此,所求的五位数最大的是94185.

18.已知A、B两港相距300公里,甲船速为27公里/小时.设乙船速为v公里/ 小时,小流速为x公里/小时,则甲船顺水速为(27+x)公里/小时,逆水速为(27-x)公里/小时.乙船顺水速为(v+x)公里/小时,逆水速为(v-x)公里/小时.

甲船自A顺水,乙船自B逆水同时相向而行,相遇在C处时间为: b3bbbb4322DNCOBMA(13)

300300? (27?x)?(v?x)27?v

155

同理,乙船自A顺水,甲船自B逆水同时相向而行,相遇在D处所需时间为:

300300 ?(27?x)?(v?x)27?v

可见,两个时间相等.

由图易见,300小时中,乙船比甲船多走30公里,即

: 27?v

(v?x)300300?(27?x)?30, 27?v27?v

300?30, 27?v?(v?x)?(27?x)?

v?271?,v=33. 27?v10

如果C在D的右边,由图15易见,300小时中,甲船比乙船多走30公里,即:

27?v

(27?x)?3003001?(v?x)??30,v=22. 1127?v27?v

1 公里11 答:若C在D的左边,乙船速度是33公里/小时;若C在D的右边,乙船速度是22

/小时.

19.由观察可知,当x≥1时,4x-5x+9>0,x-2x+2>0,

所以,当x=1999时,

156

22

原式=4x-5x+9-4(x-2x+2)+3x+7=-13x+9-8+3x+7=-10x+8 将x=1999代入,原式的值=-19990+8=-19982. 20.将每人猜测的出赛顺序列如下表:

故可确定戊是第四位出赛.这时丁不能第四位出赛,而丁的顺序至少被一人猜中, 所以丁应第五位出赛.顺序推得丙只能第一位出赛,甲第三位出赛,乙第二位出赛.

答:出赛顺序第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁. 三、解答题

21.图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F,显然最小的正方形A的面积是1 平方厘米,它的边为长1厘米.

设最大正方形B的边长为x厘米,则C的边长为(x-1)厘米,D的边长为(x-2)厘米,E的边长为(x-3)厘米,F的边长也为(x-3)厘米.

根据矩形对边相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 3x-8=2x-1 所以 x=7(厘米)

于是,C的边长为6厘米,D的边长为5厘米,E和F的边长均为4厘米.

长方形的面积为 (7+6)3(7+4)=13311=143(平方厘米). 22.①设这组四位数共n个,分别为

a1=42x1, a2=42x2, a3=42x3,…, an=42xn,其中的每个 ai=42xi是四位数, 所以

1000≤42xi<10000,

157

22

23?100010000?xi??239. 4242

②由题设知

90090=[a1,a2,…,an]=[42x1, 42x2,…, 42xn]=42[x1, x2,…, xn]

所以 [x1, x2,…, xn]=90090=2145=3×5×11×13,其中23<xi<239. (*) 42

可知xi 是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三个质因数组合且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因此最多产生7个两两不同的四位数.

a1=42×33=1386, a2=42×39=1638,

a3=42×55=2310, a4=42×65=2730,

a5=42×143=6006, a6=42×165=6930,

a7=42×195=8190.

它们的和等于42×(33+39+55+65+143+165+195)=42×695=29190.

答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190.

158

希望杯第十一届(2000年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每小题6分,共60分)

1.(?1)2000的值是( )

A 2000 B 1 C ?1 D ?2000

2.a是有理数,则11的值不能是( ) a?2000

A 1 B ?1 C 0 D ?2000

3.若a?0,则2000a?11a等于( )

A 2007a B ?2007a C ?1989a D 1989a

4.已知:a?2,b?3,则( )

A axy和bmn是同类项 B 3xy和bxy是同类项

C bx

52a?12232a333y4和ax5yb?1是同类项 C 5m2bn5a和6n2bm5a是同类项 .已知:

1999?1999?19992000?2000?20002001?2001?2001,b??,c??1998?1998?19981999?1999?19992000?2000?2000

则abc?( ) a??

A ?1 B 3 C ?3 D 1

6.某种商品若按标价的八折出售,可获利20%,若按原标价出售,则可获利( )

A 25% B 40% C 50% D 66.7%

7.如图,长方形ABCD中,E是AB的中点,F是BC上的一点,且CF?1BC, 3

则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍。

A 2 B 3 C 4 D 5

8.若四个有理数a,b,c,d满足:1111,则???a?1997b?1998c?1999d?2000

a,b,c,d的大小关系是( )

159

A a?c?b?d B b?d?a?c

C c?a?b?d D d?b?a?c

9.If a2?b2?0,then the equation ax?b?0 for x has ( )

A only one root. B no root.

C infinite roots(无穷多个根). D only one root or no root.

10.小明编制了一个计算程序。当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和。若输入?1,并将所显示的结果再次输入,这时显示的结果应当是( )

A 2 B 3 C 4 D 5

二、A组填空题(每题6分,共60分)

11.用科学计数法表示2150000=_____________。

12.一个角的补角的1等于它的余角,则这个角等于______度。 3

13.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示:

若m?a?b?b?1?a?c??c,则1000m?_______.

14.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的

中点。若?BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD

的面积是________平方厘米。

15.a的相反数是2b?1,b的相反数是3a?1,则a?b?_______。

16.Suppose(设) A spends 3 days finishing 2211 of job,B 4 days doing of it. Now if A 23

and B work together, it will take ____ days for them to finish it.

17.某商店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元出租车

费”的广告。结果每台超级VCD仍获利208元。那么每台超级VCD的进价是________元。

18.如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之

160

和为23,线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数,则线段AC的长度为_____。

19.张先生于1998年7月8日买入1998年中国银行发行的5年期国库券1000元。回家后他在存单的背面记下了当国库券于2003年7月8日到期后他可获得的利息为390元。若张先生计算无误的话,则该种国库券的年利率是_______。

20.甲、乙分别自A、B两地同时相向步行,2小时后在中途相遇。相遇后,甲、乙步

行速度都提高了1千米/小时。当甲到达B地后立刻按原路返向A返行,当乙到达A地后也立刻按原路返向B地返行。甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇。则A、B两地的距离是________千米。

三、B组填空题(每题6分,共30分)

21.有理数?3,?8,?11,0.1,0,,?10,5,?0.4中,绝对值小于1的数共有____个;所有正23

数的平方和等于____________。

22.若?4xm?2y3与x3y7?2n是同类项,则m?2?_____,n?22

32n2m?_____.

23.设m和n为大于0的整数,且3m?2n?225。(1)如果m和n的最大公约数为15,

则m?n?______.(2)如果m和n的最小公倍数为45,则m?n?______.

24.若a,b,c是两两不等的非0数码。按逆时针箭头指向组成的两位数ab,bc都是7的倍数。则可组成三位数abc共____个;其中的最大的三位数与最小的三位数的和等于_______。

25.某书店积存了画片若干张。按每张5角出售,无人买。现决定按成本价出售,一下

子全部售出。共卖了31元9角3分。则该书店积存了这种画片 _______张,每张成本价_______元。

161

2000年度初一第一试“希望杯”全国数学邀请赛答案:

一、选择题

1. 由-1的偶次方为正1,-1的奇次方为负1可得(-1)

2. ∵a是有理数, ∴不论a取任何有理数,2000=1,所以应选(B). 11的值永远不会是0. ∴选(C).但a?2000

要注意当选(D)时,

确的. 11这个式子本身无意义, ∴不能选(D).故选(C)是正a?2000

3.∵ a<0,∴│a│=-a,

∴ 2000a+11│a│=2000a-11a=1989a,所以应选(D).

4.由同类项的定义可知,当a=2,b=3时,(A)为:2xy和3mn,显然不是同类项.(B)为

3xy和3xy , ∵x与x不同,所以也不是同类项.(C)为3x

3xy,∴ (C)是同类项,故应是(C).

(D)为5m233n

5.∵ a=-53254233323232+143222y和3xy ,即3xy和53+154=5mn和6n610233532m=6nm,显然也不是,所以本题的答案应为(C). 6101999?(1999?1)1999?1998????1, 1998?(1998?1)1998?1999

b=2000?(2000?1)2000?1999????1, 1999?(1999?1)1999?2000

2001?(2001?1)2001?2000????1, 2000?(2000?1)2000?2001 c=

∴ abc=(-1)3(-1)3(-1)=-1,故应选(A).

6.设某种商品的标价为x,进价为y.由题意可得:

80%x=(1+20%)y

解之得 x=3y . 2

∴x3?,这就是说标价是进价的1.5倍, y2

所以若按标价出售可获利为31y?y?y,即是进价的50%,所以应选(C). 22

7.设长方形ABCD的长为a,宽为b,则其面积为ab.在△ABC中, ∵ E是AB的中点,

162

∴ BE=112b,又∵以FC=a,∴ BF=a, 233

∴ △EBF的面积为12111?a?b?ab,但△ABC的面积=ab, 23262

111ab?ab=ab, 263∴阴影部分的面积=

∴ 长方形的面积是阴影部分面积的3倍,故应选(B).

8.由1111, ???a?1997b?1998c?1999d?2000

得:a>b,a<c,a>d;b<c,b>d,c>d,由此可得c>a>b>d,故应选(C). 可知a-1997=b+1998=c-1999=d+2000,由这个连等式可

9.由ax+b=0可得x=-b22,∵a+b>0,∴a、b不会同时为0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,方程a

b,所以应选(D). a

22有惟一的解x=-10.因为当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1 之和,所以若输入-1,则显示屏的结果为(-1)+1=2,再将2输入,则显示屏的结果为2+1=5 ,故应选择

(D).

二、A组填空题

11.∵ 2150000=2.163 106

∴ 用科学计数法表示2150000=2.15310 .

12.设这个角的度数为x,则它的余为90°-x,它的补角为61(180°-x). 由题意知, 3

1(180°-x)=90°-x 3

解之得 x=45

∴ 这个角等于45度.

13.由图示可知,b<a<0,c>0,

∴ │a+b│=-(a+b),│b-1│=1-b,│a-c│=c-a,│1-c│=1-c,

∴ 1000n=10003(-a-b-1+b-c+a-1+c)

=1000×(-2)

163

=-2000

14.如图所示.设这个长方形ABCD的长为a厘米,宽为b厘米.即BC=a,AB=b,则其面积为ab平方厘米.∵ E为AD的中点,F为CE的中点,∴过F作FG⊥CD,FQ⊥BC且分别交CD于G、BC于Q,则FQ=111CD=b,FG=a. 224

11111BC2FQ=a2b,同理△FCD的面积=·b2a, 22224因△BFC的面积=

∴△BDF的面积=△BCD的面积-( △BFC的面积+△CDF的面积),即 6=1111ab-(ab+ab)=ab 2488

∴ ab=48.

∴ 长方形ABCD的面积是48平方厘米.

15.∵ a的相反数是2b+1,b的相反数是3a+1,由此可得: ???a?2b?1 ?b?3a?1?

解之得 a=-

2212,b=-. 55 ∴a+b=1. 5

16.设A、B一起工作需要x天完成这件工作.由题意知,A的工作效率为11?3?,B的工作效26

率为11?11??4?,根据题意可列方程为???x?1 312?612?

解之得 x=4.

∴ A and B work together,it will take 4 days for them to finish it.

17.设每台超级VCD的进价为x元,则按进价提高35%,然后打出“九折”的出售价每台为x2(1+35%)390%元,由题意可列方程为:

x·((1+35%)×90%-50=x+208

1.35×0.9x=x+258

0.215x=258

x=1200

∴ 每台超级VCD的进价是1200元.

164

18.由图知,图中共有六条线段,即AC、AD、AB、CD、CB、DB.又因D是CB 的中点, 所以CD=DB,CB=2CD,AB=AC+2CD,AD=AC+CD,由题意可得

AC+AD+AB+CD+CB+DB=23,即

AC+AC+CD+AC+2CD+CD+2CD+CD=23,也即

3AC+7CD=23

∴ AC=23?7CD, 3

∵ AC是正整数,∴ 23-7CD∣3的条件是CD=2,也即23-7CD=9时,能被3整除, ∴AC=3.

19.设该国库券的年利率为x,则由题意可列方程:

1000×5×x=390

解之得 x=7.8%

所以,该国库券的年利率为7.8%.

20.设甲每小时行v1千米,乙每小时行v2千米,则甲乙两地的距离就是2(v1+v2)千米. 由题意可得:

3.62(v1+v2+2)=4(v1+v2),0.4(v1+v2)=7.2, v1+v2=18.

∴2(v1+v2)=2318=36,即A、B两地的距离为36千米.

三、B组填空题

21.绝对值小于1的数共有5个.所有正数的平方和等于89

m-23109. 90022.∵ -4xy与237-2nxy是同类项, 3

?7?2n?3 ∴?,解之,得 m=5, n=2 m?2?3?

∴m+2=29,n+2=36.

23.∵ m、n为大于0的整数,且3m+2n=225,若(m,n)=15,则3m=3315=45,2n= 2390=180,

∴ m=15,n=90

∴(1)m+n=15+90=105.

(2)若[m,n]=45,则m+n=45+45=90.

24.若ab,bc都是7的倍数,则可组成abc的三位数共有15个,其中最大的是984,最小的是142,它们的和是1126.

165

2n2m

25.∵ 每张的成本价小于5角.但又能被31元9角3分整除. 所以可设每张成本价为x角y分,则3193∣xy,显然xy=31(分).即每张成本价为0. 31 元. 这种画片共有3193÷31=103(张).

166

希望杯第十一届(2000年)初中一年级第2试试题

初一 第2试

一、选择题 (每小题6分,共60分) 以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表是正确答案的英文字母添在每题后面的圆括号内。

1.?11的相反数是( )(A)2000(B)(C)?2000(D)1 20002000

2.有如下四个命题:

① 有理数的相反数是正数

② 两个同类项的数字系数是相同的

③ 两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和

④ 两个负有理数的比值是正数

其中真命题有( )(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个

3.如图1,平行直线 AB、CD与相交直线EF、GH相交,途中的同旁内角共有( )

(A) 4对(B)8对(C)12对(D)16对

4.If [a] indicates the greatest integer less than a,then ( )

(A) a?1?[a]?a (B) a?1?[a]?a (C) a?[a]?a?1 (D) a?1?[a]?a

5.已知三个锐角的度数之和大于180,则一定有一个锐角大于( )(A)81(B)76(C)???68?(D)60?

6.如果有理数a,b,c,d满足a+b>c+d,则( ()Aa?1?b?1?c?d(B)a2?b2?c2?d2

(C)a?b?c?d(D)a?b?c?d

7.有三个正整数a,b,c,其中a与b互质且b与c也互质。给出下面四个判断:①(a?c)不能被b整除②a?c不能被b整除③(a?b)不能被c整除④a?b不能被c整除 其中,不正确的判断有( )(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个

8.已知a是不为0的整数。并且关于x的方程ax?2a?3a?5a?4有整数根。则a的值共有( )(A)1个(B)2个(C)6个(D)9个 3222223333444422

x2(ax5?bx3?cx)9.已知代数式当x=1时,值为1,那么该代数式当x=?1时的值是( )x4?dx2

(A)1(B)?1(C)0(D)

2

167

10.在某班的新年晚会上,每个同学都写若干字条祝福他人,已知在任意四个人中,每一位都祝福其他三人中的至少一位,那么该班中没有得到其他同学祝福字条的同学最多有( )位(A)1(B)2(C)3(D)4

二、填空题 (每小题6分,共60分)

11.甲车的车轮转一周在地上的车轮印痕长为90厘米,乙车的车轮转120时,车轮印痕长为20厘米,那么,甲车轮直径是乙车轮直径是 倍

12.已知:a??3?138111,b?(?1)100?3?(?5),c?(?4)?(?2),?674911233

d?20?(?3)2,则a?b?c?d 21

24613.If x?3 , y?1 , z?4 ,and x?2y?z?9, then xyz14.若(2x?x?1)?a0x?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x?a6,则a1?a3?a515.已知a=1999,b=1。则a?2b?3ab

16.如图2,正方形ABCD的面积是1。AE=EB,DH=2AH,

CH=3DG,BF=4FC。则四边形EFGH的面积是

17.从甲地到乙地是上坡路,从乙地到丙地是下坡路,王

燕同学自甲地途径乙地到丙地,立即在沿原路返回甲地,

公用3.5小时,已知王燕上坡速度相同,下坡速度也相同,

并且走上坡路所用时间比下坡路所用时间多0.5小时。那么,王燕走上坡路共用了 小时

18.满足m?n?331的正整数m和n的最大公约数记为k。那么所有这样的k值得和等于

19.在满足x?2y?3,x?0,y?0的条件下x?2y能达到的最大值是20.某商店每月的销售额存放在计算机中。用4位数码表示月份:第1,2位是年份数的后两位,第3,4位是月份数。现有如下数据

3222365432168

9910,0002),计算机则会输出从开始月份到结束月份的总销售额。该软件的统计方法是:检查存放数据中每个月的信息,如果某一个月的4位数码的每一位都不大于结束月份对应位的数码,并且不小于开始月份对应位的数码,则将该月份的销售额计算在内,否则就跳过去,将计算机统计1999年9跃到2000年3月的总销售额记为a,实际总销售额为b,则a?b等于

三、解答题 (每小题10分,共30分)

21.一个人的背包可以装12千克的物品,现有五件物品如下:

物品时哪几件?他们的总价值是多少百元?

22.矩形ABCD的面积是36平方厘米。在边AB、AD上分别取点E、F,使得AE=3EB,DF=2AF,DE与CF的交点为O。计算?FOD的面积是多

少平方厘米。

23.A和B是高度同为h的圆柱形容器,底面半径分别为r和R,且r<R。一龙头单独向A注水,用T分钟可以注满容器A。现将两容器在他们高度的一半处用一个细管连通( 连通细管的容积忽略不计),仍用该水龙头向注水A,问2T分钟时,容器A中水的高度是多少?(注:若圆柱体底面积半径为R,高为h,体积为V,则V??Rh。) 2

169

答案

170

希望杯第十二届(2001年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每小题5分,共50分) 12-1的负倒数是( )2 2001

11 B.2001 C2-2001 D. 20012001

32A.-2.下列运算中,正确的一个是( ). A.(-2)=-6 B.-(-3)=-9

C.232=2 D.-2÷(-2)=4

3.若|m|>m,则m的取值范围是( ).

A. m≥0 B m≤O C.m>0 D.m<O

4.如图,∠AOD是直角,∠AOB=∠BOC=∠COD.在图中所有的角中,45°的角有( ).

A. O个 B.1个 C.2个 D.3个

5.当x=339322时,代数式1+3x的值是-的( ). 33

A.绝对值 B.倒数 C.相反数 D.倒数的相反数

6.珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高9003 m.已知,珠穆朗玛峰海拔高度是8848 m,则吐鲁番盆地的海拔高度是( ).

A.-155 m B.155 m C.-17851 m D.17851 m

7.下面四个命题中.正确的命题是( ).

A.两个不同的整数之间必定有一个正数

B.两个不同的整数之间必定有一个整数

C.两个不同的整数之间必定有一个有理数

D.两个不同的整数之间必定有一个负数

8.如图,在一个正方形的四个顶点处,按逆时针方向各写了一个数:

2,0,O,1.然后取各边中点,并在各中点处写上其所在边两端点处

的两个数的平均值.这四个中点构成一个新的正方形,又在这个新的

正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值.连续

171

这样做到第10个正方形,则图上写出的所有数的和是( ).

A.30 B.27 C.20 D.10

9.If mab and nb are similar terms,then the value of(m—n)

(英汉小字典:similar terms同类项;value值.)

A.O B.1 C.-1 D.-3200lm3-nam200l is( ).

10.若k为整数,则使得方程(k-1999)x=2001—2000x的解也是整数的k值有( ).

A.4个 B.8个 C.12个D.16个

二、A组填空题(每小题5分,共50分)

11.计算:1919197676?7676761919

200112.若|x+y-1|与|x—y+3|互为相反数.则(x+y)=

13.已知5是关于x的方程3mx+4n=0的解,那么n/m=

14.将2001表示为若干个(多于1个)连续正奇数的和,考虑所有不同的表示方法.将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组,则这组数中最大的数是 .

15.为使某项工程提前20天完成任务,需将原定的工作效率提高25%.则原计划完成这项工程需要 天.

16.如图,△ABC的面积等于12平方厘米.D是AB边的中点.E为AC

边上一点,且AE=2EC.0为DC与BE的交点.若△DBO的面积为a平方

厘米,△CEO的面积为b平方厘米.则a-b= 平方厘米.

17.已知a<O,且|a|≤a,则|2x-6|—|x-2|的最小值是 .

18.If the equation m(x-1)=2001-n(x-2)for x has infinite roots,then m

(英汉小字典:equation方程;infinite roots无数个根.)

19.若进货价降低8%而售出价不变,那么利润(按进货价而定)可由目前的p%增加到(p+10)%,则原来的利润是

20.修建一所房子有一系列工作要做,其中某些工作要在其他一些工作完成之后才能进行.表1列出修建一所房子的每项工作的前面的工作和完成该工作所需的时间.问修建该房子最快的时间是 天.

l 2001+n2001= 172

21.一个整数与5之差的绝对值大于1999而小于2001,则这个整数是

22.在所有各位数字之和等于34,且能被11整除的四位数中最大的一个是 ,最小的一个是 .

23.平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为

个,最多为 个

24.We have the following numbers:,912273654maximum number among them ,,,,the 57171929

is ,the minimum number is (英汉小字典:number数;maximum最大的;minimum最小的.)

25.有两种蠓虫,一个是疾病的媒介,记为A;另一种却是有益的花粉传播者,记为B.现有A、B两种蠓虫各6只,它们的触角和翼的长度列如表2:

表2

173

1A2,6只B种蠓虫的平均翼长、触角长分别为B1和B2.问|A1-B1|+|A2-B2|等于 .对于一只新捕捉到的蠓虫,记其翼长和触角长分别为x和y.如果|x—A1|+|y—A2|>|x—B1|+|y—B2|,则认为它是A种蠓虫,否则认为是B种蠓虫.现知,x=1.80,y=1.24,则可认为该蠓虫是 种蠓虫.

174

初一 第1试参考答案

175

希望杯第十二届(2001年)初中一年级第2试试题

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数,则( ).

A.a=0 B.a=-1 C.a=l D.不存在这样的a值

2.如图所示,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C所表示的数最接近的整数是( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

3.我国古代伟大的数学家祖冲之在距今1500年以前就已经相当精确地算出圆周率π是在

3.1415926和3.1415927之间,并取35522为密率、为约率, 则( ). 1137

A.3.1415<π<33335522 B. <π< 1061137

C.33335522<π< D.<π<1.429 1061137

224.已知x和y满足2x+3y=5,则当x=4时,代数式3x+12xy+y的值是 ( ).

A.4 B.3 C.2 D.1

5.两个正整数的和是60.它们的最小公倍数是273,则它们的乘积是( ).

A.273 B.819 C.1911 D.3549

6.用一根长为a m的线同成一个等边三角形,测知这个等边三角形的面积为b m.现于这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三边距离之和为( ).

A.22b4b6b8bm 13.m C.m D.m aaaa

7.If we let(a)be the greatest prime number not more than a.then the result of the expression((3)3(25)3(30))is( ).

A.1333 B.1999 C.2001 lb.2249

(英汉小字典:greatest prime number最大的质数result结果;expression 表达式.)

8.古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;地支有12个:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行:

176

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸??

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥??

从左向右数,第l列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅??,则当第2次甲和子在同一列时,该列的序号是( ).

A.31 B.61 C.91 D.121

9.满足(a-b)+(b-a)|a-b|=ab(ab≠0)的有理数a和b,一定不满足的关系是( ).

A.ab<O B.ab>0 C.a+b>0 D.a+b<0

lO.已知有如下一组x,y和z的单项式:

7xz,8xy,3232121242323xyz,-3xyz,9xzy,zy,?xyz,9yz,xzy,0.3z. 25

我们用下面的方法确定它们的先后次序:对任两个单项式,先看x的幂次,规定x幂次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面;再看y的幂 次.规定y的幂次高的排在y的幂次低的前面;再看z的幂次,规定z的幂次高的排在z的幂次低的前面. 将这组单项式按上述法则排序,那么,9yz应排在( ).

A.第2位 B.第4位 C.第6位 D.第8位

二、填空题(每小题5分,共50分)

l1.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角.则这个锐角的度数等于 .

12.If a+a=0,then the result of a220013+b2000+12 is

l3.如图,△ABC中,D、E、F、G均为BC边上的点,且BD=CG,DE=GF=1BD,2

EF=3DE.若S△ABC=l,则图中所有三角形的面积之和为 .

14.使关于x的方程|x|=ax+1同时有一个正根和一个负根的整数a的值是 .

15.小明的哥哥过生日时,妈妈送了他一件礼物:即3年后可以支取3000元的教育储蓄.小明知道这笔储蓄年利率是3%(按复利计算),则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储 元(银行按整数元办理存储).

16.m为正整数.已知二元一次方程组?

2?mx?2y?10 ?3x-2y?0有整数解,即x,y均为整数,则m= .

17.如图。矩形ABCD中,F是CD的中点,BC=3BE,AD=4 HD

.若长方形

177

的面积是300平方米,则阴影部分的面积等于 平方米.

18.一幅图象可以看成由m行n列个小正方形构成的大矩形,其中每个小正方形称为一个点,每个点的颜色是若干个颜色中的一个.给定了m,n以及每个点的颜色就确定了一幅

图象.现在,用一个字节可以存放两个点的颜色.那么当m和n都是奇数时,至少需要 个字节存放这幅图象的所有点的颜色.

19.在正整数中.不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是

20.在密码学中,称直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对于英文,人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25.现有4个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为x1,x2,x3,x4.已知整数x1+2x2,3x2,x3+2x4,3x4除以26的余数分别为9,l6,23,12,则密码的单词是 .

三、解答题(21、23题各15分,22题20分,共50分)

21.有依次排列的3个数:3,9,8.对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8.这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9.-10,-1,9,8.继续依次操作下去,问:从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?

22.如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C +∠D.

证明:β=2α.

23.一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位.生产一个小熊要使用l5个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫的总售价尽可能高.请用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元?

178

〖答案〗 一. 选择题: 1. A 6. C

2. C 7. B

3. C 8. B

4. D 9. A

5. B 10. D

二. 填空题(本大题共60分。对于每个小题,答对,得6分;答错或不答,不给分) 11. 60 15. 2746 19. 17 三. 解答题:

21. 一个依次排列的n个数组成一个n一数串:a1,a2,a3,?,an, 依题设操作方法可得新增的数为:

a2?a1,a3?a2,a4?a3,??,an?an?1 所以,新增数之和为:

(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????(an?an?1)?an?a1(*) 原数串为3个数:3,9,8

第1次操作后所得数串为:3,6,9,?1,8

根据(*)可知,新增2项之和为:6?(?1)?5?8?3 第2次操作后所得数串为: 3,3,6,3,9,?10,?1,9,8 根据(*)可知,新增2项之和为: 3?3?(?10)?9?5?8?3

按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为: (13?9?8)?100?(8?3)?520 22. 证法1:因为AB//ED,

所以???A??E?180(两直线平行,同旁内角互补) 过C作CF//AB(如图1)

因为AB//ED,所以CF//ED(平行于同一条直线的两条直线平行) 因为CF//AB,有?B??1,(两直线平行,内错角相等)

179

?

?

12. 12 16. 4 20. hope

13. 7

14. 0 18.

17. 137.5

1

(mn?1) 2

又因为CF//ED,有?2??D,(两直线平行,内错角相等)

所以???B??C??D??1??BCD??2?360(周

角定义)

所以??2?(等量代换)

证法2:因为AB//ED,

所以???A??E?180(两直线平行,同旁内角互补)

过C作CF//AB(如图2)

因为AB//ED,所以CF//ED(平行于同一条直线的两条直线平行)

因为CF//AB,有?B??1?180,(两直线平行,同旁内角互补)

又因为CF//ED,有?2??D?180,(两直线平行,同旁内角互补) 所以???B??C??D

????

??B?(?1??2)??D?(?B??1)?(?2??D)

?180?180?360???

所以??2?(等量代换)

23. 设小熊和小猫的个数分别为x和y,总售价为z,则z?80x?45y?5(16x?9y)(*) 根据劳力和原材料的限制,x和y应满足

15x?10y?450,20x?5y?400

化简为3x?2y?90

及4x?y?180(1) (2)

(3)

(4) 当总售价z?2200时,由(*)得 16x?9y?440 (2)?9得36x?9y?720

(4)?(3)得20x?720?440?280,

即x?14(A)

(1)?927x?9y?405得22(5)

180

(3)?(5)得

即x?145x?440?405?35, 2(B)

综合(A)、(B)可得x?14,代入(3)求得y?24

当x?14,y?24时,有3x?2y?90,4x?y?80满足工时和原料的约束条件,此时恰有总售价

z?80?14?45?24?2200(元)

答:只需安排生产小熊14个、小猫24个,就可达到总售价为2200元。

181

希望杯第十三届(2002年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.(-1)22002-(-1)=( ).

A.-2001 B.-1989 C.2 D.-2015

2.131是有理数,则它的相反数是( ). a

11 D. aa

=1,则a2003 A.a B.-a C.-3.如果(a+b)2001=-1,(a-b)2002+b2003的值是( ).

A.2 B.1 C.0 D.-1

4.下面四个命题中,正确的是( ).

A一切有理数的倒数还是有理数

B.一切正有理数的相反数必是负有理数

C.一切有理数的绝对值必是正有理数

D.一切有理数的平方是正有理数

5.如果x=-1是方程x+mx+n=O的一个根,那么m,n的大小关系是 ( ).

A m>n B.m=n C. m<n D.不确定的

6.某品牌的VCD机成本价是每台500元,3月份的销售价为每台625元.经市场预测,该商品销售价在4月份将降低20%,而后在5月份再提高8 %.那么在5月份销售该品牌的VCD机可获利( ).

A25% B.20% C.8% D.12 %

7.If axy and bxy are similar terms,then we must have( ).

A.a=b B.mn=pq C.m+n=p+q D.m=n且p=q

(英汉小字典:similar terms:同类项)

8.如果2a+b=O,则|mpnq2a|a|?1|?|?2|等于( ). |a|b

A.2 B.3 C.4 D.5

9.当x取1到l0的整数时.整式x+x+11所对应的数值中质数的个数是 ( ).

A.1 O B.9 C.8 D.7

lO.某学生骑自行车上学,开始以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修

182

2

车耽误了几分钟.为了按时到校,他加快了速度,但仍然保持匀速行进,结果准时到校.他骑自行车行进的路程s与行进的时间t的关系有如下4种示意图,其中正确的是( ).

A. B. C. D.

二、A组填空题(每小题5分,共50分)

11.下表是我国北方某城市2001年各月的平均气温表:

12.如图是一个三棱柱,在它的五个面内的18个角中,直角最多可达到 个.

13.某种电器产品,每件若以原定价的95折销售,可获利150元,若以原定价

的75折销售,则亏损50元.该种商品每件的进价为 元.

14.2002的约数有 个.

15.The radius of the four circles is one in the Fig.2,then the area of the shade part is .

(英汉小字典:radius:半径;shade:阴影)16.一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4 h,从乙地到甲地逆流行驶需6 h,有一木筏由甲地漂流至乙地,需 h.

17.甲乙两市相距55 km.王鸣同学从甲市出发去乙市,先步行了25 km,

接着改骑自行车,速度提高了1倍,到达乙市后,他发现行程中步行所用

的时间比骑自行车所用的时间多l h,则王鸣同学步行的速度是 km/m

18.红、黄、蓝三个小精灵,在同一时间、同一地点按顺时针方向沿一条圆形跑道匀速行进.当绕行一周时,红精灵用12 s,黄精灵用8 s,蓝精灵用9 s.那么在l h内红、黄、蓝三个小精灵共相遇 次.(起始的状态也记为1次)

19.C是线路AB的中点,D是线段CB上的一点,如图3所示,若所有线段的长度都是正整数,且线段AB的所有可能的长度数的乘积等于140,则线段AB的所有可能的长度数的

183

和等于 .

20.对于整式6x+5x+4x+3x+2x+2002,给定x的一个数值后,如果李平按四则运算的规则计算该整式的值.需算15次乘法和5次加法.小梅同学说:“有另外一种算法,只要适当添加括号,可以做到加法次数不变,而乘法只算5次.”小梅同学的说法是 的(填“对"或“错").

三、B组填空题(每小题10分,共50分)

21.已知a?543211144=-2,则a?4= a?4= aaa

22.若一个正整数a被2,3,?,9这八个自然数除,所得的余数都为1,则a的最小值是 .a的一般表达式为 .

?2x-3y?-523.已知m是整数且-60<m<-30,关于x,y的二元一次方程组? -3x-7y?m?

有整数解,则m= x+y= .

24.小燕同学对某地区1998年至2001年快递公司的发展情况作了调查,制成了快递公司个数情况的条形图(如图1)和快递公司快件传递的年平均数情况条形图(如图2).那么,利用图1、图2共同提供的信息可知,2001年该地区邮递快件共 万件;这四年中该地区年均邮递快件数为 万件.

2

25.计算机中的最小存储单位是“位”,位有0与1两个状态.一个字节由8个“位"构成.利用固定位数的存储空间每位不同的状态可以记忆数字.如果用两个字节共16位记忆不小于O且不大于N的整数,那么N最大可以是 .现在用两个字节记忆不小于m且不大于M的整数,如果M+m=-1,m<M,那么m最小可以是 .

184

参考答案

一、选择题

185

希望杯第十三届(2001年)初中一年级第2试试题

一、选择题.(每小题5分,共50分)

1.2002+(-2002)-2002 3(-2002)÷2002=( ).

A.-4004 B-2002 C.2002 D.6006.

2.下列四个命题:

①如果两个角是对顶角,则这两个角相等.

②如果两个角相等,则这两个角是对顶角.

③如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

④如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角.

其中正确的命题有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.爸爸给女儿园园买了一个(圆柱形的)生日蛋糕,园园想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块(不少于10块),分给1 O个小朋友,若沿竖直方向切分这块蛋糕,至少需要切( )刀.

A.3 B.4 C.6 D.9

4.当x取1到10之间的质数时,四个整式:x+2,x+4,x+6和x+8的值中,共有质数( )个.

A.6 B.9 C.12 D.16

5.1f a is an odd nurnber,then there must exist an integer n such that a—l =( ). (英汉小字典:odd number奇数;there must exist一定存在;such that使得)

A.3n B.5n C.8n D.16n

6.如图,直线上有三个不同的点A、B、C,且AB≠BC.那么,到A、B、C三点距离的和最小的点( ).

A.是B点 B.是线段AC的中点 C是线段AC外的一点 D.有无穷多个

7.下面四个命题中一定不正确的命题是( ).

A.3ab和7ba是同类项

B.3x-1=O和3+2772222222=0是同解方程 x-1

186

C.a-3和3-a互为倒数

D.x-6和-x—6互为相反数33

8.如图,O为直线AB上的一点,OM平分∠AOC,0N平分∠BOC,则

图中互余的角有( ).

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

9.如图3,点A、B对应的数是a、b,点A在一3、-2对应的两点(包括这两点)之间移动,点B在-1、0对应的两点(包括这两点)之间移动,则以下四式的值,可能比2008大的是( ).

A.b-a B.1112 C.? D.(a-b) abb?a

l O.Let a be the average0f aIl odd prime numbers less than50.The integer, most close to a is( ).

(英汉小字典:average平均值;odd prime number奇质数.)

A.23 B24 C.25 D.26

二、填空题(每小题5分,共50分)

11.2002年8月,在北京召开国际数学家大会.大会会标如图4所示.它是

由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方

形的面积是13,小正方形的面积是1.则每个直角三角形的两条直角边的立

方和等于 .

12.数学小组中男孩子人数大于小组总人数的40 %且小于50%,则这个数学小组的成员至少有 人.

13.甲、乙两同学从400 m环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒2 m和每秒3 m的速度慢跑.6 s后,一只小狗从甲处以每秒6 m的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每秒6 m的速度向甲跑,如此往返直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了 m.

14.小红的妈妈将一笔奖金存入银行,一年定期,按照银行利率牌显示:定期储蓄一年的年利率是2.25%,利息税是20%,经计算,小红的妈妈可在一年后得到税后利息108元,那么小红的妈妈存入的奖金是 元.

15.如图所示,边长为3cm与5 cm

的两个正方形并排放在一起.在大

187

正方形中画一段以它的一个顶点为圆心,边长为半径的圆弧.则阴影部分的面积是 cm(π取3).

16.一辆新型家庭轿车油箱的容积为50 L,加满油由北京出发前往相距2300 km的第九届全国运动会举办地广州,已知汽车行驶100 km耗油8 L,为保证行车安全,油箱内至少应存油6 L,则在去广州的途中至少需要加油 次.

17.如图所示的是蜂巢的一部分.从中间阴影算起,有27层,每个正

六边形的小室中放进一个幼蜂,那么这个蜂巢总计可以放 只幼

蜂.

18.已知x=2,y=-1,z=-3是三元一次方程组 2

?mx-ny-z?7?2?2nx-3y-2mz?5 .的解,则m—7n+3k= .

?x?y?z?k?

19.5位数2X9Y1是某个自然数的平方,则3X+7Y= .

20.研究发现,某种感冒药含有使人感到困倦的物质,如果成年人按规定剂量服用,服药后3 h时血液中这种物质的含量最高(每毫升血液中含6微克,l微克=10克),随后逐步减少,在9 h的时候,血液中这种物质的含量降到每毫升3微克,当每毫升血液中该物质的含量不少于4微克时,人会有困倦感,那么服用这种药后人会有困倦感的时间会持续 小时(设人体对该药物的吸收与释放是均匀的).

三、解答题(21、22题各15分,23题20分,共5O分)

21.为鼓励居民用电,某市电力公司规定了如下电费计算方法:

每月用电不超过100度,按每度电O.50元计费;

每月用电超过100度,超出部分按每度电0.40元计费.

(1)若某用电户2002年1月交电费68.00元,那么该用户1月份用电多少度?

(2)若某用电户2002年2月平均每度电费0.48元,那么该用户2

月份用电多少度?应交电费多少元?

22.△ABC的面积是1 cm.如图所示,AD=DE= EC,BG=GF=FC,求阴影

四边形的面积.

23.我国除了用公历纪年法外,在很多场合还采用干支纪年法表示年代.例如:公历2002年,干支纪年为壬午.

188

2-6

天干有10个:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;

地支有12个:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.

将天干的10个汉字与地支的12个汉字对应排列成如下两行:

??甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸??,

??子丑寅卯辰已午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥??.

同一列上下对应的两个字就是一个于支年年号.

请你阅读下面的故事:

我国著名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事:“我有一个学生研究古典文学,送我好几本研究苏东坡的文集,我翻看了一篇《赤壁赋》,《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的?书上印的是1080年,苏东坡生于1037年,活了64岁.《赤壁赋》开头几句就是:壬戌之秋,七月既望.大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年.我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1080年,就知道一定是错的."

请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算"得出这个结论的?并推算苏东坡是哪一年写的《赤壁赋》?

189

答案 一、选择题

21、(1)100度电的电费为

0.503100=50(元) 又 68>50

所以该用户1月份的电量超过了100度,超出部分为

68?50

?45(度)

0.40

该用户1月份共用电100+45=145(度)

(2)设该用户2月份用电x度,则应交电费0.48x元. 因为 2月份平均每度电交0.48元电费 所以 2月份用电量超过100度 根据题意列方程 得

0.503100+0.40(x-100)=0.48x 整理 得 50+0.40x-400.48x 即 (0.48-0.40)x=50-40 解得 x=125(度)

0.48x=0.483125=60.00(元)

答:该用户1月份用电145度;2月份用电125度,应交电费60.00元

22、解:如图7,设AG与BE交于N,AF与BE交于P, 连接NC,ND,PC,PD

190

设△NGB的面积为x,△NGE的面积为y,则有△NCG的面积为2x,△NEA的面积为2y 因为 △ABC的面积是1平方厘米 且AD=DE=EC,BG=GF=FC 所以 △BCE,△ACF的面积是

1

平方厘米 3

△ACG的面积是

2

平方厘米 3

121 421

图7

1??

3x?y?x?????3

所以 ? 解得 ?

2?2x?3y??y?

??3??

所以△NGB的面积是

D

E 1

平方厘米 21

13 13

设△PCF的面积为u,△PCE的面积为v,则有

?

3u?v????

?u?3v???

所以 4u?4v?

21 即 u?v? 36

1

平方厘米 6

即 四边形PECF的面积是

所以 阴影四边形的面积=23、(1)理由如下:

1115

(平方厘米) ???

321642

因为 12与10的最小公倍数是60, 所以 干支纪年法每60年为一个循环 因为 1982年壬戌年,而1982-1080 = 902 而 902显然不是60的倍数

所以 1908年秋天不可能是“壬戌之秋”

所以 苏步青一看苏轼(苏东坡)写《赤壁赋》的时间是1080年,就知道一定是错

191

(2)因为 1982-1080 = 900是60的倍数

又 1982年是壬戌年,所以 1082年也是壬戌年

故 1082年之前的壬戌年是1082-60 = 1022

1082年之后的壬戌年是1082+60 = 1142

又 苏轼(苏东坡)生于1037年,活了64岁,而

1037>1022,且1143>1037+64

所以 可由《赤壁赋》中的“壬戌之秋”推测,苏东坡写《赤壁赋》的时间是1082年

192

希望杯第十四届(2003年)初中一年级第1试试题

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.(-1)2003-(-1)2002的值是( ).

A.2 B1 C.O D.-2

2.2003年3月23日是星期日,那么2003年的元旦是( ).

A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五

3.a为有理数,下列说法中正确的是( ).

A.(a?

C.a?(

为正数

4.如果a20031212)为正数 B.-(a?)为负数 20032003121 )为正数 D. a2?20032003+b2003=O,那么( ).

2003 A.(a+b)2003=0 B.(a-b)=0

=0 C.(a2b)2003=0 D.(|a|+|b|)2003

5.在下列4个判断

①在同一平面内,不相交也不重合的两条线段一定平行.

②在同一平面内,不相交也不重合的两条直线一定平行.

③在同一平面内, 不平行也不重合的两条线段一定相交.

④在同一平面内,不平行也不重合的两条直线一定相交.

中.正确判断的个数量( ).

A.4 B.3 C.2 D.1

6.若a=一200420032002,b=-,c=-,则( ) 200320022001

A.a<b<c B. c<b<a C.c<a<b D.b<a<c

7. The admission price(入场费)per child at an amusement park(游乐园) is 50f 9the admission price per adult.If the admission price for6 adu lts and3 children is¥276,then the admission price per adult is( ).

A.¥24 B¥32 C.¥36 D.¥40

193

8.如图1,将一个长为a、宽为b的长方形(a>b)沿虚线剪开,拼接成图2,成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为( ).

A.a?bab B.a—b C. D. 222

9.用1O根长度相同的木棍拼成一个三角形(不剩余木棍也不折断木棍),则只能拼成

( ).

A.直角三角形 R等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

10.有一个边长为4 m的正六边形客厅,用边长为50 cm的正三角形瓷砖铺满,则需要这种瓷砖( ).

A.216块 B.288块 C.384块 D.512块

A组填空题(每小题5分,共50分)

11.小明和小华做掷硬币的游戏:将同一枚硬币各掷三次,小明掷时,朝上的面都是“国徽”,才获胜;小华掷时,朝上的面只要一次是“国徽”,即获胜.获胜可能性大的是

12.某电脑公司派甲、乙二人各携带两台电脑分别乘坐出租车送给同一个客户,其中一辆起价为4 kmlO元,而后每公里收1.2元;另一辆起价为3 kmlO元,而后每公里收1.6元,当他们到达时,发现所付车费相差10元,则该电脑公司与客户处相距 km.

13.The sequence(序列) ,

is .

14.某校初中一年级有三个班:l班有34人,2班有38人,3班有32人.三个班都按统一的比例派同学参加运动会的比赛项目,全年级未参加比赛的有78人,则3班参加比赛项目的有 人.

15.已知p,q都是质数,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则40p+l0lq+4的值是 .

16.文件保密传递常常是按一定规则将其加密,收件人再按约定的规则将其解密.某电文按下面规则加密:将一个英文字母变成英文字母表中其后的第四个字母,如a变成e,b

194

112123123412,,,,,,,,,,then the 2003rd number 122333444455

变成f,w变成a,z变成d??那么"hope'’加密后是 .

17.世界杯中,中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎

加队同分在C组.赛前,50名球迷就C组哪支球队

将以小组第二名进入十六强进行竞猜,统计结果如

图.认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的

人数占的百分比为 .

18.长度相等,粗细不同的两枝蜡烛,其中的一枝可燃3小时,另一枝可燃4小时.将这两枝蜡烛同时点燃,当余下的长度中,一枝是另一枝的3倍时,蜡烛点燃了 小时.

19.用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边

缘,正方形每边都等距离地摆n(n≥3)盆花.那么所需菊花的总盆

数S与n的关系可以表示为 .

20.一排蜂房编号如图5,左上角有一只小蜜蜂,还不会

飞。只会向前爬行,它爬行到8号蜂房,共有 种

路线.

三、B组填空题(每小题10分,共50分)

2l.用一个两位数去除2003,余数是8.这样的两位数共有 个,其中最大的两位数是 .

22.用一张长20 m、宽8 m的纸片卷成(无重合部分)一个高为8 m的圆柱,那么这个圆柱的底面圆的半径是 m,圆柱的体积是 m.

23.观察图,三棱柱有5个面6个顶点9条棱,四棱柱有6个面8个顶点12条棱,五棱柱有7个面10个顶点l5条棱,由此可推测n棱柱有(n+2)个面 个顶点 条棱.

3

24.如图.若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点

195

点 .(填“A"、“B’’、“C”或“D”)

25.如图,△ABC的面积等于25 cm,AE==ED,BD=2DC,则△AEF与△BDE的面积之和等于 cm,四边形CDEF 的面积等于 cm.

222

196

197

希望杯第十四届(2003年)初中一年级第2试试题

一、选择题(每小题5分.共50分)

1.某班有30名男生和20名女生.60%的男生和30%的女生参加了天文小组,该班参加天文小组的人数占全班人数的( ).

A.60% B.48% C.45% D.30% 21?4.5(1?2)22.=( ) ?15?|?|??1.3223

A.-?122177292 B.- C.- D.- 20452045

1 D.x<-1 23.数轴上的点A、B、C分别对应数:0,-1.x,C与A的距离大于C与B的距离,则( ). A.x>0 B.x>-1 C.x<-

4.对任意的三个整数.则( ).

A它们的和是偶数的可能性小 B.它们的和是奇数的可能性小

C.其中必有两个数的和是奇数 D.其中必有两个数的和是偶数

5.油箱装满油的一辆汽车在匀速行驶.当汽油愉剩油箱体积的一半时就加满油.接着义按原速度行驶,到目的地时油箱中还剩有1体积的汽油.设油箱中所剩汽油量为V(升),3

时间为t(分钟).则V与t的图象是( ).

6.将长为12的线段截成长度为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形( ).

A不可能是等腰三角形 B.不可能是直角三角形

C.不可能是等边三角形 D.不可能是钝角三角形

7.有一个最多能称16 kg的弹簧秤,称重时发现,弹簧的长度(cm)与物体的重量(kg)之间有一定的关系.根据下表考虑:在弹簧称重范围内.弹簧最长为( )cm

198

8.If(a)=a(a?1) for all integers(整数) a,and b=<8),then(b) is( ). 2

A.36 13.72 C.666 D.1332

9.有一串数:-2003,-1999,-1995,-1991??按一定的规律排列,那么这串数中前( )个数的和最小.

A.500 B.501 C.502 D.503

1O.“希望杯”四校足球邀请赛规定:

(1)比赛采用单循环赛形式;

(2)有胜负时,胜队得3分,负队得O分;

(3)踢平时每队各得1分. 比赛结束后,四个队各自的总得分中不可能出现( ).

A.8分 B.7分 C.6分 D.5分

填空题(每小题5分.共50分

)

11.如果方程2003x+4a=2004a-3x的根是x=l,则a= .

12.如图中的大、小正方形的边长均为整数(厘米),它们的面积之和等于74平方厘米。则阴影三角形的面积是 平方厘米.

13.如果x+x-1=0,则x+2x+3= .

14.If a,b,c,d are rational numbers(有理数),|a-b|≤9,|c—d|≤16 and |a-b-c+d|=25,then |b-a|-|d—c|= .

15.a和23218都是正整数,则a= . a2?a?2

1S□ABCD=1,则416.如图,ABCD是平行四边形,E在AB上,F在AD上,S△BCE=2S△CDF=

199

S△CEF= .

17.用中心角为120°,半径为6 cm的扇形卷成一个圆锥(没有重叠),这个圆锥的表面积是 cm.

18.画一条直线,可将平面分成2个部分,画2条直线,最多可将平面分成4个部分,那么,画6条直线最多可将平面分成 个部分.

19.a与b互为相反数,且|a-b|=2a?ab?b4。那么2= 5a?ab?1

320.正整数m和n有大于1的最大公约数,且满足m+n=371,则mn= 。

三、解答题(21、23题各15分,22题20分,共50分)

21.某同学想用5个边长不等的正方形,拼成如图所示的大正方形.请问该同学的想法能实现吗?如果能实现,试求这5个正方形的边长;如果不能,请说明理由.

22.规定:正整数n的“H运算"是

①当n为奇数时,H=3n+13;

②当n为偶数时.H=n3113 3?(其中H为奇数). 22

如:数3经过1次“H运算”的结果是22,经过2次“H运算"的结果是11。经过3次“H运算”的结果是46.

请解答:

(1)数257经过257次“H运算"得到的结果.

(2)若“H运算”②的结果总是常数a,求a的值.

23.救灾指挥部,将救灾物品装入34个集装箱:4吨的集装箱3个,3吨的集装箱4个,

2.5吨的集装箱5个。1.5吨的集装箱10个,1吨的集装箱l2个,那么至少需要多少辆载重5吨的汽车才能一次将这些救灾物品运走?提出你的运输方案.

200

参考答案:

一.BACDA,DDCBA.

二.11.1.003; 12.7; 13.4;

17.16?;

三.

21.答:不能实现.

理由:假设能够实现,不妨设中间小正方形的边长为x(x>0),左下角的正方形的边长为y(y>0),则左上角的正方形的边长为(y-x),右上角的正方形的边长为(y-2x),于是有右下角的正方形的边长为(y-3x)或(y+x).

所以,y-3x=y+x,

于是4x=0,得x=0.

与x>0矛盾,所以该同学的想法不能实现.

H22.(1)一个正整数n经达一次“H运算”的结果是b,记为:n???b,则257经过

H笫1次“H运算”:257 ???25733+13=784; 14.-7; 20.196. 15.4; 716.; 418.22; 19.4; 25

H笫2次“H运算”:784 ???78431=49; 24

H笫3次“H运算”:49???4933+13=160;

H笫4次“H运算”:160 ???16031=5; 25

H笫5次“H运算”:5???533+13=28;

H笫6次“H运算”:28 ???2831=7; 22

H笫7次“H运算”:7???733+13=34;

1H笫8次“H运算”:34 ???343=17; 2

H笫9次“H运算”:17???1733+13=64;

H笫10次“H运算”:64 ???6431=1; 26

H笫11次“H运算”:1???133+13=16;

201

H笫12次“H运算”:16 ???1631=1; 24

H笫13次“H运算”:1???133+13=16;

H笫14次“H运算”:16 ???1631=1; 24

从笫11步以后出现循环,奇数步的结果为16,偶数步的结果为1.

因此,笫257步后的结果为16.

(2)若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环,此时“H运算”②的运算结果总是a,

则a一定是个奇数,那么,对a进行“H运算”①的结果a33+13是偶数.

再对a33+13进行“H运算”,即

a33+13乘以

于是1的结果仍是a, 2ka?3?13=a, 2k

k也即a33+13=a32,

即a3(2-3)=13=1313.

因为a是正整数,

所以2-3=1或2-3=13,

解得k=2或k=4.

当k=2时,a=13;

当k=4时,a=1.

23.为了用载重量5吨的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组

合,即尽量使每一节汽车都能装满.

由题设可知,物资总重63.5吨,而12<63.5÷5<13,由此可知,要把救灾物品一次运走,

需要的汽车不能少于13辆.

于是我们提出如下设计方案:

A类:每辆装4吨集装箱1个和1吨集装箱1个,按排3辆汽车;

B类:每辆装3吨集装箱1个和1吨集装箱2个,按排4辆汽车;

C类:每辆装2.5吨集装箱2个,按排2辆汽车;

D类:每辆装2.5吨、1.5吨、1吨集装箱各1个,按排1辆汽车;

E类:每辆装1.5吨集装箱3个,按排3辆汽车;

202

kkk

而3+4+2+1+3=13(辆),

因此,要把救灾物品一次运走,需要汽车至少13辆.

203

2004年第十五届希望杯初一第1试试题

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

(A)相反数 (B)倒数 (C)绝对值 (D)平方 2、式子(A)(C)

去括号后是( A ) (B) (D)

3、图1中有8个完全相同的直角三角形,则图中矩形的个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、已知

的值是( C )

(A)3 (B)7

C

)13 (D)15 5、有理数(A)(C)

的大小关系如图2所示,则下列式子中一定成立 的是( D ) >0 (B)

(D)

< >

,记

的个位数字是,十位数字是

, 则

6、某动物园有老虎和狮子,老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每 天吃肉4.5千克,每只狮子每天吃肉3.5千克,那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉( B ) (A)

(B)

(C)

(D)

7、如图3所示,凸四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点。若三角形 AOD的面积是2,三角形COD的面积是1,三角形COB的面积是4,则四边形ABCD的面积是( B ) (A)16 (B)15 (C)14 (D)13

8、若-1<<<0,则下列式子中正确的是( D )

204

(A)< (B)< (C)< (D)>

9、下列4个图形中,轴对称图形有

( D )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

10、若为有理数,且,则( A )

(A)-8 (B)-16 (C)8 (D)16

二、A组填空题:(每小题4分,共40分。含两个空的小题,每个空2分。)

11、2003年10月15日9时9分50秒,我国“神舟”五号载人飞船准确进入预定轨道。16日5时59分,返回舱与推进舱分离,向地面返回。其间飞船绕地球飞行了60万千米。“神舟”五号载人飞船共巡天飞行了 秒,飞船的平均速度是 千米/秒。(答案取整数)

12、计算: 。

13、某地上半年降雨量如图4所示,那么在该地25平方千 米的范围内,上半年平均每月降雨 立方米。(用科学记数法表示)

14、已知15、若16、若都是整数,且

。 是能被3整除的五位数,则的可能取值有 个;这样的五位数中能 。 被9整除的是 。

17、For a real number ,let[a]denote the maximum integer which does not exceed .For example,[3.1]=3,[-1.5]=-2,[0.7]=0. Now let

then 。 ,

(英汉小词典real number:实数;the maximum integer which does not exceed :不超过的最大整数)

18、同学们参加了高空气球飞行实验,把实验的设计者介绍:气球的高度每增加1千米,

205

其温度将下降约6℃。现测得地面的温度是8℃,高空气球的温度是-3℃,则这个实验气球的飞行高度大约是 千米。(保留至小数点后两位)

19、某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/小时,从学校返回时的行进速度是4千米/小时,那么该同学往返学校的平均速度是 千米/小时

20、如图5所示,在一块三角形绿地上开辟一块四块形花圃(四边形CDFE), AC=CB=10米,四边形花圃的最长加CD=8米,三角形BDF的面积是 平方米;四边形花圃CDFE的面积是 平方米。

三、B组填空题:(每小题8分,共40分。每题两个空,每个空4分。)

21、在中关村电脑节上,希望电脑在让利288元后,再以八折销售,售价 是5280元,那么该电脑的原售价是 元;在得知如此销售仍可获利5.6%后,希望公司董事会决定将已经售出的100台电脑的利润全部捐献给希望工程。那么,此次希望工程可获得捐款 元。

22、图6中正方形GFCD和正方形AEHG的边长都是整数,它们的面积之和是117,P是AE上一点,Q是CD上一点。则三角形BCH的面积是 ;四边形PHQG的面积是 。

23、如图7,甲乙两车分别自A、B两城同时相向行驶,在C地相遇,继续行驶分别达到B

206

A两城后,立即返回,在D处再次相遇。已知AC=30千米,AD=40千米,则AB= 千米,甲的速度:乙的速度= 。

24、有理数①>满足条件;②<>;③>>,则 ;④>中,正确不等式的序号是 和 。

25、在期中考试中,同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、 第三、第四名。在期末考试中,他们又是班上的前四名。如果他们当中只有一位的排名与期中考试中的排名相同,那么排名情况有 种可能;如果他们的排名都与期中考试中的排名不同,那么排名情况有 种可能。

207

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛

初一第1试参考答案

一、 二、 A组填空题:

选择题:

三、

B组填空题:

208

希望杯第十五届(2004年)初中一年级第2试试题

一、选择题(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个正确的,请将表示正确答案的英文字母填在后面的圆括号内。

1、已知a??2004?15,则a是( )

A、合数 B、质数 C、偶数 D、负数

2若7a+9|b|=0,则ab2一定是( )

A、正数 B、负数 C、非负数 D、非正数

3、a与b之和的倒数的2003次方等于1,a的相反数与b之和的2005次方也等于1,则a2003+b2004=( )

A、22005 B、2 C、1 D、0

4、如图1,三角形ABC的底边BC长3厘米,BC边上的高是2

厘米,将三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上移动2秒,这时,

三角形扫过的面积是( )平方厘米。

A、21 B、19 C、17 D、15

5、小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果,花了8元钱,春节后,再去市场买这两种水果,由于葡萄每公斤提价5角钱,苹果每公斤降3角钱,买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元,则春节后购物时,(葡萄、苹果)每公斤的价格分别是( )元。

A、(2.5,0.7) B、(2,1)

2C、(2,1.3) D、(2.5,1) 6、当x??1时,代数式2ax?3bx?8的值为18,这时,代数式9b?6a?2=( )

A、28 B、—28 C、32 D、—32

7、The sum or n different postitive integers is less than 50.The greatest possible value of n is( )

A、10 B、9 C、8 D、7 (英汉小词典positive integer:正整数)

8、已知∠A与∠B之和的补角等于∠A与∠B之差的余角,则∠B=( )

A、75° B、60° C、45° D、30°

9、如图2,一个正方体的六个面上分别标有数字1

209

2,3,4,5,6。根据图中三种状态所显示的数字,“?”表示的数字是( )

A、1 B、2 C、4

2 D、6 210、若a,b都是有理数,且a?2ab?2b?4a?8?0,则ab=( )

A、—8 B、8 C、32 D、2004

二、填空题(每小题5分,共50分,含两个空的小题,前空3分,后空2分)

11、若正整数x,y满足2004x=15y,则x+y的最小值是___________;

12、数列1,12,3,5,8,13,21,34,55,?的排列规律:前两个数是1,从第3个数开始,每一个数都是它前两个数的和,这个数列叫做斐波契数列,在斐波契数列前2004个数中共有___________个偶数。

13、2004年6月2日依照美语习惯写作6/3/2004,依照英语习惯写作3/6/2004,像6/3/2004就难以判断是美语日期还是英语日期,也难以判断是哪一天,称为易混日期,而4/18/2004显然是美语日期,可以准确断定为2004年4月18日;18/4/2004显然是英语日期,可以准确断定为2004年4月18日;2/2/2004虽不能断定是美语日期还是英语日期,但总可断定为2004年2月2日,这些都是不混日期。那么每月有易混日期___________个;2004年全年的不混日期共有___________个。

14、若x?3x?1?0,则x?5x?5x?18?___________。

15、如图3,甲、乙两船同时从B港分别向C

港和A港行驶。已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,

A、B两港相距540千米。甲船3小时后到达C港,

然后立即驶向A港,最后与乙港同时到达A港,则

乙船速度是___________千数/小时。

16、If n is appositive integer,and if the units’ digit of n2 is 6 and the units’ digit of (n-1)2 is 9,the unist’ digit of (n-1)2 is___________。

17、用若干条长为1的线段围成一个长方形,长方形的长和宽的最大公约数是7,最小公倍数是7320,则围成这个长方形最少需要___________条长为1的线段,它的面积是___________。

18、关于x,y的方程组?232?3x?4y?3的解x,y的和等于1,则m的值是______

?2mx?3y?2

19、甲、乙两打字员,甲每页打500字,乙每页打600字。已知甲每完成8

页,乙恰

210

能完成7页,若甲打完2页后,乙开始打字,则当甲、乙打的字数相同时,乙打了___________页。

20将2004写成若干质数的乘积,如果a,b,c是这些质数中的三个,且a<b<c,那

?bx?ay?1么关于x,y的方程组?的解是x=_____,y=_______。 ax?cy??165?

三、解答题(每题10分,共30分)要求:写出推理过程。

21、观察下面的等式

2?2?4,

31?3?4,22

41?4?5,33

51?5?6,42

明的猜想正确吗?为什么? 2?2?4;31?3?4;2241 ?4?5;3351?5?6.42(1)小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小

(2)请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想。

22、能否在图4中的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?所果能填,请填出一例;如果不能填,请说明理由。

23、在333的方格表中填入九个不同的正整数:1,2,3,4,5,6,7,8,和x,使得各行、各列所填三个数的和都相等,请确定x的值,并给出一种填数法。

211

参考答案及评分标准 一、选择题(每小题5分)

二、填空题(每小题5分,含两个空格的,前空3分,后空2分)

21.(1)小明的猜想显然是不正确的,易举出反例;如133≠1+3 (4分) (2)将第一组等式变形为:

22

?2?4,?2?4 11

n?1n?1

?(n?1)??(n?1)” (7分) nn

得出如下猜想:“若n是正整数,则

证法1:左边=(1?

1n?1

)(n?1)?(n?1)??右边 nn

所以猜想是正确的 (10分)

n?1n(n?1)(n?1)2?? 证法2: 右边==左边 nnn

所以猜想是正确的 (10分) 22.不能填,理由如下:

设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d;则有

2

2

2

① ② ③

2

(4分)

①-②得 c?d?d?c c?d

因为: c≠ d,只能是c = -d ④ (6分)

212

2

2

同理可得 c?b 因为 c ≠b ,只能c = -b ⑤ (8分)

比较④,⑤得b=d ,与已知b≠d矛盾,所以题设要求的填数法不存在。(10分)

23、因为,x是正整数,所以表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即: 221?2?3?4?5?6?7?8?xx?12? (2分) 33

不妨设a,b与x在同一行,c,d与x在同一列,则有 a+b=c+d=12+x-x=12-3

2x (4分) 3又 a+b和c+d的最小值是

所以 12?1?2?3?4?5 22x212x?5,即x? (6分) 又因为 12?=a?b是整数,且x是不同于323

1,2,3,4,5,6,7,8的正整数,因此x=9 (8分)

填数法如下:(不唯一)

(10分)

213

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第1试

2005年3月20日 上午8∶30至10∶00

校名 班次 姓名 辅导教师 成绩 一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

A.在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数 B.两个有理数互为相反数,则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称 C.两个有理数不等,则它们的绝对值不等 D.两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等

2、我们从不同的方向观察同一物体时,可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是

A

B

C

D

3、105的负约数的和等于

A.-105

B

.-87 C.-86 D.-192 4、下列图形中经过折叠不能围成正方体的是

5、公园里准备修五条甬道,并在甬道交叉路口处设一个报亭,这样的报亭最多设

A.9个 B.10个 C.11个 D.12个

214

A

B C D

6、如果a?b?c?0,且a?b?c.则下列说法中可能成立的是

A.a、b为正数,c为负数 B.a、c为正数,b为负数 C.b、c为正数,a为负数 D.a、c为负数,b为正数 7、如果a?b

3

3

??a?b3,那么下列不等式中成立的是

3

A.ab?0 B. ab≥0 C.ab<0 D.ab≤0 8、一艘轮船由A地向南偏西450的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西150的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距

A.30海里 B.40海里 C.50海里 D.60海里 9、

若税率由b%调为c%,且商品的进价和利润都未改变,则商品的售价是原来的

A.

1?b%1?bb%1?b%

倍 B.倍 C.倍 D.倍

1?c%1?c1?c%c%

a

<0 ,a?b?0and a?b?0,then the points in real number axis ,given b

10、If we have

by a and b ,can be represented as

A

B C D

(英汉词典point:点;real number axis:实数轴;represent:表示)

二、A组填空题(每小题4分,共40分。含两个空的小题,每个空2分。)

11、下表是2004年雅典奥运会男子110米栏决赛的结果.其中最后一名选手的成绩比第一名选手的成绩少 .

215

13、一台计算机的硬盘分为3个区,每个区的使用情况如图1所示,则这个硬盘的使用率为

图1 总计:12.5GB 总计:15.8GB 已用空间 可用空间 总计:10.2GB

14、如图2所示,在一个大正方形中有两个小正方形,它们的面积分别为m、n,则图2

n

m

15、图3中的大矩形长8厘米、宽6

厘米,小矩形长4厘米、宽3厘米,以长边中点连线(图中的虚线)为轴,将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米.

16、120名学生去推车运土,规定每3名女生推一辆车,每2名男生推一辆车,共48辆车.其中女生共

17、已知abc?0

,且图3 abc3a?2b?c??,则bcaa?2c?3c

18、甲、乙两个公司用相同的价格购粮,他们各购两次.已知两次的价格不同,甲公司每次购粮1万公斤,乙公司每次用1万元购粮,则两次平均价格较低的是

公司

19、有a个人都属鸡,而且生日都是3月20日.某年,他们的年龄数的乘积为207025,他

216

们的年龄数之和是102.则a=

20、小纪念册每本5元,大纪念册每本7元.小明买这两种纪念册共花142元,则两种纪念册共买 本

三、B组填空题(每小题8分,共40分。每题两个空,每个空4分)

21、分母是21,且大小在-21和-之间的分数有 个 33

21和-之间的分数是 33

1在数轴上对应的点.使线段AB沿数轴向右移动 2

图4 分母是10,且大小在-22、点A、B分别是数-3,-到A?B?,且线段A?B?的中点对应的数是3,则点A?对应的数是 ,点A 移动的距离是 .

23、如图4所示,每个圆纸片的面积都是30.圆纸片A与B、B与C、C与A

的重叠部分面积分别为6,8,5.三个圆纸片覆盖的总面积为73.则三个圆纸片重叠部分的面积为 ,图中阴影部分的面积为

24、如图5所示,∠BOD=450,那么不大于900的角有 个,它们的

度数之和是

217

E C B 图5 A

25、一个分母为7的最简真分数化成小数后,从小数点后第一位起,连 续k位数字之和恰等于2005,则k= 或 (已知1?42857?85714?,3?0.4?28571?,4?0.5?, ?,2?0.2?71428?0.177775

7?0.7?14285?,6?7?0.857142?)

218

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

答案·评分标准 初一 第1试

1.答案 ⑴选择题

⑵A组填空题

⑶B组填空题 2.评分标准

⑴第1~10题:答对得4分;答错或不答,得0分

⑵第11~20题:答对得4分;两个空的小题,每个空2分;答错或不答,得0分 ⑶第

21~25题:答对得8分,每个空4分;答错或不答,得0分

219

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2005年4月17日 上午8∶30至10∶30

一、选择题:(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。)

1.如果(a?b)?(a?b)?4,则一定成立的是( )

(A)a是b的相反数 (B)a是?b的相反数 (C)a是b的倒数 (D)a是?b的倒数

22

72时,式子(x?2)?2(2?2x)?(1?x)(1?x)的值等于( ) 12

234923(A)? (B) (C)1 (D) 7272722.当x??

3.从不同的方向看同一物体时,可能看到不同的图形,其中,从正面看到的图叫主视图,从左面看到的图叫左视图,从上面看到的图叫俯视图。由若干个(大于8个)大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图如图1所示,则这个几何体的左视图不可能是( )

主视图俯视图

图 1

220

(A)

(B)

(C)

(D)

4.如图2所示,在矩形ABCD中,AE?BG?BF?

在同一条直线上,则阴影部分的面积等于( )

(A)8 (B)12 (C)16 (D)20 11AD?AB?2,E、H、G23

AFB图 2C

5.In a triangle,if measures of three angles are x,2x and 3x respectively,then the measure of the largest angle is ( )

(A)150° (B)120° (C)90° (D)60°

(英汉词典 triangle:三角形。measure:量度。the largest angle:最大角)

6.If we have a<0,a?b<0 and a?b<0,then the points in real number axis, given b

by a and b, can be represented as ( ) (A)a ob (B)a ob (C)

boa (D)oba

7.方程x?2?x?3?6的解的个数是( )

221

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

8.如果a?b??a?b,那么下列不等式中成立的是( ) (A)a>b (B)a<b (C)a≥b (D)a≤b

9.如图3,两直线AB、CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( ) (A)630° (B)720° (C)800° (D)900°

C

图 3

6

A

13F4G5H2B

3

3

3

3

D

10.若大于1的整数n可以表示成若干个质数的乘积,则这些质数称为n的质因数,则下面四个命题中正确的是( )

(A)n的相反数等于n的所有质因数的相反数之积 (B)n的倒数等于n的所有质因数的倒数之积

(C)n的倒数的相反数等于n的所有质因数的倒数的相反数之积 (D)n的相反数的倒数等于n的所有质因数的相反数的倒数之积

二、填空题

11.若x?0.7是方程ax?

15

?的解,则a=_________。 23

12.张师傅加工一批同样类型的零件,他用A车床加工了这批零件的二分之一后,再

222

用B车床加工余下的零件,共用了4小时。已知用B车床比用A车床每小时可以多加工8个零件,后两个小时比前两个小时多加工了12个零件。张师傅加工零件的总数是________个。

13.如果x?2x?3,那么x?7x?8x?13x?15?__________。

14.两个正整数x和y的最大公约数是4,最小公倍数是20,则2432x2y2?3xy?1?_______。

15.If two rational numbers x,y satisfy x?y?3 and xy?x?0,then x =_________。

(英汉词典 rational number:有理数)

16.小明的妈妈买了葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯各若干袋,用了340元。葡萄、苹果、雪梨和芒果果脯每袋售价分别为14元、22元、28元和42元。小明的妈妈至少买了_____袋果脯,其中苹果果脯是________袋。

17.地球陆地总面积相当于海洋总面积的41%,北半球的陆地面积相当于其海洋面积的65%,那么,南半球的陆地面积相当于其海洋面积的_________%(精确到个位数)。

18.在公路上汽车A、B、C分别以每小时80、70、50公里的速度匀速行驶,A从甲站开往乙站,同时,B、C从乙站开往甲站。A在与B相遇后两小时又与C相遇,则甲、乙两站相距__________公里。

19.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如3|12表示3整除12,那么满足x|(y?1)与y|(x?1)的正整数组(x,y)共有________组。

20.用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺设广场,中间的正六边形瓷

223

2

砖记为A,定义为第一组,在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖,定义为第二组,在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满,定义为第三组,?,按这种方式铺下去,用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组,此时还剩余__________块瓷砖。

图 4

三、解答题:(要求:写出推算过程)

21.请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图(经过平移或旋转后能够重合的,算作一种)。

22.已知非负实数x,y,z满足

最大值与最小值。

23.如图6(a)是一个3?3的网格,其中放了“希、望、杯、数、学、竞、赛、题”八个字块,但是放错了顺序。问:

224

x?12?yz?3,记W?3x?4y?5z,求W的??234

是否可以移动网格中的字块,将图6(a)中所示的八个字块校正成图6(b)中所示的八个字块。如果能,请写出操作过程;如果不能,请说明理由。

要求:在每次移动网格中的字块时,只能将字块滑动到相邻的空的网格中。

希望杯学数竞赛题(a)图 6希望杯数(b)学竞赛题

225

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初中一年级 第2试

三、解答题

21.答案不惟一. (每做对一图得2分)

x?12?yz?3

???k,则x?2k?1,y??3k?2,z?4k?3.(3分) 234

因为 x,y,z均为非负实数。

22、设

226

?2k?1?0,?所以??3k?2?0,

?4k?3?0?

12解得:??k?(5分)23

于是:W?3x?4y?5z

?3(2k?1)?4(3k?2)?5(4k?3)

?14k?26(5分)

所以?

所以W的最小值是19,最大值是35

23.不能.

理由如下: 12?14?26?14k?26??14?26,(7分)231 (10分) 3

(1)将“希、望、杯、数、学、竟、赛、题”八个字编号,分另q是1.2、3、4、5、6、7、8,则图6(8)变为图(c),调整汉字就是调整这些数字. (1分)

(2)将333网格中的数字从左至右、从上往下排成一个八位数,则图(c)对应的八位数是 12354678,其中,数字5排在了4的左端,则称这

个八位数有一个逆序。一个网格所对应的八位

数的逆序的总数称为这个网格的“逆序量”.例

如:图(c)的“逆序量”是1;图(d)对应的八位数

是12357468,其中,5的右端有1个数字4比5

小,7的右端有2个比7小的数字4和6,所以图

(d)的“逆序量”是3. (3分)

(3)两个相邻数字交换位置,逆序的改变量只能是1或一1. (5分)

(4)在同一行中,按照要求调整数字时,数字只能左右移动,移动前后的网格所对应的八位数完全相同,“逆序量”不发生变化,或称“逆序量”的改变是0. (6分) 如果按照要求,将数字移动到相邻的行中,相当于在网格所对应的八位数中,将某个数字向左(或向右)跳过了两个数字,既然两个相邻数字交换位置,逆序的改变量只能是l或一1,那么,交换两个数字逆序的改变量只能是2或者是0或者是一2. (8分) 如由图(c)到图(d)。相应的八位数由12354678调整为12357468,相应的“逆序量”由1改变为3.改变量是2.

(5)按照要求移动汉字时,逆序的改变量是偶数,不会改变网格的“逆序量”的奇偶性2

(9分) 但是,图6(a)的“逆序量”是奇数,图6(b)的“逆序量”是偶数,所以 不能按要求将图6(a)调整为图6(b)。

227

(10分)

228

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第1试

2006年3月19日 上午8:30至10:00

学校______________班__________学号__________姓名__________辅导教师________成绩__________

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内.

1.在数轴上,点A对应的数是-2006,点B对应的数是+17,则A、B两点的距离是( )

(A)1989

2.有如下四个命题:

①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数;

②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数;

③两个符号相反的分数之间至少有一个整数;

④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.

其中真命题的个数为( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (B)1999 (C)2013 (D)2023

3.图1是希望中学学生参加课外活动情况的扇形统计图,其中参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的( )

(A)12%

4.设m=(B)22% (C)32% (D)20% 图

1 a+1a+2a,n=,p=.若a<-3,则( ) a+2a+3a+1

(B)n<p<m

(D)p<m<n (A)m<n<p (C)p<n<m

5.图2的交通标志中,轴对称图形有( )

(A)4个

(C)2个

6.对于数x,符号[x]表示不大于x的最大整数.例如,[3.14]=3,[-7.59

229

(B)3个 (D)1个 图2

=-8,则满足关系式[(A)6个

3x+7

]=4的x的整数值有( ) 7

(B)5个

(C)4个

(D)3个

7.在图3所示的434的方格表中,记∠ABD=α,∠DEF=β,∠CGH=

γ,则( ) (A)β<α<γ

8.方程x+y+z=7的正整数解有( ) (A)10组

(B)12组

(C)15组

(B)β<γ<α (C)α<γ<β (D)α<β<γ

图3 (D)16组

9.如图4,ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形.O是BF与EG的交点.如果正方形ABCD的

面积是9平方厘米,CG=2厘米,则三角形DEO的面积是( ) (A)6.25平方厘米 (C)4.50平方厘米

10.有如下四个叙述:

①当0<x<1时,

4

(B)5.75平方厘米 (D)3.75平方厘米

11<1-x+x2;②当0<x<1时,>1-x+x2; 1+x1+x11

<1-x+x2;④当-1<x<0时,>1-x+x2. 1+x1+x

③当-1<x<0时,

其中正确的叙述是( ) (A)①③

(B)②④

(C)①④

(D)②③

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.神舟六号飞船的速度是7.8千米/秒,航天员费俊龙用3分钟在舱内连做4个“前滚翻”,那么当时

费俊龙“翻”完一个跟斗时,飞船飞行了__________千米.

230

12.已知a+b=-3,a2b+ab2=-30,则a2-ab+b2+11=__________.

13.图5表示某工厂2003年至2005年的利

润和总资产统计表,由图可知资产利润图5

率最高的年份是________年. (注:资产利润率=利润

总资产3100%)

13?17???2??1?

14.计算:?-13+0.125?????-116??=__________. 1-11

2-815.图6是一个流程图,图中“结束”处的计算结果是__________.

图6

16.Assume that the reciprocal of m-2 is -1?

4?1

?m+2??,them the value ?

of m2+1

m2 is ________.

(英汉词典:to assume 假设;reciprocal 倒数;value 值)

17.n是自然数,如果n+20和n-21都是完全平方数,则n等于__________.

18.If x=2 is a solution of the equation 1??1?1?x+a

9??6?+

?3?4??-7???+10??=1,then a=________.

??2????

(英汉词典:solution 解;equation 方程)

231

19.将(1+2x-x2)2展开,所得多项式的系数和是__________.

20.如图7所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上0,1,2,3.先让圆周上数字0所

对应的数与数轴上的数-1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数-2006将与圆周上的数字__________重合.

三、B组填空题(每小题8分,共40分.每小题两个空,每空4分.)

21.把一块正方体木块的表面涂上漆,再把它锯成27块大小相同的小正方体.在这些小正方体中,没涂

漆的有______块,至少被漆2个面的有______块.

22.如图8所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=8厘米,BC=6厘米.分别以AC、BC为边作

正方形AEDC、BCFG,则三角形BEF的面积是__________平方厘米,AEDFGB的面积是__________平方厘米.

23.世界十大沙漠的面积见下表:(面积单位:万平方千米)

图8

已知地球陆地面积为1.49亿平方千米,占地球表面积的29.2%,则十大沙漠的总面积占地球表面积的________%(保留三位有效数字).

24.甲自A向B走了5.5分钟,乙自B向A行走,每分钟比甲多走30千米.他们于途中C处相遇.甲自

A到C用时比自C到B用时多4分钟,乙自C向A用时比自B向C用时多3分钟,则甲从A到C用了______分钟,A、B两处的距离是________千米.

25.将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9按任意顺序写成一排,其中相邻的3个数字组成一个三位数,

共有七个三位数,对这七个三位数求和,则数字1~9的每一种排列对应一个和(如将数字1~9写成1,3,4,2,7,5,8,9,6,可组成134,342,427,275,758,589,896这七个三位数,它们

232

的和是3421).所求得的和中,最大的数是__________,最小的数是__________.

233

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

答案2评分标准 初一 第1试

1.答案 (1)选择题

(1)第 1~10题:答对得4分;答错或不答,得0分. (2)第11~20题:答对得4分;答错或不答,得0分.

(2)第21~25题:答对得8分,每个空4分;答错或不答,得0分.

234

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试

2006年4月16日 上午10∶30至10∶30

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题:①a-22-a的相反数是2;②a-b的相反2b+4b+4

数是a的相反数与b的相反数的差;③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积;④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积.其中真命题有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

2.在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是( )

(A(B(C(D)

3.在代数式xy2中,x与y

25% (A)50% (B)75% (C)27 64(D)37 64

4.若a<b<0<c<a,则以下结论中,正确的是( )

(A)a+b+c+d一定是正数

(C)d-c-b-a一定是正数 (B)d+c-a-b可能是负数 (D)c-d-b-a一定是正数

5.在图1中,DA=DB=DC,则x的值是( )

(A)10

6.已知a,b,c都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( )

(A)m一定是奇数

(B)20 (C)30 (D)40 图1 (B)m一定是偶数 235

(C)仅当a,b,c同奇偶时,m是偶数 (D)m的奇偶性不能确定

7.三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3.(注:

[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数,(a,b)表示a,b的最大公约数),则a+b+c的最小值是( )

(A)30 (B)31 (C)32 (D)33

8.如图2,矩形ABCD由334个小正方形组成.此图中,不是正方形的矩

形有( )

(A)40个

9.设[a]是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[-1]=

-1,[0]=0,[-1.2]=-2,则在以下四个结论中,正确的是( )

(A)[a]+[-a]=0

(C)[a]+[-a]≠0 (B)[a]+[-a]等于0或-1 (D)[a]+[-a]等于0或1 AB(B)38个 (C)36个 (D)34个 DC图2

10.On the number axis,there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively,

and the distance between A and B is less than 10.Let m=5-2b,then the range of the value of m is( )

(A)-1<m<39 (B)-39<m<1 (C)-29<m<11 (D)-11<m<29

(英汉字典:number axis 数轴;point 点;corresponding to 对应于?;respectively 分别地;distance 距离;less than 小于;value 值;range 范围)

二、填空题(每小题4分,共40分)

11.1-21

251194117111+3-4+5-6+7-8+9=_______. 612302042567290

12.若m+n-p=0,则m??n-p??+n??m-p??-p?m-n?的值等于______. ???????11??11??11?

13.图3是一个小区的街道图,A、B、C、?X、Y、Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口都可以沿直线看到这个路口的所有街道.现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,

236

最少要设__________个岗哨.

14.如果m-

15.11=-3,那么m3-3=____________. mmEFBRSXYZ图3 C1+2+3+4+5+?+2005+2006=__________. 1??1??1??1??1??1???1-??1-??1-??1-???1-??1-?2005??2006??1004??1005??1006??1007??

16.乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者.取其中的一半加半个发给第一名;取余

下的一半加半个发给第二名;又取余下的一半加半个发给第三名;再取余下的一半加半个发给第四名;最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完.这些乒乓球共有______个.

17.有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21

和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是__________岁.

18.初一(2)班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”

开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人,则全班同学共有________人.

19.2m+2006+2m(m是正整数)的末位数字是__________.

20.Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations (a-2b)x=1,(b-3c)y=1,(c

-4d)z=1,w+100=d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is ____________.

(英汉词典:to assume 假设;integer 整数;equation 方程;solution(方程的)解;positive 正的;respectively 分别地;minimum 最小值)

三、解答题(本大题共3小题,第21题10分,第22、23题15分共40分)要求:写出推算

237

过程.

21.(1)证明:奇数的平方被8除余1.

(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.

22.如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点.连结AO并延长

交BC于D,连结CO并延长交AB于F.求四边形BDOF的面积.

23.老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度25千米/

小时.这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时. FBCD图4

238

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试 参考答案

一、选择题

1、C ,提示:①②④正确,③错误。

2、C ,提示:正方体的平面展开图中一个顶点能连出4个正方形。

3、C ,提示:xy2?(x?25%x)(y?25%y)?372xy 64

4、C ,提示:(A)a?b?0,c?d?0, a?b?c?d不确定,A错;

(B)d?c?0,?a?0,?b?0 d?c?a?b?0,B错;

(C)d?c?0,?a?0,?b?0, d?c?b?a?0,C 对;

(D)c?d?0,?a?0,?b?0 c?d?b?a不确定,D错。

5、A ,提示:如图,DA?DB?DC,?CAD??ACD?30?,

?DBA??DAB?50?,?DBC??DCB?x?,

x??x??30??30??50??50??180?,

x?10。

6、B ,提示:因为m中如果有a,b,c出现,则都是以它们的偶数倍形式出现的。

7、B ,提示:(a,b)?4,(b,c)?3,则a?4,b?4?3,则a?4,b?4?3,又[a,b,c]?60,则

c?3?5,a?b?c?31。

8、A ,提示:共有矩形60个,共有是正方形的有20个。

9、D ,提示:当a?1时,[a]?[?a]?0,当a?

10、C ,提示:1时,[a]?[?a]?0?(?1)??1。 2,b?7?10,?10?b?7?10,?3?b?17

?17??b?3,?34??2b?6,?29?5?2b?11,即?29?m?11。

239

二、填空题

1511914117119提示: 1?2?3?4?5?6?7?8?911、 1,2612203042567290101111111 ?1???3?3??5???7????9? 261220304290

1111111 ?1?????????261220304290

1111111 ?1?????????22334910 1119 ?1????1 221010

12、?3,

111111提示:m(?)?n(?)?p(?)npmpmnmmnnnp ??????npmpmnmpnpmn ?(?)?(?)?(?)nnmmpp ??1?1?1 ??3

13、4 ,提示:如图四点:D、N、Y、F

1111122?(m?)(m?1?)?(m?)[(m?)?3]14、?36,提示: m3mm2mm

?(?3)?[(?3)2?3]?36m3?

15、4026042;提示:

1?2?3?4?5???2005?2006111111(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?)(1?)1004100510061007200520061?2?3?4?5???2005?2006????????100410051006100720052006?2?(1?2?3?4?5???2005?2006)2006?(1?2006)2?2006?2007?2??4026042240

16、31;提示:设这些乒乓球有x个,则发给第一名:

发给第二名:(x?

发给第三名:11x?个; 22111111x?)???2x?2个, 222222111111个,发给第四名:个,发给第五名:个。 x?x?x?334455222222

1111131则(?2?3?4?5)(x?1)?x,x?,x?31。 2222232

17、18 ;提示:设甲,乙,丙,丁四人的年龄为a,b,c,d,则

?a?b?c?d?29? 3??a?b?c?3d?a?b?d?c?23?a?b?3c?d??3 ???a?c?d?b?21?a?3b?c?d

??3a?b?c?d3??b?c?d??a?17 3?

①+②+③+④ 得6(a?b?c?d)?270,a?b?c?d?45⑤,将⑤分别代入①,②,③,④,求得 ?87① ?69② ?63③ ?51④

a?3,b?4,c?12,d?21,d?a?21?3?18。

1,2,?19,20,?,n??19,n?18,?,n?1,n??????

18、53 ,提示:15个

n,n?1,?,n?18,n?19,??20,19,?2 ,1 ????

15个,19?15?9?53。

19、0 ,提示:2m?2006?2m?2m?(22006?1),24n?1的末位数字是2 ,22006的末位数字 是4 ,

22006?1 的末位数字是5,故2m?(22006?1)是0 。

?a?2b?0?a?2b?1?b?3c?0?b?3c?1??20、2433, 提示:? ,又a,b,c,d为整数,? c?4d?0c?4d?1?????d?100?0?d?100?1

d?101,c?1?d4?40b5?,?1c?3,1a?1?2b?2433

三、21、(1)证明:设奇数为2k?1,则(2k?1)2?4k2?4k?1?4k(k?1)?1;

241

(i)当k为奇数时,4k(k?1)能被8整除,故4k(k?1)?1被8除余1;

(ii)当k为偶数时,4k(k?1)能被8整除,故4k(k?1)?1被8除余1。

故奇数的平方被8除余1。

(2)证明:2006?8?250?8?6,10个奇数的平方和为:8k?10?8m?2, 故2006不能表示为10个奇数的平方之和。

22、解:如图,S?ABC?1,E为AC中点,O为BE中点,

S?ABE?S?BCE?11,S?ABO?S?AEO?S?BCO?S?CEO?, 24

S?OBFFO?OBFO, ??S?CEOCO?OECO

1?yy111311,?,y??y,y?,y?。 216441612?444设S?OBF?y,S?OBD?x, S?AFOFOSS,即?OBF??AFO?S?ACOCOS?CEOS?ACO

S?BDODO?OBDOS?CDODOSS,, 即 ?BDO??CDO, ???S?AEOAO?OEAOS?ACOAOS?AEOS?ACO

1?xx11?,x?,S四边形BDOF?。 111126?444

23、解:让一A 同学先步行,老师乘摩托车带B 同学行驶t小时后,让B同学步行至博

物馆,老师返回接A同学,并带他到博物馆,则有20t?5?(3?t)?33,t?1.2; 当t?1.2时,20?1.2?24,5?1.2?6,24?6?18,18?(25?5)?0.6,0.6?5?3,

33?6?3?24,24?20?1.2,1.2?1.2?0.6?3,能到,

故,让A同学先行,老师乘摩托车带B同学行驶1.2 小时,也就是24千米后,让B步

行至博物馆,老师返回接A 同学,这样,3小时后,三人同时到达博物馆。

242

第十八届”希望杯“全国数学邀请赛

初一 第一试

2007年3月18日 上午8:30至10:00

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

200718

1. 在,-1, ?,18这四个有理数中,负数共有( ) (-1)(-1)

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)

4个

2.小明在作业本上画了4个角,它们的度数如图1所示,这些角中钝角有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3.If the n-th prime number is 47, then n is( )

(A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (英汉词典:the n-th prime number第n个质数)

4.有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图2所示,给出下面四个命题:

(A)abc<0 (B)a?b?b?c?a?c (C)(a-b)(b-c)(c-a)>0 (D)a?1?bc 其中正确的命题有( )

(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 5.如图3,“人文奥运”这4个艺术字中,轴对称图形有( )

243

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

6.已知p,q,r,s是互不相同的正整数,且满足pr?,则( ) qs

(A)prpspp?rrr?p (D)? ? (B)? (C) ?qq?ssqrqss?q

7.韩老师特制了4个同样的立方块,并将它们如图4(a)放置,然后又如图4(b)放置,则图4(b)中四个底面正方形中的点数之和为( )

(A)11 (B)13 (C)14 (D)16

8.如图5,若AB//CD,则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是( )

(A)∠B+∠C+∠E=180o (B)∠B+∠E-∠C=180o

(C)∠B+∠C-∠E=180o (D)∠C+∠E-∠B=180o

9.以x 为未知数的方程2007x+2007a+2008a=0(a,b为有理数,且b>0)有正整数解,则ab是( )

(A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)零

10.对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算:

( )

(A)-1 (B)2 (C)3 (D)4

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.小明已进行了20场比赛,其中赢的场数占95%,若以后小明一场都不输,则赢的场数恰好占96%,小明还需要进行 场比赛。

244

acbd=ad-bc,已知2x?4x1=18,则x=

12.如图6,D点在Rt△ABC的直角边上BC上,且BD=2,DC=3,若AB=m,AD=n,那么

m2?n2

13.The average number of p,q,r is 4,and average number of p,q,r,x (英文词典:average number平均数)

?2??3??4??5?2014. 计算:???2%?????3%?????4%?????5%??10 ?3??4??5??6?

15.如果m?2005与?n?2006?互为相反数,那么?m?n?24322007。

16.如图7,正方形ABCD的面积为25平方厘米,点E在AB上,BE=1.5AE,点F在BC上,BE=4CF,则点D到EF的距离为 平方厘米。

17.三个有理数a,b,c满足a:b:c=2:3:5, 且a?b??abc,则

18.男女运动员各一名,在环行跑道上练习长跑,男运动员比女运动员速度快,如果他们从同一起跑点沿相反方向同时出发,那么每隔25分钟相遇一次,现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发,男运动员经过15分钟追上女运动员,并且比女运动员多跑了16圈,女运动员跑了 圈。 222

2p19.已知m,n,p都整数,且m?n?p?m?1,则p?m??nn

20.已知a?2a??2,则3a?12a?a?12a?2a?4。

三、B组填空题(每小题8分,共49分,每一题两个空,每空4分) 3643235

21.现在含有盐水15%的盐水100千克,若要使此盐水含盐百分比增加5%,需加纯盐克;若要使此盐水含盐百分比降低5%,需加水 千克。

22.我国著名田径运动员刘翔以12秒88创110米跨栏世界新记录后,专家组将刘翔历次

245

比赛和训练时的图象与数据输入电脑后分析,显示出他跨过10栏(相邻两个栏间的距离相等)的每个“栏周期”(跨过相邻两个栏所用时间)都不超过一秒,最快的一个“栏周期”达到了惊人的0.96秒,从起跑线到第一个栏的距离为13.72米,刘翔此段的最好成绩是2.5秒,;最后一个栏到终点线的距离为14.02米,刘翔在此段的最好成绩是1.4秒。根据上述数据计算:相邻两个栏间的距离是 秒,在理论上,刘翔110米跨栏的最好成绩可达到 秒。

23.有位诗人这样赞美漓江的水:情一样的深啊,梦一样美。/如情似梦漓江的水。翻译出版的诗集中,这段话的英译文是:“Deep as feeling and sweet dremas/The lijiang River ever runs”请统计在段英文诗句中英文字母(26个)出现的次数,出现次数最少的英文字母有 个;出现次数最多的英文字母的频率是 。

24.如果?2x?1?6?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5?a6x6,那么a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6a0?a2?a4?a6。

25.将长度为25厘米的细铁折成边长都是质数(单位:厘米)的三角形,若这样的三角形的三边的长分别是a,b,c,且满足a≤b≤c, 则(a,b,c)有 组解,所构成的三角形都是 三角形。

246

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题答案(初一)

一、选择题:

3、如果第n个质数是47,那么n=____.2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47?

7、由(a)得: 1—5 ,2—4 ,3—6,所以1+3+6+6=16 8、过E作EG//AB 可得:∠B+∠E-∠C=180°

9、解方程得:x=20?95%?x?2007a?2008b为正整数,所以-2007a-2008b>0,2007

因为b>0,所以a<0,可得ab<0.

二、A组填空题

提示:11、设还需进行x场,则20395%+x=(20+x)396%解得:x=5

12、勾股定理:m=BC+AC=5+AC n=DC+AC=3+AC 可得:m 13、p,q,r的平均数是4,p,q,r,x的平均数是5,x=?

P+q+r=433=12 , p+q+r+x=534=20,所以x=8 2222222222 2 - n=16 2

253443522416 14、原式=???== 344352633

15、-1

16、连DE,DF,由已知得AB=BC=CD=DA=5,AE=2,BE=3,BF=4,CF=1,可得EF=5,

且S△DEF=11.5,所以h=4.6.

17、设a=2k,b=3k,c=5k代入可得k=1938,所以a+b+c=10k= 153

18、设女运动员跑了x圈,则男运动员跑了x+16圈,

则:xx?161 ??15?6015?6025

解得:x=10

19、由题意得:m=n+1,p=m或m=n,p=m+1,当m=n+1,p=m时原式=3;,当m=n,p=m+1

时原式=3。所以原式=3

20、原式=3a+12a-(a+2a)+12a-4

247

6432

=3a6+12a4+12a2-2

=3a3(a3+2a+2a)+12a2-2

=3(-2a-2)(-2+2a)+12a2-2

=12-12a2+12a2-2

=10

三、B组填空题

提示:

21、6.25 50 解略

22、(110-13.72-14.02)÷(10-1)=9.14

2.5+0.9639+1.4=12.54

23、8;11

53

24、杨辉三角: 1

2 -1 1 4 -4 1 2 8 -12 6 -1 3 ?

64 -192 240 -160 60 -12 1 6所以:一式=1-12+60-160+240-192+64=1

二式=1+60+240+64=365

25、有11+11+3=25,7+7+11=25,两组;且都是等腰三角形

248

次次次次

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题

249

250

251

252

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛

(初一 第1试)

一、选择题(40分):

1、2008+2008-20083?2008÷(-2008)=( )

A、2008; B、-2008; C、4016; D、6024;

2、如图所示的4个立体图形中,左视图是长方形的有( )个

A、0; B、1; C、2; D、3;

3、有以下两个结论:

① 任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数;

② 如果一个有理数有倒数,则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数。 则( )

A、①,②都不对; B、①对,②不对; C、①,②都对; D、①不对,②对;

4、正方形内有一点A,到各边的距离从小到大依次是:1 ,2,5,6,则正方形的面积是( )

A、33; B、36; C、48; D、49;

5、Digits of the produet of 2517×233 is( )

A、32; B、34; C、36; D、38;

(英汉小词典:digits 位数,product 乘积)

6、如图是以AB为直径的半圆弧ADB和圆心角为45的扇形

ABC,则图中Ⅰ的面积和Ⅱ的面积的比值是( )

A、1.6; B、1.4; C、1.2; D、1;

7、正整数x,y满足(2x-5)(2y-5)=25,则x+y的值是( )

A、10; B、18; C、26; D、10或18;

8、如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=9,AD=a,

则( )

253

A、a≥16; B、a<2; C、2<a<16; D、a=16;

9、初一(1)班7 学生60名,其中参加数学小组的有36人,参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人,并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的1多2人,则同时参加这两个小组的人数是( ) 4

A、16; B、12; C、10; D、8;

10、△ABC的三个内角A、B、C的外角依次记为α、β、γ,若β=2B,α-γ=40,则三个内角A、B、C的度数依次为( )

A、60,60,60; B、30,60,90; C、40,60,80; D、50,60,70;

二、A组填空题(40分):

11、(200000000000002511?30)÷[(2?1)÷4-0.75]÷ 3939

12、预计21世纪初的某一年,以下六国的服务出口额比上一年的增长率如下表:

是 ;

13、已知(x+5)2+y?y?6=0,

则 y2-

14、-2a+7和?21xy?x2?x3; 55?3a互为相反数,则 3

15、“嫦蛾一号”第一次入轨运行的椭圆轨道如图所示,其中黑色圆圈表示地球,其半径R=6371km,A是近地点,距地球205km,B是远地点,距地球50930km(已知地心,近地点,远地点在一条直线上),则AB= km(用科学计数法表示);

16、Tn the figure 5,MON is a atyaight line,If the angles α、βandγ,satisfy

254

β:α=2:1,andγ:β=3:1,then the angle β(英汉小词典:atraight line 直线,angle 角,satisfy 满足)

17、小明学了有理数运算法则后,编了一个程序:输入任何一个有理数时,显示屏上的结果总等于输入的有理数的平方减去2得到的差。若他第一次输入?

的结果输入,这时显示屏出现的结果是 ;

18、如果多项式2x2-x的值等于1,那么4x4-4x3+3x2-x-1的值等于 ;

19、如图,点M是△ABC两个内角平分线的交点,点N是

△ABC两个外角平分线的交点,如果∠CMB:∠CNB=3:

2,那么∠CAB=度 ;

20、两盒糖果共176块,从第二个盒子中取出16块放入

第一个盒子中,这时第一个盒子中糖果的块数比第二

个盒子中糖果的块数的m倍(m为大于1的整数)多

31块,那么第一个盒子中原来至少有糖果 块;

三、B组填空题(40分):

21、一个四位数添上一个小数点后变成的数比原数小2059.2,则这个四位数是 ;它除以4,得到的余数是 ;

22、已知正整数a,b,c(其中a≠1)满足abc=ab+30,则a+b+c的最小值是 ;最大值是 ;

23、数轴上到原点的距离不到5并且表示整数的只有 个,它们对应的数的和是 ;

24、设a、b分别是等腰三角形的两条边的长,m是这个三角形的周长,当a、b、m满足方 3,然后再将所得2

?a?2b?m?7?程组?时 ,m的值是 或 ; ma?b??2??4

25、甲、乙、丙三人同时出发,其中丙骑车从B镇去A镇,而甲、乙都从A镇去B镇(甲开汽车以每小时24千米的速度缓慢行进,乙以每小时4千米的速度步行),当丙与甲相遇在途中的D镇时,又骑车返回B镇,甲则调头去接乙,那么,当甲接到乙时,丙已往回走DB这段路程的 ;甲接到乙后(乙乘上甲车)以每小时88

千米

255

的速度前往B镇,结果三人同时到达B镇,那么丙骑车的速度是每小时 千米。

256

参考答案

一、选择题(每小题4分)

11.2008;

104; 16.40o;

15

17.-

16

18.1;

19.36;

20.131.

12.德国;

13.-94;

114.1;

15

15.6.38773

三、B组填空题(每空4分,第21题第一空两答案各2分)

165

21.2288或2080;0; 22.10;53; 23.9;0; 24.;5; 25.;或

37

8.

257

第19届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题

(2008年4月13日上午9:00—11:00)

一、选择题(每小题4分,满分40分)

1.a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数,则a

A、-1 B、0 C、2007b2009??( ) 20081 D、2007 2008

2.一片牧场上的草长得一样快,已知60头牛24天可将草吃完,而30头牛60天可将草吃完.那么,若在120天里将草吃完,则需要( )头牛

A、16 B、18 C、20 D、22

3.嫦娥一号卫星在未打开太阳翼时,外形是长222厘米、宽172厘米、高220厘米的长方体.若在表面包裹1厘米厚的防震材料层,在这外面还有1厘米厚的木板包装箱,则木板包装箱所需木材的体积至少是( )立方厘米.

A、224?174?222?222?172?220 B、223?173?221?221?171?219

C、225?175?223?224?174?222 D、226?176?224?224?174?222

4.a,b,c是前3个质数,并且a?b?c,现给出下列四个判断:

①(a?b)不能被c整除; ②a?b不能被c整除;

③(b?c)不能被a整除; ④a?c不能被a整除.

其中不正确的判断是( )

A、①② B、①③ C、②③ D、③④

5.在图1所示的方格纸中,点A、B、C都在方格线的交点.则

∠ACB=( )

A、1200 B、1350 C、1500 D、1650

6.方程xy?2x?y?4的整数解有( )组

A、2 B、4 C、6 D、8

7.如图2,将直角三角形BC沿着斜边AC的方向平移到

ΔDEF的位置(A、D、C、F四点在同一条直线上).直角

边DE交BC于点G.如果BG=4,EF=12,ΔBEG的面积258

222222图1 E 图2 F

等于4,那么梯形ABGD的面积是( ) A、16 B、20 C、24 D、28

8.For each pair of real numbers a?b,define the operation ★ as (a★b)?

value of ((1★2) ★3) is( ) A、?

a?b

,then the a?b

112

B、? C、0 D、

523

(英汉小词典:each pair每对;real numbers实数;define定义;operation运算;value值)

9.平行四边形内的一点到四条边的距离分别是1,2,3,4,则这样的平行四边形的面积最小是( )

A、21 B、22 C、24 D、25

10.将1,2,3,4,?,12,13这13个整数分为两组,使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10,这样的分组方法( )

A、只有一种 B、恰有两种 C、多于三种 D、不存在 二、填空题(每小题4分,满分40分)

11.图3是一个正方体的平面展开图,若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等,则z?y?x的值为 . 12.若

a?b?c?3,a2?b2?c2?3,那么

a2008?b2008?c2008?.

13.设n是满足3?n?8的整数,2008除以n(n?1)得余数r,则r中最大值与最小值之比是 . 14.图1(1)、(2)、(3)依次表示四面体、八面体、正方体.它们各自的面积数F、棱数E与顶点数V如下表:

(1)

259

D

D

A

(3)

F G C

F (2)

图4

、E、V之间的关系满足等式: .

15.If the root of equation(a?1)x?5b?10?0had innumerability,(a,b) is a pair of the real number ,then the pair of real number (a,b) is .

(英汉小词典:innumerability无数多;pair一对)

16.将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色,然后分割成棱长为1的小正方体.若各面未染红色的小正方体有2197个,则这个正方体的体积是 .

17.如图5,A、B是网格中的两个格点,点C也是网格中的一个格点,

连结AB、BC、AC,当ΔABC为等腰三角形时,格点

C的不同位置有

处,设网格中的每个小正方形的边长为1,则所有满足题意的等腰三

角形ABC的面积之和等于 .

18

.某中学的课外兴趣小组对校园附近的某段路上机动车的车速作了

一次调查,图6反映他们某天在某一段时间内,抽查的若干辆车的车速(车速取整数,单位:千米/时)情况.

(1)如果车速大于40千米/时且不超过60千米/时为正常行驶,统计资料表明正常行驶车辆的百分比为85%,那么,这天在这段时间中他们抽查的车有 辆;

(2)如果全天超速(车速大于60千米/时)的车有240辆,则当天的车流量约为 辆.

270.5 80.5 车速 图6 260

19.如图7,在ΔABC中,F是BC的中点,F在AE上,AE=3AF,

BF延长线交AC于D点.若ΔABC的面积是48,则ΔAFD

的面积等F

于 .

图7 20.一个2000位数的最高位数字是3.这个数中任意相邻的两个数位的数字可看作一个两

位数,这个两位数可被17整除、或被23整除.则这个整数的最后六个数位的数字依次是 或 .

三、解答题(共3个小题,满分40分)

21.(本题满分10分)如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图.

(1)请画出这个几何体的左视图;

(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n,请写出n所有可能的值(不必说理由).

261

主视图

俯视图

22.(本题满分15分)如图,小机器人A和B从甲处同时出发,相背而行,在直径为整数米的圆周上运动,15分钟内相遇7次;如果A的速度每分钟增加6米,则A和B在15分钟内相遇9次,问圆的直径至多是多少米?至少是多少米?(?取3.14)

23.(本题满分15分)某校组织了20次天文观测活动,每次有5名学生参加,任何2名学生至多同时参加过一次观测.证明:参加这些观测活动的学生数不少于21名.

262

263

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第1试

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.在2005、2007、2009这三个数中,质数有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.如图,AB∥CD,AC⊥BC,AC≠BC,则图中与∠BAC互余的角有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.在数轴上,坐标是整数的点称为“整点”.设数轴的单位长度是1cm,若在这条数轴上随意画出一条长为2008cm的线段AB,则线段AB盖住的整点至少有( )

A.2006个 B.2007个 C.2008个 D.2009个

4.若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2007=( )

A.2009 B.2008 C.-2008 D.-2009

5.在△ABC中,2∠A=3∠B,且∠C-30o=∠A+∠B,则△ABC是( )

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.有一个角是30o的直角三角形 D.等腰直角三角形

6.设M=(|x+2|-|x|+2)(|x+2|-|x|-2),则M的取值范围表示在数轴上是( )

7.The coordinates of the three points A,B,C on the plane are (-5,-5),(-2,-1) and (-1,-2),respectively,the triangle ABC is ( )

A.a right triangle B.an isosceles triangle

C.an equilateral triangle D.an obtuse triangle

(英汉词典:right 直角的,isosceles 等腰的,equilateral 等边的,obtuse 钝角的)

8.用一根长为am的细绳围成一个等边三角形,测得它的面积是bm2.在这个等边三角形内任取一点P,则点P到等边三角形三边的距离的和等于( )

A 2b 4b 6b 8b m B.m Cm D.m aaaa

9.用数字1,2,3,4,5,6组成的没有重复的三位数中,是9的倍数的数有( )

A.12个 B.18个 C.20个 D.30个

264

10.如图,平面上有A、B、C、D、E五个点,其中B、C、D及A、E、C在同一条直线

上,那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有( )

A.4个 B.6个 C.8个 D.10个

二、A组填空题(每小题4分,共40分) a2007+b2008-c2009

11.当a=-1,b=0,c=1时,代数式 . a-b+c12.《全国土地利用总体规划纲要(2006—2020)》明确,全国耕地保有量到2010年保持

在18.18亿亩.用科学记数法表示此数,

是 .

13.如图,点E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,点

I、J、K、L分别是四边形EFGH各边的中点,点M、N分

别是IJ、IL的中点.若图中阴影部分的面积是10,则AB的

长是 .

14.古代科举考试以四书五经为主要考试内容.据统计,《论语》11705字,《孟子》34685

字,《易经》24107字,《书经》25700字,《诗经》39234字,《礼记》99010字,《左传》196845字.根据以上数据计算,《论语》字数占这7本书字数的 %(保留两个有效数字).

15.Let a,b and c be rational numbers and b=

c B F C 12 13 -a, 5513 12 -a,then a2-b2+c2= . 55

(英汉词典:rational numbers 有理数) 16.如图,半圆O的直径AB=2,四边形CODA为正方形.连接AC,若正方形内三部分

的面积分别记为S1、S2、S3,则S1∶S2∶S3= .

x x x x 17+2008的解是x= . 2612200832009

18 a+1 b+1 a+b a = . 202117b

19.(中国古代问题)唐太宗传令点兵,若一千零一卒为一营,则剩余一人;若一千零二

卒为一营,则剩余四人.此次点兵至少有 人.

20.如图,要输出大于100的数,则输入的正整数x最小是

265

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.小明写出了50个不等于零的有理数,其中至少有一个是负数,而任意两个数中总有

一个是正数,则小明写出的这50个数中正数有 个,负数有 个.

22.若a、b、c都是正整数,且a+b+c=55,a-bc=-8,则abc的最大值为最小值为 .

23.记有序的有理数对x、y为(x,y).若xy>0,|x|y-x=0且|x|+|y|=3,则满足以

上条件的有理数对(x,y)是 或 .

24.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于O点,过点O作EF∥CB,交AC

于E,交AB于F,作OD⊥AB于D,OD=m.若CE+FB+CB=n,则梯形BCEF的面积等于 ;若AE+AF=n,则△AEF的面积等于 (用m、n表示).

25.如图,正方形中的每个小图形表示一个数字,相同的图形表示相同的数字,不相同的

图形表示不同的数字,正方形外的数字表示该行(或列)的数字的和,则x= ,y=.

y 266

267

第二十届(2009年) 希望杯

初一 第2试

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.

532?472

1.2?( ) 61?392

(A)3579 (B) (C) (D) 11111111

2.每只玩具熊的售价为250元.熊的四条腿上各有两个饰物,标号依次为1,2,3,?,

8.卖家说:“1,2,3,4,?,8号饰物依次要收1,2,4,8,?,128元.如果购买全部饰物,那么玩具熊就免费赠送.”若按这样的付费办法,这只熊比原售价便宜了( )

(A)5元 (B)-5元 (C)6元 (D)-6元

3.如图1,直线MN∥PQ.点O在PQ上.射线OA⊥OB,分别交MN于点C和点

D.∠BOQ=30°.若将射线OB绕点O逆时针旋转30°,则图中60°的角共有( )

(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)7个

a?14.如果有理数a,b使得?0,那么( ) b?1

(A)a?b是正数(B)a?b是负数

(C)a?b是正数(D)a?b是负数 22AMCOB

NP图1

5.As in figure 2.In the circular ring of which center is point O.if AO⊥BO,and the area of the shadowy part is 25cm2 ,then the area of the circuiar ring equals to ( ) (??3.14)

(A)147cm2 (B)157cm2 (C)167cm2 (D)177cm2

6.已知多项式p1(x)?2x?5x?1和p2(x)?3x?4,则2

p1(x)?p2(x)的最简结果为( )

(A)6x?23x?23x?4(B)6x?23x?23x?4

(C)6x?23x?23x?4(D)6x?23x?23x?4

7.若三角形的三边长a,b,c满足a?b?c,且a?bc?t1,b?ca?t2,

268

222232332232

2222

c2?ab?t3,则t1、t2、t3中( )

(A)t1最大(B)t2最大(C)t3最大(D)t3最小

8.如图3,边长20m的正方形池塘的四周是草场,池塘围栏的M、N、P、Q处各有一根铁桩,QP=PN=MN=4m,用长20m的绳子将一头牛拴在一根铁桩上,若要使牛的活动区域的面积最大,则绳子应拴在( )

(A)Q桩 (B)P桩 (C)N桩 (D)M桩

9.电影票有10元、15元、20元三种票价,班长用500元买了30张电影票,其中票价为20元的比票价为10元的多( )

(A)20张 (B)15张 (C)10张 (D)5张

图3

2222

10.将图4中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的( )

图4

(A)(B)(C)(D)

二、填空题(每小题4分,共40分)

11.据测算,11瓦节能灯的照明效果相当于80瓦的白炽灯.某教室原来装有100瓦的白炽灯一只.为了节约能源,并且保持原有的照明效果,可改为安装 瓦(取整数)的节能灯一只. 12.将五个有理数

25151012

,?,,?,每两个的乘积由小到大排列,则最小的 38231719

是 ;最大的是 .

13.十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式,如:

19(10)?16?2?1?1?2?0?2?0?2?1?2?1?2?10011(2),

269

4

3

2

1

即十进制的数19对应二进制的数10011.按照上述规则,十进制的数413对应二进制的数是 .

14.如图5,点P在正方形ABCD外,PB=10cm,△APB的面积是60cm2,△BPC的面积是30cm2,则正方形ABCD的面积是cm2.

15.若x?2x?5是x?px?q的一个因式,则pq的值是 .

16.若abc?0,则242abcabc???的最大值是; abc最小值是 .

17.已知F(x)表示关于x的运算规律:F(x)?x,(例如F(2)?23?8,F(3)?33?27,?).又规定?F(x)?F(x?1)?F(x),则?F(a?b)? .

18.一条公交线路从起点到终点有8个站.一辆公交车从起点站出发,前6站上车100人,前7站下车80人.则从前6站上车而在终点站下车的乘客有 人.

19.If the product of a simple binomial x?m and a quadratic (x?1) is a cubic multinomial x3?ax?b,then a= ,b= ,m= .

20.方程x?23xxx?????2009的解是x? 1?21?2?31?2???2009

三、解答题(每题都要写出推算过程)

21.(本题满分10分)

如果两个整数x,y的和、差、积、商的和等于100.那么这样的整数有几对?求x与y的和的最小值,及x与y的积的最大值.

22.(本题满分15分)

某林场安排了7天的植树工作.从第二天起每天都比前一天增加5

个植树的人,但从

270

第二天起每人每天都比前一天少植5棵树,且同一天植树的人,植相同数量的树.若这7天共植树9947棵,则植树最多的那天共植了多少棵树?植树最少的那天,有多少人在植树?

23.(本题满分15分)

5个有理数两两的乘积是如下的10个数:

?10, 0.168,0.2,80,?12.6,?15,?6000,0.21,84,100. 请确定这5个有理数,并简述理由.

271

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初一 第2试

一、选择题(每小题4分)

(每小题4分,第12、16题,每空2分,第19题,前两空各1分,后一空2分)

21.由题意得,(x?y)?(x?y)?xy?

x

?100(y?0), y

即2x?xy?

xx

?12?22?52,亦即(y?1)2?12?22?52, yy

因为x,y为整数,所以x?y,x?y,xy都是整数,(2分) 又它们与

xx

的和是整数100,故也是整数. yy

(1)

?x?25?x??75x22

=25,(y?1)?2时y?1??2,所以?或? y?y?1?y??3

(2)

?x?16?x??24x22

=4,(y?1)?5时y?1??5,所以?或? y?y?4?y??6

?x?9?x??11x22

(y?1)?10(3)=1,时y?1??10,所以?或?

y??11y?9y???x?0?x??200x22

(4)=100,(y?1)?1时y?1??1,所以?(舍去)或?

y?0y??2y??

由上可知,满足题意的整数x,y共7对. (8分) 其中x?y的最小值为-200+(-2)=-202

(-200)3(-2)=400 (10分) xy的最大值为:

272

22.设第4天有m人植树,每人植树n棵,则第4天共植树mn棵.

于是第3天有(m?5)人植树,每人植树(n?5)棵,则第3天共植树(m?5)(n?5)棵. 同理,第2天共植树(m?10)(n?10)棵;

第1天共植树(m?15)(n?15)棵;

第5天共植树(m?5)(n?5)棵;

第6天共植树(m?10)(n?10)棵;

第7天共植树(m?15)(n?15)棵.

由7天共植树9947棵,知:

(m?15)(n?15)+(m?10)(n?10)+(m?5)(n?5)+mn+(m?5)(n?5)+(m?10)(n?10)+(m?15)(n?15)=9947. 化简得7mn?700?9947,即mn?1521

因为1521=32×132,又每天都有人植树,所以m?15,n?15.故m?n?39.(9分) 因为第4天植树的棵数为39×39=1521.

其它各天植树的棵数为(39?a)(39?a)?39?a?1521?a?1521 (※) (其中a?5或10或15).

所以第4天植树最多,这一天共植树1521棵. (12分)

由(※)知,当a?15时,39?a的值最小.

又当a?15时,植树人数为39+15=54或39-15=24,所以植树最少的那天有54人或24人植树. (15分)

23.将5个有理数两两的乘积由小到大排列:

-6000<-15<-12.6<-12<0.168<0.2<0.21<80<84<100.

因为5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0,所以这5个有理数中有1个负数和4个正数,或者1个正数和4个负数. (3分)

(1) 若这5个有理数是1负4正,不妨设为x1?0?x2?x3?x4?x5,则 22222

?x2x5x1x5?x1x4?x1x3?x1x2?0?x2x3?x2x4???x3x5?x4x5 xx?34

(其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定)

所以x1x5=-6000,x1x4=-15,x4x5=100,

273

三式相乘,得(x1x4x5)?9?10, 又x1?0,x4?0,x5?0,所以x1x4x5??3000, 则x1??30,x4?0.5,x5?200. 再由x1??30,x1x2??12,x1x3??12.6,得x2?0.4,x3?0.42. 经检验x1??30,x2?0.4,x3?0.42,x4?0.5,x5?200满足题意.(9分)

(2)若这5个有理数是4负1正.不妨设为:x1?x2?x3?x4?0?x5, 则x1x5?x2x5?x3x5?x4x5?0?x3x4?x2x4??

(其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定) 所以x1x5??6000,x2x5??15,x1x2?100 三式相乘,得(x1x2x5)?9?10, 又x1?0,x2?0,x5?0,解得 x1x2x5?3000, 所以x1??200,x2??0.5,x5?30, 再由x5?30,x3x5??12.6,x4x5??12得 2626?x1x4?x1x3?x1x2 ?x2x3x3??0.42,x4??0.4.

经检验, x1??200,x2??0.5,x3??0.42,x4??0.4,x5?30满足题意.(15分)

274

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛 初一 第1试

2010年3月14日

上午8:30~10:00

一、选择题 (每小题4分,共40分) 以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答

案前的英文字母写在下面的表格内。

a2a2

1. 设a<0,在代数式| a |,?a,a,a,| ?a |,(?a),(?a)中负数的个数是 aa

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2. 在2009年8月,台风“莫拉克”给台湾海峡两岸人民带来了严重灾难,台湾当局领导人马英

九在追悼“八八水灾”罹难民众和救灾殉职人员的大会的致辞中说到,大陆同胞购款金额约

50亿新台币,是台湾接到的最大一笔捐款,展现了两岸人民血浓于水的情感。50亿新台币折

合人民币约11亿多元。若设1.1=m,则11亿这个数可表示成

(A) 9m (B) m9 (C) m?105 (D) m?1010 C 1234(?m)?(?1)?|?12|?[?(?)]m3. If m=2,then = B 12220092010?m?(?)?[1?3?(?m)]4

(A) ?2 (B) ?1 (C) 1 (D) 2

4. 如图所示,A是斜边长为m的等腰直角三角形,B,C,D都是正方形。

则A,B,C,D的面积的和等于

925112m (B) m2 (C) m (D) 3m2 424

15. 8个人用35天完成了某项工程的。此时,又增加6个人,那么要完成剩余的工程,还3

需要

的天数是

(A) 18 (B) 35 (C) 40 (D) 60 。

6. 若?AOB和?BOC互为邻补角,且?AOB比?BOC大18?,则?AOB的度数是

(A) 54? (B) 81? (C) 99? (D) 162? 。

7. 若以x为未知数的方程x?2a?4=0的根是负数,则 (A) (a?1)(a?2)<0 (B) (a?1)(a?2)>0

(C) (a?3)(a?4)<0 (D) (a?3)(a?4)>0 。

8. 设a1,a2,a3是三个连续的正整数,则

(A) a13|(a1a2a3?a2) (B) a23|(a1a2a3?a2)

(C) a33|(a1a2a3?a2) (D) a1a2a3|(a1a2a3?a2) 。(说明:a可被b整除,记作b|a。)

9. 由一些相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示,其中正方 形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,那么该几何体的左视图

是 左(B) (C) (D) (A)

(A)

10. 已知a和b是有理数,若a?b=0,a2?b2?0,则在a和b之间一定

(A) 存在负整数 (B) 存在正整数

(C) 存在负分数 (D) 不存在正分数。

二、A组填空题 (每小题4分,共40分。)

11. 已知多项式2ax4?5ax3?13x2?x4?2021?2x?bx3?bx4?13x3是二次多项式,

则a2?b2 12. 如图所示,直线AB、CD相交于点O。若OM=ON=MN,

那么?APQ??CQP。

13. 在数轴上,点A表示的数是3?x,点B表示的数是3?x,且A、B

两点的距离为8,则 | x |。

14. In right Fig.,if the length of the segment AB is 1,M is the midpoint

of the segment AB,and point C divides the segment MB into two parts

such that MC:CB=1:2,then the length of AC is 。 D B (英汉词典:length 长度;segment 线段;midpoint 中点;divides…into 分为,分成)

15. 若以x为未知数的方程3x?2a=0与2x?3a?13=0的根相同,则a

16. 甲乙两人沿同一条路骑自行车(匀速)从A站到B站,甲需要30分钟,乙需要40分钟,如

果乙比甲早出发5分钟去B站,则甲出发后经

17. 一个两位的质数,如果将它的十位数字与个位数字交换后,仍是一个两位的质数,这样的

质数可称为“特殊质数”。这样的“特殊质数”有

18. 如图,在3?3的正方形网格中标出了?1和?2。则?1??。

19. 如果a,b,c都是质数,且b?c=13,c2?a2=72,则a?b?c

20. 设x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7是自然数,且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7,

x1?x2=x3,x2?x3=x4,x3?x4=x5,x4?x5=x6,x5?x6=x7,又x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7=2010,那 么x1?x2?x3的值最大是 。

三、B组填空题 (每小题8分,共40分。)

21. 当| x?2 |?| x?3 |的值最小时,| x?2 |?| x?3 |?| x?1 |的值最大是

22. 边长为1cm的8个小正方形拼成如图所示的长4cm、宽2cm的 长方形。将外围的格点从1号编到12号。最初,点A、B、C分

别位于4、8、12号格点上,现以逆时针方向同时移动A、B、C

276

A

三点,每次各移动到下一个格点,绕了一周回到原先的位置,这

过程中,?ABC有?ABC的面积最大

是2。

23. 若两个数的最小公倍数为2010,这两个数的最大公约数是最小的质数,

则这两个数的和的最大值是。

24. 右图中的正五角星有?A的2倍互补的角

有 个。

25. 整数x,y满足方程2xy?x?y=83,则x?y

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛 答案.评分标准

初一 第1试

1. 答案

(1) 选择题

1. B; 2. C; 3. D; 4. A; 5. C; 6. C; 7. D; 8. B; 9. B; 10. C;

(2) A组填空题

2 11. 13; 12. 240; 13. 4; 14. ; 15. 3; 16. 15; 17. 9; 18. 45; 19. 20; 3

20. 236;

(3) B组填空题

21. 0,?1; 22. 6,4; 23. 2012,104; 24. 5,10; 25. 83,?85;

2. 评分标准

(1) 第1~10题;答对得4分;答错或不答,得0分。

(2) 第11~20题;答对得4分;答错或不答,得0分。

(3) 第21~25题;答对得8分,每空4分;答错或不答,得0分。

解析:

一、 选择题

1、B。贴近课本的一道题,95%的参赛学生可以在2分钟内做出来。

2、C。考察科学计数法。 A F D J I E 3、D。代数式化简求值。原式

4、A.把正方形B、C、D切开可得,,B的面积为,所

277

以A、B、C、D的和为。

5、C.典型的工程问题,小学方法即可,总工作量看做单位“1”。

6、C.和差方法,方程均可以快速求出答案。

7、D

.,

即,所

。试验可知答案。

8、B.考察平方差公式。,所以

9、B.自己画出左视图,然后找答案即可。

10、C.排除法即可。令,a,b间无非0整数,A、B即可排除。无论a,b何值,二、A组填空。

11、多,必然一正一负。 项式合并同类项可

,因为此为二次多

项式。所以可得二元方程组

解得

278

所以

12

、,所以三角形OMN为正三角形,所

CQP

13、化简得

14、此题较简单,。

15、同解方程的一道题,可以看做是关于x,a的二元一次方程组

解得

16、把全程看做单位“1”。甲速为,乙速为,追及时间(分钟)

17、11,13,31,17,71,37,73,79,97共9个。

18

、如图,

所以

。 19、由=72得,中 至少有一个2,分析可知,,则

279 ,

,,所求

20、此题方法很多,下面用不定方程的思想来解

利用整除性,必是10的奇数倍,又可得如下解

三、B组填空题

21、当的值最小时,,又因为1不在2和3之间,所以可令则 令则

所以,所求最大值为0,最小值为

22、每种情况都画出来共计6次成为直角三角形(注意,图形一样,但点的位置不同算不同的图形)。此时恰好面积最大为4cm2。

23、,因为两个数的最大公约数为是最小的指数2,所以可设一数为,一数为。可知

两数乘积一定,两数差越大,和越大。所求,

280

24、5条对称轴,与

对顶角也满足题意)。 的2倍互为补角的角共10个(注意:五角星内部的有5个,每个

25、

因为167是质数,所以

,,, 解得,,, 所以

281

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2010年4月11日 上午9:00至11:00 得分

一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.

1.若a-b的相反数是2b-a,则b=( )

(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.

2.某工厂3月份的产值比2月份增加10%,4月份的产值比3月份减少10%,则( )

1. 99

11(C)4月份的产值比2月份减少. (D)4月份的产值比2月份减少. 10099(A)4月份的产值与2月份相等. (B)4月份的产值比2月份增加

3.如图1,△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角分别记为α,β,γ,.若α:β:γ,=3:4:5, 则∠A:∠B:∠C=( )

(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.

4.若m=2009?2010?2010?2011,则m是( ) 2

(A)奇数,且是完全平方数. (B)偶数,且是完全平方数.

(C)奇数,但不是完全平方数. (D)偶数,但不是完全平方数.

5.有两个两位数的质数,它们的差等于6,且它们平方的个位数字相同,

这样的两位质数的组数是( )

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

26.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm,and the area of

2thombus BCPQ is 156cm. Then the area of the shadow part is ( )

2222(A) 23cm. (B) 33cm. (C) 43cm. (D) 53cm.

(英汉词典:square正方形;thombus菱形)

7.要将40kg浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水,则需蒸发掉水( )

(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.

8.如图3,等腰直角△ABC的腰长为2cm.将△ABC绕C点逆时针旋转90。

则线段AB扫过的面积是( )

(A)?

2cm2. (B)?cm2. (C)3?cm2. (D)2?cm2. 2

9.若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍,则这个两位数称为“巧数”.则不是“巧数”的两位数的个数是

( )

282

(A)82. (B)84. (C)86. (D)88.

10.如果在一个正方体的每个面内写一个正整数,然后,在每个顶点处再写一个数,该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积,那么当该正方体各个顶点处的数之和是290时,各个面内的数之和等于( )

(A)34. (B)35. (C)36. (D)37.

二、填空题(每小题4分,共40分.)

11.甲、乙两车从A向B行驶,甲比乙晚出发6小时,甲、乙的速度比是4:3.甲出发6小时后,速度提

高1倍,甲、乙两车同时到达B.则甲从A到B共走了 小时.

12.若有理数x,y,岁满足方程(x?y?2)?|x?2y|?0,则x?y?13.图4是一个六角星,其中?AOE?60,?A??B??C??D??E??F?14.加工某种工件,须顺次进行三道工序,工作量的比依次是2:1:4.甲完成1个工件与第二个工件的前两道工序,所用时间为t.已知甲和乙的加工效率比是6:7,则乙完成一个工件,需要的时间是f的____倍.

15. -个直四棱柱的三视图及有关数据如图5所示,它的俯视图是菱形,

则这个直四棱柱的侧面积为 cm.

16.有这样一种衡量体重是否正常的算法:一个男生的标准体重(单位:

千克)等于其身高(单位:厘米)减去110.当实称体重在标准体重的

90%和110%之间(舍边界)时,就认为该男生的体重为正常体重,已知

男生甲的身高是161厘米,实称体重是55千克.根据上述算法判定,

甲的体重 正常体重(填“是”或“不是”).

17. If a2 -a+l and az +a -3 are opposite numbers to each other,

and themverse number of a is less than the opposite number of a,

thena20092?223?a2010(英汉词典:inverse number倒数;opposite相反的)

18.从长度为1的线段开始,第一次操作将其三等分,并去掉中间的一

段;第二次操作将余下的线段各三等分,并去掉所分线段中间的一段.

此后每次操作都按这个规则进行.图6是最初几次操作的示意图,当

完成第六次操作时,余下的所有线段的长度之和为

283

19.已知m,n都是正整数,且4mm是整数.若的最大值是a,最小值是6,则a+b= 6m?3nn

20.从最小的质数算起,若连续n(n是大于1的自然数)个质数的和是完全平方数,则当

n最小时,

|1?n?n2|?

三、解答题 每题都要写出推算过程.

21.(本题满分10分)

设a=10?38?2,证明:a是37的倍数.

22.(本题满分15分)

(1)已知平面内有4条直线a,b,c和d.直线a,b和c相交于一点.直线b,c和d

也相交于一点,试确定这4条直线共有多少个交点?并说明你的理由.

(2)作第5条直线e与(1)中的直线d平行,说明:以这5条直线的交点为端点的线段

有多少条?

23.(本题满分15分)

轨道AB长16.8米,从起点站A到终点站B,每2.4米设一站点.甲、乙两个机器人

同时从A站点出发,到达B站点后,再返回,在A和B两站点之间反复运动.甲、乙运动

的速度都是0.8米/秒,甲每到达一个站点就休息1秒钟,而乙从不休息,若甲、乙从A

站点出发后2分钟结束运动,问:它们出发后,曾几次同时到达同一站点(包括起点站和

终点站)?

93

284

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第1试

一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英语字母写在下面的表格内

1、若a的负倒数的相反数是8,b的相反数的负倒数也是8,则( ) A、a=b B、a<b C、a>b D、ab=1

2、两个直角三角形如图1放置,则∠BFE与∠CAF的度数之比等于( ) A、8 B、9 C、10 D、11 3、对有理数a,b,有以下四个判断:

①若|a|=b,则a=b; ②若|a|>b,则|a|>|b|; ③若a??b,则??a??b;④若|a|<|b|,则a<b;

2

B C

45其中正确的判断的个数是( )

A、1 B、2 C、3 D、4 4、If the ratio of the degree of exterior angle of ∠A,∠B and ∠C that are in the triangle ABC is 5:4:3,then the ratio of the degree of ∠A,∠B and ∠C is ( )

图1

A、5:4:3 B、3:4:5 C、1:2:3 D3:2:1 5、6个人用35天完成了某项工程的

1

,如果再增加工作效率相同的8个人,那么完成这3

项工程,前后共用的天数是( )

A、30 B、40 C、60 D、65

6、若一个三角形的三条边的长是a,b,c,并且满足恒等式5x?2cx?3?(ax?b)(x?1),则这个三角形是( )

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

285

2

7、当x??5a?x时,?2成立 ,则a2?b2=( ) b?bx?5

A、0 B、1 C、99.25 D、99.75

8、如图2所示,一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形

地板砖铺满,则n等于( )

A、4 B、6 C、8 D、10

9、If a?b?c?0,then ( )

A、b(a?c)?b B、(a?c)?b(a?c)

C、2211? D、(a?c)5?b5 a?cb

10、甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从A到B,甲需要30分钟,乙需要40分钟,如果乙比甲早出发6分钟,则甲追上乙以后,乙再经过( )分钟到达B;

A、25 B、20 C、16 D、10

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11、计算:{1?[33?(?0.25)2]?(?2)4}?[3?(?)?(?5)?(?2)3]? 168

2212、若a=2009,b=?2010,则a?2b?3ab?

13、如果a,b是互为相反数,c,d是互为倒数,x的经验值等于2,那么x?cdx?a?b 的值是 ;

14、若将一个两位数的十位数字与个位数字对调后所得的新两位数是其数字和的3倍,则

原两位数是 ;

15、盒子里有若干个相同的小球 ,甲取走一半后,乙又取各剩余的

这时,还剩下3个,则盒子里原有 个小球;

16、若2a?3bc?6657,其中a,b,c代表非零数字,则abc?;

17、如图3,∠C=45°,∠B=45°+2?,∠C=45°+3?,

AE平分∠BAD,则∠

18、一个两位质数,它的个位数字与十位数字之差的经验值等于5,

这样的两位质数是 ;

286

421,丙再取走5个,3E 图

3

2a?ab?b2?23

19、若a与b是互为相反数,且|a?2b|?,则2?

2a?ab?b?1

20、如图4,△ABC中,E为AD与CF的交点,AE=ED,已知△ABC的面积是1,△BEF的面积是

1

,则△AEF的面积是 ; 10

A D 图4

C

三、B组填空题(每小题8分,共40分) 21、下面是六个推断:

①因为平角的两条边在一条直线上,所以直线是一个平角; ②因为周角的两条边在一条射线上,所以射线是一个周角; ③因为扇形是圆的一部分,所以圆周的一部分是扇形; ④因为平行的线段没有交点,所以不相交的两条线段平行; ⑤因为正方形的边长都相等,所以边长相等的四边形是正方形;

⑥因为等腰三角形有两个内角相等,所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形; 其中正确的结论有 个,其序号是 ;

22、陈老师给42名学生每人买了一件纪念品,其中有:每支12元的钢笔,每把4元的圆规,每册16元的词典,共用了216元,则陈老师买了钢笔 支,词典 册; 23、如图5,平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交 BC边于点M,而MD平分∠AMC,若∠MDC=45°,则 ∠BAD= ,∠BAC= ;

24、规定:a?b?a?b,a?b?(a?b)(a?b), 若m是最小的质数,n是大于100的最小的合数, 则25

2

C

图5

m?(m?n)?

,m?(m?n)

?

(2x2?x?1)3?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5?a6x6

a1?a3?a5?

,a2?a4?a6?

287

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛

初一第1试 答案

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2011年4月10日 上午9:00至11:00 得分____

未经“希望杯”组委会授权,任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷,也不准以任何形式

括网络)转载。

一、选择题(每小题4分,共40分。)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确的英文字母写在每题后面的圆括号内。

a

1. 有理数a,b满足20a?11| b |=0 (b?0),则2是

b

(A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。

2. 如图1,直线MN//直线PQ,射线OA?射线OB,?BOQ=30?。若以点O为旋转中

心,将射线OA顺时针旋转60?后,这时图中30?的角的个数是

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。

3. 有理数a,b在数轴上对应的位置如图2所示,那么代数式

1?b|a?1||a|b?a???的值是

a?1a|a?b||b?1|

B

N Q

O 图1

(A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。

图 FG4. 如图3,ABCD,AEFG,BIHE都是平行四边形,且E是DC的中点,点D2在

上,点C在HI上。△GDA,△DFE,△EHC,△BCI的面积依次记为S1,S2,S3,S4,则

(A) S1?S2>S3?S4 (B) (C) S1?S2=S3?S4 (D) 。 5. If x is a prime number, y

I

图3

(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。

(英汉小辞典:prime number 质数,integer:整数)

6. 如图4,AB//CD//EF//GH,AE//DG,点C在AE上,点F在DG上。设与??相等的角的个数为m,与??互补的角的个数为n,若???,则m?n的值是

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。

7. 甲用1000元购买了一些股票,随即他将这些股票转卖给乙,获利10%,而后乙又将这些股票反卖给甲,但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙,若上述股票交易中的其它费用忽略不计,则甲 B (A) 盈亏平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 亏损1.1元D 8. 梯形的上底长5,下底长10,两腰分别长3和4,那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 30 。 9. 已知| x |?3,| y |?1,| z |?4且| x?2y?z |=9,则x2y2011z3的值是 (A) 432 (B) 576 (C) ?432 (D) ?576。 图4

10. 如图5,BP是△ABC中?ABC

的平分线,CP

是?

ACB的外角的平分线,如果?ABP

=20?,?ACP=50?,则?A??P=

(A) 70? (B) 80? (C) 90? (D) 100? 。

) 二、填空题 (每小题4分,共图405分图6

11. 若y2=2x?a,则4x2?4ax?4x2y?2ay2?y4?a2?。

12. 如图6,有两个长度相同的滑梯BC和EF,滑梯BC的高度 AC等于滑梯EF在水平方向上的长度DF,则?ABC??DFE = 度。

13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是

14. 如图7,?,?,?,?都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3?3平方厘米的正方形,其中的阴影四边形的面积分别记为S1,S2,S3和S4。则S1,S2,S3和S4中最小的与最大的和是 平方厘米。

? ? ? ?

图7 a3c53215. 已知x= ?1时,3ax?2bx?cx?2=10,其中a:b:c=2:3:6,那么2 b

16. 将长与宽分别为6与4的长方形纸片剪去3个等腰直角三角形后,剩余部分的面积最小是= 。

17. 有甲、乙两辆小汽车模型,在一个环形轨道上匀速行驶,甲的速度大于乙。如果

289

1分钟相遇一次。现在,它们从同一3

点同时出发,沿相同方向行驶,当甲第一次追上乙时,乙已经行驶了4圈,此时它们行驶了 分钟。

18. 如图8,长方形ABCD的长为8,宽为5,E是AB的中点,点F在BC上,已知△DEF的面积为16,则点D到直线EF的距离为。

810?811?812???2010?201119. If A= is a positive interger, then 810n

。 B 图8

20. 自然数n的各位数字中,奇数数字的和记为S(n),偶数数字的和记为E(n),例如S(134)=1?3 =4,E(134)=4,则S(1)?S(2)?…?S,E(1)?E(2)?…?E

三、解答题 每题都要写出推算过程。

21. (本题满分10分)

甲乙两车在A,B两城连续地往返行驶。甲车从a城出发,乙车从b城出发,且比甲车早出发1小时,两车在途中分别距离A、B两城为200千米和240千米的C处第二次相遇。相遇后,乙车改为按甲车的速度行驶,而甲车却提速了,之后两车又再C处第二次相遇。之后如果甲车再提速5千米/时,乙车再提速50千米/时,那么两车在C处再次相遇,求乙车出发时的速度。

22. (本题满分15分)

如图9所示,?C=90?,Rt△ABC中,?A=30?,Rt△A’B’C中,?A’=45?。点A’、B分别在线段AC、B’C上。将△A’B’C绕直角顶点C顺时针旋转一个锐角? 时,边A’B’分别交AB、AC于P、Q,且△APQ为等腰三角形。求锐角? 的度数。

B’ A ’ 23. (本题满分15分) 图9

若矩形的长、宽和对角线的长度都是数,求证:这个矩形的面积是12的倍数。

它们从同一点同时出发沿相反方向行驶,那么每隔1

290

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试简答

一、选择题

1. B, 2. A, 3. D, 4. C, 5. C, 6. D, 7. B, 8. A, 9. D, 10. C,

二、填空题

64532, 16. , 17. 12, 18. , 235

19. 150, 20. 501;400, 21. 80千米/时。 22. 15?,60?。

23.

[证法1] 设矩形的长、宽和对角线长分别为a,b,c且a,b,c都是整数,则根据勾股定理知a2?b2=c2,我们只需证明a,b,c中必有一个能被3整除,也必有一个能被4整除。 (1) 先证“a,b中必有一个能被3整除”。

若a,b都不是3的倍数,则a2与b2必被3除余1,则c2必被3除余2,但完全平方数被3除只能余0或1,故矛盾。所以a,b中必有3的倍数,即ab为3的倍数。

(2) 再证“a,b中必有一个能被4整除”。

将a2?b2=c2中的a,b,c的公约数约去,得x2?y2=z2,其中x,y,z两两互质。我们只需证明“x,y中必有一个能被4整除”即可。首先x,y不能全是奇数,因为,若x,y均为奇数,则x2与y2必都被4除余1,于是z2必被4除余2,但完全平方数被4除只能余0或1,故矛盾。所以x,y不能全是奇数。因为x,y互质,所以, x,y也不能全是偶数,因此x,y只能是一奇一偶,不妨设x=2p?1,y=2m (其中p, m均为整数),此时z是奇数,设z=2q?1 (q为整数),代入y2=z2?x2中,得

4m2=(2q?1)2?(2p?1)2=4(q2?q?p2?p),即m2=q(q?1)?p(p?1),因为q(q?1)与p(p?1)都是两个连续整数的乘积,所以q(q?1)与p(p?1)都能被2整除,于是m2为偶数,因此m为偶数,设m=2n (n为整数),则y=2n=2?2m=4m,于是y能被4整除。

综上,a,b中必有一个能被3整除,也必有一个能被4整除。又因为(3,4)=1,所以a?b能被12整除,即这个矩形的面积必为12的倍数。

[证法2] 设a,b都不是4的倍数,则a,b均为奇数;或a,b中的一个为奇数,另一个为被4除余2的数;或a,b都是被4除余2的数。

(1) 若a,b均为奇数,则a2与b2必被4除余1,则c2必被4除余2,但完全平方数被4除只能余0或1,矛盾。

(2) 若a,b中一个是奇数,另一个是被4除余2的数;不妨设a=2k?1,b=2(2m?1) (其中k,m均为整数),则a2=4k2?4k?1=4k(k?1)?1。因为连续整数之积k(k?1)能被2整除,所以a2被8除余1,而b2=22(2m?1)2=16m(m?1)?4,于是b2被32除余4,所以a2?b2被8除余5,即c2被8除也余5,但完全平方数被8除只能余0或1或4,矛盾。

(3) 若a,b都是被4除余2的数。设a=2(2k?1),b=2(2m?1) (其中k,m均为整数),则由a2?b2=c2知c2为偶数,于是c为偶数,设c=2n,则a2?b2=(2n)2=4n2,即22(2k?1)2?22(2m?1)2=4n2,约去公因子4,得(2k?1)2?(2m?1)2=4n2,变成两个奇数平

方和的情形,根据(1)得出矛盾。综上,假设“a,b都不是4的倍数”不成立,所以“a,b中必有一个能被4整除”成立。因为(3,4)=1,所以a?b能被12整除。即这个矩形的面积必11. ?1, 12. 90, 13. 1023456798, 14. 7, 15.

291

为12的倍数。

292

293

294

295

296

297

298

299

300

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第1试试题

2013年3月17日 上午8:30至10:00

一、选择题(每小题4分,共40分)

(?1)?(?1)3?3?() 1.计算:3?|?2|?1

A.?1 B.1 C.2 D.3 2.已知图1是图2中正方体的表面的展开图,其中有五个

图1 面内注了数字,则图2中涂有阴影的面在图1中标注的数字是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

3.若a?

2图2 99910001001,b?,c?,则(

) 20112012201332A.a<b<c

B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 4.若x?3x?2?0,则x?x?4x?10的值是( )

A.6 B.8 C.10 D.12

5. If the middle one of three consecutive odd numbers is n,then their product is( )

A.6n?6n B.4n?n C.n?4n D.n?n

(英汉小词典:consecutive 连续的;product 乘积;middle 中间的;odd number 奇数)

6.在△ABC中,∠A+∠C=2,2∠A+∠B=2∠C,则△ABC是( )

A.锐角且不等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

7.图3是某市人口结构的扇形图,据此得到以下四个结论,其中正确的是( )

A.2000年该市的人口数和1990年时一样; 1990年2000年B.2000年20岁以下年龄段的人口数量减少;

C.2000年20岁到40D.该市人口趋于老龄化; 8.有理数a,b,c,d满足a<b<0<c<d, 且|b|?c?|a|?d,则a+b+c+d的值( ) A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.与0的大小关系不确定 9.A,B两地相距60千米,甲、乙两人驾车(匀速)A驶向B,甲的时速为120千米,乙的时速为90如果乙比甲早出发6分钟,则当甲追上乙以后,乙再经过( )分钟可以到达B

A.25 B.20 C.16 D.10 10.如图4,数轴上的六个点满足AB=BC=CD=DE=EF, 则在点B、C、D、E对应的数中,最接近?10的点是( ) -13图4 A.点B B.点C C.点D D.点E

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.天文学中,1光年是光在一年内走过的距离.已知光速约为每秒30万千米,一年按365天计算,那么将1光年换成以米为长度单位,用科学记数法表示应为___________________米.(保留三位有效数字)

12.从1到2013这2013个自然数中,与21互质的数共有_______________个.

301

3333

13.已知2x?|y|??7,|x|?2y?0,则xy?_______. 14.如图5,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为9平方

厘米和13平方厘米,点G在线段AB上,则△CDE的面积

是_______________平方厘米.

15. If the product of all digits of a six-digit number is 1296, among such six-digit numbers,the smallest is ______________. 16. 如图6,射线OC、OD、OE、OF分别平分∠AOB、

∠COB、∠AOC、∠EOC,若∠FOD=24°,则∠AOB=_____________ 17.爸爸,妈妈,小慧,小弟,这四人今年的年龄之和是99岁,

爸爸比妈妈大4岁,小慧比小弟大3岁,9年前,他们的年龄

之和为65岁,由以上条件可知今年爸爸__________岁.

18.m个连续自然数之和为35(m>1),则m的所有可能取

的值之和为_______________.

19.已知当x?1时,3ax?bx?2cx?4?8,并且

ax3?2bx2?cx?15??14,那么,当x??1时,代数式 32EB5ax3?5bx2?4cx?2019的值是____________; O图6

20.小光家的电话号码是八位数,它的前四位数字相同,后五位数字是连续的一位自然数,电话号码的数字和等于它的最后两位数.那么,这个电话号码是_________________;

三、B组填空题(每小题8分,共40分) 21.已知:直线AB与直线CD交于点O,∠BOC=45°, (1)如图7,若EO⊥AB,则∠DOE=_________;

(2)如图8,若EO平分∠AOC,则∠DOE=_________; 22.如果四个不同的质数的和为37,那么这样的四个质

数乘积的最大值是_________,最小值为_____________; 23.如图9,已知C、D是线段AB上的两点, 且AC?若所有线段长度的总和为31,则AD=_______;

图9

24.如图10,在△ABC中,AB和AC被四条平行于BC的线段分成了五等份.如果△ABC的面积是S,则阴影部分②与④的面积的和是_____________;小三角形①与中间的梯形③的面积的和是____________;

?

xy?z?9425.若整数x,y,z满足方程组?, 11AB,BD?BC,图中一共有_______

33则xyz=__________或____________

图10 附加题(每小题10分,共20分)

1.2013名同学在操场上排成一个长方阵,小明站在第一排的最左边,小聪站在最后一排的最右边.如果左右相邻或前后相邻的两名同学传递一张纸条需要5秒钟,那么,小明将手?x?yz?95302

中的纸条传给小聪至少需要_________秒;

2.已知右表内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m,各竖列中从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n,则m+n=_____________,xy+zu=__________

答案:

一、选择题(每小题4分,共40)

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.9.46?10 12.1150 13.6 14.3 15.112899 16.64° 17.43 18.14 19.2013 20.88887654

15

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.135°,112.5° 22.2618,1482 23.6,7 24.

2S6S, 25.0或1984 525

附加题(每小题10分,共20分)

1.460 2.8,280

303

304

305

306

307

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