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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛小高组c卷答案

发布时间:2013-11-13 09:31:46  

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试题C(小学高年级组)

(时间: 2013 年3月23日)

一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)

1. 如果2013?2013n?m与n为互质的自然数), 那么m+n的值是( ). 2014?2014?2012m

(A)1243 (B)1343 (C)4025 (D)4029

解答:B。

在考试中,选择恰当的方法很重要。这道题,看到这道题后,我第一个想法就是归纳。

424222321525????、、、、写完前三个,发现第二个算式很不和22223?154?225?376?48

323?,规律找到了,分子是原谐,又写出了第四个,仔细一想,原来第二个可以写成24?26

式中分子部分的一个因数,分母比分子大3!答案一定是2013,很简单,第一题是很容易2016

的年份题,等等,年份2013这个数是我们非常熟悉的,2013=3×11×61,是3的倍数,那么加3不还是3的倍数么?可以约分,所以最后的答案是2013671?所以选B! 2016672

如果本题需要详细的过程,那么用规纳的方法是不合适的,因为这是不完全归纳法,你这么知道前几个适用的情况下,最后的2013也适用呢,所以最正确的方法是这样思考:如果这道题直接计算,分别算出分子分母,然后必然需要一个约分的过程(从选项可以看出),那么就太麻烦了,如果不计算出最后结果就可以约分,是件好事儿,那么转化分子还是转化分母呢?我们都知道,当分子分母都是乘法的形式,是比较好约分的,所以要转化分母,要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的:

原式?2013?2013

2014?(2013?1)?2012

2013?2013

2014?2013?2014?2012

?

?2013?2013

2014?2013?2013?2

2013?20132013671??,2013?(2014?2)2016672?

m?n?671?672?1343.这个题做完了,很容易得分的一道题,也是容易马虎的一个题,如果不仔细读题,忽略了“m与n为互质的自然数”,那么就容易把答案写成D。 2. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下

事情:

最终,( )得到的糖水最甜.

(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)乙和丙

解答:C。

根据题意和我们所学过的公式,可以分别求出三人得到的糖水的最终浓度!

(1) 甲配得的糖水含糖率:25?

50?20%?100%?20%; 100?25?50

(2) 乙配得的糖水含糖率:

25?20

?100%?25.7%;

100?25?50

25?100?5?2

?100%?28.9%.

100?25?100

(3) 丙配得的糖水含糖率:

所以,丙最甜!其实我们还可以用另一种方法来解答,如果对概念理解的比较清晰的话,我们可以知道,向共同的糖水中加另一种糖水,加的糖水的浓度越大,糖水质量越多就越甜。甲又加入的是浓度为:20%的糖水50克

乙又加入的是浓度为20÷(20+30)=40%的糖水50克 丙又加入的是浓度为2÷(2+3)=40%的糖水100克

很明显,丙往里面加的糖水更甜,更多,所以最甜的一定是丙。

3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1

米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为( )分钟. (A)22 (B)20 (C)17 (D)16

解答:A。

无论上还是下,每一米所用的时间都是一样的,根据题意,每向上爬3米会下降1米,我们列一个表格。

从上表可以看出,当第二次到达了离井口3的地方的时候,青蛙运动了,3×4+1+1×4=17米。而当这只青蛙跳出井口的时候共走了3×5+2+1×5=22米。根据题意17÷17×22=22分钟。

4. 已知正整数A分解质因数可以写成A?2??3??5?, 其中?、?、? 是自然数. 如果

A的二分之一是完全平方数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一是某个自然数的五次方, 那么

????? 的最小值是( ).

(A)10 (B)17 (C)23 (D)31 解答:D。

根据“A的二分之一是完全平方数”可以知道,(?-1)、?、?都是2的倍数。 根据“A的三分之一是完全立方数”可以知道,?、(?-1)、?都是3的倍数。

根据“A的五分之一是某个自然数的五次方”可以知道,?、?、(?-1)都是5的倍数。 同时满足三个条件的?的最小值恰好是[3,5]=15;?的最小值恰好是[2,5]=10;?的最小值恰好是[2,3]=6。所以,????? 的最小值是15+10+6=31。

5. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边

中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部

所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右

水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中

的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形.

那么在三角形个数最多的位置, 图形中有( )个三角形.

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

解答:C。

可以把所有的情况都画出来然后通

过比较找出三角形最多的图形,再仔

细的数一下,发现有11个,所有的

图如下:

还有一种办法,如果没有三角形内部的两条线捣乱的话,那么这个题就简单多了,我们从简单的情况入手!当没有三角形内部的两条线时,这两个三角形在移动的过程中,最多可以有8个三角形(如图1),在这种情况下再

按照题中条件,再填两条线,

在不与已

有边重合的情况下,至少多2个三角形(如图2),而最多只能多3个(如图3)。

6. 从1~11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有( )个.

① 其中必有两个数互质;

② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数;

③ 其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0

解答:B。

对于“任意?必有”这样的语句,应该考虑到“抽屉原理”。如果需要证明结论正确的话,那就要构造抽屉,而抽屉的个数,应该是小于6的!看题:

第一句说必有两个数互质,如果这是正确的话,那么就要构造出小于6的抽屉,且每一组抽屉中的数一定是两两互质的,而很容易想到,每相邻的两个数都是互质的,所以可以这样构造(1,2,3)(4,5)(6,7)(8,9)(10,11)其实构造的方法不是唯一的,还有很多构造方法如:【(1,3,4)(2,9)(8,11)(5,6)(7,10)】;

第二句很容易举出反例,(6、7、8、9、10、11)最大的六个数就没有倍数关系,同样的还有:(4、5、6、7、9、11);

第三句,根据第二句话的反例,可以看出,第三句话是成立的,那么就要严谨的证明一下,还是要构造抽屉,按照什么构造呢,可以按照1到11中的5个质因数来构造5个抽屉,1放在哪个抽屉里都可以,(1,2,4,8)(3,6,9)(5,10)(7)(11)这五个抽屉中,要任意取6个数,必有两个数在同一个抽屉中,就必满足其中一个数的2倍是另一个数的倍数。

所以有两句是正确的,最后的答案是B。

二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)

7. 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4

个人至少买了_______种书.

解答:7。

从简单的情况思考,若只有两个人,那么为了符合题意,一定有6本不同的书,我们可以给这6本数编号为1、2、3、4、5、6,那么设甲买的是1、2、3、4,乙买的是1、2、5、

6.这时候又来了第三个人,我们称呼他为丙,这是丙为了符合题意,他可以选择不买其他的书,他买编号为3、4、5、6也符合题意,这时要注意的是,当三个人,只买6本书的时候,当甲、乙买的书确定之后,丙购买的编号是唯一的,就是丙不能买甲、乙都买的书,如果他买了一本甲乙都买的书,那么他就必须再买一本他自己“独有”的书!列一个表格让我刚才说的更清晰:

把3个人的情况弄明白之后,看四个人的,这时丁来了,站在刚才丙的角度思考,他至少要有一本“独有”的书了,所以4个人的时候至少是7本,可以给出构造如下:

即甲买的书编号为(1, 2, 3, 4), 那么乙买的书的编号为(1, 2, 5, 6), 为使种数最少, 丙买

的书的编号为(3, 4, 5, 6), 此时丁可以买(1, 3, 5, 7).

8. 每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC

和一段下坡路 CD (如右图). 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并

且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那

么小明上学与放学回家所用的时间比是 . 解答:19。 16

简单的赋值法可以计算出结果,设AB是100米,那么BC的路程就是200米,CD的路程就是100米;设小明平路的速度是3米/秒,那么他上坡路、下坡路上的速度就分别是2米/秒、4米/秒.根据赋值来计算, 小明上学的时间是:100200100475??? 3243

100200100400??? 3423小明放学回家的时间是:

所以时间比为47540019:?! 3316

如果觉得赋值法不够严谨的话,那么可以设AB?s, 则BC?2s, CD?s;

设 v平?3a, 则 v上?2a, v下?4a. 可以计算这些算式得:

t上学?s2ss4?12?3s19s??????, 3a2a4a12a12a

s2ss4?6?6s16s??????, 3a4a2a12a12at放学?

所以

t上学19?. t放学16

9. 黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且

把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是 .

解答:12。

仔细阅读题中所说的操作,会发现无论如何操作,任意两种数的个数的差只有不变,加3和减3三种情况!(比如说1和2的个数,无论怎样操作,对于这两个数的个数只有3类情况,要么同时减少一个;要么1的个数加2个,2的个数少一个;要么1的个数少1个,2的个数加2个)。那么继续,看1的个数和2的个数,用2的个数减去1的个数,他们的差是22-11=11,11除以3的余数是2,那就是说当数字2的个数比1的个数多时,他们的差一定是除以3余2的;但如果数字1的个数比2多的话,那么这个差除以3的余数一定是1,(可以试着操作几次,让1的个数多与2的个数)。这样都算下来比较麻烦,观察一些特殊的,不用分类讨论的,可以发现1的个数和4的个数,它们的差是33,正好是3的倍数,也就是说,操作到最后,剩下的1的个数和4的个数要么一样多,要么个数差3。再根据题意,最后只剩下3个数,如果1的个数为3,那么2的个数必然为2,不合题意。如果的个数为3,而1和2不可能都为0个,所以操作到最后时1的个数和4的个数都只能为0,而2的个数一定是2,那么3的个数就是1,所以剩下的三个数是2个2和1个3,他们乘积是12.

这个题,说了好多,其实就是考察模3同余的问题。同余是数论问题中比较难的一部分,而华杯中的数论问题是不可缺少的,看完答案的同学,如果你可以走进决赛,那就一定要在数论中再下一番功夫,功夫的重点在用代数式的形式解决数论问题,还有就是同余的应用等。 10. 如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果

DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.

解答:64。

题中只给出了一个具体数据DG=5,要求出正方形的面积,我们可以用一个未知数x作为过渡,找到DG和正方形边长的关系,关系有了,就可以求出边长,进而求出面积。设边长是8x。

S△ADH?S△BCI所以BI=AH,若整个正方形的面积是8份的话,△ADH的面积是1份,AH是AB的1,即AH=BI=2x,HI=4x,如果连接CH,那么△CHI的面积是4

△CBI的2倍,就是2份,而△FHI的面积是1份,所以CF=FI,进行不

下去了,要向DG靠拢,所以做条辅助线:延长FG交DH于N, DA

于M(如右图) 根据燕尾模型,DN=NH,在梯形CDHI中,CF=FI,DN=NH,

所以FN与CD、HI平行(平行线分线段成比例),所以DM=MA

平行后,FG与HI之间的距离相等,而S△GFH?S△IHF所以FG=HI=4x

又因为三角形FDG的面积是三角形DGN面积的2倍, 所以GN=2x

根据对称性可知, NM = (8x-6x)÷2 = x, 所以GM = 3x.

在直角三角形GDM中, DG = 5x. 又因为 DG = 5所以 x = 1.

最终, 正方形的面积为8×8 = 64.

最后一题的难度比较大,考察了很多图形类的知识,里面有很多5年级秋季班学过的几何模型。还用到了平行线分线段的比例关系。作为高年级的试题,与比相关的试题是必不可少的,本次初赛中,已经有3道题涉及到了比,而且难度各不相同,相比较,初赛的行程题简单了一些,那么在复赛中,同学们要小心了,强烈建议多复习一些与比例相关的行程问题!

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