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5年级奥数相遇与追击问题

发布时间:2013-11-13 08:03:26  

行程问题

行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题,不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中,都拥有非常重要的地位。行程问题中包括:火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程,等等。每一类问题都有自己的特点,解决方法也有所不同,但是,行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”:

这三个量是:路程(s)、速度(v)、时间(t)

三个关系:1. 简单行程: 路程 = 速度 × 时间

2. 相遇问题: 路程和 = 速度和 × 时间

3. 追击问题: 路程差 = 速度差 × 时间

牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系,就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

① 追击及相遇问题

典型例题:

例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米。在途中,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问:这个花圃的周长是多少米?

这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成,题目中所给的条件只有三个人的速度,以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇:在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为(40+36)×3=228(米) 第一个追击:这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里,乙、丙两人的速度差造成的,是逆向的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为228÷ (38-36)=114(分钟)

第二个相遇:在114分钟里,甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周长为(40+38)×114=8892(米)

我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题,使解题思路更加清晰。

例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米,甲车以每小时25千米的速度从东到西地,1.5小时后,乙车从西地出发,再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米? 思路导航:

从图中可以看出,要求乙车每小时行多少千米,关键要知道乙车已经行

了多少路程和行这段路程所用的时间。

解:(1)甲车一共行多少小时?1.5+3=4.5(小时)

(2)甲车一共行多少千米路程?25×4.5=112.5(千米)

(3)乙车一共行多少千米路程?217.5-112.5=105(千米)

(4)乙车每小时行多少千米? (105-15)÷3=30(千米)

答:乙车每小时行30千米。

例3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去,家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米,妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇,妹妹走了几分钟?相遇处离学校有多少米?

从图中可以看出,哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米,两人同时出发,相向而行,哥哥每分钟行200米,妹妹每分钟行80米,经过几分钟相遇?”的问题,解答就容易了。

解:(1)从家到学校的距离的2倍:1400×2=2800(米)

(2)从出发到相遇所需的时间:2800÷(200+80)=10(分)

(3)相遇处到学校的距离:1400-80×10=600(米)

答:从出发到相遇,妹妹走了10分钟,相遇处离学校有600米。

一、巩固训练

1. 两城市相距328千米,甲、乙两人骑自行车同时从两城出发,相向而行。甲每小时行28千米,乙每小时行22千米,乙在中途修车耽误1小时,然后继续行驶,与甲相遇,求出发到相遇经过多少时间?

分析:如果乙在中途不停车,那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和:

328+22×1=350(千米),两车的速度和:28+22=50(千米/小时),然后根据相遇问题“路程和÷速度和=相遇时间”得 350÷50=7(小时)

解:(328+22×1)÷(28+22)

=350÷50

=7(小时)

解法2:

(328-22×1)÷(28+22)

=300÷50

=6(小时)

6+1=7(小时)

答:从出发到相遇经过了7小时。

2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,已知快车每小时行40千米,经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇,慢车每小时行多少千米?

分析:

从图中可知:快车3小时行的路程40×3=120千米,比全程的一半多12千米,全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米,所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米,由此可以求出慢车的速度。

解:①甲乙两地路程的一半:40×3-12=108(千米)

②慢车3小时行的路程:108-12=96(千米)

③慢车的速度:96÷3=32(千米)

答:慢车每小时行32千米。

3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行,在离甲城85千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,又在离甲城35千米处相遇,两城相距多少千米?

分析

:

从图上可以看出,小华和小明两人第一次相遇时,行了一个全程,小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时,共行了3个全程,这时小华共行了3个85

千米,如果再加上35千米,相当于小华行了2个全程,甲乙两地全长也就可以求出来了。

解:(1)甲乙出发到第二次相遇时,小华共行了多少千米? 85×3=255(千

米)

(2)甲乙两城相距多少千米?( 255+35)÷2=290÷2=145(千米)

答:两城相距145千米。

1、 拓展提升

3、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米,两车相遇后又以原来的速度继续前进,客车到达乙站后立即返回,货车到达甲站后也立即返回,两车再次相遇时,客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米?

分析

如图,从出发到第二次相遇时,客车和货车共行3个全程,在这段时间里客车一共比货车多行216千米,客车每小时比货车快54-48=6千米,这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时,由此可求出行一个全程时间:36÷3=12小时,因而可以求出甲乙两站的距离。

解:①从出发到第二次是两车行驶的时间:216÷(54-48)=36(小时)

②从出发到第一次相遇所用的时间:36÷3=12(小时)

③甲乙两站的距离:(54+48)×12=1224(千米)

答:求甲乙两站相距1224千米。

2. 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米,有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。

分析:

解答的关键是求出卡车的速度,从图上明显看出,甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系,求出丙车速度。

解:(1)卡车的速度:( 60×6-48×7)÷(7-6)=24÷1=24(千米)

(2)AB两地之间的距离:(60+24)×6=504(千米)

(3)丙车与卡车的速度和:504÷8=64(千米)

(4)丙车的速度:64-24=40(千米/小时)

答:丙车的速度每小时40千米。

二、两列火车从某站相背而行,甲车每小时行58千米,先开出2小时后,车以每小时62千米才开出,乙车开出5小时后,两列火车相距多少千米?

② 火车过桥

过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的

总路程是桥长加车长,这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系:

过桥问题的一般数量关系是:

因为: 过桥的路程 = 桥长 + 车长

所以有:通过桥的时间 =(桥长 + 车长)÷车速

车速 = (桥长 + 车长)÷过桥时间

公式的变形:

桥长 = 车速×过桥时间 — 车长

车长 = 车速×过桥时间 — 桥长

后三个都是根据第二个关系式逆推出的。

火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的,也要通过上面的数量关系来解决。

一、例题与方法指导

例1. 一列客车经过南京长江大桥,大桥长6700米,这列客车长100米,火车每分钟行400米,这列客车经过长江大桥需要多少分钟?

从火车头上桥,到火车尾离桥,这之间是火车通过这座大桥的过程,也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。

(1)过桥路程:6700 + 100 = 6800(米)

(2)过桥时间:6800÷400 = 17(分)

答:这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。

例2. 一列火车长160米,全车通过440米的桥需要30秒钟,这列火车每秒行多少米? 思路导航:

要想求火车过桥的速度,就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。

(1)过桥的路程:160 + 440 = 600(米)

(2)火车的速度:600÷30 = 20(米)

答:这列火车每秒行20米。

例3. 某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟,接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟,求这列火车的长度? 思路导航:

火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒,为什么多用8秒呢?原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144(米),这144米正好和8秒相对应,这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长,减去已知的隧道长,就是火车长。

(1)第一个隧道比第二个长多少米?

360—216 = 144(米)

(2)火车通过第一个隧道比第二个多用几秒?

24—16 = 8(秒)

(3)火车每秒行多少米?

144÷8 = 18(米)

(4)火车24秒行多少米?

18×24 = 432(米)

(5)火车长多少米?

432—360 = 72(米)

答:这列火车长72米。

二、巩固训练

1. 某列火车通过342米的隧道用了23秒,接着通过234米的隧道用了17秒,这列火车与另一列长88米,速度为每秒22米的列车错车而过,问需要几秒钟? 思路导航:

通过前两个已知条件,我们可以求出火车的车速和火车的车身长。

(342—234)÷(23—17)= 18(米)??车速

18×23—342 = 72(米) ????????车身长

两车错车是从车头相遇开始,直到两车尾离开才是错车结束,两车错车的总路程是两个车身之和,两车是做相向运动,所以,根据“路程÷速度和 = 相遇时间”,可以求出两车错车需要的时间。

(72 + 88)÷(18 + 22)= 4(秒)

答:两车错车而过,需要4秒钟。

2. 一列火车全长265米,每秒行驶25米,全车要通过一座985米长的大桥,问需要多少秒钟?

(265 + 985)÷25 = 50(秒)

答:需要50秒钟。

3. 一列长50米的火车,穿过200米长的山洞用了25秒钟,这列火车每秒行多少米?

(200 + 50)÷25 = 10(米)

答:这列火车每秒行10米。

三、拓展提升

1. 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥,从车头上桥到车尾离桥用了1分钟,求这座桥长多

少米?

1分 = 60秒

30×60—240 = 1560(米)

答:这座桥长1560米。

2. 一列货车全长240米,每秒行驶15米,全车连续通过一条隧道和一座桥,共用40秒钟,桥长150米,

问这条隧道长多少米?

15×40—240—150 = 210(米)

答:这条隧道长210米。

3. 一列火车开过一座长1200米的大桥,需要75秒钟,火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟,求火车长多少米?

1200÷(75—15)= 20(米)

20×15 = 300(米)

答:火车长300米。

4. 在上下行轨道上,两列火车相对开来,一列火车长182米,每秒行18米,另一列火车每秒行17米,两列火车错车而过用了10秒钟,求另一列火车长多少米?

(18 + 17)×10—182 = 168(米)

答:另一列火车长168米。

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