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不定方程

发布时间:2013-11-13 09:31:43  

不定方程的求解

【知识要点】

如果未知数的个数多于方程的个数,那么,一般来说,它的解往往是不确定的,例如

方程 x-2y=3,

?x?y?z?100方程组? ?x?3y?2z?180

等,它们的解是不确定的.像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组.

a,

b是互质的正整数,c是整数,且方程ax+by=c ①有一组整数解x0,y0则此方程的一切整数解可以表示为

其中t=0,±1,±2,±3,….

【经典例题】

例1 求不定方程x-y=2的正整数解.

例2 求11x+15y=7的整数解.

1

例3 求方程6x+22y=90的非负整数解.

例4 求方程7x+19y=213的所有正整数解.

例5 某国硬币有5分和7分两种,问用这两种硬币支付142分货款,有多少种不同的方法?

例6 今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?

例7 已知正整数a,b满足6a?4b?ab?32,求a,b的值。

2

【经典练习】

1.求方程的整数解。

(1)11x+16y=3 (2) 3x+6y=8 (3)3x+5y=31

(4) 72x+157y=1; (5)9x+21y=144; (6)103x-91y=5.

(7)3x-5y=19; (8)12x+5y=125.

5.民用电收费规定:每月每户不超过24度按每度9分收费,超过24度时,超,过部分每度按2角收费。并且规定用电按整度收费。某月甲户比乙户多交电费9角6分,问甲、乙两户各交的电费是多少?

6.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车坐22人,结果有1人未上车,若开走一辆空车,则所有人平均分乘其余各辆车,每辆车最多容32人,问:起初有多少车?有多少旅客?

3

7.若整数a、b满足6ab?9a?10b?303,求a?b。

8.设x、y是两个不同的正整数,且

?5x?7y?2z?249.求不定方程组?的正整数解. ?3x?y?4z?4112??,试求x+y的值。 xy5

111???a的正整数解(a为正整数) xyz 10.求方程

11.求方程x?y?xy的整数解。

4

不 定 方 程 作 业

1.三元方程x?y?z?1999的非负整数解的个数有( )

A.20001999个 B.19992000个

C.2001000个 D.2001999个

2.求的整数解.

(1) 11x+15y=7 (2)72x+157y=1;

(3)9x+21y=144; (4)103x-91y=5.

\

3.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔,橡皮每块3分,铅笔每支1角1分,问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔?

4.某人发现他到2000年上大学时的年龄数正好等于他出生那年各位数字的和。请问1993年,他的年龄是多少?

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